ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ С РЕЗОНАНСНЫМИ ПОГЛОТИТЕЛЯМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.21+534.833.534 ЕБ№ РОЕ^Х

Ю.Н. Попов1, 2

1 ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет», Санкт-Петербург, Россия

2 ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия

ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ С РЕЗОНАНСНЫМИ ПОГЛОТИТЕЛЯМИ

Объект и цель научной работы. Объектом исследования является волновод с резонансным поглотителем, позволяющий эффективно решать прикладные вопросы снижения негативного влияния шума при акустическом проектировании судна. Цели - аналитический анализ физических процессов и численное моделирование распространения и поглощения акустических волн в волноводах различного назначения.

Материалы и методы. В работе использованы аналитические методы для описания физических принципов работы резонансных поглотителей, а также методы численного моделирования, позволяющие проводить расчет уровней акустических полей для моделей конструкций, максимально приближенных к реальным аналогам. Основные результаты. Проанализированы возможности описания процесса распространения и поглощения волны в волноводе с поглотителем резонансного типа. Показано, что возможны не только качественная, но и количественная оценка уровней снижения звукового поля, а также учет различных механизмов поглощения акустической энергии. Заключение. Решения прикладных задач судовой акустики о распространении и поглощении акустических волн посредством только аналитических методов имеют ряд ограничений, связанных с теорией дифракции, и возможны только в определенных приближениях реальной конструкции. Применение численных методов позволяет моделировать работу резонансных устройств с учетом различных физических процессов, приводящих к поглощению и рассеянию энергии, тем самым повышая точность оценки акустических характеристик, важных с прикладной точки зрения. Ключевые слова: волновод, резонансная частота, резонатор Гельмгольца, резонансный поглотитель, метод конечных элементов.

Автор заявляет об отсутствии возможных конфликтов интересов.

UDC 534.21+534.833.534 EDN: PGEIQX

Yu.N. Popov1, 2

1 St. Petersburg State Marine Technical University, St. Petersburg, Russia

2 Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia

NUMERICAL METHODS IN SIMULATION OF ACOUSTIC WAVE PROPAGATION IN WAVEGUIDE WITH RESONANT ABSORBERS

Object and purpose of research. This paper analyses physical aspects and numerical simulation techniques of acoustic wave propagation and absorption in various waveguides. The study was focused on waveguides with resonant absorbers: these tools are available in wide variety and can efficiently suppress adverse noise effects which makes them valuable for practical acoustic design of ships.

Materials and methods. The study relies on the analytical methods describing physical principles of resonant absorber operation, as well as numerical simulation techniques needed to calculate noise levels of model structures representing the real ones to the greatest possible extent.

Для цитирования: Попов Ю.Н. Применение численных методов при моделировании распространения акустических волн в волноводах с резонансными поглотителями. Труды Крыловского государственного научного центра. 2024; 4(410): 193-200.

For citations: Popov Yu.N. Numerical methods in simulation of acoustic wave propagation in waveguide with resonant absorbers. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2024; 4(410): 193-200 (in Russian).

Main results. This study analyzed the possibility of describing the process of wave propagation and absorption in the waveguide with resonant absorber. It has been demonstrated that this approach can yield not only qualitative but also quantitative assessment of achievable noise suppression levels, taking into account various mechanisms of acoustic energy absorption. Conclusion. When practical tasks of marine acoustic design in terms of acoustic wave propagation and dissipation are handled only with analytical methods, the results will inherently imply a number of restrictions due to diffraction theory solutions, and will only be valid for certain approximations of the real structure. Numerical methods make it possible to simulate the operation of resonators taking into account various physical mechanisms of acoustic power absorption and dissipation, which increases the accuracy of acoustic estimates important for practical design.

Keywords: waveguide, resonant frequency, Helmholz resonator, resonant absorber, finite-element method. The author declares no conflicts of interest.

1. Описание расчетной модели волновода

1. Description of analytical waveguide model

Резонансные поглотители являются одним из перспективных средств снижения уровней шума в низкочастотном диапазоне, где поглотители других типов (например, из пористых материалов) могут быть малоэффективны. Поглотители такого рода достаточно просты и изучены начиная с классических работ Гельмгольца и Релея [1, 2]. В технической литературе описаны методики расчета их акустических характеристик на основе аналитических методов для различных случаев использования на простых моделях [3-8]. Данные методики могут являться основой для проверки численных моделей.

Совершенствование технических решений и технологий в задачах акустического проектирования судов и кораблей требует использования более сложных расчетных моделей, учитывающих конструкционные особенности реальных судовых конструкций. Это приводит к совершенствованию и усложнению численных моделей, используемых для расчетов количественных характеристик в акустических задачах в судостроении. При этом аналитические методы остаются незаменимой основой для подтверждения и обоснования физических принципов работы того или иного устройства, влияющего на распределение акустического поля.

Рассмотрим волновод цилиндрической формы длиной Ь = 7 м, заполненный воздухом (рис. 1). Ось г направлена вдоль оси цилиндра. Стенки волновода будем считать абсолютно жесткими. Вдоль оси цилиндра расположим контрольные точки для измерения падающей и отраженной волн. В технической литературе разносторонне рассмотрены вопросы численного моделирования акустических полей [8-11]. С прикладной точки зрения интересен случай, когда рассматривается распространение импульса с гармоническим заполнением. Пусть со стороны левого торца выбранной модели распространяется импульс:

p(z, t) = rect(t)p0 sin(œt - kz),

(1)

где р0 = 1 Па - амплитуда, ю - круговая частота (в примере выбрана частота / = 200 Гц, ю = 2п рад/с), к - волновой вектор в направлении оси г, гес1(/) -функция, задающая форму импульса.

На рис. 2 показан моделируемый импульс по формуле (1). Огибающая, заданная функцией геС:(0, показана пунктиром. Приведен пример расчета распространения этого импульса в волноводе с жесткими стенками (/ = 0,0115 с от момента начала излучения).

Для верификации предложенной акустической модели рассмотрим два случая отражения от торцов волновода:

1. импеданс на правом торце волновода выберем 21П = 10р0 с0, левый торец считаем абсолютно жестким 21Л ^ да;

Рис. 1. Модель волновода с контрольными точками

Fig. 1. Model of waveguide with checkpoints

Рис. 2. Форма импульса с синусоидальным заполнением и его распространение в модели волновода

Fig. 2. Sine-shaped pulse and its propagation in waveguide model

Рис. 3. Контроль акустического сигнала в двух точках в случае переотражений сигнала от торцов волновода

Fig. 3. Acoustic signal check at two points if the signal scatters back from waveguide ends

/0,02

Излученный импульс от левого торца

Отраженный импульс от правого торца

0,06 г, С Повторное отражение от левого торца

Повторное отражение от правого торца

Отраженный импульс от правого торца

2. импеданс на правом торце волновода 12П = р0 с0 (импеданс левого тут не имеет значения); здесь р0 с0 - плотность воздуха и скорость звука в воздухе.

Соответственно, при падении волны с плоским фронтом коэффициент отражения от правого торца в первом случае должен составить = -0,82. На левом торце задана абсолютно жесткая граница, следовательно, коэффициент отражения для рассматриваемого сигнала р1 = -1 (сдвиг фазы 180°). В итоге должно наблюдаться многократное переотражение импульса с постепенным снижением его амплитуды, а также увеличение амплитуды на жесткой стенке. Второй случай соответствует полному акустическому согласованию сред для нормального падения плоской волны р1 = 0, следовательно, от правого торца волновода не должно быть отражения - в контрольных точках импульс должен фиксироваться однократно.

В первом случае (рис. 3) в контрольной точке на расстоянии 4 м (сплошная линия) от излучателя зафиксирован излученный импульс амплитудой

р = 1 Па, отраженный импульс от правого торца с амплитудой р = 0,82 Па, импульс, переотраженный абсолютно жестким левым торцом с амплитудой р = 0,82 Па. Вторая контрольная точка находилась на правом торце, которая фиксировала увеличение амплитуды сигнала в соответствии с положениями волновой теории.

На рис. 4 показан расчет распространения сигнала в случае полного акустического согласования на правом торце волновода. Во всех контрольных точках фиксируется лишь однократное прохождение акустического импульса, что полностью соответствует теории об отсутствии отраженного сигнала.

Выполним спектральный анализ сигнала. В приведенном выше примере выполнялся расчет во временной области в диапазоне от 0 до 70 мс с шагом 0,2 мс. В каждой контрольной точке по факту была получена запись звукового давления в этом временном промежутке. Функция гес1(/) ограничивала импульс в промежутке 0,3-9,0 мс, что составляло чуть меньше чем два периода гармонического сигнала на частоте / = 200 Гц. На рис. 5 показаны резуль-

Р, Па

Рис. 4. Контроль акустического сигнала в двух точках в случае полного согласования на левом торце волновода

Fig. 4. Acoustic signal check at two points if the left waveguide end shows complete alignment

Частота, Гц

Рис. 5. Реальная часть спектра сигнала по данным в контрольной точке 4

Fig. 5. Real part of the spectrum signal as per the readings taken at Checkpoint 4

p, Па

Рис. 6. Обратное преобразование Фурье по данным спектра в контрольной точке 4 Fig. 6. Inverse Fourier transformation as per spectrum readings for Checkpoint 4

таты прямого и обратного преобразования Фурье для сигнала, взятого из временной реализации в точке 4 (расстояние 4 м от излучателя).

На рис. 5 приведена реальная часть спектра сигнала по данным измерений акустического давления в контрольной точке 4. С учетом того, что огибающая rect(t) ограничивала гармоническую функцию до двух периодов, спектр сигнала являлся широкополосным с максимумом на частоте f = 200 Гц.

Зная комплексный спектр, с помощью обратного преобразования Фурье можно восстановить временной вид исходного сигнала. На рис. 6 показан пример восстановления сигнала по известному спектру. Сравнение рис. 4 и рис. 6 показывает, что на предложенной цифровой модели сигнал восстановлен с большой степенью точности.

2. Резонансный поглотитель

2. Resonant absorber

В воздушной акустике простейшим резонансным поглотителем является резонатор Гельмгольца. Строго говоря, под таким резонатором часто подразумевается большое количество устройств, позволяющих как усиливать, так и снижать уровни звукового давления на определенных частотах, многие из которых давно известны. Характерная особенность этих устройств - длина волны собственных низкочастотных колебаний значительно больше их размеров.

С физической точки зрения резонатор Гельм-гольца на низких частотах можно рассматривать как колебательную систему с сосредоточенными параметрами (типа пружинного маятника) с определенными массой и упругостью, что нетипично для акустики сплошных сред. Любая конструкция, относящаяся к резонаторам Гельмгольца, всегда содержит горловину (иногда просто отверстие), соединенную с некоторым объемом. Роль инерционного элемента выполняет воздух, заполняющий горловину (или отверстие в объеме). Роль упругого элемента играет воздух, заполняющий пространство во внутреннем объеме. Классическая форма резонатора, описанная в работах Гельмгольца и Рэлея [1-2], приведена на рис. 7.

В рамках акустомеханической модели резонатора Гельмгольца, исходя из адиабатической сжимаемости среды, податливость объема воздуха может быть представлена в виде:

C =

V

pCQ2 S'

(2)

где - площадь сечения горла резонатора (для горла круглого сечения 5 = па2).

Сосредоточенная (приведенная) масса газа (воздуха) в горле оценивается выражением:

мак = р(/+4), (3)

где ро = 1,21 кг/м3 - плотность воздуха при нормальном давлении; / - фактическая длина горла; 4 - поправка к фактической длине горла, которая может значительно отличаться для различных конструкций резонатора; с0 - скорость звука.

Оценочные соотношения для эквивалентной податливости объема воздуха в резонаторе и массы воздуха в горле позволяют использовать известную в теории колебаний формулу для оценки резонансной частоты [3-5]:

fo = —

1

MahCa

S

2кУ V (l + ls )

(4)

Po co

■ = R + iY,

(5)

R = 1 к2 a2 S и Y = 2-^S. 2 3ncn

(6)

направление фронта волны ^ _

Уравнения (2)-(4) качественно описывают принцип нахождения собственной частоты резонатора Гельмгольца, однако не позволяют получить точную количественную оценку для частоты и добротности. Строго говоря, первые уточнения к расчету собственной частоты для резонатора с горловиной были получены в работах Рэлея уже через несколько лет после публикации исследований Гельмгольца. В последующие годы в литературе были описаны различные поправки и уточнения к расчету всевозможных модификаций резонатора.

При решении прикладных задач по оценке уровней шума удобно пользоваться механическим импедансом резонансного поглотителя, который обычно берется в безразмерном (нормированном) виде [3]:

Рис. 7. Классическая форма резонатора Гельмгольца Fig. 7. Helmholz resonator (classic shape)

Та же самая диафрагма без экрана будет иметь импеданс:

R =1 к2 a2 S и Y = — 4 3ncn

S.

(7)

где Я - вещественная часть импеданса, определяющая потери энергии вследствие наличия вязких сил и тепловых волн при движении воздуха в горловине (и частично в объеме) резонатора; У - мнимая часть импеданса, определяющая потери энергии за счет наличия присоединенной массы и рассеяния падающей волны.

Количественно импеданс резонатора может сильно отличаться от модели его использования. К примеру, при точном рассмотрении задачи в рамках теории дифракции об излучении некоторого объема с отверстием (без горла) удобным является физико-математическая модель о колебаниях малой поршневой диафрагмы. Диафрагма, размещенная в акустическом экране, по результатам решения имеет импеданс:

С прикладной точки зрения представляет интерес работа простейшего поглотителя шума резонансного типа, который был описан советским акустиком С.Н. Ржевкиным еще в 1938 г. и до настоящего времени используется для снижения уровней шума в промышленных цехах и производственных помещениях. Суть конструкции заключается в использовании панели из жесткого материала толщиной /, перфорированной отверстиями определенного диаметра а, которая располагается от жесткой стенки на некотором расстоянии к. При этом пространство между панелью и жесткой стенкой дополнительно может быть разделено на отдельные отсеки или могут быть использованы поглощающие материалы, влияющие на Я - вещественную часть импеданса.

Математическое описание физического процесса отражения звуковых волн от такой простой конструкции резонансного поглотителя по факту является сложной задачей. Точное решение сводится к задачам дифракции звука на периодической неоднородной поверхности (лицевой перфорированной панели резонансного поглотителя) с учетом вынужденных колебаний слабо диссипативной среды (воздуха) в объеме поглотителя (за панелью). При этом рассеяние звуковых волн зависит от формы отверстий в панели, а диссипативные потери -от вязкости воздуха и теплопроводности самой панели. В зависимости от конструкции резонансного поглотителя могут присутствовать и иные факторы, влияющие на поглощение звуковой энергии.

z =

В физико-математических моделях такого резонансного поглотителя, основанных на предположении, что основные потери энергии звуковой волны связаны с действием вязкости и теплопроводности при движении воздуха в отверстиях панели, вещественная часть механического импеданса сводится к формуле Крендалла [7] для импедансной трубы:

[

R = Re

Mk2

1 Jk a)

1 -

(l + 2ls ),

(8)

волновое число вязкой волны;

кв а J0 (кв а)

где кв =.у/-/(ОРо/Ц -д = 2-10-5 Пас - коэффициент вязкости воздуха.

Однако, если материал панели обладает высокой теплопроводностью, необходимо учитывать потери, связанные с тепловыми поверхностными волнами. Во избежание чрезмерного усложнения (8) рекомендуется принять поправку в виде дэфф = 2д. Параметр 21, учитывает концевые эффекты, связанные с дифракцией. J(kв а) - функции Бесселя.

Мнимая часть механического импеданса имеет вид:

Ю(1 + 21 ) ЮЙ Y =—-s— - ctg—,

8Cq

(9)

-0 °0

где е - коэффициент перфорации, равный отношению площади одного отверстия к площади ячейки на лицевой панели, содержащей одно отверстие.

Условием возникновения резонанса является У = 0. Из (9) можно получить приближенное значение:

fo

(10)

2я\ Н(1 + 21,)

Нетрудно видеть, что выражение (10) для резонанса объема между перфорированной панелью и стенкой близко к выражению для резонатора Гельмгольца и описывается на тех же физических принципах.

Как следует из изложенного выше, основная область использования резонансных поглотителей должна сводиться к глушению т.н. тональных сигналов. Однако на практике зрения интересны конструкции, позволяющие бороться с шумом в широком диапазоне частот. Для преодоления данной особенности С.Н. Ржевкин предложил многослойную конструкцию резонансных поглотителей, представляющую собой несколько последовательно соединенных резонансных ячеек с различными геометрическими параметрами.

В качестве еще одного способа улучшить частотные характеристики резонансного поглотителя

можно отметить техническое решение, в рамках которого одно большое отверстие заменяется группой отверстий малого диаметра (т.н. зоны). Варьирование размеров зоны и диаметров отдельных отверстий позволяет расширить частотный диапазон работы резонансного поглотителя.

Еще одним техническим решением является использование резонансного поглотителя со складчатым наполнителем. Чередующиеся «впадины» и «вершины» по определенному закону меняют глубину полостей резонаторов и приводят к расширению частотного диапазона. Возможно также использование материалов с высокими теплопрово-дящими свойствами, например меди.

Интересным техническим решением, позволяющим снизить резонансную частоту без увеличения массогабаритных параметров, является применение в конструкции резонансного поглотителя специального дифракционного экрана - круглой пластинки, закрепленной на некотором расстоянии от отверстия. С физической точки зрения данный экран увеличивает положительную часть реактивной составляющей импеданса Y, связанную с колебаниями воздуха в окрестностях перфорированной панели. Определенные результаты могут быть достигнуты за счет изменения формы горловины, которая влияет на поправку ls при определении резонансной частоты и реактивную часть импеданса, влияющую на рассеяние энергии.

3. Расчеты акустических характеристик волновода с резонансным поглотителем на численных моделях

3. Acoustic calculations of waveguide

with resonant absorber as per numerical models

Рассмотрим модель цилиндрического волновода, на стенке которого расположен резонатор Гельмголь-ца (рис. 8). Для понижения размерности возьмем осесимметричную задачу. Геометрические размеры резонатора выберем такими, чтобы резонансная частота соответствовала 200 Гц. Источник плоской звуковой волны с амплитудой p0 = 1 Па зададим на левом торце волновода (соответствует уровню звукового давления L = 94 дБ).

На рис. 9 показана амплитудно-частотная характеристика звукового давления на правом торце волновода. На резонансной частоте f = 200 Гц получено минимальное значение амплитуды звуковой волны.

Следует отметить, что в модели волновода с резонатором, для которого получена амплитудно-частотная характеристика на рис. 9, не были заданы

с

е

0

Рис. 8. Волновод с резонатором Гельмгольца:

а) расчетная модель в осесимметричной постановке задачи;

б) 3D-модель для анализа результатов расчета

Fig. 8. Waveguide with Helmholz resonator:

a) axially symmetric computational model;

b) 3D-model for calculation data analysis

Резонатор Гельмгольца

дополнительные параметры поглощения типа теплопроводной поверхности или вязких потерь. Эффект по снижению уровней звука был достигнут только за счет дифракционных эффектов рассеяния, т.е. эффект определялся мнимой частью импеданса.

Следующим шагом приближения численной модели к реальной конструкции может стать учет вязких потерь в среде, наличие поверхностного акустического слоя на границе среда/поверхность волновода и резонатора. На рис. 10 показан пример учета потерь акустической энергии в тонком поверхностном слое вблизи резонансной частоты. В аналитических моделях вклад от учета этих эффектов выражался бы в вещественной части импеданса.

Заключение

Conclusion

В работе приведены примеры моделирования короткого звукового импульса в волноводе, а также простейшей конструкции резонансного поглотителя, которые показали хорошее совпадение с известными теоретическими оценками. Выполненные исследования показали, что физические процессы, связанные с распространением волны в волноводе, поддаются моделированию и согласуются с общеизвестными результатами.

Большинство резонансных поглотителей имеет простую конструкцию для численного моделирования, а их работа основана на общеизвестных физических принципах, для которых существуют соответствующие алгоритмы численных методов. Как отмечено выше, количественная оценка характеристики рассеяния и поглощения энергии акустической волны даже в случае с простым резонансным поглотителем аналитическими выражениями описывается приближенно из-за сложности точных решений теории дифракции.

Численные методы практически не имеют ограничений на точность детализации исследуемой конструкции и ее рабочих условий. По большей

L, дБ

100 fres = 200 Гц 1000 Частота, Гц

Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика звукового давления на правом торце волновода Fig. 9. Amplitude-frequency characteristic of acoustic pressure at the right end of the waveguide

Рис. 10. Вязкая и тепловая волны в поверхностном акустическом слое

Fig. 10. Viscous and thermal waves in surface acoustic layer

части ограничения численных методов сводятся к неточности задания исходных параметров конструкции и выбору той или иной физико-математической модели, которые качественно описывают реальные физические механизмы, приводящие к поглощению энергии.

Список использованной литературы

1. Helmholtz H. von. Theorie der Luftschwingungen in Rohren mit offenen Enden // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1860. Bd. 57, No. 1. P. 1-72. DOI: 10.1515/crll. 1860.57.1.

2. Стретт Д.В. (лорд Рэлей). Теория звука. Т. 2. 2-е изд. Москва : Гостехиздат, 1955. 474 с.

3. Попов Ю.Н. Численное моделирование акустических устройств на примере резонатора Гельмгольца // Труды Крыловского государственного научного центра. 2024. Вып. 3(409). С. 117-128.

4. Ingard U. On the theory and design of acoustic resonators // Journal Acoustical Society of America. 1953. Vol. 25, No. 6. Р. 1037-1061. DOI: 10.1121/1.1907235.

5. Alster M. Improved calculation of resonant frequencies of Helmholtz resonators // Journal of Sound and Vibration. 1972. Vol. 24, No. 1. Р. 63-85. DOI: 10.1016/ 0022-460X(72)90123-X.

6. Скучик Е. Основы акустики. Т. 1 / Под ред. Ю.М. Сухаревского. Москва : Изд-во иностр. лит., 1958. 617 с.

7. Crandall I.B. Theory of Vibrating Systems and Sound. New York : D. Van Nostrand, 1926. 292 p.

8. NorrisA.N., ShengI.C. Acoustic radiation from a circular pipe with an infinite flange // Journal of Sound and Vibration. 1989. Vol. 135, No. 1. Р. 85-93. DOI: 10.1016/0022-460X(89)90756-6.

9. Федотов Е.С., Пальчиковский В.В. Исследование работы резонатора Гельмгольца в волноводе прямоугольного сечения // Вестник ПНИПУ. Аэрокосмическая техника. 2014. № 38. С. 107-126.

10. LegushaF., Chizov V., Popov I. Modeling and estimation of acoustic pulse energy dissipation in a waveguide with elastic walls // International Conference on dynamics and vibroacoustics of machines (DVM-2020). [Piscata-way] : IEEE, 2020. P. 1-7. DOI: 10.1109/DVM49764. 2020.9243890.

11. Попов Ю.Н., Легуша Ф. Ф. Поглощение акустической волны в волноводе с импедансными граничными условиями // Труды Крыловского государственного научного центра. 2021. Вып. 2(396). С. 113-121. DOI: 10.24937/2542-2324-2021-2-396-113-121.

References

1. Helmholtz H. von. Theorie der Luftschwingungen in Rohren mit offenen Enden // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1860. Bd. 57, No. 1. P. 1-72. DOI: 10.1515/crll. 1860.57.1.

2. Strutt J.W. (Lord Rayleigh). The Theory of Sound (Russian translation). Vol. 2. 2nd ed. Moscow : Gostekhizdat, 1955. 474 p.

3. Popov Yu.N. Numerical simulation of acoustic device (Helmholz resonator) // Transactions of Krylov State Research Centre. 2024. Vol. 3(409). P. 117-128 (in Russian).

4. Ingard U. On the theory and design of acoustic resonators // Journal Acoustical Society of America. 1953. Vol. 25, No. 6. P. 1037-1061. DOI: 10.1121/1.1907235.

5. Alster M. Improved calculation of resonant frequencies of Helmholtz resonators // Journal of Sound and Vibration. 1972. Vol. 24, No. 1. P. 63-85. DOI: 10.1016/ 0022-460X(72)90123-X.

6. SkudrzykE. The foundations of acoustics (Russian translation). Vol. 1. Moscow : Foreign Languages Publishing House, 1958. 617 p.

7. Crandall I.B. Theory of Vibrating Systems and Sound. New York : D. Van Nostrand, 1926. 292 p.

8. Norris A.N., Sheng I.C. Acoustic radiation from a circular pipe with an infinite flange // Journal of Sound and Vibration. 1989. Vol. 135, No 1. P. 85-93. DOI: 10.1016/0022-460X(89)90756-6.

9. Fedotov Ye.S., Palchikovsky V.V. Helmholtz resonator operation in a box-section waveguide // Aerospace Engineering Bulletin of Perm National Research Polytechnic University. 2014. Vol. 38. P. 107-126 (in Russian).

10. Legusha F., Chizov V., Popov I. Modeling and estimation of acoustic pulse energy dissipation in a waveguide with elastic walls // International Conference on dynamics and vibro-acoustics of machines (DVM-2020). [Piscataway] : IEEE, 2020. P. 1-7. DOI: 10.1109/DVM49764.2020.9243890.

11. Popov Yu.N., LegushaF.F. Absorption of acoustic wave in waveguide with impedance constraints // Transactions of Krylov State Research Centre. 2021. Vol. 2(396). P. 113-121. DOI: 10.24937/2542-2324-2021-2-396-113121 (in Russian).

Сведения об авторе

Попов Юрий Николаевич, к.т.н., доцент ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»; ведущий научный сотрудник ФГУП «Кры-ловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Тел.: +7 (812) 415-47-25. E-mail: [email protected].

About the author

Yury N. Popov, Cand. Sci. (Eng.), Associate Professor, St. Petersburg State Marine Technical University; Lead Researcher, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (812) 415-47-25. E-mail: [email protected].

Поступила / Received: 09.10.24 Принята в печать / Accepted: 14.11.24 © Попов Ю.Н., 2024