CC BY
182
УДК 534.833.534
Е.С. Федотов, В.В. Пальчиковский
Пермский национальный исследовательский политехнический университет,
Пермь, Россия
ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОТЫ РЕЗОНАТОРА ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ВОЛНОВОДЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
Приводится краткий обзор работ по вопросу расчета резонаторов. Рассматриваются методы определения собственной частоты резонатора Гельмгольца, а также представленные различными авторами результаты моделирования работы резонатора. Приводится схема задачи и реализация решения в программном пакете конечно-элементного анализа COMSOL Multiphasics для волновода прямоугольного сечения. Определяется собственная частота резонатора на основе уравнения Гельмгольца в трехмерных прямоугольных координатах. Сопоставляется значение резонансной частоты, полученное при численном моделировании, со значениями, полученными по приближенным формулам. Моделируется распространение монохроматической звуковой волны в канале на основе волнового уравнения с частотой, соответствующей резонансной. Приводится распределение акустической скорости и давления в горле резонатора и вблизи него. Выполняется анализ влияния положения резонатора в канале и геометрии поперечного сечения канала на точность определения резонансной частоты.
Ключевые слова: резонатор Гельмгольца, присоединенная длина, волновое уравнение, COMSOL Multiphasics, акустика, звукопоглощающая конструкция, резонансная частота, метод конечных элементов, борьба с шумом.
E.S. Fedotov, V.V. Palchikovskiy
Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation
A STUDY OF HELMHOLTZ RESONATOR OPERATION IN RECTANGULAR CROSS-SECTION WAVEGUIDE
Review on problems of resonator calculations is given in brief. The methods of Helmholtz resonator frequency determination and simulation results of resonator operation are considered. The problem of Helmholtz resonator operation in rectangular cross-section waveguide and its solution by program of finite element analysis COMSOL Multiphysics are described. The self-resonant frequency is determined on the basis of Helmholtz equation in three-dimensional rectangular coordinates. The value of resonant frequency obtained in numerical simulation is compared with those obtained from approximate formula. The propagation of monochromatic sound wave in the duct at resonant frequency is simulated on the basis of wave equation. The fields of acoustic pressure and velocity in and near resonator neck are showed. The influence of resonator position in a duct and lateral dimensions of the duct on accuracy of resonant frequency determination are analyzed.
Keywords: Helmholtz resonator, additional length, wave equation, COMSOL Multiphysics, acoustics, liner, resonant frequency, finite element method, noise control.
Введение
В последнее время проблемы, связанные с шумом гражданских пассажирских самолетов, приобретают большое значение. Существуют специальные международные организации, которые занимаются нормированием вредных факторов, связанных с применением авиации. Шум пассажирских самолетов ограничен стандартами Международной организации гражданской авиации (ICAO - International Civil Aviation Organization). Удовлетворение требованиям этих стандартов является необходимым условием допуска к эксплуатации пассажирских самолетов. Для вновь проектируемых самолетов требования стандартов непрерывно ужесточаются, что заставляет авиастроительные фирмы проектировать все менее шумные самолеты и силовые установки для них.
Одним из способов снижения уровня шума является применение звукопоглощающих конструкций (ЗПК) резонансного типа. Номенклатура звукопоглощающих конструкций достаточно обширна. В современной практике существует несколько классификаций ЗПК [1]: по количеству слоев (однослойные, двухслойные, трехслойные), по форме ячейки (прямоугольные, трапециевидные, шестигранные и др.) и по типу наполнителя (сотовый, пористый, трубчатый, гофровый и др.). Также ЗПК различаются по способу уменьшения шума. Различают резонансные и нерезонансные (широкополосные, пористые) конструкции.
ЗПК резонансного типа представляет собой совокупность ячеек, объединенных в панель (рис. 1). Каждая отдельная ячейка ЗПК представляет собой резонатор Гельмгольца. Таким образом, изучение процессов, происходящих в резонаторе, и определение значимых факторов, позволяющих более точно настроить резонатор на нужную частоту работы, является одним из важных этапов в проектировании эффективных ЗПК.
Рис. 1. Пример однослойной ЗПК резонансного типа
Краткий обзор исследований определения собственной частоты резонатора Гельмгольца
Резонатор Гельмгольца представляет собой полость относительно большого объема, связанную с внешним пространством через узкое горлышко или отверстие. Характерным свойством такого резонатора является его способность поглощать звуковые волны определенной частоты (так называемая резонансная частота). В практических приложениях важно определить резонансную частоту как можно точнее, поскольку неточность в конструкции резонатора может существенно снизить эффективность его работы.
Изначально Гельмгольц предложил оценивать собственную частоту f0 такого резонатора следующей формулой [2]:
л=С # (1)
где с - скорость звука в среде; й0, V - соответственно диаметр горла и объем резонатора.
При рассмотрении резонатора в виде системы из массы и безмассовой пружины считается, что вся масса сосредоточена в горле, т.е. колебание давления сосредоточено только в объеме горла. Это предположение верно для длинного горла, когда длина горла много больше его диаметра. Проведенные в дальнейшем экспериментальные исследования показали, что собственная частота резонатора Гельмгольца, помимо параметров, указанных в формуле (1), определяется также и инерцией движущегося в горле резонатора воздуха (в колебательное движение вовлекается масса воздуха вблизи горла с обоих концов). Это характерно для случая, когда длина горла меньше диаметра (ячейки ЗПК для авиадвигателей - типичный пример).
Для учета данного явления Рэлей ввел понятие присоединенной
длины горла, при этом формула для / принимает вид [3]
л = (2)
где £0 - площадь поперечного сечения горла резонатора; 1С - эффективная длина горла резонатора, определяемая, помимо действительной
длины горла ¡, присоединенными длинами горла с внутренней ¡1 и внешней ¡е стороны резонатора, ¡С = 1 + I + ¡е. Сумма ¡1 + 1е называется концевой поправкой.
Для оценки присоединенной длины существуют различные выражения. Рэлей показал [3], что для отверстия в бесконечной перегородке присоединенная длина отверстия ¡а с одной стороны перегородки пропорциональна радиусу отверстия а , причем имеет место равенство
п , 8
— а < 1п < — а . 4 а 3п
Соответственно для горла резонатора принимается поправка а = 21а (на две стороны). Однако в более поздних работах [4, 5] было
неоднократно показано, что обычно ^ ^ ¡е, и неучет данного факта
приводит к существенной ошибке в расчетах (до 30 %), особенно при малой длине горла резонатора.
Также можно встретить следующее выражение для оценки эффективной длины горла резонатора [6]:
4 = I + 1,7а, (3)
где а - радиус горла.
Среди современных работ рассмотрим исследования [7, 8]. Авторами получено следующее выражение для присоединенной длины ¡1 цилиндрического резонатора [7]:
¡1 = а (1 - Pg) а, (4)
где а, в - коэффициенты, зависящие от I (табл. 1); g = ^Л0 / Л, £ -площадь сечения объема резонатора.
Таблица 1
Значения коэффициентов а, в
Коэффициенты Длина горла 1, мм
0,5 1 2 5
а 0,804 0,808 0,815 0,820
в 1,37 1,34 1,34 1,34
Для присоединенной длины ¡е было получено выражение [8]
(
I = а
1 - в- Й + в) - Г
(5)
где а = 0,815; - диаметр горла; Ь - ширина прямоугольного канала, в котором установлен резонатор. Коэффициенты в1, в 2, в3 зависят от соотношения размеров прямоугольного канала (табл. 2).
Таблица 2
Значения коэффициентов в1, в 2, р3
а/Ь Р: Р2 Рз
0,5 1,48 0,53 0,16
1,0 0,97 0,32 0,07
2,0 0,60 0,52 0,24
Подставлять значения ¡1 и 1е, вычисленные по формулам (4), (5), следует в формулу для цилиндрического резонатора [9]
/о =
g
2п
1
(
Ь
I +1 +1 + Ь
g
2\
(6)
где Ь - высота полости резонатора.
Более детальное изучение звуковых волн в горле резонатора описано в статье [10]. Авторы исследовали так называемое акустическое течение в горле, которое образуется волнами большой мощности. Было установлено, что описание звуковых волн в линейной постановке (волновое уравнение и линеаризованные уравнения Эйлера) корректно для малых амплитуд, точнее до 120 дБ. При уровне звукового давления выше 120 дБ возникают нелинейные эффекты, которые приводят к большим значениям средней скорости в горле резонатора.
Поиск резонансной частоты выполнялся следующим образом. На входе в волновод задавался акустический сигнал в форме гауссового импульса с амплитудой 1 Па и полушириной 16 см. На основе численного решения уравнений Навье - Стокса определялась амплитуда выходного сигнала. Далее вычислялся коэффициент прохождения
* (I ) =
А2 (I) А (I) '
где А2 (I), А1 (I) - амплитуды выходящего и входящего сигналов соответственно, полученные при их спектральном разложении. На рис. 2 показан график рассчитанного модуля коэффициента прохождения в системе резонатор - волновод. Точка минимума модуля коэффициента прохождения соответствует резонансной частоте (188,5 Гц).
Рис. 2. Модуль коэффициента прохождения в расчетах по уравнениям Эйлера [10]
Помимо вычислительного, в работе [10] проводился физический эксперимент. На рис. 3 изображена зависимость средней скорости в центре горла резонатора от амплитуды возбуждения. Замеры выполнялись лазерным допплеровским измерителем скорости на оси резонатора, в 5 мм над уровнем горла. На графике показаны экспериментальные и расчетные значения, а также максимальные величины средней скорости во всей зоне акустического течения над входом в резонатор. Правый график представляет результаты в увеличенном масштабе.
Данные рис. 3 говорят о том, что наблюдаемый эффект (возникновение акустического ветра - образование вихревых установившихся течений при воздействии звукового поля вблизи препятствий) носит «пороговый» характер: при уровнях возбуждения ниже 120 дБ (линейная акустика) акустического ветра не наблюдается - осредненная скорость на оси резонатора равна нулю. При повышении уровня возбуждения (Ь > 120 дБ) средняя скорость нарастает нелинейно. В физическом эксперименте при уровне возбуждения 126 дБ она достигает величины 0,5 м/с.
и, м/с 2," -1, 1, 1, 1, 1, О, О,
о, о,
У, м/с 0,5 г
0,3
0,4
0,1
0,2
О
■
О 110 115 120 125 130 135
дБ
112 114 116 118 120 122 124 126
¿, дБ
Рис. 3. Средняя скорость в зависимости от уровня возбуждения: • - расчетные данные в фиксированной точке; о - расчетный максимум в зоне акустического течения вдоль оси колбы; • - экспериментальные данные [10]
На рис. 4 (слева) показано осредненное по времени распределение средней вертикальной скорости течения в районе горла резонатора перпендикулярно оси волновода. Акустическая мощность перед горлом составляла 123 дБ. По картине можно увидеть, как происходят колебания объема воздуха через горло. Следует отметить, что образующиеся вдоль стенок горлового отверстия парные тороидальные вихревые структуры наблюдаются только в усредненном смысле, т.е. замкнутые линии тока получаются только при усредненной скорости течения. При этом на мгновенных полях скорости линии тока лишь искривляются при входе в резонатор, по-разному в разные моменты времени, так что при осреднении по времени компонент скорости получаются «средние» вихри.
Рис. 4. Визуализация распределения средней вертикальной скорости в сечении, перпендикулярном к оси волновода (слева), и вихревых структур в районе горла (справа) [10]
Также эксперименты [10] показали, что в центре горловины наблюдается устойчивый поток, направленный наружу, а вблизи краев - среднее течение, направленное внутрь резонатора.
Расчет резонансной частоты в СОМ8ОЬ МиШрИузкв
Для поиска резонансной частоты использовалось уравнение Гельмгольца, которое в СОМБОЬ задается в виде
(
V-
1
ю р
—(V - да)- 2 . Р ) Рс
= &
(7)
где р - плотность невозмущенной среды; р - давление; ю - круговая частота; с - скорость звука; &т, - монопольный и дипольный источники соответственно (в нашем случае равны нулю).
Ниже приведена геометрия расчетной области (рис. 5) с разбиением нерегулярной тетраэдральной сетки (рис. 6). Максимальный размер элемента 0,05 м, минимальный размер 0,0012 м. У горла резонатора сетка более густая, чем в волноводе, число элементов 201 943. Уровень звукового давления на входе в канал задавался равным 100 дБ.
Рис. 5. Геометрия расчетной области (размеры указаны в мм)
Давление на входе в канал генерировалось в интервале частот от 100 до 300 Гц, при этом интервал должен включать предполагаемую резонансную частоту. Для уменьшения времени расчета поиск резонансной частоты осуществляется в два этапа. На первом этапе был выбран шаг по частоте 20 Гц. Полученный результат представлен на рис. 7.
Видно, что резонансная частота находится в интервале от 140 до 180 Гц. На втором этапе данный интервал был просчитан с шагом 1 Гц. Результаты расчетов представлены на рис. 8.
б
Рис. 6. Конечно-элементное разбиение расчетной области: а - общий вид; б - резонатор
Рис. 7. Зависимость уровня звукового давления на выходе из канала от частоты (шаг по частоте 20 Гц)
86
6 84
а 82
I 80
о, 78 та
§ 76 а, 74 72 70 68 66 64
\ / / / /
\ / \ / \ ! \
1
140
165
freq
Рис. 8. Зависимость уровня звукового давления на выходе из канала от частоты (шаг по частоте 1 Гц)
Если оценить резонансную частоту по формуле (2), а эффективную длину по формуле (3), то для рассматриваемой задачи получим
с р0 _ 343 = 2л V1СУ ~ 2п \
7,0686 -10
—4
3,55-10-2 -2,3091-10—3
= 160,31 Гц.
Данный результат несколько отличается от полученного при численном моделировании (169 Гц). Это можно объяснить тем, что формула (3) приближенно оценивает концевую поправку.
Выполним оценку по формулам (4)-(6). Нужные для оценки размеры канала и резонатора указаны на рис. 5, а соответствующие им коэффициенты - в табл. 1, 2. Коэффициент а примем равным 0,821, как среднее между предельным значением 0,822 [11] и коэффициентом для длины горла 5 мм (в нашей задаче длина горла 10 мм, но точное значение для такой длины неизвестно). В результате получим
1г = а (1 — ) а = 8,779-10-3, м;
(
= а
1 — Р, (А> в2 - Ь ^
3
У
= 1,053 -10-2, м;
2
/0 =
£
2п
(
Ь
л\
= 169,893, Гц.
I +1 +1„ + Ь
£
Таким образом, формулы (4)-(6) гораздо точнее определяют резонансную частоту, чем формулы (1), (2). Однако этот результат справедлив лишь для случая цилиндрического резонатора. При других формах полости резонатора или канала точность оценки резонансной частоты по формулам (4)-(6) может существенно снизиться.
б
Рис. 9. Распределение уровня звукового давления, дБ: а - канал и резонатор; б - горло и полость резонатора
а
На рис. 9 приведены графики уровня звукового давления, полученные при решении уравнения (7) методом конечных элементов. Как и ожидалось, после резонатора отмечается значительное падение звукового давления, которое на резонансной частоте будет максимальным.
Далее моделировалось распространение звуковой волны с частотой 169 Гц на основе волнового уравнения, которое в СОМБОЬ задается в виде
А%1 № -)!=а,
рс Ы \ р )
Временной интервал принимался от 0 до 0,1 с с шагом 10-4. В результате воздействия возбуждающей волны на резонатор в горле со временем (примерно начиная с 0,086 с) устанавливается колебательное движение постоянной амплитуды (рис. 10).
Рис. 10. Зависимость давления (Па) от времени в центре горла резонатора
Т™_!.М1 1П! ,
г з
Рис. 11. Последовательность распределения колебательной скорости в окрестности горла резонатора в различные моменты времени
На рис. 11, а-з представлены графики распределения вектора колебательной скорости в окрестности горла резонатора в различные моменты времени на установившемся режиме колебаний. Движение в районе кромки горла является безвихревым, поскольку модель на основе волнового уравнения предполагает отсутствие вихрей. Для учета явления вихреобразования необходимо использовать уравнения Эйлера или Навье - Стокса. Тем не менее отчетливо видно, что максимум скорости находится именно в районе кромки горла и достигает значения 0,02 м/с. Также моделирование на основе волнового уравнения позволяет увидеть, как звуковая волна, дойдя до окрестности резонатора, взаимодействует с излучением самого резонатора и часть первоначальной волны отражается обратно, а часть проходит дальше по каналу (рис. 12).
На рис. 13 представлены графики распределения давления с линиями равного давления. Так же как и для колебательной скорости, графики изменения давления построены для установившегося режима.
Рис. 12. Отражение волны
Рис. 13. Последовательность распределения давления в окрестности горла резонатора в различные моменты времени
Также было рассмотрено влияние положения резонатора в поперечном направлении канала на резонансную частоту резонатора. Расчеты выполнялись для разных размеров канала, поскольку размер канала влияет на резонансную частоту [8]. На рис. 14 показаны исследуемые геометрические характеристики. Результаты расчетов резонансной частоты в пакете СОМБОЬ в зависимости от конфигурации канала и положения резонатора в нем представлены в табл. 3-5.
Рис. 14. Поперечное сечение канала с резонатором
Значения резонансных частот при Ь = 200 мм, 4 = 30 мм (ё^/Ь = 0,15)
Таблица 3
Уь , мм а/Ь
0,5 1 2
25 167 165 163
50 170 168 166
75 171 169 166
100 171 169 167
Таблица 4
Значения резонансных частот при Ь = 400 мм, 4 = 30 мм (^/Ь = 0,075)
Уь , мм а/Ь
0,5 1 2
50 166 165 163
100 167 166 165
150 168 167 165
200 168 167 165
Таблица 5
Значения резонансных частот при Ь = 600 мм,
ё0 = 30 мм (^/Ь = 0,05)
Уь , мм а/Ь
0,5 1 1.5
75 165 165 164
150 166 166 165
225 167 166 165
300 167 166 165
Из данных табл. 3 видно, что при изменении координаты уъ значение резонансной частоты изменяется на 4 Гц. Также возрастает влияние отношения размеров а/Ь на результат. При уменьшении значения ^0/Ь влияние координаты у6 и отношения а]Ь становится менее значительным (см. табл. 4) и резонансная частота практически не меняется (см. табл. 5). Факт изменения резонансной частоты при смещении резонатора к стенке канала можно объяснить изменением присоединенной массы в горле резонатора. Общее расхождение между крайними значениями собственной частоты составляет ~5 %. При других формах и размерах резонатора и канала, а также уровнях и частоте возбуждаемого на входе в канал акустического давления это расхождение может быть существенно больше.
Заключение
Проведенное исследование показало, что на сегодняшний день нет точной формулы определения резонансной частоты резонатора Гельмгольца, тем более подходящей для резонаторов с разной конфигурацией и разными условиями работы (уровень звукового давления, частота, поток). До сих пор остается открытым вопрос о точном определении присоединенной длины горла с внутренней и внешней стороны резонатора, что весьма важно, поскольку при вычислении собственной частоты резонатора даже небольшие погрешности в оценке присоединенной длины горла могут в результате привести к заметным ошибкам.
Для моделирования работы резонатора наиболее близко соответствующей наблюдаемой в эксперименте (образование вихревых течений в горле, полости резонатора, и вблизи горла резонатора), расчеты
необходимо вести на основе уравнений Навье - Стокса. Таким образом, численное моделирование работы резонатора пока остается наиболее точным способом (среди расчетных) определения резонансной частоты, хотя каждый раз необходимо решать довольно ресурсоемкую задачу с большими затратами вычислительного времени. Проведение численного моделирования работы резонаторов в составе полномасштабной ЗПК, например для воздухозаборника авиационного двигателя (имеющего тысячи резонаторов), на основе математической модели, позволяющей наиболее полно учесть перечисленные выше факторы, и вовсе является практически «неподъемной» задачей с точки зрения современных вычислительных систем.
При проектировании ЗПК также необходимо принимать во внимание тот факт, что конфигурация канала и положение в нем резонатора влияет на его собственную частоту. Испытания панелей ЗПК проводятся при одних условиях (канал с узким поперечным сечением, часто прямоугольной формы), а на авиационном двигателе канал имеет другие размеры и форму. Таким образом, расчетные и реальные характеристики ЗПК могут быть несколько отличными.
Исследование выполнено в рамках работ по гранту Правительства Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования, научных учреждениях государственных академий наук и государственных научных центрах Российской Федерации.
Список литературы
1. Синер А.А. Методика выбора звукопоглощающих конструкций для турбомашин на основе математического моделирования: дис. ... канд. техн. наук / Перм. гос. ун-т. - Пермь, 2010. - 167 с.
2. Helmholtz H. von. Theorie der Luftschwingungen in Rohren mit offenen Enden // Crelle, J.1. Math. - 1860. - 51 p.
3. Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей). Теория звука. - М.: Гос. изд-во технико-теор. лит-ры, 1955. - Т. 2. - 476 с.
4. Ingard U. On the theory and design of acoustic resonators // Journal Acoustical Society of America. - 1953. - Vol. 25, № 6. - Р. 1037-1061.
5. Alster M. Improved calculation of resonant frequencies of Helm-holtz resonators // Journal of Sound and Vibration. - 1972. - Vol. 24, № 1. -Р. 63-85.
6. Wikibooks - Engineering Acoustics / Noise control with self-tuning Helmholtz resonators, available at: http://en.wikibooks.org/wiki/Engineering_ Acoustics/Noise_control_with_self-tuning_Helmholtz_resonators (дата обращения: 10.06.2014).
7. Комкин А.И., Миронов М.А., Юдин С.И. О присоединенной длине отверстий // Акустический журнал. - 2012. - Т. 58, № 6. - С. 677682.
8. Комкин А.И., Миронов М.А., Юдин С.И. Собственная частота резонатора Гельмгольца на стенке прямоугольного канала // Акустический журнал. - 2014. - Т. 60, № 2. - С. 145-151.
9. Panton R.I., Miller J.M. Resonant frequencies of cylindrical Helmholtz resonators // Journal Acoustical Society of America. - 2000. - Vol. 107, № 5. - Р. 2360-2369.
10. Исследование акустического течения в горле резонатора / А.П. Дубень, Т.К. Козубская, С.И. Королев [и др.] // Акустический журнал. - 2012. - Т. 58, № 1. - С. 80-92.
11. Norris A.N., Sheng I.C. Acoustic radiation from a circular pipe with an infinite flange // Journal of Sound and Vibration. - 1989. - Vol. 135, № 1. - Р. 85-93.
References
1. Siner A.A. Metodika vybora zvukopogloshchayushchikh kon-struktsiy dlya turbomashin na osnove matematicheskogo modelirovaniya [Technique of liner selection for turbomachines on the basis of mathematical modeling]. Abstract of the thesis of the candidate of technical sciences. Permskiy gosudarstvennyy universitet, 2010. 167 р.
2. Helmholtz H. von. Theorie der Luftschwingungen in Rohren mit offenen Enden. Crelle, J.1. Math., 1860. 51 p.
3. Lord Rayleigh. Teoriya zvuka [Theory of sound]. Moscow: Gosu-darstvennoe izdatelstvo tekhniko-teoreticheskoy literatury, 1955. Vol. 2. 476 p.
4. Ingard U. On the theory and design of acoustic resonators. Journal Acoustical Society of America, 1953, vol. 25(6), pp. 1037-1061.
5. Alster M. Improved calculation of resonant frequencies of Helmholtz resonators. Journal of Sound and Vibration, 1972, vol. 24, no. 1, pp. 63-85.
6. Wikibooks - Engineering Acoustics / Noise control with self-tuning Helmholtz resonators, available at: http://en.wikibooks.org/wiki/Engineering_ Acoustics/Noise_control_with_self-tuning_Helmholtz_resonators (accessed 10 June 2014).
7. Komkin A.I., Mironov M.A., Yudin S.I. On the attached length of orifices. Acoustical Physics, 2012, vol. 58, no. 6, pp. 628-632.
8. Komkin A.I., Mironov M.A., Yudin S.I. Eigenfrequency of a Helmholtz resonator at the wall of a rectangular duct. Acoustical Physics, 2014, vol. 60, no. 2, pp. 142-147.
9. Panton R.I., Miller J.M. Resonant frequencies of cylindrical Helmholtz resonator. Journal Acoustical Society of America, 1975, vol. 57, no. 6, pp.1533-1535.
10. Duben A.P., Kozubskaya T.K., Korolev S.I. [et al.]. Acoustic flow in the resonator throat: Experiment and computational modeling. Acoustical Physics, 2012, vol. 58, no. 1, pp. 69-80.
11. Norris A.N., Sheng I.C. Acoustic radiation from a circular pipe with an infinite flange. Journal of Sound and Vibration, 1989, vol. 135, no. 1, pp. 85-93.
Об авторах
Федотов Евгений Сергеевич (Пермь, Россия) - техник лаборатории механизмов генерации шума и модального анализа ФГБОУ ВПО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: [email protected]).
Пальчиковский Вадим Вадимович (Пермь, Россия) - старший преподаватель кафедры «Ракетно-космическая техника и энергетические системы» ФГБОУ ВПО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: [email protected]).
About the authors
Evgeniy S. Fedotov (Perm, Russian Federation) - Technical Fellow, Laboratory of Noise Generation Mechanisms and Modal Analysis, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: [email protected]).
Vadim V. Palchikovskiy (Perm, Russian Federation) - Associate Professor, Department of Rocket and Space Engineering and Power Generating Systems, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: [email protected]).
