Применение алгоритма Доммеля для моделирования цепи с полупроводниковыми элементами и ключами с ШИМ управлением Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.3.011.72.018.782.3:001.891.573 ББК 3211-1

АЛ. СЛАВУТСКИЙ

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМА ДОММЕЛЯ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЦЕПИ С ПОЛУПРОВОДНИКОВЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ И КЛЮЧАМИ С ШИМ УПРАВЛЕНИЕМ

Ключевые слова: электрические цепи, переходные процессы, нелинейные элементы, управляемые ключи.

Предложена методика численного расчета переходных процессов в электрических цепях с нелинейными элементами и управляемыми ключами. Методика не накладывает ограничений на форму сигналов, применение управляемых элементов в схеме и способы управления ими. Продемонстрированы результаты применения методики на примере расчета режимов преобразователя частоты с ШИМ управлением.

А. SLAVUTSKIY APPLICATION OF DOMMEL ALGORITHM FOR SIMULATION OF SEMICONDUCTOR CIRCUITS WITH PWM CONTROL SWITCHES

Key words: electrical circuits, transients, nonlinear elements, controlled switches.

In article we propose of numerical calculation of transients in electrical circuits with nonlinear elements and the control switches. A method does not limit the type of signals, the use of controlled elements and methods of control. Demonstrated the results of applying the methodology on the example of the simulation of the frequency converter with PWM control.

В электротехнике часто встает задача расчета режимов работы схем с нелинейными элементами. Оценка установившихся режимов в таких схемах в большинстве случаев не составляет особой сложности. В то же время возникает необходимость расчета и оценки переходных процессов в электрических цепях различной размерности [7]. Если для линейных схем существует достаточно численных и аналитических методов расчета, то схемы с нелинейными элементами представляют гораздо большую сложность.

Для машинного расчета переходных процессов в цепях с нелинейными элементами удобно использовать численные алгоритмы, например алгоритм Доммеля [6, 8], позволяющий сводить расчет переходного процесса в электрических цепях с различными элементами к расчету чисто резистивных цепей постоянного тока [2, 6]. Преимущества метода: не накладывает ограничений на линейность элементов; не накладывает ограничений на форму сигналов источников; не накладывает ограничений на применение управляемых элементов и способы управления ими; прост в реализации.

Методика. Методика разделяется на несколько основных этапов:

1. Аппроксимация дифференциальных уравнений отдельных элементов цепи разностными уравнениями, с которыми сопоставляют чисто резистивные схемы.

2. Формирование на каждом шаге расчета систем алгебраических уравнений, соответствующих резистивным схемам замещения цепей.

3. Решение систем алгебраических уравнений, получаемых на шаге 2. Проведем разностную аппроксимацию уравнений накопительных элементов:

due Т diL

ie = С--, uL = L---------,

dt dt

где С - емкость, Ф; L - индуктивность, Гн; iL и ie - ток индуктивности и ток емкости; ue и uL - напряжение на емкости и напряжение на индуктивности. Согласно методу трапеций [5]:

uLn+1 + uLn iLn+1 i Ln

ien+1 + ien

2L

2L

h

uen+1 -uen

L uLn+1 7 iLn +1 7 iLn uLn ;

hh

e = h . h .

e ^ uen+1 = ielen+1 + ielen +uen

(1)

(2)

2 Ъ

где иЬп+1 - напряжение на индуктивности в момент времени ґ = іп¥1; іЬп+1 и іЬп -ток в индуктивности в моменты времени ґ = ґп+\ и ґ = ґп, соответственно; і'сп+1 -ток в емкости в момент времени ґ = ґп+1; иСп+1 и иСп - напряжение на емкости в моменты времени ґ = ґп+1 и ґ = ґп, соответственно; Ъ - шаг дискретизации.

Полученные выражения определяют двухполюсники, состоящие из со-2Ь „ Ъ „ Ъ . ^ 2Ь

противления

КЬ , КС -Т7Г и ЭДС ЕС - иСп + Т7ГС , ЕЬ 1п + иЬп,

п 2С 2С п

соединенных последовательно (рис. 1). Используя формулы (1) и (2) на п + 1 шаге расчета для нахождения параметров схем, представленных на рис. 1, получим схемы замещения накопительных элементов на данном шаге расчета. Затем составим схему той же топологической структуры, что и исходная, из полученных схем замещения соответствующих элементов. Рассчитаем эту схему любым методом, например контурных токов или узловых потенциалов [4].

Применим приемы макромоделирования для эквивалентирования ветви с взаимной индуктивностью (рис. 2).

а б

Рис 1. Переход от накопительного элемента к его резистивной схеме замещения для расчета переходного процесса: а - для индуктивности; б - для емкости

Рис. 2. Ветвь, имеющая взаимную индуктивность с соседней: а - схема ветви; б - эквивалентная резистивная схема для расчета переходного процесса

При аппроксимации методом трапеций уравнения (3), описывающего ветвь с взаимной индуктивностью, получим уравнение (4):

г) j diRLl , Л/Г diL 2

- uRL =-e + iRLlR + L1--------:---------+ M12'

dt

dt

(З)

а

(2L Л 2MU .

uRL(n+1) — uRL(n) + en+1 + en + lRL1(n) I ~-R I +-h-lL2(n) -

(2L RЛ 2Mj2 . (4)

- iRL1(n+1) \~h + R I-------h ^ 2( n+1) ,

где Mi2 - коэффициент взаимной индукции, Гн.

Резистивная схема, соответствующая выражению (6), приведена на рис 2, а. В этой схеме:

E - (2L R Л 2M12 , 2L

ERL - uRL(n) + en+1 + en + .RL1(n) I —-R 1+---;---lL2(n) , RrL — " + R .

V h J h h

Легко заметить, что при наличии индуктивной связи выражение для ERL

б й 2M12 , й

включает в себя дополнительный член --------------iL2(n) , позволяющий учесть

h

влияние ЭДС, наведенной от ветви, индуктивно связанной с данной. Кроме

тт/"1 2^^ 12

того, схема содержит дополнительную ЭДС EL2 —--------------zL2(n+1), с помощью

h

которой в схеме учитывается взаимное влияние ветвей друг на друга на текущем шаге расчета.

Таким образом, алгоритм для машинного расчета переходных процессов в линейных электрических цепях описан. Для расчета переходных процессов в нелинейных цепях с использованием алгоритма Доммеля предлагается использовать следующий подход: на каждом шаге расчета схемы по времени рассчитывается первое приближение параметров резистивной схемы и токов с напряжениями в данной схеме без учета нелинейности элементов. Затем при помощи численных методов решения систем нелинейных уравнений находятся уточненные значения параметров схемы и токов с напряжениями в ней с учетом нелинейных вольт-амперных характеристик (ВАХ) элементов.

В данной работе в качестве численного метода решения системы нелинейных уравнений используется алгоритм Ньютона - Рафсона [5, 3]. Суть метода в том, что на каждом шаге уточнения значения корня xk+1 нелинейного уравнения ^(x) = 0 разлагают в ряд Тейлора, в котором ограничиваются линейными членами и получают

F(хк+1) « F(xk) + F'(xk )hk , (5)

где hk = xk+1 - xk - приращение переменной. Если принять уточненное значение корня близким к истинному, при котором (5) обращается в ноль, то приближенное значение искомого приращения корня

hk — - F (xk)/ F'(xk),

тогда

xk+1 — xk - hk — xk - F(xk)/ F'(xk).

Следует отметить особенность подхода к расчету схем с несколькими нелинейными элементами, примененного в данной работе. Если в схеме присутствует несколько нелинейных элементов, то при формировании уравнений цепи, например по методу узловых напряжений, получается система нелинейных уравнений. Размерность этой системы растет с увеличением количества нелинейных элементов, а следовательно, растет и сложность составле-

ния уравнений. В данной работе применен подход, дающий те же результаты, что и вышеописанный, но исключающий составление сложных систем нелинейных уравнений [3].

Суть похода состоит в том, что алгоритм Ньютона - Рафсона применяется не к составленным уравнениям цепи, а непосредственно к уравнению или характеристике каждого элемента. Для ВАХ элемента, выраженной в аналитическом виде і = /и), алгоритм Ньютона - Рафсона дает для тока ік+1 = /(ик+1) на (к+1)-м шаге выражения:

ік+1 = /(ик ) + /'(ик )(ик+1 _ ик ) = ік ~ ёкик + ёкик+1 = і0к + ёкик+1 , (6) где ик - значение напряжения на к-м шаге приближения, в окрестности которого

произведено разложение в ряд Тейлора; gk = /(ик) - эквивалентная проводимость на к-м шаге приближения, равная значению производной, і0к = ік - gkuk вычисляется по значениям тока и напряжения на предыдущем шаге приближения.

При задании характеристики элементов в виде ик+1 = /(ік+1) выражение (6) преобразуется к виду

ик+1 = А(ік ) + А' (ік )(ік+1 _ ік ) = ик ~ гкік + гкік+1 = и0к + г кік+1 , (7) где ік - значение тока на к-м шаге приближения, в окрестности которого про-

изведено разложение в ряд Тейлора; гк = / (ік) - эквивалентное сопротивление на к-м шаге приближения, равное значению производной, и0к = ик - гкік вычисляется по значениям тока и напряжения на предыдущем шаге приближения.

Выражению (7) на (к+1)-м шаге можно поставить в соответствие схему, состоящую из источника ЭДС с напряжением и0к = ик - гкік и активного сопротивления гк = /'(ік), соединенных последовательно (рис. 3). Параметры элементов этой схемы определяются на каждом шаге уточнения исходя из величины напряжения и тока на предыдущем шаге и ВАХ элемента [3]. Таким образом, для каждого нелинейного элемента схемы можно составить дискретную линеаризованную схему на каждом шаге итерации для данного момента времени.

Данная методика хорошо сочетается с алгоритмом Доммеля, поскольку на каждом шаге расчета переходного процесса по времени, в соответствии с указанным алгоритмом, элемент рассчитываемой схемы заменяется чисто резистивной схемой замещения, состоящей из сопротивления и ЭДС. Подставляя в расчет по алгоритму Доммеля линеаризованную схемную модель алгоритма Ньютона - Рафсона для каждого нелинейного элемента, получим методику численного расчета переходных процессов в схемах с нелинейными элементами.

В итоге методика состоит из следующих основных этапов:

1) переходные процессы в линейной схеме рассчитываются по времени с определенным шагом путем сведения расчетов к чисто резистивным схемам в соответствии с алгоритмом Доммеля;

2) для нелинейных элементов с заданной ВАХ составляется линеаризованная схема замещения в виде схемной модели алгоритма Ньютона - Раф-сона. Параметры этой схемы уточняются итерационно для каждого момента времени при расчете по алгоритму Доммеля.

Рис. 3. Схема замещения нелинейного элемента на к-м шаге приближения

Производную функции, аппроксимирующей ВАХ элемента, можно най-

г. , , Af (Хк )

ти численно: f (Хк ) = —----- в окрестности точки Хк.

Ьхк

Результаты моделирования. Для демонстрации работы вышеописанной методики проведем моделирование работы двухфазного преобразователя частоты, состоящего из мостового выпрямителя мостового инвертора с ШИМ управлением [1]. Блок-схема преобразователя приведена на рис. 4, а. Исследуемая схема приведена на рис. 4, б. Моделируемая схема имеет следующие параметры: Е1 = 220 8Іп(2тс-500, Я1 = 1 Ом, Я2 = 40 Ом, Ь2 = 0,07 Гн, С7 = 700 мкФ, С16 = 70 мкФ, Ь17 = 0,1 Гн, Я17 = 2 Ом. Транзисторы инвертора эмитируются ключами, управляемыми сигналами ШИМ. Диоды в схеме представлены как нелинейные элементы. Их ВАХ задана таблично. Из описания модели следует, что рассчитывается схема с 8 нелинейными элементами. Частота ШИМ составляет 1200 Гц. Частота модулирующего сигнала ШИМ равна 60 Гц.

а

Рис. 4. Блок-схема (а) и электрическая схема (б) моделируемого преобразователя частоты

Для демонстрации работы методики были промоделированы несколько режимов работы рассматриваемой схемы при различных параметрах нагрузки.

В исследуемой схеме нагрузка представлена индуктивностью L2 и сопротивлением R2. Соотношение сопротивления и индуктивности принято таким, что cos ф нагрузки равен 0,8. Параметры фильтра L18, R18, C19 рассчитаны исходя из этой нагрузки. Фильтр рассчитывался при частоте среза 60 Гц.

Графики значений токов и напряжений, полученных при моделировании работы схемы с указанными параметрами, приведены на рис. 5. Значения токов и напряжений взяты в характерных узлах и ветвях схемы. Графики построены для установившегося режима работы схемы после ее включения. Следует отметить, что при моделировании вычисляются значения токов и напряжений для всех элементов схемы в каждый момент времени для заданного шага моделирования.

500

Рис. 5. Графики токов и напряжений в некоторых ветвях и узлах схемы при номинальном режиме работы

0 11

Графики хорошо иллюстрируют работу диодов (как нелинейных элементов) и выпрямителя с инвертором (как сложных устройств с нелинейными характеристиками). Из графиков на рис. 5 хорошо видно влияние выпрямителя на питающую его сеть. Если напряжение Ш в ветви источника имеет небольшие искажения при максимумах синусоиды в моменты коммутации диодов выпрямителя, то ток источника II имеет явно несинусоидальную форму. Если взять спектр сигнала тока II, полученный при разложении в ряд Фурье (рис. 6), то отчетливо видно, что величина нечетных гармоник сопоставима с величиной сигнала промышленной частоты.

Частота, Гц

Рис. 6. Спектр тока источника

Графики напряжения и2 и 12 на рис. 5 показывают напряжение и ток нагрузки. Как видно из графиков, сигналы практически синусоидальны, что говорит о правильно подобранных параметрах выходного фильтра инвертора. Для примера произведен расчет схемы рис. 4, б с другими параметрами фильтра: С16 = 20 мкФ, Ь17 = 0,1 Гн. Ток и напряжение нагрузки при таких параметрах схемы показаны на рис. 7, спектры напряжения и тока показаны на рис. 8. На графиках сигналов, а также на графике спектра хорошо видно наличие третьей гармоники 180 Гц при основной частоте работы нагрузки, равной 60 Гц. Кроме того, в спектре можно обнаружить наличие в сигнале более высоких нечетных гармоник, но их амплитуда в нагрузке мала в связи с наличием фильтра. Наличие данных гармоник связано с ТТТИМ модуляцией работы инвертора.

Как отмечено выше, методика не накладывает ограничений на форму сигналов и частоту управляющих импульсов для управляемых элементов схемы (в данном случае - управляемые ключи), которая ограничена только выбранным шагом дискретизации. Это дает возможность рассмотреть работу инвертора при разных частотах ШИМ.

Рассмотрим спектр тока и напряжения на нагрузке при частоте ШИМ 6000 Гц. На рис. 9 показаны графики спектров токов и напряжений на нагрузке при выходном фильтре инвертора с частотой среза 100 Гц (а) и при отсутствии выходного фильтра (б) при указанной частоте ШИМ.

На графиках хорошо виден эффект от применения фильтра нижних частот. Кроме того, можно отметить наличие в спектре значительного пика левее первой гармоники. Этот пик соответствует частоте 10 Гц, которая появляется в выходном сигнале как разностная от частоты сети (50 Гц) и модулирующей частоты ШИМ (60 Гц). Исследования проводились для частот ШИМ 0,6; 1,2 и 6 кГц. Для всех частот получены аналогичные результаты.

), с

Рис. 7. Графики сигнала тока и напряжения на нагрузке инвертора при неправильно подобранном выходном фильтре

100

80

БО

40

I

20

I I I

Т'

1-Г-—!—

г—I—•

| I

ini-i—!-1 *'

—х.. i- I

i

■ U2 ■12

. '_______________________

Г 1 1

' I

I I

----------------------------,-----------------------------

I I

0 100 200 300 400 500 600 700 BOO 900 1000

Частота, Гц

Рис. 8. Спектр тока и напряжения на нагрузке инвертора при неправильно подобранном выходном фильтре

400

а б

Рис. 9. Спектр тока и напряжения при частоте ШИМ 6 кГц: а - при наличии фильтра, б - при отсутствии фильтра

Выводы. Алгоритм Доммеля хорошо подходит для расчета цепей с полупроводниковыми элементами и управляемыми ключами. Поскольку данный алгоритм позволяет варьировать любые параметры схемы и управляющих воздействий для моделирования необходимых для исследований режимов, это дает возможность строить достаточно гибкие модели различных электрических

комплексов и систем. Результаты моделирования получаются в виде массивов выборок с выбранным временным шагом, что делает удобным их импортирование в цифровые форматы осциллограмм или применение к ним методов цифровой обработки сигналов. Данная методика моделирования электрических цепей позволяет рассмотреть не только процессы, происходящие в сложном электротехническом устройстве, но и оценить его влияние на питающую сеть.

Литература

1. Белов Г.А., Иванов А.Г., Сергеев А.Г. Системы управления полупроводниковыми преобразователями. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2010. 448 с.

2. Бутырин П.А., Демирчан К.С. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. М.: Высш. шк., 1988. 335 с.

3. Данилов Л.В., Матханов П.Н., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 256 с.

4. Демирчян К.С., Коровкин Н.В., Нейман Л.Р., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники: в 3 т. СПб.: Питер, 2003. Т. 1. 443 с.

5. Плотников П.В., Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Физматлит, 2003 304 с.

6. Славутский А.Л. Оценка динамических характеристик измерительных органов при переходных процессах в энергосистеме // Вестник Чувашского университета. 2012. № 3.

7. Щедрин В.А. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2007. 422 с.

8. Dommel H. W. Digital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single- and Multiphase Networks // IEEE transactions on power apparatus and systems. 1969. Vol. PAS-88, № 4. Р. 388-399.

СЛАВУТСКИИ АЛЕКСАНДР ЛЕОНИДОВИЧ - магистр техники и технологии, аспирант кафедры электроснабжения промышленных предприятий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (slavutskii@gmail.com).

SLAVUTSKIY ALEXANDR - master of engineering and technology, post-graduate student of Chair of the Electrical Power Supply of Industry Enterprises, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.