Моделирование переходных режимов узла нагрузки с асинхронным двигателем в фазных координатах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Славутский А.Л. Slavutski A.L.

аспирант кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий» ФГБОУ ВО «Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова», Россия, г. Чебоксары

УДК 621.311.001.57

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ УЗЛА НАГРУЗКИ С АСИНХРОННЫМ ДВИГАТЕЛЕМ В ФАЗНЫХ КООРДИНАТАХ

Статья посвящена моделированию переходных процессов в узлах нагрузки энергосистемы. Акцент сделан на узлы нагрузки, содержащие мощные асинхронные двигатели. Представлена методика расчета переходных процессов в электрических цепях через синтетические схемы постоянного тока (алгоритм Г. Доммеля). Рассмотрена динамическая модель асинхронного двигателя в фазных координатах. Модель двигателя позволяет отслеживать изменение угловой скорости и электромагнитного момента на валу ротора, а также - варьировать механический момент сопротивления. Применение модели позволяет детально рассмотреть процессы, связанные с изменением скорости вращения электродвигателя при изменении параметров сети или механической нагрузки на валу ротора. Примененный подход дает возможность рассматривать взаимное влияние двигателя и сети в базисе фазных координат и работать с мгновенными значениями токов и напряжений. Это позволяет оценить искажение формы сигналов и изменение частоты сети при сложных переходных процессах, например, во время выбега двигателя с рекуперацией энергии в сеть. Использование методики показано на примере моделирования режимов узла нагрузки 10 кВ, содержащего асинхронный двигатель, статическую нагрузку, устройство компенсации реактивной мощности в виде батареи конденсаторов. Рассматриваемый подход обладает рядом важных достоинств: применение алгоритма Г. Доммеля дает возможность учитывать различные виды нелинейностей элементов системы и не накладывает ограничений на форму и гармонический состав сигналов в модели. Кроме того, алгоритм позволяет менять параметры и конфигурацию схемы на временном диапазоне моделирования, что увеличивает спектр рассматриваемых режимов. При рассмотрении узла нагрузки в базисе фазных координат легко моделируются различные виды несимметрии и сложных повреждений. Модель асинхронного двигателя обладает высокой гибкостью и дает хорошие результаты при моделировании динамических режимов.

Ключевые слова: узел нагрузки, переходные процессы, асинхронный двигатель, фазные координаты, динамическая модель, пуск, выбег, мгновенные значения.

MODELING TRANSIENTS IN THE LOAD NODES CONTAINING THE INDUCTION MOTORS IN PHASE COORDINATES

The article concentrates on the modeling of transients in the power system load nodes. Under consideration the load nodes contains the powerful induction motors. Methodology for calculation transients in electrical circuits using the direct current synthetic schemes (Dommel algorithm) is recommended. We consider the dynamic model or the induction motor in phase coordinates. The model enables to study the angular velocity and electromagnetic torque of motor and variation of the mechanical torque. The application of the model enables the detailed studying of processes associated with change of motor velocity when changing network parameters or mechanical torque on rotor shaft. The approach makes it possible to consider the mutual influence of the motor and the network in the basis of the phase coordinates and to work with instantaneous values of currents and voltages. This allows us to estimate the distortion of the signals form and frequency in complex network transients, for example, during the run-down of the motor with regenerative power supply. Using the techniques illustrated by simulation mode of the

load node containing 10 kV induction motor, static load, reactive power compensation in the form of a capacitor bank. The considered approach has several important advantages: the using of the Dommel algorithm allows to considerate different types of non-linear elements of the system and does not impose restrictions on the forms and harmonic composition of the signals in the model. Moreover, the algorithm allows to change the parameters and configuration of the circuit in the time range of modeling, which increases the number of the modes. The considering of the load centers in the basis of the phase coordinates, the different types of asymmetry and complex faults can be easily modeled. Model of induction motor has high flexibility and gives good results in the simulation of dynamic modes.

Key words: load node, transient process, induction motor, phase coordinates, dynamic model, start, run-down, instantaneous values.

Моделирование переходных режимов узлов нагрузки требует применения методик расчета, учитывающих динамические свойства электрических элементов и позволяющих применять динамические модели элементов энергосистем. Узел нагрузки как электрическую цепь можно описать с определенными допущениями [1] системой дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Для некоторых элементов, например, электродвигателей, в эту систему включаются уравнения для механической части [2, 3].

Динамические модели электродвигателей обычно представлены в многофазной системе координат. Моделирование несимметричных режимов узла нагрузки не позволяет применять однолинейные схемы замещения. Совокупность этих фактов приводит к целесообразности использования базиса фазных координат.

При расчете переходных процессов на ЭВМ часто используется метод переменных состояния. Данный метод требует записи системы дифференциальных уравнений для всей цепи. Такой подход приводит к получению систем с большим количеством переменных, что усложняет вычисления и снижает стабильность расчетов для больших цепей с нелинейными элементами [1].

В работе применена методика сведения расчетов переходного процесса в электрической цепи к расчету синтетических схем постоянного тока [1]. В зарубежной практике данная методика известна как алгоритм Германа Доммеля (Herman Dommel) [4, 5]. Этот алгоритм имеет ряд преимуществ при программной реализации, что доказано его широким использованием при создании продуктов на-

шими зарубежными коллегами. Алгоритм имеет следующие преимущества: в отличие от метода переменных состояния [6] он не приводит к записи дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа, а позволяет сразу перейти к уравнениям цепи постоянного тока. Получившаяся цепь постоянного тока и исходная цепь имеет одинаковую топологию, что повышает удобство и наглядность метода. Метод не накладывает ограничений на форму сигналов источников и позволяет относительно легко учесть нелинейные характеристики элементов. Следует отметить, что данный метод дает на выходе мгновенные значения токов и напряжений во всех ветвях и узлах схемы.

Методика разделяется на несколько основных этапов:

1. Аппроксимация дифференциальных уравнений отдельных элементов цепи разностными уравнениями, с которыми сопоставляют чисто резистив-ные схемы.

2. Формирование на каждом шаге расчета систем алгебраических уравнений, соответствующих резистивным схемам замещения цепей.

3. Решение систем алгебраических уравнений, получаемых на шаге 2.

Проведем разностную аппроксимацию уравнений накопительных элементов:

cduc dt

LdX dt

где С - емкость, Ф; L - индуктивность, Гн; и 7С - ток индуктивности и ток емкости, ис и иь - напряжение на емкости и напряжение на индуктивности. Согласно методу трапеций [7]

ULn+l + ULn _ hn+\ *Ln т . _ . 2L _

~ _ J Jj=?M£n+J lLn+1 , lLn Ln'

2 h h h

гСи+1 + *Oi _ UCn+1 ~UCn r _ h ■ I h ■ ,

2 _ ^ ^ =? uCn+l — ^ iCn+i -i- ^ iCn -i- uCn,

где и

напряжение на индуктивности в момент

времени t = ^ 7Ьп+1 и ¡Ьп - ток в индуктивности в

: t + и t --

п+1

t соответственно, 7'

моменты времени t - ток в емкости в момент времени t = t иСп+1 и иСп -напряжение на емкости в моменты времени t = t и t = tn соответственно, h - шаг дискретизации.

Полученные выражения определяют двухпо-

люсники

Кс=^С и ЭДС Ес

состоящие из = и,

и.

о

о к

к ^ С

Н_ '

■*Ч!£ I

т(л+1)

и

а)

Ж(л+1) б)

Рис. 2. Ветвь, имеющая взаимную индуктивность с соседней: а - схема ветви; б - эквивалентная резистивная схема для расчета переходного процесса

Уравнение (3) описывает ветвь с взаимной индуктивностью. Аппроксимируя уравнение (3) методом трапеций, получим уравнение (4):

-иКЬ=-е + 1КЬ1Я + Ь1^ + М12^, (3)

си си

сопротивления Яь =— к . 2 Ь к

Сп ЕЬ=~^1п

соединенных последовательно (рис. 1). Используя формулы (1) и (2) на п+1 шаге расчета для нахождения параметров схем, представленных на рис. 1, получим схемы замещения накопительных элементов на текущем шаге расчета. Затем составим схему той же топологической структуры, что и исходная, из полученных схем замещения соответствующих элементов. Рассчитаем эту схему любым методом, например, контурных токов или узловых потенциалов [8].

Ь . С

._^ . ._I I_=

21 иЯЦп+1) — иЯЬ(п) + еп+1 +еп+ 1ЯЩп)

2Ь

-Я

к у

+ -

2М

12

к

1Ы(п) 1ЯП(п+1)

2 Ь

+ Я

2М

12

1Ь2(п+\)'

(4)

где М - коэффициент взаимной индукции, Гн.

Резистивная схема, соответствующая выражению (4), приведена на рис. 2, б. В этой схеме:

Ещ ~ иЯЬ(п) + еп+1 +еп+ ¿ЯЩп)

—-д к

2М _2Ь

Легко заметить, что при наличии индуктивной связи выражение для Е' включает в себя допол-

нительный член

2М-

12

а) б)

Рис 1. Переход от накопительного элемента к его резистивной схеме замещения для расчета переходного процесса: а - для индуктивности, б - для емкости

Применим приемы макромоделирования для эквивалентирования ветви с взаимной индуктивностью (рис. 2).

г'^2(и), позволяющий учесть

влияние ЭДС, наведенной от ветви, индуктивно связанной с данной. Кроме того, схема содержит допол-^ 2Мп •

нительную ЭДС = —-— 1ы(п+\), с помощью которой в схеме учитывается взаимное влияние ветвей друг на друга на текущем шаге расчета.

Расчет переходного процесса в схеме осуществляется путем решения системы линейных алгебраических уравнений сгенерированной цепи постоянного тока для каждого момента времени t = t . При этом топология цепи постоянного тока не изменяется, меняются только значения ЭДС ветвей с реактивными элементами в зависимости от предыдущих рассчитанных значений и мгновенных значений источников напряжения. Для нелинейных элементов или элементов с изменяющимися во времени параметрами могут изменяться значения сопротивлений на каждом шаге дискретизации. Например, для моделей электродвигателей, где взаимные индуктивности между цепью статора и ротора изменяются в зависимости от положения ротора.

Для расчета переходного процесса в асинхронной машине существуют различные методики ее учета в схеме. Самые распространенные методы учета электродвигателя в электрической цепи - это учет его в виде Т- или Г-обратной схемы замещения [9]. При этом активное сопротивление ветви ротора зависит от скольжения в двигателе. Такой подход

является наиболее простым при учете двигателя в схеме сети и компактности математической модели машины. Стоит отметить, что простота модели связана с множеством допущений и приводит к низкой точности результатов, особенно при моделировании нестационарных режимов. Данная модель изначально ориентирована на применение в расчетах стационарных режимов. Эта модель не подходит для применения совместно с алгоритмом Доммеля, поскольку предполагает использование действующих значений тока при расчете механических параметров машины - момента, угловой скорости и т. д. Динамические модели асинхронных двигателей, как правило, имеют более сложную структуру и представлены в координатах, связанных с ротором или статором машины, например, координаты q, 0), (х, у, z) и т. д. [2, 3]. В данной работе применена модель в фазных координатах. Такой выбор связан с простотой согласования модели сети и модели двигателя - сеть и двигатель моделируются как трехфазные системы, что позволяет напрямую подключить зажимы модели двигателя к трехфазной модели сети без дополнительных преобразований систем

4 R5 + pLs pUsr V

u' _ r _ i- _r _

координат [3]. Система фазных координат удобна своей наглядностью и позволяет легко моделировать сложные симметричные и несимметричные режимы многофазной сети.

Модель асинхронного двигателя в фазных координатах описывается системой уравнений в матричной форме [2]:

(5)

где р - оператор дифференцирования: Р — и и

ш 8

иг - векторы столбцы напряжений ветвей статора и ротора; ^ и - векторы столбцы токов ветвей статора и ротора:

u„

Rs и R'r - диагональные матрицы активных сопротивлений ветвей ротора и статора (Ом); Ls и L'r - матрицы индуктивностей ветвей статора и ротора:

Usa U\a Isa '»V

Usb , u V = U\b , h = hb v = i\b

J*sc_ Угс. }sc_ frc_

Ai + Lms 2 ms 2 ms /"' A-T ^ Ir ms 2 ms 2 ms

t4 Co II 2 ms Lis + Lms 2 ms 2 ms T1 4-T ^ Ir ms 2 ms

2 ms 2 ms Lis + Lms_ 2 ms 2 ms L\r+Lms

L¡ и L'¡r - собственные индуктивности ветвей статора и ротора (Гн), L - индуктивность намагничивания ветви статора (Гн);

L' - матрица взаимных индуктивностей между ветвями статора и ротора:

^ sr ^ms

co$>0r cos(er + if) cos(er - if) cos(0r - Щ) cos0r cos(<9r + cos(<9r + cos(^ - cos0r

вг - угол поворота ротора двигателя относительно статора (рад).

С указанной системой уравнений для асинхронной машины можно сопоставить трехфазную схему замещения, содержащую 6 ветвей, индуктивно связанных между собой (рис. 3).

Статор

Ротор

Рис 3. Схема замещения асинхронного двигателя в фазных координатах. Все ветви индуктивно связаны. Индуктивные связи на рисунке не указаны

Величины момента, угловой скорости ротора и угла его поворота относительно статора связаны между собой следующими выражениями [2, 3, 10, 11, 12]:

Г2Л

двг

дсог

а*

+т

со.

(6)

(7)

(8)

где Т - электромагнитный момент на валу ротора, г - число полюсов двигателя, юг - угловая скорость вращения ротора, J - момент инерции ротора, Тт -механический момент сопротивления на валу ротора.

Численно решая уравнения (6) - (8) для величин Т юг и 0г на каждом новом шаге дискретизации по времени ^ = ^ и подставляя новое значение вг в систему (5), получаем динамическую модель асинхронного двигателя, которая легко согласуется с алгоритмом Доммеля.

После дискретизации уравнений (6) - (8) по правилу трапеций они решаются относительно величин Т юг и 0г на каждом временном шаге ^ = совместно с уравнениями для электрической цепи, составленными согласно алгоритму Доммеля [11, 12].

Модель силового понижающего трансформатора представлена двумя индуктивно связанными ветвями для каждой фазы.

Выбранный подход к моделированию узла нагрузки с асинхронным двигателем позволяет производить расчет большого спектра режимов. Динамическая модель двигателя дает возможность моделировать режимы пуска, выбега и установившегося режима машины. Возможен учет изменяющегося во времени, или от угловой скорости, момента сопро-

тивления на валу ротора. Модель позволяет вести расчет генераторного режима при выбеге двигателя. Поскольку модель задана в фазных координатах, возможно без дополнительных преобразований моделировать несимметричные режимы сети и двигателя. Поскольку согласно алгоритму Доммеля расчет производится для всех узлов и ветвей схемы, можно отследить взаимное влияние режимов работы двигателя и нагрузки. Используемая модель трансформатора исключает необходимость приведения параметров схемы к одному классу напряжения, поскольку трансформатор моделируется как набор индуктивно связанных ветвей. Такой подход дает возможность оценить влияние переходных процессов на стороне низкого напряжения на состояние сети стороны высокого напряжения.

Для примера рассмотрим модель узла нагрузки 10 кВ, показанного на рис. 4.

Е1 Т1

СШ 110 кВ

СШ 10 кВ

<2)

М1

С1 НГ1

Рис. 4. Схема исследуемого узла нагрузки

Параметры узла следующие: Е1 = 110sin (2 • 50 • п), параметры трансформатора Т1 описаны в табл. 1. Параметры двигателя М1 в табл. 2, нагрузка: 8НП = 1МВА, соэфял = 0,9, компенсирующее устройство имеет мощность Q = 840 кВАР. Параметры обмоток трансформатора рассчитаны приблизительно, из паспортных данных.

Таблица 1

Параметры трансформатора Т1

S, МВА ин кВ ин кВ ДР.,, кВт К7 ык, % ДРХ, кВт

16 110 11 85 10.5 18

1х, % ^ Ом ^БИ Гн Ом Ьии, Гн М-н Гн

0.7 2.21 1.3933 0.22 0.0139 0.1393

Таблица 2

Параметры асинхронного двигателя М1 (АЗМП-5000)

Р , кВт ном7 и т кВ пит п, об/мин ъ э ISном, А КПД,%

5000 10 2985 1 0.005 330 98

cosф "ном кП R, Ом Ом г' L, Гн L', Гн г' L , Гн эг'

0.9 7 0.13 0.112 0.1959 0.1992 0.1898

Для демонстрации работы методики произведено моделирование двух режимов работы указанного узла нагрузки: пуск двигателя на вентиляторную нагрузку при работающем узле нагрузки и выбег двигателя при отключении питания узла нагрузки с последующем возобновлением питания.

1. Пуск двигателя на вентиляторную нагрузку

при работающем узле осуществляется при механической характеристике момента сопротивления на валу двигателя, заданной по формуле (9). Пуск происходит в момент времени t = 0,1 с.

т-=а,2/б.б (9) Ток на шинах и скольжение двигателя показаны

на рис. 5.

Рис. 5. График тока фазы А на шинах узла нагрузки и скольжения асинхронного двигателя при его пуске

Графики рис. 5 иллюстрируют работу методики при переходных процессах в узле нагрузки, связанных с нестационарными режимами электродвигателя. При разгоне двигателя в статоре и сети течет пусковой ток, амплитуда которого начинает уменьшаться только при достижения скольжения, близкого к номинальному. Следует отметить, что изменения амплитуды напряжения на стороне 10 кВ незначительны, в силу достаточной мощности трансформатора и питающей системы.

5000

2. Выбег двигателя при отключении питания узла нагрузки с последующим возобновлением питания. Данный режим показан при начальных условиях установившегося режима работы узла. В момент времени t = 0,1 с происходит отключение питания трансформатора на стороне 110 кВ. Затем происходит включение питания на стороне 110 кВ в момент времени t = 1,5 с. Графики показаны на рис 6.

s? о

^мЛШ^^ДД^ЛЛЛЛЛА^-

-5000

0.5

1.5

х 10

t, С

со

Рис. 6. График тока фазы А статора электродвигателя М1, напряжения на шинах узла нагрузки и скольжения двигателя М1

На рисунке 6 показан ток в статоре двигателя, поскольку в момент выбега именно двигатель является источником напряжения и через него течет суммарный ток узла. Из графиков видно, что, как и предполагается, напряжение в узле пропадает не мгновенно, а начинает постепенно спадать. При этом частота сети зависит от частоты вращения ротора двигателя, поскольку двигатель работает в генераторном режиме. Кроме того, переходный процесс при отключении верхней стороны трансформатора приводит к появлению высших гармоник на резонансной частоте индуктивной составляющей нагрузки и емкостью устройства компенсации реактивной мощности.

Выводы

Представленная методика позволяет моделировать узлы нагрузки в фазных координатах, что дает возможность с легкостью учитывать различные виды несимметрии трехфазных сетей и нагрузок.

Применение алгоритма Доммеля дает возможность учитывать различные виды нелинейности в элементах моделируемой энергосистемы, задавать форму сигналов источников произвольной формы и частоты. Поскольку моделирование происходит во временной области и в мгновенных величинах, частотная область исследования переходных процессов ограничивается только частотными свойствами моделей элементов и размером шага моделирования. Это позволяет легко моделировать переходные процессы с различным гармоническим составом токов и напряжений. Алгоритм позволяет менять параметры и конфигурацию схемы на временном диапазоне моделирования, что увеличивает спектр рассматриваемых режимов.

Модель асинхронного двигателя в фазных координатах, в совокупности с алгоритмом Доммеля, имеет следующие важные достоинства:

- возможность моделирования несимметричных режимов;

- раздельные цепи статора и ротора, связанные матрицей индуктивных связей, что позволяет рассматривать и оценивать состояния этих цепей в отдельности;

- расчет состояния механических переменных двигателя во времени, что дает возможность отследить угловую скорость, электромагнитный момент и скольжение двигателя во время переходных процессов;

- совокупность модели двигателя и методики расчета переходного процесса позволяет моделировать режим выбега АД в режиме рекуперации, что дает возможность оценить влияние данного режима на сеть;

- методика позволяет задавать момент сопротивления на валу двигателя переменным в зависимости от различных величин модели: времени, угловой скорости ротора или других.

Список литературы

1. Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей: Учеб. пособ. [Текст] / П.А. Бутырин, К.С. Демирчан. - М.: Высш. шк., 1988. - 335 с.

2. Krause Paul C. Analysis of the machinery and drive systems [Text] / Paul C. Krause, Oleg Wasynczuk, Scott D. Sudhoff. - New York: IEEE PRESS. - 2002. - 630 p.

3. Виноградов А.Б. Векторное управление электроприводами переменного тока [Текст] / А.Б. Виноградов. - Иваново: ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», 2008. - 298 с.

4. Dommel H.W. Digital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single- and Multiphase Networks [Text] / H.W. Dommel // IEEE TRANSACTIONS ON POWER APPARATUS AND SYSTEMS. - 1969. - VOL. PAS-88. - № 4. - C. 388399.

5. Watson Neville. Power System Electromagnetic Transients Simulation. London [Text] / Neville Watson, Jos Arillaga. - The Institution of Engineering and Technology. - 2007. - 621 p.

6. Чернин А.Б. Расчет электромагнитных переходных процессов для релейной защиты на линиях большой протяженности [Текст] / А.Б. Чернин, С.Б. Лосев. - М. : Энергия, 1972. - 144 с.

7. Плотников П.В. Основы численных методов [Текст] / П.В. Плотников, ЛИ. Турчак - М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2003. - 304 с.

8. Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. В 3 томах. Т 1 [Текст] / К.С. Демирчян, Н.В. Коровкин, Л.Р. Нейман, В.Л. Чечурин. - СПб.: Питер, 2003. - 443 с.

9. Москаленко В.В. Электрический привод: учебник для студ. высш. учеб. заведений [Текст] / В.В. Москаленко. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 368 с.

10. Marti J.R. Phase-domain indiction motor model for power system simulators. IEEE WESCANEX '95 PROCEEDING. - Р. 276-282.

11. Wang L. Method of interfacing rotating machine models in transient simulation programs [Text] / L. Wang, J. Jatskevich, V. Dinavahi et al. // IEEE TRASACTIONS ON POWER DELIVERY. - VOL. 25. - №. 2. - APRIL 2010. - Р. 891-903.

12. Wang L.A. voltage-behind-reactance induction machine model for the EMTP-type solution [Text]

/ L. Wang, J. Jatskewich, C. Wang, P. Li. // IEEE TRANSCTIONS ON POWER SYSTEMS. - VOL. 23.

- № 3. - AUGUST 2008. - P. 1226-1238.

References

1. Butyrin P.A. Modelirovanie i mashinnyj raschet jelektricheskih cepej: Ucheb. posob. [Tekst] / P.A. Butyrin, KS. Demirchan. - M.: Vyssh. shk., 1988. -335 s.

2. Krause Paul C. Analysis of the machinery and drive systems [Text] / Paul C. Krause, Oleg Wasynczuk, Scott D. Sudhoff. - New York: IEEE PRESS. - 2002.

- 630 p.

3. Vinogradov A.B. Vektornoe upravlenie jelektroprivodami peremennogo toka [Tekst] / A.B. Vinogradov. - Ivanovo: GOUVPO «Ivanovskij gosudarstvennyj jenergeticheskij universitet imeni V.I. Lenina», 2008. - 298 s.

4. Dommel H.W. Digital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single- and Multiphase Networks [Text] / H.W. Dommel // IEEE TRANSACTIONS ON POWER APPARATUS AND SYSTEMS. - 1969. - VOL. PAS-88. - № 4. - P. 388

- 399.

5. Watson Neville. Power System Electromagnetic Transients Simulation. London [Text] / Neville Watson, Jos Arillaga. - The Institution of Engineering and Technology. - 2007. - 621 p.

6. Chernin A.B. Raschet jelektromagnitnyh perehodnyh processov dlja relejnoj zashhity na linijah bol'shoj protjazhennosti [Tekst] / A.B. Chernin, S.B. Losev. - M. : Jenergija, 1972. - 144 s.

7. Plotnikov P.V. Osnovy chislennyh metodov [Tekst]/ P.V. Plotnikov, L.I. Turchak - M.: FIZMATLIT, 2003. - 304 s.

8. Demirchjan K.S. Teoreticheskie osnovy jelektrotehniki. V 3 tomah. T 1 [Tekst] / K.S. Demirchjan, N.V. Korovkin, L.R. Nejman, V.L. Chechurin. - SPb.: Piter, 2003. - 443 s.

9.Moskalenko V.V. Jelektricheskij privod: uchebnik dlja stud. vyssh. ucheb. zavedenij [Tekst]/ V.V. Moskalenko. - M.: Izdatel'skij centr «Akademija», 2007. - 368 s.

10. Marti J.R. Phase-domain indiction motor model for power system simulators. IEEE WESCANEX '95 PROCEEDING. - P. 276-282.

11. Wang L. Method of interfacing rotating machine models in transient simulation programs [Text] / L. Wang, J. Jatskevich, V. Dinavahi et al. // IEEE TRASACTIONS ON POWER DELIVERY. - VOL. 25.

- № 2. - APRIL 2010. - P. 891-903.

12. Wang L.A. voltage-behind-reactance induction machine model for the EMTP-type solution [Text] / L. Wang, J. Jatskewich, C. Wang, P. Li. // IEEE TRANSCTIONS ON POWER SYSTEMS. - VOL. 23.

- № 3. - AUGUST 2008. - P. 1226-1238.

АКарабельская И.В.

КагаЪеЫкауа I. V.

аспирант кафедры «Физика», доцент кафедры

«Информатика иИКТ» ФГБОУ ВО

«Уфимский государственный

университет экономики и сервиса», Россия, г. Уфа

УДК 537.3-047.37

ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА В СИСТЕМАХ СО СЛОЖНЫМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ

В статье сформулирована математическая модель самосогласованной краевой задачи, описывающей электрические поля с цилиндрическими неоднородностями, электродами и изоляторами; вычислительные алгоритмы понижения размерности задачи; рассмотрены примеры, иллюстрирующие возможности использования бесконечных интегральных преобразований для понижения размерности данной краевой задачи.

Исследования электрических полей постоянного тока в системах со сложными и геометрическими