CC BY
16
Информатика, вычислительная техника и управление
DOI 10.25987/УБТО.2019.15.6.001 УДК 681.5.015
ПРИМЕНЕНИЕ АДАПТИВНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМЫ
С ГИСТЕРЕЗИСОМ БУКА-ВЕНА
Н.Н. Карабутов1, А.М. Шмырин2
ХМИРЭА - Российский технологический университет, г. Москва, Россия 2Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Россия
Аннотация: предложен метод адаптивной идентификации системы с гистерезисом Бука-Вена. Он основан на применении адаптивных наблюдателей. Такой подход позволяет снять проблему устойчивости решения уравнения гистерезиса. Показано, что свойства входа существенно влияют на решение задачи идентификации. Нелинейная система с гистерезисом Бука-Вена должна быть структурно идентифицируемой. Показано, что для выполнения условия структурной идентифицируемости системы вход должен быть Б-синхронизирующим. Предложен выбор параметров адаптивного наблюдателя. Синтезированы адаптивные алгоритмы идентификации процессов в адаптивной системе. Для их получения применен второй метод Ляпунова. Выделены две подсистемы, анализ свойств которых упрощает анализ устойчивости системы. Показана ограниченность процессов в подсистемах адаптивной системы. Точность получаемых оценок зависит от величины производной выходной переменной. Предложен способ определения текущей оценки неопределенности в адаптивной системе. Получаемая неопределенность является текущим эталоном для оценки выхода гистерезиса. Она используется для синтеза алгоритмов настройки параметров модели Бука-Вена. Для идентификации гистерезиса Бука-Вена применена адаптивная модель, совпадающая с уравнением адаптивного наблюдателя. Приведены результаты моделирования, которые подтверждают работоспособность предложенного подхода
Ключевые слова: гистерезис, модель Бука-Вена, адаптивный наблюдатель, неопределенность
Благодарности: исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Липецкой области в рамках научного проекта 19-48-480007 р_а
Введение
Для описания гистерезиса применяются различные модели [1]. Наиболее широкое распространение получила модель Бука-Вена (МБВ). Она предложена Р. Буком [2] и обобщена И. Веном [3]
тх + сх + F(x, 2,0 = f (О, (1)
F (х, 2, t) = акх^) + (1 - ^), (2)
2 = ё
1 ^аХ - ¡5 |х|sign(z) - уХ\г\П|.
(3)
где т > 0 — масса, с > 0 — демпфирование, F(х, 2, ^ — восстанавливающая сила, ? > 0, п > 0, к > 0, а е (0,1), f (О — возбуждающая сила, а, ¡,у — некоторые числа. (3) является уравнением Бука-Вена.
Существует множество модификаций МБВ [4]. Каждая модель учитывает особенности рассматриваемой системы. Успешное применение модели Бука-Вена зависит от идентификации ее параметров по экспериментальным данным. Решение нелинейного уравнения (3) является ос-
© Карабутов Н.Н., Шмырин А.М., 2019
новной проблемой идентификации МБВ. В [5] применен трехуровневый алгоритм для идентификации модели Бука-Вена. Он основан на регрессионном анализе, методах наименьших квадратов или Гаусса-Ньютона и расширенном фильтре Калмана. Близкий подход применен в [6, 7]. В [8, 9] предложены адаптивные алгоритмы для оценки параметров модели МБВ с эффектом забывания данных [10]. Предполагается, что доступны для измерения х и 2 , а х и х получены путем интегрирования. Подход к адаптивной идентификации, рассмотренный в [11, 12], основан на применении метода наименьших квадратов и корректировке матрица усиления адаптации. Задаются области изменения х, х и значение параметра п . Анализ других подходов к идентификации параметров МБВ дан в [13, 14, 4, 15]. Следует заметить, что большинство процедур предполагает измерение производных по х . Такая возможность не всегда возможна при решении практических задач.
Известны примеры [16], когда оценки параметра МБВ не совпадают с результатами, полученными для других входных сигналов. Такие примеры говорят о неоднозначности идентификации, которая вызывает неустойчивость модели
относительно входа. Это объясняется тем, что модель Бука-Вена должна быть устойчивой и обеспечивать адекватность физическому процессу [17]. Условия, которым должна удовлетворять модель Бука-Вена, рассмотрены в [17]. К ним относят обеспечение адекватности математической модели физическому процессу и её устойчивость. Условия устойчивости накладывают ограничения на диапазоны изменения параметров модели. Выбор параметров, принадлежащих области устойчивости, не всегда дает адекватную МБВ [15] в условиях неопределенности. Поэтому в [16] предложен подход к идентификации параметров модели (3), основанный на аппроксимации с помощью полинома.
Анализ публикаций показывает, что разработано много алгоритмов и процедур идентификации параметров модели Бук-Вена. Предлагаемые модели учитывают особенности исследуемой системы. Как правило, области изменения параметров МБВ задаются априори. Некоторые параметры, например п , считаются известными. Часто предполагается, что все производные объекта измеряются. Такая ситуация возникает на практике не всегда, что приводит к нереализуемости предлагаемых алгоритмов.
Ниже для решения проблемы устойчивости модели (3) применяется метод адаптивной идентификации, основанный на использовании адаптивных наблюдателей. Он основан на подходе, предложенном в [18]. Рассматривается система, описываемая уравнениями (1)-(3). Предполагается, что измеряются вход f (О и выход х^) системы.
Постановка задачи
Рассматривается система SBW, описываемая уравнениями (1)-(3) с выходом у^) = х(0.
Множество экспериментальных данных имеет вид
1о ={/(О, у(0, t е J} , (4)
где 3 с Я — заданный интервал времени. Обозначим вектор параметров системы через А = [т, с, а,k,а, ¡},у,п]Г .
Задача: разработать для системы бш такой адаптивный наблюдатель для оценки вектора A , чтобы выполнялось условие
Шп|у^) - у^)| < яу, (5)
где у е Я — выход адаптивного наблюдателя, пу > 0.
Замечание 1. Эффективность идентификации системы SBW зависит от свойств входа f (О . Требования к f (^ в задачах идентификации известны. Возбуждающая сила f(О должна быть постоянно возбуждаемой (ПВ). Это условие является необходимым, но недостаточным [19]. Вход, имеющий свойство ПВ, может не обеспечить идентифицируемость структуры гистерезиса. Структурную идентифицируемость гистерезиса гарантирует вход f (О, имеющий свойство S-стабилизации системы SBW [19]. Это необходимо учитывать при разработке алгоритма оценки параметров уравнения (3). Условия проверки этого свойства для динамической системы приведены в [19].
Синтез системы идентификации
Пусть d = 1, a = 1. Подставим F (x, г, ^ в (1) и запишем его в виде
(52 + а^ + а2) х + а3 г = Ь/,
(6)
где а = с/т , а2 = аk¡m, а3 = (1 - а^/т, Ь = т—.
Так как множество 10 имеет вид (4), то (6) приведем к идентификационной форме относительно х . Разделим левую и правую часть (6) на 5 + /, где л> 0 и не совпадает с корнями полинома 52 + а^ + а2. Тогда получим
х = а1х + а2 рх + а3 рг + Ьр^., (7)
рх = -ЛРх + X р / = -ЛР/ +1, рг = -ЛРг + z, (8) где а1 = -(с - лт) / т, а2 = -(аk - /л(с - /т)) / т , а3 = -((1 - а^) / т .
Уравнения (7), (8) содержат только измеряемые переменные, кроме г . Это усложняет процесс идентификации параметров системы Бш .
Замечание 2. Упрощения d = 1, а = 1 не отражаются на структуре представления (7). Учет d, а приводит к увеличению числа оцениваемых параметров.
Применим модель
х = (х - х)+а1 х+а2 рх+а3 рг + ьр/ (9) для оценки параметров уравнения (7), где kx > 0 — заданное число; а ^), i = 1,2,3, Ь(Г) — настраиваемые параметры модели. Обозначим е = х - х. Тогда из (7), (9) получаем уравнение для ошибки идентификации
е = ^хе + Да1х + Да2рх + Да3 рг + ДЬрг, (10)
где Да1 = й1 (Г) - а1, Да2 = й2 (t) - а2,
Да3 = й3(t) - а3, ДЬ = Ь(0 - Ь .
Уравнение (10) не реализуемо, так как переменная 2 в (8) неизвестна. Получим текущую оценку для ). Рассмотрим модель
^ =-кх (х2 - х) + а1х + а2 Рх + ЬР/ . (11)
Введем невязку е2 = х - х2 . Будем считать е2 текущей оценкой 2. Применим модель для оценки 2
2 = -к2 (2 -е2) + х - р |х||2|п sign(2) - ух|2|", (12)
где к2 > 0 — заданное число; р , у — оценки параметров гистерезиса (3); х = (х^ + т) - х(^))/т, т — шаг интегрирования.
Рассмотрим невязку е = 2 - , которая удовлетворяет уравнению
е = -kze + Дх + Др |х| |z|" sign (z) + /Зг]р +
■ Г I Л|П
Дух z + yr у
(13)
\n ~ I Л in
■ х |z - х z ,
Pi = -№ + z,
(15)
Да1 = -у^х, Да2 = -у2ех, Даз =-УзePz, ДЬ = У 4ePf ,
(18)
где у,. > 0,, = 1,2,3 ; уь > 0 . Рассмотрим ФЛ = 0.5е2(^) и для V получим
Ve = -kze2 + е(Дх + Др |х| |z| "sign (z) +
рГр + ДУх| z|" + УЯу Тогда получаем алгоритмы
Др =-Xps\х\\z\"sign(z), Ду = -Ху£х\z\"
(19)
(20)
где Хр > 0, Ху > 0 — параметры, обеспечивающие (20) сходимость алгоритмов.
Для оценки показателя п в (12) можно применить несколько алгоритмов. Эффективность их работы зависит от ряда факторов. Простейший алгоритм имеет вид (он следует из (19))
n =
-У neP |
,i"-1
z zx, если
если
],
Фо,и1 ],
(21)
Гр = Х||z|" sign(z)- х |z|"sign(z) , r y = :
где Дх = х - х, Др = р - р , Ду = у - у . Тогда (9) представим в виде
х = -kx (х - х) + а1 х + а2рх + а3 р£ + bpf, (14)
где и0,ц — заданные положительные числа,
Уп > 0.
Итак, система адаптивной идентификации SBW -системы описывается уравнениями (8), (15), (20), (16), (18), (20), (21). Обозначим эту систему через ASBW . Рассмотрим ее свойства.
Свойства адаптивной системы
Рассмотрим подсистему ASX, описываемую уравнениями (21), (23). Пусть
ДКС) = [ Да1 (0, Да2 (0, Да3 ^), Дb(t)]Г ,
Г = ( ур у 2, Уз, уь) .
VK (t) = 0,5ДКТ (t)Г-1 ДК(t),
(22) (23)
а (10) перепишем в виде
е = -кхе + Да1х + Да2рх + Да3 р£ + Дbpf . (16)
Рассмотрим функцию Ляпунова (ФЛ) V ^) = 0,5e2(t). V, имеет вид
V = -кхе2 + е (Да1 х + Да2рх + Да3р£ + ДЬру ) . (17)
Из условия Уе < 0 получаем адаптивные алгоритмы
V ^) = (t) + Ук (0. Предположение 1. Вход f (^ системы (1)-(3) является предельно невырожденным и ограниченным.
Теорема 1. Пусть: 1) функции (22) и ¥е (^ = 0.5e2(t) являются положительно определенными и удовлетворяют условиям
М ¥е (е) ^ да , М ¥к (ДК) ^ да ; 2) для системы
е| ^да ||ДК||^да
(1)-(3) выполняется предположение 1. Тогда все траектории системы ASX ограничены, лежат в
области Gt = {(е, ДК) : V^) < V (to)} и справедлива
оценка
j2kxVe(г)dx < V(to) - V(t)
Доказательство теоремы 1. Рассмотрим функцию Ляпунова V(^ (23). V(^ на движениях ASX -системы имеет вид
V = -кхе2 + ¥к - ¥к <-2кх¥е .
Применим условие 1) теоремы 1. Так как V^) < 0 , то ASX -система является устойчивой. Проинтегрируем V (^ по времени и получим
0
К- 2kx \ ¥е (т)dт > V(t).
(24)
Так как V (е, ДК) удовлетворяет условию 1) теоремы 1, то все траектории системы ASX лежат в области Gt ={(е, ДК) : V(t) < V (t0)} . Из (24) следует искомая оценка для ASX -системы.
Теорема 1 показывает, что все траектории адаптивной системы ASX ограничены. Обеспечение асимптотической устойчивости системы требует наложения более жестких условий на систему.
Пусть Р^) = [x(t) рх^) Pг(t)рг ^)]Т .
Определение 1. Вектор Р е Я4 является постоянно возбуждаемый с уровнем у или имеет свойство РЕ^, если
ре„ : Р^)РТ ^) >у1 4 справедливо для 3у > 0 и Vt > t0 на некотором интервале Т > 0, где /4 е Я4 — единичная матрица.
Если вектор Р(Г) имеет свойство РЕ^, то будем писать Р^) е РЕ„.
Пусть Р^) е РЕ^. Тогда можно показать, что ASX -система является экспоненциально устойчивой. Этот результат следует из теоремы 5 [21] и теории М-матриц [22].
Ограниченность траекторий подсистемы (13), (20) доказывается аналогично теореме 1. Для нее справедлива оценка
|(К -и(Р + у)й)К(т^т +
2 (kz-и(Р + у) й - to)
Vфу (to) - КРу (t)
(^д)2 <,
(25)
лась с начальными условиями: х(0) = 1, х(0) = 0, г(0) = 1. Сформировано множество 10 (4). Фазовый портрет системы и выход гистерезиса показаны на рис. 1.
Применение подхода [19] показало, что система является структурно идентифицируемой, т.е. при данном входе можно оценить параметры системы. Выбор параметра /л в (8) осуществлялся на основе вычисления характеристических показателей Ляпунова [20], / = 0.8 . Начальные условия в (8) равны нулю.
Результаты настройки параметров модели (14) показаны на рис. 1, 2.
4 32-
ai 1-
~ 0-ь -1: -2-3-4
100 150 200
t
Рис. 1. Настройка параметров модели (14)
0,55 0,500,45-Р 0,40-у 0,350,300,250,20
100 I
200
где |Дх| < 8Д, 8Д> 0, |х| < и, и> 0, — некоторое положительное число. Для выполнения оценки необходимо, чтобы ^ > и(Р + у).
Из (25) следует, что качество процессов в подсистеме (13), (20) зависит от величины производной выхода х .
Пример
Рассмотрите систему (1)-(5) с параметрами п = 1.5, с = 2, т = 1, Р = 0.5, а = 0.7, k = 0.6. Пусть d = а = 1. Возбуждающая сила /(0 = 2- 2sin(0.15я^). Система SBW моделирова-
Рис. 2. Настройка параметров модели (12)
Изменение ошибок идентификации е,е представлено на рис. 3. Результаты моделирования показывают, что точность получаемых оценок зависит от числа настраиваемых параметров и уровня производной выходного сигнала х , а также от свойств /(^ . Полученные результаты подтверждают выше сделанные утверждения. Результаты работы подсистемы (13), (20) влияют на процессы настройки в ASX -системе. Коэффициенты усиления в (18), (20) равны: у1 = 0.0002, у2 = 0.00001, у3 = 0.00002, у4 = 0.00005 ,
Хр = 0.0000002, ху = 0.0000002 .
1
Параметр n в (12) равен 1.5.
4030-
s,e 20100
200
Рис. 3. Изменение ошибок е,е
Замечание 3. Результаты моделирования системы (1)-(3) показали, что алгоритм (21) является чувствительным к возмущениям. Он увеличивает время адаптации и требует дальнейшего изучения. Как вариант, можно задать априори область изменения п в (12) и вычислить ошибку е для каждого из кандидатов. Затем положить п = П, если |е(0| < 8 , где 8 > 0 — некоторая заданная величина.
Процесс восстановления выхода гистерезиса представлен на рис. 4. Были определены коэффициенты детерминации (КД) гг = 0.864 для эталонного гистерезиса и полученного (рис. 4) Гщ = 0.764 между (х, г) и (х, Г). Сравнение КД подтверждает эффективность предложенного подхода. Некоторое расхождение значений объясняется процессом настройки параметров моделей.
1 -
0-
-1 -
-2-
-3
0
6
8
2 4
х
Рис. 4. Восстановление гистерезиса в процессе настройки параметров
Итак, результаты моделирования подтверждают ограниченность траекторий разработанной системы. Учитывая, что большинство методов основано на концепции «черного ящика», изложенный подход позволяет получить оценки
параметров гистерезиса и снять проблему моделирования уравнения (3).
Заключение
Разработан метод адаптивной идентификации параметров для системы с гистерезисом Бука-Вена. Метод основан на применении адаптивных наблюдателей и снимает проблему устойчивости системы идентификации. Получены адаптивные алгоритмы подстройки параметров моделей, и показана ограниченность траекторий в адаптивной системе. Определена текущая оценка неопределенности, которая используется для настройки параметров модели гистерезиса.
Литература
1. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. 272 с.
2. Bouc R. Forced vibration of mechanical systems with hysteresis // In: Proceedings of fourth conference on non-linear oscillation. Prague. 1967.
3. Wen Y.K. Method for random vibration of hysteretic systems // J Eng. Mech. Div. 1976. V. 102(2). Рр. 249-263.
4. Ismail M. The Hysteresis Bouc-Wen Model, a Survey // Arch Comput Methods Eng. 2009. Vol. 16. Рр. 161-188.
5. Loh C.H., Chung S.T. A three-stage identification approach for hysteretic systems // Earthquake Eng Struct Dyn. 1993. Vol. 22. Рр. 129-150.
6. Baber T.T., Wen Y.K. Random vibration of hysteretic degrading systems // J. Eng Mech. 1981. Vol. 107(6). Рр. 10691087.
7. Kunnath S.K., Mander B., Fang L. Parameter identification for degrading and pinched hysteretic structural concrete systems // Eng. Struct. 1997. Vol. 19(3). Рр. 224-232.
8. Online identification of hysteretic systems / A.G. Chas-siakos, S.F. Masri, A.W. Smyth, T.K. Caughy // J. Appl. Mech. 1998. Vol. 65. Рр. 194-203.
9. Online parametric identification of MDOF nonlinear hysteretic systems / A.W. Smith, S.F. Masri, A.G. Chassiakos, T.K. Caughey // J. Eng. Mech. 1999. Vol. 125(2). Рр. 133-142.
10. Ioannou P.A. Robust adaptive control. New York: Sun - Prentice Hall, 1996. 821 p.
11. On-line Identification of Nonlinear Hysteretic Structural Systems Using A Variable Trace Approach / Lin J.W., Betti R., Smyth A.W., Longman R.W. // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. 2001. Vol. 30. Рр. 1279-1303.
12. Shih M., Sung W., Go C. Investigation of newly developed added damping and stiffness device with low yield strength steel // J. Zhejiang Univ Sci. 2004. Vol. 5(3). Рр. 326334.
13. Charalampakis A.E., Dimou C.K. Identification of Bouc-Wen hysteretic systems using particle swarm optimization // Computers and Structures. 2010. Vol. 88 (21-22). Рр. 11971205.
14. Ikhouane F., Rodellar J. Systems with hysteresis: analysis, identification and control using the Bouc-Wen model. John Wiley & Sons Ltd, 2007. 202 p.
15. Talatahari S., Kaveh A., Rahbari M. Parameter identification of Bouc-Wen model for MR fluid dampers using adaptive charged system search optimization // Journal of Mechanical Science and Technology. 2012. V. 26 (8). Рр. 2523-2534.
2
16. О модификации модели Бук-Вена для описания гистерезиса нестационарных процессов / А.Н. Данилин, Е.Л. Кузнецова, Н.Н. Курдюмов, Л.Н. Рабинский, С.С. Тарасов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2016. № 4. С. 187-199.
17. Ismail M., Ikhouane F., Rodellar J. The hysteresis Bouc-Wen model, a survey // Archives of Computational Methods in Engineering. 2009. Vol. 16. P. 161-188, available at: http://link. springer.com/article/ 10.1007/s11831 -009-9031 -8 (accessed 18 Julay 2016).
18. Karabutov N. Adaptive identification of uncertain dynamic systems // Advances in Engineering Research. 2019. Volume 28. New York: Nova Science Publisher. Рр. 87-171.
19. Karabutov N. About structural identifiability of nonlinear dynamic systems under uncertainty // Global Journal of Science Frontier Research: (A) Physics and Space Science. 2018. Vol. 18. Is. 11. Рр. 51-61.
20. Karabutov N. Structural methods of estimation Lya-punov exponents linear dynamic system // International journal of intelligent systems and applications. 2015. Vol. 7. No. 10. Рр. 1-12.
21. Karabutov N. Structural-parametrical design method of adaptive observers for nonlinear system // International journal of intelligent systems and applications. 2018. Vol. 10. No 2. Рр. 1-16.
22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 560 с.
Поступила 07.11.2019; принята к публикации 13.12.2019 Информация об авторах
Карабутов Николай Николаевич - д-р техн. наук, профессор, МИРЭА - Российский технологический университет (119454, г. Москва, проспект Вернадского, д. 78), e-mail: [email protected]
Шмырин Анатолий Михайлович - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Липецкий государственный технический университет (398055, г. Липецк, ул. Московская, д. 30), e-mail: [email protected]
APPLICATION OF ADAPTIVE OBSERVERS FOR SYSTEM IDENTIFICATION
WITH BOUC-WEN HYSTERESIS
N.N. Karabutov1, A.M. Shmyrin2
XMIREA-Russian Technological University, Voronezh, Russia 2Lipetsk State Technical University, Voronezh, Russia
Abstract: a method for adaptive identification of a system with Buck-Vienna hysteresis is proposed. It is based on the use of adaptive observers. This approach allows us to remove the stability problem of solving the hysteresis equation. It is shown that the input properties significantly affect the solution of the identification problem. A non-linear system with Buck-Vienna hysteresis should be structurally identifiable. It is shown that in order to fulfill the conditions of structural identifiability of the system, the input must be S-synchronizing. A selection of adaptive observer parameters is proposed. Adaptive algorithms for identifying processes in an adaptive system are synthesized. To obtain them, the second Lyapunov method was applied. Two subsystems are identified whose analysis of properties simplifies the analysis of system stability. The limited processes in subsystems of an adaptive system are shown. The accuracy of the estimates obtained depends on the value of the derivative of the output variable. A method is proposed for determining the current estimate of uncertainty in an adaptive system. The resulting uncertainty is the current benchmark for evaluating the hysteresis output. It is used to synthesize algorithms for tuning the parameters of the Buck-Vienna model. To identify the Buck-Vienna hysteresis, an adaptive model is used, which coincides with the equation of the adaptive observer. The simulation results are presented that confirm the operability of the proposed approach
Key words: hysteresis, Bouc-Wen model, adaptive observer, uncertainty
Acknowledgments: the study was carried out with financial support from the Russian Federal Property Fund and the Lipetsk Region as part of the scientific project 19-48-480007 p_a
References
1. Krasnosel'skiy M.A., Pokrovskiy A.V., "Systems with Hysteresis" ("Sistemy s gisterezisom"), Moscow, Nauka, 1989, 253
p.
2. Bouc R. "Forced vibrations of a mechanical system with hysteresis," Proc. of the Fourth Conference on Nonlinear Oscillations, Prague, Czechoslovakia, 1967, pp. 315-321.
3. Wen Y.K. "Method for random vibration of hysteretic systems", J. Eng. Mech. Div., 1976, vol. 102, no. 2, pp. 249-263.
4. Ismail M., "The hysteresis Bouc-Wen model, a survey", Arch ComputMethods Eng., 2009, vol. 16, pp. 161-188.
5. Loh C.H., Chung S.T., "A three-stage identification approach for hysteretic systems", Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 1993, vol. 22, pp. 129-150.
6. Baber T.T., Wen Y.K., "Random vibration of hysteretic degrading systems," Journal of Engineering Mechanics, 1981,vol. 107, no. 6, pp. 1069-1087.
7. Kunnath S.K., Mander J.B., Fang L. "Parameter identification for degrading and pinched hysteretic structural concrete systems", Engineering Structures, 1997, vol. 19, no.3, pp. 224-232.
8. Chassiakos G., Masri S.F., Smyth A.W., Caughy T.K., "Online identification of hysteretic systems," J. Appl. Mech., 1998, vol. 65, pp. 194-203.
9. Smith A.W., Masri S.F., Chassiakos A.G., Caughey T.K. "Online parametric identification of MDOF nonlinear hysteretic systems", Journal of Engineering Mechanics, 1999, vol. 125, no. 2, pp. 133-142.
10. Ioannou P.A., Sun J., "Robust adaptive control", New York: Prentice Hall, 1996, 821 p.
11. Lin J.W., Betti R., Smyth A.W., Longman R.W. "On-line identification of nonlinear hysteretic structural systems using a variable trace approach", Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2001, vol. 30, pp. 1279-1303.
12. Shih M., Sung W., Go C., "Investigation of newly developed added damping and stiffness device with low yield strength steel", J. Zhejiang Univ. Sci., 2004, vol. 5, no. 3, pp. 326-334.
13. Charalampakis A.E., Dimou C.K., "Identification of Bouc-Wen hysteretic systems using particle swarm optimization," Computers and Structures, 2010, vol. 88, no. 21-22, pp. 1197-1205.
14. Ikhouane F., Rodellar J., "Systems with hysteresis: analysis, identification and control using the Bouc-Wen model", John Wiley & Sons Ltd, 2007, 202 p.
15. Talatahari S., Kaveh A., Rahbari N.M. "Parameter identification of Bouc-Wen model for MR fluid dampers using adaptive charged system search optimization", Journal of Mechanical Science and Technology, 2012, vol. 26, no. 8, pp. 2523-2534.
16. Danilin A.N., Kuznetsova E.L., Kurdumov N.N., Rabinsky L.N., Tarasov S.S., "A modified Bouc-Wen model to describe the hysteresis of non-stationary processes," PNRPU Mechanics Bulletin (Vestnik Permskogo natsional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta), 2016, no. 4, pp. 187-199.
17. Ismail M., Ikhouane F., Rodellar J., "The hysteresis Bouc-Wen model, a survey", Archives of Computational Methods in Engineering, 2009, vol. 16, pp. 161-188.
18. Karabutov N. "Adaptive identification of uncertain dynamic systems", Advances in Engineering Research, vol. 28, New York: Nova Science Publisher, 2019, pp. 87-171.
19. Karabutov N. "About structural identifiability of nonlinear dynamic systems under uncertainty", Global Journal of Science Frontier Research: (A) Physics and Space Science, 2018, vol. 18, is. 11, pp. 51-61.
20. Karabutov N. "Structural Methods of estimation Lyapunov exponents linear dynamic system", International Journal of Intelligent Systems and Applications, 2015, vol. 7, no. 10, pp. 1-12.
21. Karabutov N. "Structural-parametrical design method of adaptive observers for nonlinear systems", International Journal of Intelligent Systems and Applications, 2018, vol. 10, no. 2, pp. 1-16.
22. Gantmacher F.R., "The theory of matrices" ("Teoriya matrits"), Moscow: FIZMATLIT, 2004, 560 p.
Submitted 07.11.2019; revised 13.12.2019 Information about the authors
Nikolay N. Karabutov, Dr. Sc. (Technical), Professor, MIREA-Russian Technological University (78 Vernadskogo avenue, Moscow 119454, Russia), e-mail: [email protected]
Anatoliy M. Shmyrin, Dr. Sc. (Technical), Professor, Head of the Department of Higher Mathematics, Lipetsk State Technical University (30 Moskovskaya st., Lipetsk 398055, Russia), e-mail: [email protected]
