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УДК 621.3
DYNAMISCHE PREISACH-EBENE ZUR MODELLIERUNG DER HYSTERESE IN ZEITDISKRETEN SYSTEMEN
© 2009 г. M. Ruderman, T. Bertram
Технический университет, г. Дортмунд Technische Universität Dortmund
Hysterese gehört zur Klasse streng nichtlinearer, gedächtnisbehafteter Phänomene, deren aktueller Zustand von der Historie der vorherigen Zustände abhängt. Das Preisach-Modell mit dem elementaren nichtlinearen Operator - Hysteron und der Superposition mehrerer parallel wirkender Operatoren eignet sich zur Beschreibung willkürlicher Hystereseeffekte. Der Beitrag beschreibt den Preisach-Formalismus und die Implementierung der dynamischen Preisach-Ebene, die das Hauptmerkmal des Preisach-Modells darstellt. Ein systematischer Ansatz zur Identifikation und Prädiktion des Hystereseverhaltens in zeitdiskreten Systemen wird vorgestellt. Ausführliche Simulationsergebnisse zeigen die Eignung des Modells zur Beschreibung der Hystereseeffekte und weiterhin zu ihrer Kompensation bei den fortgeschrittenen Regelungskonzepten.
Schlagwörter: Hysterese; Preisach-Modell; Speichereffekt; Nichtlineare Systeme.
Гистерезис относится к классу существенно нелинейных феноменов с эффектом памяти, актуал ь-ное состояние которых зависит от истории предыдущих состояний. Модель Прайзаха с ее элементарным нелинейным оператором - гистероном и суперпозицией множества параллельно действующих элементарных операторов - позволяет описывать произвольные эффекты гистерезиса. Данная статья описывает формализм и реализацию динамической плоскости Прайзаха, являющейся основной особенностью модели Прайзаха. Представлен системный подход к идентификации и предсказанию поведения гистерезиса в системах дискретного времени. Многочисленные результаты имитационного моделирования указывают на способность модели описывать эффекты гистерезиса и компенсировать их в новых схемах регулирования.
Ключевые слова: гистерезис; модель Прайзаха; эффект памяти; нелинейные системы.
Hysteresis belongs to the class of strict nonlinearities with memory, whose actual state depends not only from the recent input but soever from the history of previously states. The Preisach model with the elementary nonlinear operator - hysteron, and the superposition of weighted elementary hysteresis operators is suitable to describe the arbitrary hysteresis effects. The paper describes the Preisach formalism and the implementation of dynamic Preisach plane, which is a key feature of Preisach model. The systematic approach for identification and prediction of hysteresis behaviour in time-discrete systems is presented. The detailed simulation results show the model ability to describe the hysteresis, and furthermore to compensate it in advanced control strategies.
Keywords: hysteresis; Preisach model; memory effect; nonlinear systems.
Einleitung
Hysterese kommt aus dem Griechischen - «hysteros» und bedeutet eine Nachwirkung nach dem Wegfall der Ursache. Hysterese beschreibt einen Zusammenhang zwischen der Eingangs- und Ausgangsgröße in einigen physikalischen Systemen, die meist mit dem Gedächtniseffekt verknüpft sind. Solche Systeme sind inhärent nichtlinear und weisen eine kausale Abhängigkeit des aktuellen Zustands von früheren Zuständen auf. Eine genauere systemtheoretische Definition der Hysterese ist die Persistenz einer nicht degradierten, geschlossenen Ein-Ausgangs-kurve bei einer gegen Null gehenden Erregungsfrequenz. Das charakteristische Übertragungsverhalten der Hysterese ist in Bild 1 dargestellt, wobei für die geschlossene Hauptschleife ein harmonisch oszillierendes Verhalten des Eingangs x(t) vorausgesetzt wird.
Bild 1. Übertragungsglied der Hysterese
Hysterese ist eine weit verbreitete Erscheinung, der neben den herkömmlichen Arbeiten aus dem Magnetismus weitere Untersuchungen aus der Tribologie und der Elastizitätslehre gewidmet sind. Diverse mathematische Modelle zur Beschreibung der Hysterese wurden entwickelt, basierend auf der Überlagerung nichtlinearer Operatoren, deren Distribution die Form der Hysterese-Abbildung bestimmt. Dieses Prinzip der Superposition einzelner nichtlinearer Operatoren bildet eine breite Klasse der
Preisach ähnlichen Modelle [1], darunter der Krasno-sel'skii-Pokrovskii, der Prandtl-Ishlinskii sowie der klassische Preisach Operator. Alternativ werden die Differentialgleichungen mit Einbeziehung der trigonometrischen Funktionen und den anwendugsspezifischen Parametern zur Abbildung der Hysterese verwendet. Die am weitesten verbreiteten Modelle dieser Form sind das Jiles-Atherton Modell [2] und das Bouc-Wen Modell -vorgeschlagen von Bouc in [3] und ausformuliert bei Wen in [4].
Das Preisach-Modell zur Beschreibung der magnetischen Hysterese wurde im Jahr 1935 von F. Preisach [5] eingeführt. Das Modell fand 1952 erstmalig seine Verwendung bei der Beschreibung eines Hysteresephänomens, welches nicht in das Gebiet des Magnetismus fällt [6]. Krasnoselskii und Pokrovskii [7] lösten das PreisachModell völlig von seiner physikalischen Bedeutung und beschrieben dies in rein mathematischer Form, ähnlich der Spektralzerlegung von Operatoren. Eine detaillierte Ausformulierung des Preisach-Modells in einer gebräuchlichen Form und seine relevantesten Charakteristiken sind bei Mayergoyz in [8] zu finden. Trotz eines weitgehenden Ansatzes des Preisach-Modells zur Beschreibung der beobachtbaren Hysterese-Phänomene im Elektromagnetismus, in den Formgedächtnismaterialien sowie bei den nichtlinearen Verformungseffekten in elektro-mechani-schen Aktuatoren [9] entsteht eine Nachfrage hinsichtlich der Realisierung des Preisach-Modells in einer geschlossenen Form, die zur kontinuierlichen und echtzeitfähigen Simulation der Hysterese geeignet ist. Darüber hinaus bleiben die Fragen der möglichst genauen und zudem recheneffizienten Abbildung der Preisach-Dichtefunktion und ihrer Identifikation im Fokus der aktuellen Forschung.
Dieser Beitrag beschreibt die Realisierung der dynamischen Preisach-Ebene, die das Hauptmerkmal des Preisach-Modells darstellt. Die eingeführten geometrischen Primitive bilden eine Basis für den recheneffizienten Übergang zwischen zwei sequentiellen Systemzuständen für den zeitdiskreten Fall. Hierbei unterliegt die PreisachEbene selber keiner Diskretisierung, sodass die PreisachDichtefunktion eine analytische Form annehmen kann, und der Wertebereich nicht zusätzlich eingeschränkt wird. Der Beitrag ist folgendermaßen gegliedert. Das PreisachModell mit seiner geometrischen Interpretation und den relevantesten Eigenschaften wird in Details dargestellt. Anschließend werden die dynamische Preisach-Ebene und ihre echtzeitfähige Implementierung beschrieben. Ein systematischer Ansatz zur Identifikation der Dichtefunktion in zeitdiskreten Systemen wird erläutert. Die wesentlichen Aspekte der vorgestellten Arbeit werden zusammen-gefasst und ein Ausblick auf aktuelle und künftige Arbeiten wird gegeben.
Preisach Formalismus
Ursprunglich ist das Preisach-Modell zur Beschreibung der Hysterese in magnetischen Materialien entwickelt worden. Dieses trifft die Annahme über eine Zusammensetzung des Materials aus einzelnen Dipolen, die über nichtlineare Relais mit verschiedenen Schaltpunkten dargestellt werden. Ein nichtlineares Relais yaß, auch elementarer Hystereseoperator - Hysteron genannt, ist über
zwei charakteristische Schwellenwerte a > ß definiert und besitzt zwei diskrete Zustände [-1, +1], deren Übergangsverhalten das Bild 2 (a) illustriert. Erreicht der monoton steigende Eingang x(t) den Wert a, schaltet der Ausgang des Hysterons von -1 auf +1. Fällt der Eingang wieder unter ß, - liefert der Operator den Wert -1. Auf diese Weise besitzt ein Hysteron nichtlineares Verhalten mit lokalem Gedächtnis, soweit sein Ausgangswert y(t) nur vom Eingangswert x(t) und dem vorherigen Ausgangwert y(t\) abhängt, für alle t > tx. Das Gesamtmodell verbindet mehrere gewichtete Relais in Parallelschaltung und ist über eine Dichtefunktion p(a, ß) charakterisiert.
y(t) = T[x(t)] = jj p(a,ß)yaß[x(t)]dadß. (1)
ß<a
Die Dichtefunktion p(a, ß), auch Preisach-Dichtefunktion genannt, beschreibt die Verteilung einzelner Hystererons in der Preisach-Ebene und bildet somit ihre Gewichtung im Gesamtmodel. Die Preisach-Ebene ist eine graphische Interpretation des Preisach-Modells, die den Parameter- und den Zustandraum veranschaulicht darstellt. Aus der Nebenbedingung a > ß und den Minima und Maxima der Eingangsgröße ergibt sich die begrenzte Halbebene
S = {(a,ß):a > ß,a<am^ß^}, (2)
die zu jedem Zeitpunkt t in zwei disjunkten Teilebenen und ST unterteilt ist, wie in Bild 2 (b) dargestellt. Die Teilebene S beinhaltet die Operatoren mit yaß [x(t)] = +1 und ST - entsprechend die Operatoren mit dem Zustand -1.
y(t) <
1 J
ß > t а x(t)
-1
а
Bild 2. Elementarer nichtlinearer Operator - Hysteron (a) und geometrische Interpretation mithilfe der Preisach-Ebene (b)
Wird der Eingang bis zu x(t1) monoton erhöht, schalten die Operatoren mit a < x(ti) von -1 auf +1 und die Operatoren wechseln ihre Zugehörigkeit von ST zu S+.
Sinkt anschließend der Eingang auf x(t2) < x(t1) ab, schalten die Operatoren mit ß > x(t2) zurück auf —1. Hierbei entspricht das monotone Absinken des Eingangs folglich dem Wachstum der Fläche wie in Bild 2 (b) dargestellt. Wird die Eingangsgröße erneut erhöht, werden die Operatoren mit dem kleineren Wert von a wieder auf die Seite S wechseln. Dadurch entsteht eine treppenförmige Flächengrenze, deren Eckpunkte sich aus vergangenen Minima und Maxima des Eingangs bestimmen. Die geordnete Menge der Eckpunkte entspricht dem Gedächtnis der Preisach-Nichtlinearität r und beschreibt den momentanen Zustand der Hysterese. Damit besitzt das PreisachModell ein nichtlokales Gedächtnis, indem der Systemzustand nicht nur vom momentanen Zustand und der Eingangsgröße sondern auch von der kompletten Eingangshistorie abhängt.
Eigenschaften des Preisach-Modells
Die Kausalität des Preisach-Modells ergibt sich aus der Kausalität einzelner Operatoren, bei denen das Ereignis des Überschreitens des Schwellenwerts a oder ß die Wirkung des Zustandswechsels auslöst. Das Superpositionsprinzip der parallel geschalteten Operatoren verletzt nicht die Kausalität des Gesamtsystems.
Im Gegensatz zu den linearen zeitinvarianten Systemen (LTI) erfüllt das Preisach-Modell die Eigenschaft der Ratenunabhängigkeit und ist von den stetigen Transformationen der Zeitachse unabhängig
V^: [to,tE] ^ [to,tE]mit^(t0) = to a ^) =
--tE ^ y(Ф(*)) = Г [X(ф(*))].
(3)
а = -ß
X0
а = ß
a b
Bild 3. Anfangszustand definiert durch Speicherinitialisierung
Werden nach dem Anfangszustand die globalen Extremwerte oder x" erreicht und somit alle elementaren Operatoren denselben Zustand +1 beziehungsweise -1 annehmen, wird der komplette Speicherinhalt gelöscht und der Preisach-Operator in seine Sättigung gebracht. Wird eine Eingabesequenz gewählt, bei der die Folge der Maxima {M} stets fällt und die der Minima {m} stets wächst, so baut sich die treppenförmige Grenze zwischen S und S auf, die so viele Eckpunkte enthält, wie es aufeinander folgende Minima-Maxima-Paare gibt (Bild 4(a)).
Die Systemantwort ist lediglich von der Reihenfolge der Werte in der Eingangssequenz und nicht von ihren zeitlichen Abständen abhängig. Diese Eigenschaft gewinnt an Bedeutung bei der Beschreibung der hysteretischen Systeme, deren dämpfende Eigenschaften nicht oder nur geringfügig von der Erregungsfrequenz abhängen.
Der Preisach-Operator ist stückweise monoton. Für den konstanten Eingangswert x(t) = const ist der Ausgangswert ebenfalls konstant. Durch das Preisach-Modell wird eine monoton wachsende beziehungsweise fallende Funktion x(t) V t e [t1, t2] auf eine monoton wachsende beziehungsweise fallende Funktion y(t) V t e [t1, t2] abgebildet.
Das Gedächtnis des Preisach-Operators wird durch den dynamischen Speichervektor m(x(t)) dargestellt. Der Anfangszustand der zuerst gedächtnislosen Hysterese für x = Xo und somit für die Initialisierung des Speichervektors m1_N ist durch die Gerade a = -ß gegeben, wie in Bild 3 (a) dargestellt, und setzt einen unendlich langen Speicher N^ro voraus. Für die Umsetzung des PreisachModells wird eine N = const. gewählt, die die Speicherkapazität des Preisach-Operators und die Approximationsgenauigkeit des Anfangzustandes widerspiegelt. Größere Speicherkapazität resultiert sich in feineren Treppenschritten wie in Bild 3 (b) dargestellt, wobei die äquidistanten Skalierungsstufen keinerlei Diskretisierung der PreisachEbene kennzeichnen.
(mi, Mi)
(m2,
S-
MO
M5
b
Bild 4. Lokale Minima und Maxima mit «Wiping-Out» Eigenschaft
Folglich können lokale Extremwerte durch das Auftreten neuer Extremwerte gelöscht werden. Diese Eigenschaft des Preisach-Operators wird als «Wiping-Out» bezeichnet: Jedes lokale Maximum x(t) löscht diejenigen Eckpunkte (m, M) der Grenze zwischen S? und S—, deren a-Koordinate kleiner als dieses Maximum ist (M < x(t)), wie in Bild 4 (b) dargestellt. Analog löscht jedes lokale Minimum x(t) diejenigen Punkte aus dem Speicher, deren ß-Koordinate größer als dieses Minimum ist.
а
ß
а
а
ß
Eine signifikante Eigenschaft des Preisach-Modells zur konsistenten Abbildung der geschlossenen Hystereseschleifen ist die Kongruenz und somit die Existenz der kongruenten Unterschleifen. Die kongruenten Unterschleifen entstehen bei der monotonen Bewegung des Eingangs x(t) zwischen denselben lokalen Extremwerten xmin und xmax. Hierbei entstehen die kongruenten Unterschleifen der gleichen Form unabhängig von der Vergangenheit der Eingangssequenz und somit des aktuellen Speicherinhalts.
1 \ 4 5
2 3 6
t
а
b
Bild 5. Kongruente Unterschleifen
Bild 5 (a) zeigt die Eingangssequenz mit drei gleichen lokalen Maxima {1, 4, 5} und Minima {2, 3, 6}. Diese resultieren in drei kongruenten Unterschleifen, die entsprechend dem vorherigen Speicherinhalt und somit dem momentanen Zustand der Hysterese unterschiedlich innerhalb der Hauptschleife liegen, wie in Bild 5 (b) dargestellt.
Dynamische Preisach-Ebene
Aus der Definition der Teilebenen S+ und ST und aus der Gleichung (1) ergibt sich der Ausgang des PreisachModells als
y(t) = JJ p(a, ß)dadß - JJ p(a, ß)dadß =
= 2 Ц p(a, ß)dadß - Ц p(a, ß)dadß,
(4)
wobei S die Fläche der gesamten Preisach-Ebene bezeichnet. Daraus folgend wird unter Berücksichtigung der Relation S+(t1)=S+(t2)uQ die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Ausgangswerten als
y(h) -y(h) = 2 JJ p(a,ß)dadß-
S +(t2)
-2 JJ p(a, ß)dadß = -2 JJp(a, ß)dadß (5)
S+(t1) Q
gegeben, wobei Q die Fläche mit den zwischen t1 und t2 umgeschalteten Operatoren bezeichnet. Der Rechenschritt des Preisach-Operators reduziert sich auf die Berechnung des Flächenintegrals der Preisach-Dichtefunktion. Im einfachsten Fall ist die Fläche Q über ein Dreieck wie in Bild 2 (b) dargestellt. Im Allgemeinfall ist die Fläche Q ein komplexer Polygonzug, dessen Eckpunkte die gerade aus dem Gedächtnis gelöschten Extremwerte darstellen.
Die bis jetzt bekannten Ansätze zur Realisierung des Preisach-Operators verwenden meist eine Diskretisierung der Preisach-Ebene hinsichtlich der Eingangs- oder Ausgangsgröße mit der Folge, dass dem Eingang beziehungsweise dem Ausgang nur ein bestimmtes diskretes Spektrum zur Verfügung steht. Darüber hinaus führt die Diskre-tisierung der Preisach-Ebene bei einer zu groben Raste-rung und einer nicht ausreichend genauen Identifikation zur Verletzung der Kongruenz und weiterhin der Persistenz der geschlossenen Hysterese-Kurve, die eine Hauptbedingung für Systeme mit Hysterese definiert. Alternativ werden die numerischen Integrationsverfahren verwendet, um die Verteilung der elementaren Operatoren innerhalb von Q zu berechnen. Diese sind meist mit einem hohen Rechenaufwand verknüpft und gewährleisten nicht immer eine echtzeitfähige Prädiktion des Hystere-Ver-haltens.
Für eine effiziente Realisierung des PreisachOperators, für die Fälle einer analytisch beschriebenen Dichtefunktion und einer diskreten (a, ß)-Distribution, werden hier die geometrischen Primitive der PreisachEbene eingeführt, die eine disjunkte Zerlegung der Fläche Q darstellen. Bei einer genaueren Betrachtung der Grenze zwischen S+ und ST wird ersichtlich, dass die Fläche Q im Allgemeinfall aus einem Dreieck und einer Menge weiterer Rechtecke besteht, deren Anzahl in einem direkten Zusammenhang mit der Anzahl der gespeicherten Mini-ma-Maxima-Paare steht. Die aus dem momentanen Inhalt des Speichervektors m(x(t)) und dem neuen Eingangswert ermittelten Primitive werden zur Berechung des Flachenintegrals verwendet, indem die Eckpunktkoordinaten der geometrischen Primitive als Grenzwerte des Integrationsbereichs dienen. Im Falle einer diskreten (a, ß)-Distribution werden die Primitive als Koordinatenfenster über die Preisach-Ebene gelegt, um somit eine numerische Berechnung der Q Fläche durchzuführen.
Frequenzantwort der Hysterese
Zur Beschreibung der dämpfenden Eigenschaften der hysteresebehafteten Systeme ist die Frequenzantwort des Hysterese-Operators von Bedeutung. Aufgrund des streng nichtlinearen Verhaltens und somit der Nichtgegebenheit der Übertragungsfunktion G kann die Frequenzantwort der Hysterese nur auf Basis der Simulationsdaten numerisch geschätzt werden. Mithilfe der Multisinusfunktion wird ein breitbändiges Erregungssignal im Bereich von 0 bis 200 Hz mit der Frequenzauflösung A/= 1 Hz erzeugt. Hierbei besitzen einzelne Frequenzanteile die gleiche Amplitude A, während die Phase o als Realisierung des Randomprozesses auf [0, 2n[ angenommen wird. Die Multisinus-Erregungssequenz für A = 10 sowie die Antwort des Preisach-Operators sind in Bild 6 dargestellt. Die
x
x
x
x
X
X
resultierende Hysterese zeigt die Existenz der Hauptschleife zwischen globalen Minima und Maxima des Eingangs x(t), währenddessen die einzelnen Frequenzanteile für die Schattierung der geschlossenen Hysterese-Schleife sorgen und die entsprechenden Dissipationsregionen bestimmen.
m_
200
Bild 6. Erregungssequenz und Antwort des Preisach-Operators
Das Bild 7 zeigt die geschätzten Frequenzkennlinien, - Amplitudengang und Phasengang, des PreisachOperators für zwei Erregungssequenzen mit A = 10 (a) und A = 20 (b).
Ein ungleichmäßiger Verlauf des Amplitudengangs resultiert sich aus dem diskreten Simulationsschritt, der Genauigkeit der numerischen Schätzung sowie einem endlichen Speichervektor m. Nichtsdestotrotz wird ersichtlich, dass der Amplitudengang einen beinah konstan-
ten Wert im gesamten Frequenzbereich beibehält. Dies deutet auf das dissipative Verhalten der Hysterese, deren dämpfende Eigenschaften vielmehr von der Form der Hysterseschleife und nicht von der Frequenz und Amplitude des Erregungssignals abhängen. Der geschätzte Phasengang der Hysterese zeigt keinerlei systematisches Verhalten und wird in Rahmen dieser Arbeit zuerst nicht untersucht.
Identifikation in zeitdiskreten Systemen
Die Identifikation des Preisach-Modells beschränkt sich auf die Identifikation der Preisach-Dichtefunktion in der (a,ß)-Ebene, welche die Form der HystereseAbbildung vollständig definiert. Analysiert in [10] unterteilen sich Methoden zur Identifikation der PreisachDichtefunktion grundsätzlich in zwei verschiedenen Kategorien: Annahme einer Dichtefunktion in der analytisch geschlossenen Form und anschließende Schätzung ihrer Parameter; Direkte Messung der Everett-Funktion [11] und anschließende Interpolation zwischen den einzelnen Messpunkten. Bekannt aus zahlreichen Arbeiten verschiedener Autoren, liefert die Messung der Everett-Funktion bessere Ergebnisse, wobei die genaue Erfassung der Eve-rett-Funktion in möglichst equidistanten (a, ß)-Punkten und das passende Interpolationsverfahren mit anschließender Ableitung die Hauptanforderungen an den Ansatz der Methode stellen. In [11] beschreibt Mayergoyz im Repräsentationstheorem eine exakte Methode zur Berechnung der Preisach-Dichtefunktion mithilfe der so genanten FOD (first order descending) Kurven. Eine FOD Kurve entsteht beim Bringen der Hysterese in die negative Sättigung und anschließender monotonen Erhöhung des Eingangs bis zu einem bestimmten Wert x = ai. Anschließend wird der Eingang monoton bis zu x = ß1 abgesenkt. Der unmittelbare Ausgang zum lokalen Maximum x = a1 wird als ya1 und der zum x = ß1 als ya1ß1 bezeichnet, wie in Bild 8 dargestellt.
b
Bild 7. Amplituden- und Phasengang der Hysterese für die Fälle A=10 (a) und A=20 (b)
а
b
а
y
/ **"
Í /
/ /
/ / у / " " " yai
' J f Í yaißi ........
J
1 J\
/ f :
/ / ■
У
РО^ ßi) =
1 а2
2 da1dß1
F (ai, ßi).
(7)
ßi ai
Bild 8. First order descending curves (FOD)
Wird die Differenz beider Ausgangswerte als Funktion F(a1,ß1) definiert, ergibt sich unter Berücksichtigung der Gleichung (5) folgende Relation
F(a1, ß1) = ytt1ß1 — ya1 = — 2 J J p(a, ß)dadß. (6)
ß1 ß
Nach der zweifache Partialableitung nach a1 und ß1 ergibt sich die lokale Dichtefunktion
Wird die F() Funktion von unendlich vielen FOD Kurven in jedem (a, ß)-Punkt der Ebene S ermittelt, ergibt sich heraus eine glatte y(a, ß) Ebene, deren räumliche Ableitung die gesuchte Preisach-Dichtefunktion darstellt. Für den praktischen Ansatz steht eine begrenzte Anzahl gemessener Punkt zur Verfügung, die den Ansatz der FOD Kurven einer Zusatzrestriktion unterlegt. Die Eingangssequenz wird in n equidistante Intervalle {x/}/=0,.., n unterteilt. Anschließend werden die FOD Kurven für alle Paare (xi, xj) mit j < i ermittelt. Die erhaltenen FOD Daten werden einer angenommenen Ebene beziehungsweise Verteilung abgeglichen, worauf folgend die zu identifizierende Preisach-Dichtefunktion über eine analytische oder numerische Differenzierung gewonnen wird, wie in Bild 9 schematisch dargestellt.
Zusammenfassung und Ausblick
Das Preisach-Modell zur Beschreibung der HystereseEffekte mit dem nicht-lokalen Gedächtnis ist vorgestellt. Die dynamische Preisach-Ebene als Hauptmerkmal des Preisach-Modells ist für eine kontinuierliche, echtzeitfähi-ge Simulation des Hysterese-Verhaltens implementiert worden. Die Grenze zwischen den Teilmengen der positiv und negativ geschalteten elementaren Operatoren - Hyste-ronen, beinhaltet die nicht überschriebenen lokalen Grenzwerte der Eingangssequenz und definiert vollständig den momentanen Systemzustand. Die zugrunde liegenden Eigenschaften, wie die Ratenunabhängigkeit, Sättigung, Speicherverhalten und Kongruenz, sind beschrieben und in der dynamischen Simulation untersucht worden. Die ermittelte Frequenzantwort der Hysterese für verschiedene breitbandige Erregungssignale zeigt die dämpfenden Eigenschaften der Hysterese und verdeutlicht ihr dissipati-ves Verhalten. Ein systematischer Ansatz zur Identifikation und Prädiktion der Hysterese ist für den Einsatz in zeitdiskreten Systemen vorgestellt. Das Preisach-Modell eignet sich zur Beschreibung willkürlicher HystereseEffekte unabhängig der Natur ihrer Ursache und Wirkung. Aktuelle und künftige Arbeiten befassen sich mit der robusten Identifikation der Preisach-Dichtefunktion und der inversen Modellbildung zur Auslegung von Kompensationsfiltern für fortgeschrittene Regelungskonzepte.
а2
aa aß
Bild 9. FOD Daten und Preisach-Dichtefunktion
а
b
Diese Arbeit entstand im Rahmen des öffentlich geförderten Projektes unter BMBF-Nr. 02PB2197 und wurde vom Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF) finanziell unterstützt.
Literatur
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2. Jiles D.C., Atherton D.L. Theory of ferromagnetic hysteresis. Journal of magnetism and magnetic materials, 1986. Vol. 61, P. 48-60.
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Поступила в редакцию
4. Wen Y.K. Method for random vibration of hysteretic systems. Journal of Engineering Mechanics-ASCE, 1976. 102 (2), P. 249-263.
5. Preisach F. Über die magnetische Nachwirkung. Zeitschrift Physik 1935. Vol. 94, P. 277-302.
6. Everett D.H., Whitton W.I. A general approach to hysteresis//
Transactions of the Faraday society 1952. Vol. 48, P. 749-757.
7. Krasnoselskii M., Pokrovskii A. Systems with hysteresis. Berlin, 1989.
8. Mayergoyz I.D. Mathematical models of hysteresis. Physical
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9. Ruderman M., Hoffmann F., Bertram T. Preisach model of
nonlinear transmission at low velocities in robot joints // Proc. IEEE Internation workshop on advance motion control (AMC'08). 2008. Trento, P. 721-726.
10. Henze O., Rucker W.M. Identification procedures of Preisach model // IEEE transactions on magnetics. 2002. Vol. 38, № 2, P. 833-836.
11. Mayergoyz I.D. Mathematical models of hysteresis and their application // Academic Press an imprint of Elsevier : 2nd edition. 2003.
18 мая 2009 г.
Michael Ruderman - wissenschaftlicher Mitarbeiter, Technische Universität Dortmund. E-mail: [email protected]
Bertram Torsten - Prof. Dr. -Ing. Prof. h.c., Lehrstuhlleiter, Lehrstuhl für Regelungssystemtechnik Technische Universität Dortmund. Tel.: +49/231/755-2496, Fax: +49/231/755-2752. E-Mail: {mykhaylo.ruderman, torsten.bertram}@tu-dortmund.de
Михаил Рудерман - научный сотрудник, Технический университет, г. Дортмунд. E-mail: [email protected]
Бертрам Торстен - д-р техн. наук, проф., заведующий кафедрой «Системы автоматического управления», Технический университет, г. Дортмунд.
