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УДК 621.865.8
SIMULATION UND VERIFIKATION EINER BILDBASIERTEN SCHWINGUNGSDETEKTION ZUR REGELUNG DES MEHRGLIEDRIGEN ELASTISCHEN LEICHTBAUARMS TUDOR
© 2009 г. René Franke, Thomas Nierobisch, Jörn Malzahn, Frank Hoffmann, Torsten Bertram
Технический университет, г. Дортмунд Technische Universität Dortmund
Die bildbasierte Positionierung elastischer Handhabungssysteme stellt aufgrund der komplexeren Systemdynamik erhöhte Anforderungen an deren Regelung. Dieser Beitrag stellt daher einen neuen Ansatz zur bildbasierten Schwingungsdetektion und -dämpfung vor, welche ohne Objekt- oder Umweltmodelle die auftretenden Schwingungen detektiert und über einen energiebasierten Ansatz den Leichtbauarm ohne explizite Kenntnisse der Dynamik asymptotisch stabilisiert. Die Simulationsergebnisse sowie die erfolgreiche experimentelle Evaluation mit dem mehrgliedrigen Leichtbauarm TUDOR verdeutlicht das Potenzial der bildbasierten Schwingungsdetektion für eine optimale Positionierung und Stabilisierung des Armes.
Schlagwörter: Bildbasierte Regelung; Leichtbauarm; Schwingungsdämpfung; Elastizitäten.
Позиционирование эластичных манипуляторов при помощи видеоинформации предъявляет повышенные требования к их управлению, связанные со сложной динамикой манипуляционной системы. Данная статья представляет новый подход к детектированию и демпфированию колебаний, основанный на использовании видеоинформации. При этом возникающие колебания детектируются без использования моделей объекта и его окружающей среды, а эластичный манипулятор асимптотически стабилизируется при помощи энергобазированного метода без дополнительной информации о динамике системы. Результаты имтационного моделирования и успешно проведенные эксперименты на многозвеньевом эластичном манипуляторе ТУДОР подчеркивают потенциал детектирования колебаний при помощи видеоинформации для оптимального позиционирования и стабилизации манипуляторов.
Ключевые слова: управление при помощи видеоинформации; манипулятор облегченной конструкции; демпфирование колебаний; эластичность.
The vision based positioning of a flexible robot arm makes high demands on the control concept due to the complex system dynamic. Therefore, this paper presents a novel approach for the vision-based vibration damping of a multi-link flexible robot arm. The realized visual vibration detection does not need any environmental or object information. Utilizing the measured vibration the robot arm is asymptotical stabilized with an energy based control concept. The feasibility and effectiveness of the proposed vibration control scheme in conjunction with a camera is verified and analyzed in simulations and confirmed in experiments with a flexible three-link robot arm.
Keywords: control; multilink; flexible; robot arm; vision; vibration; lightweight.
Einleitung
Der Trend in der Automatisierungstechnik und insbesondere in der Servicerobotik geht zur Leichtbauweise von Handhabungssystemen. Einerseits um Kosten zu reduzieren, anderseits um eine inhärente Sicherheit bei der Interaktion mit dem menschlichen Benutzer zu garantieren. Die durch die Leichtbauweise auftretenden strukturellen Elastizitäten haben einen nicht zu vernachlässigenden Einfluss auf die Dynamik solcher Systeme [1] und sind daher bei der Modellierung und Regelung unbedingt zu berücksichtigen. Die auftretenden Schwingungen des Gesamtsystems müssen folglich entweder ausreichend genau modelliert oder mithilfe einer Zusatzsensorik erfasst werden. Eine weit verbreitete Möglichkeit zur Erfassung der Schwingungen ist der Einsatz von Dehnungsmessstreifen [2]. Gegen den Einsatz solcher Sensoren am späteren Zielsystem sprechen die zusätzlichen Kosten und die Anfälligkeit dieser Sen-
sorik gegenüber elektromagnetischen Störungen sowie die umfangreiche Verkabelung, die sowohl bei einem Einsatz im industriellen Umfeld als auch im Home-Bereich zu erwarten sind. Daher wird in diesem Beitrag gezeigt, wie mit einem Kamerasystem als universellem Sensor in einer «Auge-in-Hand»-Konfi-guration ohne weitere Sensorik die Schwingungen eines elastischen Arms bestimmt und bei der Regelung berücksichtigt werden.
Um einen Entwurf der visuellen Schwingungsdetekti-on durchzuführen und diese systematisch zu untersuchen, wird in Abschnitt 2 ein Modell des dreigliedrigen elastischen Leichtbauarms TUDOR (Technische Universität Dortmund omni-elastischer Roboter), hergeleitet. Dazu wird die gesamte Dynamik des Systems über ein konzentriertes Massenmodell abgebildet und zudem eine umfassende Umweltmodellierung zur Simulation der Bildverarbeitung durchgeführt.
sind, welche die Elastizitäten des Systems repräsentieren. Die Parameter der Feder-Dämpfer-Elemente berechnen sich aus den Materialeigenschaften der elastischen Arme. Das gesamte Modell wird unter Matlab/Simulink umgesetzt. Durch den gewählten Ansatz ist es möglich, die Parameter der Arme sowie die Anzahl der elastischen Teilkörper zu variieren. Um die Geometrie des Armes zu verdeutlichen, zeigt Bild 2 ü ein konzentriertes Massenmodell des dreiachsigen Roboterarms mit zwei elastischen Armen.
b
Bild 1. CAD Konstruktion des Leichtbauarms TUDOR (a); Modularer elastischer Leichtbauarm TUDOR mit am Endeffektor montierter Kamera im Labor (b)
In Abschnitt 3 werden die Bildverarbeitungsverfahren vorgestellt, die eingesetzt werden, um die auftretenden Schwingungen zu detektieren und das Messsignal zur bildbasierten Schwingungsdämpfung zu generieren. Der bei der Schwingungsdämpfung zum Einsatz kommende energiebasierte Regelungsansatz wird in Abschnitt 4 erläutert. Die energiebasierte Schwingungsdämpfung wird abschließend in der Simulation getestet und deren zugrunde liegende Detektion am realen System verifiziert. Die erzielten Ergebnisse in der Simulation und im Experiment werden in Abschnitt 5 vorgestellt.
Modellbildung und Analyse
In der Literatur werden bei der Modellierung von elastischen Robotern zumeist eingliedrige Systeme in der horizontalen Ebene ohne Gravitationseinfluss betrachtet [3]. Daher stellt dieser Beitrag zunächst ein modulares Modell eines dreigliedrigen elastischen Roboterarms unter dem Einfluss der Gewichtskraft vor. Das dynamische Modell des Roboters beruht auf den geometrischen Angaben aus den Konstruktionszeichnungen, den zugehörigen Materialeigenschaften sowie den elektromechanischen Teilmodellen der Motor-Getriebe-Einheiten. Die Modellbildung berücksichtigt neben den geometrischen Abmessungen, Massen und Trägheitsmomenten auch die Elastizitäten der Armkörper.
Die Elastizitäten des Leichtbauarms werden durch ein konzentriertes Massenmodell abgebildet [4]. Der Arm wird dabei in n gleiche starre Teilabschnitte unterteilt, die untereinander mit Feder-Dämpfer-Elementen verbunden
0,2
X [m]
n /I
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
N
-0,2
5
Zeit t И b
1,5
— 1,0
0,5
5 10 15
Frequenz f, Hz
Bild 2. Konzentriertes Massenmodell unter MATLAB/ SimMechanics (a); simulierte Endpunktbeschleunigung (b) und Spektrum (c)
Die beiden elastischen Arme werden jeweils durch ein Teilmodell mit zehn konzentrierten Massepunkten reprä-
a
0
а
2
0
0
c
sentiert. Die Beschleunigung des Endeffektors bei einer Anregung des Armes durch eine kurzzeitig am Endeffektor einwirkende Kraft ist in Bild 2 b dargestellt. Die Frequenzanalyse (Bild 2 c) zeigt, dass die Auslegung des Systems die Anforderungen hinsichtlich der dominanten Eigenfrequenz, die sich zu 4,1 Hz ergibt, für die gewählte Konfiguration erfüllt. Diese niedrige Eigenfrequenz ist nötig, um die auftretenden Schwingungen die mithilfe der Kamera gemessen werden in ausreichender Güte zu identifizieren.
Die Simulation der Bildverarbeitung erfolgt zunächst durch eine einfache Simulation von Merkmalspunkten im 3D Raum und deren perspektivische Abbildung auf die 2D Bildebene. Um aber auch die für die Bilderverarbeitung am realen System auftretenden relevanten Effekte der Merkmalsextraktion schon innerhalb der Simulationsumgebung zu berücksichtigen, wird die reale Szene in der Virtuellen Realität (VR) nachgebildet. Durch diesen Ansatz lassen sich Effekte wie Bewegungsunschärfe, Pixelrauschen, Korrezpondenzprobleme, Kamerakalibrierung und Rechenzeiten der Bildverarbeitungsalgorithmen bereits während der Simulation nachbilden.
In Bild 3 ist exemplarisch das Modell des elastischen Arms sowie die künstliche Textur dargestellt. Der elastische Balken selbst besteht aus quaderförmigen Elementen die dazu dienen die simulierten Elastizitäten auch in der VR-Umgebung abzubilden. Die Kamera ist am Ende des elastischen Balkens montiert. Die Identifikation der intrin-sischen Parameter der Kamera in der VR erfolgt, über eine Kamerakalibrierung mit einem Kalibrierungsmuster, analog zu der Herangehensweise bei konventionellen Kamerasystemen.
Bildbasierte Schwingungsdetektion durch partielle Lagerekonstruktion
Es wird gefordert, dass die bildbasierte Schwingungs-detektion universell einsetzbar ist und daher ohne Objektbeziehungsweise Umweltmodelle erfolgt. Zudem muss die Rechenkomplexität des verwendeten Verfahrens möglichst gering sein, um eine hinreichend hohe Abtastfrequenz zu erzielen, die um den Faktor acht bis zehn höher liegt als die erste Eigenfrequenz des elastischen Arms. Um die geforderten Spezifikationen einzuhalten, erfolgt die Schwingungsdetektion über eine partielle Lagerekonstruktion zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ansichten der gleichen Szene. Diese erfolgt durch die Zerlegung der anhand von Korrespondenzen geschätzten Homographie, welche es ermöglicht die Rotation sowie die Richtung der Translation zu bestimmen. Bildmerkmale werden mithilfe eines Eckendetektor [5] mit Subpixelgenauigkeit bestimmt und anhand der Ähnlichkeit ihrer lokalen Umgebung in den beiden Ansichten einander zugeordnet. Bild 3 zeigt die aus einer künstlichen Textur extrahierten und mit einer zweiten Ansicht korrespondierenden Eckenmerkmale.
Zur Veranschaulichung der Homographie sowie der partiellen Lageschätzung ist in Bild 4 (b) die Anordnung zweier Kameras gegenüber einer planaren Ebene dargestellt. Die zu unterschiedlichen Ansichten gehörenden Kamerakoordinatensysteme Oi und O2 stehen über den Translationsvektor und die Rotationsmatrix zueinander in räumlicher Beziehung. Betrachtet wird ein Weltpunkt P der auf den normalisierten Bildebenen der Kameras in den Punkten pci und pc2 abgebildet wird. Der Normalenvektor n der Ebene ist im Kamerakoordinatensystem O1 angegeben.
Bild 3. Simulationsmodell
Eine Homographie stellt eine bijektive projektive Abbildung von einem Vektorraum auf einen anderen dar, welche über eine Punkt-zu-Punkt-Transformation Bildpunkte aus einer planaren Szene von einer Kameraansicht in eine andere Kameraansicht transformiert.
pc2 = aHpc1 mit H :
R +
tn
(1)
"1 0 0 " "0 0 0 "
H = R + tnT = 0 r22 r23 + 0 0 y
0 r32 r33 _ 0 0 z
1 0 0
0 r22 r23 + y 0 r32 r33 +z
(2)
У1
Ol
У ^ p
/ n
Tabelle 1 zeigt die benötigte Rechenzeit für die drei Schritte: Merkmalsextraktion/ -Verfolgung, Schätzung und Zerlegung der Homographie auf einem Standard-PC mit einem Pentium 4 2,8 GHz. Somit lässt sich die Schwin-gungsdetektion unter Berücksichtigung der Bildaufnahmezeit mit einer Abtastrate von über 40 Hz realisieren.
Tabelle 1
Rechenzeiten der einzelnen Schritte zur Schwingungsdetektion Laufzeit [ms]
Rechenzeit [ms]
Merkmalsextraktion/-Verfolgung 10,6
Robuste Schätzung der Homographie 10,5
Zerlegung der Homographie 0,75
У2
X2
t, R \ \v2 \
O2
b
Bild 4. Extrahierte Bildmerkmale (a); Kameraanordnung (b)
Dabei bezeichnet a den unbekannten Skalierungsfaktor und d den Abstand des Kamerakoordinatensystems O1 zur Ebene. Die robuste Schätzung der Homographie erfolgt mithilfe des RANSAC-Alogrithmus (Random Sample Consensus), welcher zufällig aus der Menge der Korrespondenzen Stichproben zieht und das aus ihnen generierte Modell anhand der Qualität der Übereinstimmung der übrigen Korrespondenzen evaluiert. Die nicht zu dem Modell mit der höchsten Übereinstimmung passenden Datenpunkte, stellen die Ausreißer der Datenmenge dar. Mit den übrigen Datenpunkten wird die endgültige Homographie durch lineare Regression geschätzt. In [6] wird aufgezeigt, wie die geschätzte Homographie über eine Singulärwertzerlegung in eine Rotationsmatrix, einen skalierten Richtungsvektor sowie den Normalenvektor zu zerlegen ist. Da die Zerlegung der Homographie mehrdeutige Lösungen liefert, wird die richtige Lösung durch Vergleich des geschätzten mit dem bekannten Normalenvektor ermittelt. Die Homographie besitzt im Allgemeinen acht Freiheitsgrade, welche sich jedoch im vorliegenden Anwendungsfall auf fünf reduzieren lassen, da der elastische Arm nur in der vertikalen Ebene schwingt.
Positionsregelung und Schwingungsdämpfung
Zur Positionsregelung des Roboters dienen PD-Achsregler, welche die Drehmomente der einzelnen Motoren regeln. Diese Sollwertregelung ermöglicht es den gesamten Arm stabil zu positionieren, allerdings wirkt dieser Regler nicht den durch die Elastizitäten auftretenden Schwingungen entgegen. Motiviert durch [2] wird der PD-Positionsregler um eine nichtlineare Rückführung erweitert. Im Gegensatz zu der in [2] beschriebenen Dehnungsrückführung, wird der mittlere optische Fluss beziehungsweise ein aus der geschätzten Homographie stammender Rotationswinkel zurückgeführt. Dieses, auch als energiebasierter Ansatz, bekannte Verfahren ermöglicht die Dämpfung der auftretenden Schwingungen. Es ermöglicht zudem eine modellfreie robuste Regelung des Systems, ohne dabei explizit die Systemdynamik zu berücksichtigen und ist damit robust gegenüber Parametervariationen wie beispielsweise Veränderungen des Handhabungsgewichtes. Weitere Vorteile des im Folgenden kurz vorgestellten Ansatzes sind die einfache Umsetzbarkeit und der Verzicht auf die Messung von rauschbehafteten Signalen höherer zeitlicher Ableitungen, wie zum Beispiel der Beschleunigung der Gelenkwinkel, aufgrund der integralen Rückkopplung der Signale. Der gesamte Regler wird zunächst in der Simulation entworfen und anschließend am realen System verifiziert. Das Regelungsgesetz lautet wie folgt:
T(t) = - kpe(t) - kve(t) - kfif (t) j e(a)f (a)do, (3)
a
kp und kv bezeichnen die Verstärkungsfaktoren des PD-Positionsreglers, kfi den Verstärkungsfaktor der nichtlinearen Rückkopplung der Funktion ft), ft) den mittleren optischen Fluss beziehungsweise die Ableitung des aus der Homographie geschätzten Rotationswinkels. Beide Signale enthalten Informationen über die auftretenden unerwünschten Schwingungen und sind für den Fall nicht vorhandener Schwingungen Null. Die Stabilität des geschlossenen Systems wird durch Wahl der folgenden Ljapunov Funktion:
1 2 1
V (t ) = Ek + Ep + - kpe(t )2 + - kfi
\ 2
j e(o)f (G)dG
(4)
Garantiert da unter bestimmten Annahmen die zeitliche Ableitung der Ljapunov Funktion auf einen negativ semi-definiten Ausdruck führt. Damit ist das geschlossene System für alle kp, kv > 0 und kfi > 0 stabil. Die Berechnung der Verstärkungsfaktoren erfolgt dabei nach [2]. Die asymptotische Stabilität des gewählten Ansatzes lässt sich aufgrund der unendlichen Dimensionalität des Systems nicht ohne weiteres nachweisen, da der Satz von La Salle auf ein solches verteiltes System nicht anwendbar ist. In der Simulation und am realen System ist die Stabilität jedoch für den gewählten Ansatz zu beobachten.
Schwingungsdämpfung
f
Bei einer minimalen Modifikation des Reglers:
x(t) = -kpe(t) - ke(t) - kflf (t)sgn(e(t))}|e(o)f (o)do, (5)
o
lässt sich nachweisen, dass der modifizierte Regler die Achsbewegung und eine beliebige Anzahl an elastischen Moden asymptotisch stabilisiert. Das Strukturbild des während der Simulationen eingesetzten Reglers ist in Bild 5 dargestellt. Als Messsignal dient der mithilfe der Homographie geschätzte Rotationswinkel 0 k beziehungsweise der mittlere optische Fluss.
Experimentelle Ergebnisse
Die Positionsregelung des Arms ist unter der Echtzeitumgebung von Matlab/Simulink realisiert. Als Senso-rik kommen auf dem Arm applizierte Faser-Bragg-Gitter-Sensoren als Referenz sowie eine am Endpunkt montierte monokulare Kamera zum Einsatz.
Die in der Simulation berechnete Eigenfrequenz des Gesamtsystems von 4,1 Hz wurde durch die mithilfe der FBG-Sensoren experimentell ermittelte Eigenfrequenz zunächst validiert. Gleichzeitig wird eine Schwingungsde-tektion mittels Kamera mit einer Abtastrate von 15 Hz durchgeführt. In Bild 6 ist das normierte Spektrum der beiden Messsignale dargestellt.
L
v
X к - Л
kp kv
Positionsregler
Motorstromregler strecke
Bild 5. Strukturbild des Positionsreglers mit Schwingungsdämpfung
Spektrum über die Homographiezerlegung
Spekrum über die FBG-Messung
2 4
Frequenz [Hz]
1,0
?0,8
D
W
3 0,6
Ф t
<D
0,4
О
0,2 0
О
4 6
Frequenz [Hz]
b
Bild 6. Spektrum der Schwingung über die Schätzung und Zerlegung der Homographie (a); Spektrum gemessen mit den FBG-Sensoren (b)
8
2
6
8
a
Die mithilfe der Bildverarbeitung gemessene Eigenfrequenz, die sich aus dem Maximum im Spektrum ergibt, liegt bei 4,19 Hz. Die Spektralaufweitung der bildbasierten Messung erklärt sich durch die im Verhältnis zur auftretenden Eigenfrequenz zu geringe Abtastrate der Bildverarbeitung. Dieser durch den Hardwareaufbau bedingte Effekt kann durch den Einsatz einer Kamera mit höherer Abtastrate reduziert werden.
In Bild 7 sind Simulationsergebnisse der bildbasierten Schwingungsdämpfung, sowohl mittels Homographie als auch mittels optischen Fluss dargestellt.
Yk, m
0
-0,005 -0,010 -0,015 -0,020 -0,025
ohne Schwingungsdämpfung Schwingungsdämpfung mittel Homographie Schwingungsdämpfung mittels optischer Fluss
WJW...
Т ТГТП | ",Г|.г'.| ïï У ~J fv ii j'i'
5 10
t, s
15
F(YK)x10-3, m
0,8 0,6 0,4 0,2 0
f Hz
Bild 7. Simulationsergebnisse der bildbasierten Schwingungsdämpfung
8, m/m 150-
100 50 0
-50 -100 -150
F(e)
. -.- ■ А К ;
10
12
t, s
Dehnung ohne Dämpfung ■ Dehnung mit Dämpfung
10 12 14 16 18
f Hz
Bild 8. Schwingungsdämpfung über eine Dehnungsrückkopplung
Deutlich sind die durch die Schwingungsdämpfung stark reduzierten Endpunktschwingungen und damit das deutlich bessere Regelungsverhalten zu erkennen. Ähnliche Ergebnisse konnten am realen System mit einer Schwingungsdämpfung erzielt werden, welche die Dehnungssignale der FBG-Sensoren als Messsignale verwendet.
Zusammenfassung und Ausblick
Im vorliegenden Beitrag wurde ein neuartiges Verfahren zur bildbasierten Schwingungsdämpfung vorgestellt. Die bildbasierte Messung der auftretenden Schwingungen wurde sowohl am Modell als auch im Experiment vali-diert. Es konnte gezeigt werden, dass die durch die Elastizitäten verursachten Schwingungen sich bildbasiert mit den vorgestellten Verfahren messen lassen. Zudem wird ein Regelungskonzept vorgestellt, welches mithilfe eines aus der Homographie geschätzten Rotationswinkels beziehungsweise des optischen Flusses eine effektive bildbasierte Schwingungsdämpfung in der Simulation ermöglicht. Zukünftig gilt es die nötigen Algorithmen echtzeit-ähig auf einer Kamera mit integriertem DSP mit hoher Abtastrate zu implementieren, um eine bildbasierte Schwingungsdämpfung des realen Manipulators durchzuführen. Überdies hinaus soll die bildbasierte Schwingungsdämpfung mit einer vorhandenen bildbasierten Geschwindigkeitsregelung kombiniert werden, um den Arm sowohl bildbasiert zu positionieren als auch die auftretenden Schwingungen zu dämpfen. Dazu wird ein zwei Zeitskalen Regelungskonzept verfolgt mit dem Regler zur Schwingungsdämpfung auf der schnellen Zeitskala und dem bildbasierten Positionsregler auf der langsamen Zeitskala. Dieses ermöglicht die Verwendung von unterschiedlichen Bildmerkmalen zur Positionierung beziehungsweise Schwingungsdämpfung.
Literatur
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Поступила в редакцию 13 мая 2009 г.
René Franke - Dipl.-Ing., wissenschaftlicher Mitarbeiter, Lehrstuhl für Regelungssystemtechnik Technische Universität Dortmund. Tel.: +49/231/755-2496. E-mail: [email protected]
Nierobisch Thomas - Dipl.-Ing., wissenschaftlicher Mitarbeiter, Lehrstuhl für Regelungssystemtechnik Technische Universität Dortmund.
Malzahn Jörn - Dipl.-Ing., wissenschaftlicher Mitarbeiter, Lehrstuhl für Regelungssystemtechnik Technische Universität Dortmund.
Frank Hoffmann - Dr. rer. nat., Oberingenieur, Lehrstuhl für Regelungssystemtechnik Technische Universität Dortmund.
Bertram Torsten - Prof. Dr. -Ing. Prof. h.c., Lehrstuhlleiter, Lehrstuhl für Regelungssystemtechnik Technische Universität Dortmund.
Франке Рене - научный сотрудник, кафедра «Системы автоматического управления», Технический университет, г. Дортмунд. Teл.: +49/231/755-2496. E-mail: [email protected]
Ниробиш Томас - научный сотрудник, кафедра «Системы автоматического управления», Технический университет, г. Дортмунд.
Мальцан Йорн - научный сотрудник, кафедра «Системы автоматического управления», Технический университет, г. Дортмунд.
Хоффман Франк - старший инженер, кафедра «Системы автоматического управления», Технический университет, г. Дортмунд.
Бертрам Торстен - д-р техн. наук, проф., заведующий кафедрой «Системы автоматического управления», Технический университет, г. Дортмунд.
7. Yigit A.S. On the Stability of PD Control for a Two-link Rigid-flexible Manipulator, AMSE J. Dynamic Systems, Measurement and Control. 1992. Vol. 116. P. 208-215.
