CC BY
15
DOI 10.25987^Ти.2020.16.4.005 УДК 004.94
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ БОУКА-ВЕНА НА ФОРМУ
ПЕТЛИ ГИСТЕРЕЗИСА
Т.Ю. Заблоцкая
Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) НИТУ «МИСиС»,
г. Старый Оскол, Россия Старооскольский филиал научно-исследовательского университета «Белгородский государственный университет», г. Старый Оскол, Россия
Аннотация: рассматриваются особенности настройки параметров феноменологической модели Боука-Вена, которая нашла широкое практическое применение и служит универсальной моделью для описания нелинейных процессов и явлений с гистерезисом в различных теоретических и прикладных областях научных знаний. Формулировка модели в виде системы дифференциальных уравнений позволяет изменять режим работы модели в широких пределах путем настройки параметров уравнений, не меняя при этом структуру модели. Выбор значений параметров модели существенно влияет на характеристики гистерезисной кривой и отклик модели на входное воздействие, определяя форму и наклон петли гистерезиса. Оптимальное задание параметров является основой для калибровки модели и управления ею в процессе моделирования реальных нелинейных систем, а также позволяет добиться максимальной точности и адекватного поведения модели. В работе исследуется система основных параметров модели Боука-Вена классического и расширенного типа, описывающих нелинейную систему с гистерезисом с учетом и без учета диссипации энергии соответственно. Также изучается характер отклика модели на возмущающее входное воздействие разного типа. Даются рекомендации относительно оптимального диапазона параметров модели. Приводятся результаты компьютерного моделирования
Ключевые слова: гистерезис, модель Боука-Вена, идентификация параметров, моделирование
Введение
Явление гистерезиса сопровождает многие нелинейные системы, изучаемые в самых разных отраслях - электромеханике, машиностроении, биологии и медицине, что обуславливает необходимость использования математической модели для их адекватного и точного описания. Среди моделей, отражающих суть процессов и явлений с гистерезисом, одной из наиболее эффективных является феноменологическая модель Боука-Вена [1]. В самой простой вариации данная модель сочетает в себе линейную физическую часть в виде уравнения системы с одной степенью свободы и нефизическую гистерезисную часть (уравнения (1)-(3)). Модификации модели содержат от пяти до 13 параметров, настройка которых позволяет изменять форму петли гистерезиса в широких пределах, обеспечивая универсальность модели. Именно от подбора значений параметров зависит конкретный тип гистерезисной кривой как отклика на возмущающее воздействие. При этом нелинейный характер уравнений затрудняет процедуру идентификации параметров, от которой зависит точность и про-гнозируемость результатов моделирования.
Настройка модели подразумевает такой подбор ее параметров, который обеспечит минимальное расхождение между откликом модели на входной сигнал и экспериментальными данными для одного и того же типа входного воздействия. Для решения задачи идентификации параметров используют разные подходы: генетические [2] и эволюционные [3] алгоритмы, байесовские методы [4], методы адаптивного слежения [5] и локальной чувствительности модели [6], а также экспериментальные методы [7, 8], которые косвенным образом подтверждают универсальность модели Боука-Вена. В работе [9] предлагается использовать модель Боука-Вена в качестве ги-стерезисного преобразователя для активации сигналов искусственной нейронной сети на базе биологического нейрона. Для этого необходимо изучить поведение модели Боука-Вена при различных значениях параметров.
Целью настоящей работы является изучение типовых моделей Боука-Вена и выявление влияния каждого из параметров модели на форму петли гистерезиса.
Описание модели Боука-Вена
Модель Боука-Вена является феноменологической универсальной моделью, одной из
© Заблоцкая Т.Ю., 2020
самых распространенных для описания широко класса явлений с гистерезисом. Модель может быть описана дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений. Классическая формулировка модели включает в себя пять параметров гистерезиса -А, а, в, у, п, которые описывают характер ги-стерезисной кривой:
ти + си + = Г (7);
Г = аКи + (1 — а)К2;
. . „I .11 |п—1 .1 \п
2 = Аи — р\и\\21 2 — уи\2
(1)
(2)
(3)
где Г - возвращающая сила, 2 - гистерезисная составляющая, называемая также гистерезисным смещением; коэффициент жесткости k в уравнении (3) представлен произведением А и .
В некоторых работах [10, 11] параметр а не включают в систему идентификации параметров модели, поскольку он представляет собой отношение между коэффициентами kf и К, характеризующими гистерезисную нелинейность и линейную жесткость модели соответственно:
а =
к_1 К
Модификация модели Боука-Вена представляет собой расширенную модель, учитывающую эффекты деградации и сжатия петли, обусловленные диссипативностью реальных систем с гистерезисом [12, 13]. Такая модель содержит 13 параметров, от которых зависит форма петли гистерезиса. Они представлены уравнениями (4)-(11), в рамках которых переменная 2 из уравнения (3) определяется выражением (4) с максимальным значением (5)
2 = h • — \Аи — уЩи ц
п—1 -II и\\2| 2 — уи\2
(4)
У
у(Щ + г)
(5)
Здесь А, а, в, у, п - параметры из классической модели (1)-(3). Диссипацию энергии в системе описывает величина
8
I
= 12Ы& .
(6)
Деградацию силы и жесткости описывают параметры у и ц:
у = 1 + 8уе;
ц = 1 + 8цв;
(7)
(8)
где 8у и 8ц - характеризуют снижение силы и жесткости соответственно.
Сжатие петли описывается функцией:
—(г sgn( и)—qzmшl )2
н = 1—£е
(9)
где величина £ определяет степень сжатия петли и угол наклона, 0 < 1; £2 характеризует область сжатия на гистерезисной кривой:
£ = £ (1 — е р8); (10)
£ = {у + 8^ + £1). (П)
Здесь параметры Л, q, р,щ,8у ,£ отвечают за
сжатие петли: р задает крутизну наклона области сжатия, £ определяет смещение: чем больше значение параметра, тем сильнее сжатие петли; у и 8 влияют на протяженность сжатия относительно всей петли, X задает взаимосвязь между и При у =ц = Н = 1 получаем стандартную петлю без сжатия (1)-(3).
Различия для двух рассмотренных типов модели в отклике на входное воздействие показаны на рис. 1.
Существуют другие модификации модели, насчитывающие семь и более параметров в зависимости от тех свойств нелинейных систем, которые представлены в системе дифференциальных уравнений [10-14]. Тем не менее, все они относятся к одному из описанных выше типов. В рамках данной работы ограничимся изучением классической модели Боука-Вена и ее параметров.
Рис. 1. Пример петли гистерезиса для классической (а) и расширенной (б) моделей Боука-Вена
Параметры, характеризующие форму петли гистерезиса
Результаты многочисленных исследований свидетельствуют, что форму петли гистерезиса, в основном, определяют три параметра - в, у, п, и их взаимосвязь. Модель обладает малой чувствительностью по отношению к абсолютным
значениям в и у, если они изменяются пропорционально, однако если абсолютные значения этих параметров велики (Р > 50 и |у| > 50), резко возрастает зашумленность. Жесткость и сила гистерезиса, а также плавность перехода пропорциональны абсолютным значениям в и у соответственно, но при этом диапазон изменений невелик (рис. 2, 3).
Рис. 2. Влияние параметра у на форму петли гистерезиса
Рис. 3. Влияние параметра ß на форму петли гистерезиса
Большей чувствительностью гистерезис обладает к разности значений в и у - комбинация этих параметров определяет, какой тип гистерезисной связи будет описывать модель, более жесткую или более мягкую (рис. 4).
Так, условия + у > 0 задают слабое
[у — \ < 0
смягчение; при замене второго условия равенством получим слабое смягчение (эластичность) при квазилинейном нагружении:
. Сильное смягчение
\ + у > \ — у \ — у > 0
сужает петлю гистерезиса под нагрузкой и без
\ + у > 0 у — Щ = 0
нее (рис. 5,а); условия
Щ + у = 0
и
у — \ < 0 описывают слабое и сильное
\ + у < 0 \ + у > у — \
ужесточение соответственно (рис. 5,б).
Рис. 4. Форма петли гистерезиса при различных комбинациях значений параметров в и у
а)
б)
Рис. 5. Зависимость смещения и от возвращающей силы при изменении параметров модели Боука-Вена: а) параметры нагружения: и = 0,1, релаксации: и = —0,1, \ + у > 0, \ = 2, у = -1, а= 0; б) параметры нагружения: и = 0,1, релаксации: и = —0,1, 0 > \ + у > у — \ , \= 1, у= -2, а= 0
Также увеличение параметра п делает кривую петли более мягкой при неизменных значениях остальных параметров, под нагрузкой параметр п задает плавность перехода от первоначальной кривой к асимптотической, к которой 2(7) приближается при мягком гисте-
резисе. С ростом п кривая нагрузки при мягком гистерезисе приближается к идеальной кривой упругой деформации, в то время как форма обратной кривой (без нагрузки) стремится к прямой линии (рис. 5,а). При жестком гистерезисе наблюдается другая форма петли
гистерезиса - большие значения параметра п вызывают сужение петли, делая переход между фазами более резким (рис. 5,б). Также при @ < 0 поведение модели соответствует более мягкому гистерезису, при р > 0 - более жест-
кому, а при р = 0 гистерезис переходит в линейную стадию (рис. 6,б). От параметра А зависит амплитуда гистерезиса, он влияет на ширину и наклон петли (рис. 6,а).
Рис. 6. Влияние параметров на форму петли гистерезиса в модели: а) А = var (в = 0,1; у = 0,9; п = 1); б) $ > 0; в = 0; в = 0; в = 0,1 (А = 1; у = 0,9; п = 1)
Влияние параметров модели Боука-Вена на форму петли гистерезиса
Таблица 1
Параметр Эффект (соответствует увеличению параметра)
а коэффициент жесткости петля становится шире
ß отвечает за форму петли гистерезиса петля стремится к вертикальному расположению и прямолинейному контуру
Y отвечает за форму петли гистерезиса петля становится шире
А характеризует амплитуду петли ширина петли растет
n отвечает за форму петли гистерезиса петля становится уже
Из результатов моделирования можно сделать следующие выводы (табл. 1): большим значениям параметров а, у и А соответствует более широкая петля гистерезиса, рост fi сдвигает ориентацию петли к более вертикальному положению и уменьшает наклон; увеличение собственной частоты шп сужает петлю и увеличивает наклон кривых.
Полученные данные согласуются с результатами исследований других авторов [7, 14-17]. Также проанализировав допустимые значения параметров модели, в рамках которых происходит устойчивое формирование полной закрытой петли гистерезиса [10, 16, 18], можно сделать вывод об оптимальном диапазоне параметров, обеспечивающем наибольшую точность модели (табл. 2).
Руководствуясь данными значениями, был проведен тест модели Боука-Вена при подаче на ее вход сигналов разного типа (рис. 7). В
качестве входных сигналов использовались периодический сигнал и(^ = X sin(юt) (рис. 7, а) как простой и удобный способ тестирования системы на нелинейность в виде отклонения от синусоиды на выходе и стохастический сигнал (рис. 7, б).
Таблица 2
Оптимальные значения параметров модели
Боука-Вена
Параметр Нижняя граница Верхняя граница
а 0.2 0.8
ß 3.0 5.0
У 1.1 3.0
А 0.4 1.1
п 1.0 2.0
Значения параметров модели: а = 0,4, в = 4,0, у = 2,0, A =1, n = 1.
Рис. 7. Отклик модели на периодический входной
Выбранный диапазон параметров (табл. 2) приводит к адекватной работе модели для систем с определенным типом гистерезисной кривой. В случае, если форма петли сильно отличается от «классической» по форме и/или наклону, рабочий диапазон параметров потребует корректировки. Также для расширенной модели Боука-Вена анализ ее параметров потребует проведения дополнительных испытаний.
Заключение
В результате проведенных исследований получены следующие результаты:
1) изучены и проанализированы аналитические описания двух вариантов феноменологической модели Боука-Вена - классической модели и ее расширенной модификации с увеличенным числом параметров;
2) проведено детальное исследование пяти основных параметров классической модели Боука-Вена и влияния каждого из них на форму петли гистерезиса;
3) выполнено компьютерное моделирование для классической модели Боука-Вена при заданном входном периодическом сигнале;
4) сформулирован оптимальный рабочий диапазон значений параметров классической
u(t) = X sin(mt) (а) и на стохастический сигнал (б)
модели Боука-Вена для получения полной закрытой петли при моделировании;
5) сделаны выводы относительно полученных результатов.
Полученные данные позволяют говорить о возможности оптимальной настройки параметров модели, обеспечивающих ее стабильный отклик на периодическое входное воздействие, а также об адекватном использовании модели Боука-Вена при описании работы нелинейных систем, в том числе в качестве ги-стерезисного преобразователя. При этом, в зависимости от особенностей моделируемого нелинейного процесса и/или системы и типа входного сигнала, калибровка параметров модели Боука-Вена позволит настроить ее наилучшим образом на описание изучаемого явления, не прибегая к изменениям в структуре самой модели.
Литература
1. Charalampakis Aristotelis E. Parameters of Bouc-Wen Hysteretic Model Revisited// 9th HSTAM International Congress on Mechanics, Limassol. Cyprus 12-14 July, 2010, URL: https://www.charalampakis.com/files/c09.pdf
2. Bartkowski P., Zalewski R., Chodkiewicz P. Parameter identification of Bouc-Wen model for vacuum packed particles based on genetic algorithm// Arch. Civil Mech. Eng. 2019. №19(2). pp. 322-333.
3. Laudani A., Fulginei F.R., Salvini A. Bouc-Wen hysteresis model identification by the metric-topological evolutionary optimization// IEEE Trans. Magn. 2014. №50(2). pp. 621-624.
4. Worden К., Hensman J.J. Parameter estimation and model selection for a class of hysteretic systems using Bayes-ian inference// Mechanical Systems and Signal Proc. 2012. №32. pp.153-169.
5. Yang J. N. and Lin S. On-line identification of nonlinear hysteretic structures using an adaptive tracking technique// International Journal of Non-Linear Mechanics. 2004. №39(9). pp. 1481-1491.
6. Parameter Estimation and its Sensitivity Analysis of the MR Damper Hysteresis Model Using a Modified Genetic Algorithm/ Х. Xiaomin, Qing S. et al.// Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2009. № 20(17). pp. 20892100.
7. Carboni B., Mancini C., Lacarbonara W. Hysteretic Beam Model for Steel Wire Ropes Hysteresis Identification// Structural Nonlinear Dynamics and Diagnosis. 2015. Vol. 168. pp. 261-282.
8. Carboni B., Lacarbonara W. Nonlinear dynamic characterization of a new hysteretic device: Experiments and computations// Nonlinear Dynamics. 2016. Vol. 83. pp. 2339.
9. Semenov M.E., Zablotskaya T.Yu. Choosing the model of biological neural network for image segmentation of a bio-liquid facie // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 70-85. DOI: 10.26117/2079-6641-201926-1-70-85.
10. Ismail M., Ikhouane F., Rodellar J. The hysteresis Bouc-Wen model, a survey//Archives of Computational Methods in Engineering. 2009. Vol. 16. No. 2. pp. 161-188.
11. Dynamical response identification of a class of nonlinear hysteretic systems/В. Carboni, W. Lacarbonara, P.T.
Brewick, S.F. Masri// J. Intell. Mater. Syst. Struct. 2018. № 29(13). PP. 2795-2810
12. A Novel Similarity-Based Hysteresis Empirical Model for Piezoceramic Actuators/ Zhi-Lin Lai, Zhen Chen, Xiang-Dong Liu, Qing-He Wu// Sensors & Actuators: A. Physical. 2013. Vol. 197. pp. 150-165.
13. Bouc-Wen model parameter identification for a MR fluid damper using computationally efficient GA/ N.M. Kwok, Q.P. Ha, M.T. Nguyen, J. Li, B. Samali// ISA Transactions. 2007. № 46. pp. 167-179.
14. Modelling and identifying the parameters of a mag-neto-rheological damper with a force-lag phenomenon/ G.R. Peng, W.H. Li, H. Du, H.X. Deng, G. Alici// Applied Mathematical Modelling: simulation and computation for engineering and environmental systems. 2014. № 38 (15-16). pp. 3763-3773.
15. Parameter analysis of the differential model of hys-teresis/ F. Ma, H. Zhang, A. Bockstedte, G.C. Foliente and P. Paevere // Journal of Applied Mechanics. 2004. №71(3). pp. 342-349.
16. Solomon Ovidiu. Some Typical Shapes of Hysteretic Loops Using the Bouc-Wen Model// Journal of Information Systems and Operations Management. 2013. №7(1). pp. 73-82.
17. Semenov M.E., Solovyov A.M., Meleshenko P.A. Elastic inverted pendulum with hysteretic nonlinearity in suspension: stabilization problem//Nonlinear Dynamics. 2015. №82. pp. 677-688.
18. Ikhouane F., Hurtado J.E. and Rodellar J. Variation of the hysteresis loop with the Bouc-Wen model parameters// Nonlinear Dyn. 2007. № 48(4). pp. 361-380.
Поступила 29.06.2020; принята к публикации 17.08.2020 Информация об авторах
Заблоцкая Татьяна Юрьевна - аспирант, Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) НИТУ «МИСиС» (309516, Россия, г. Старый Оскол, м-н Макаренко, 42), преподаватель, Старооскольский филиал научно-исследовательского университета «Белгородский государственный университет» (309502, Россия, г. Старый Оскол, м-н Солнечный, 18), e-mail: [email protected]
ANALYSIS OF THE BOUC-WEN MODEL PARAMETER EFFECT ON HYSTERESIS LOOP
T.Yu. Zablotskaya
A.A. Ugarov Technological Institute of National University of Science and Technology "MISIS" (Stary
Oskol branch), Stary Oskol, Russia Belgorod State University (Stary Oskol branch), Stary Oskol, Russia
Abstract: in the paper, the peculiarities of parameter setting of phenomenological Bouc-Wen model are analyzed as it is widely adopted for functional description of various nonlinear hysteretic systems and phenomena due to its versatility and feasibility for vast theoretical and engineering scientific fields. Being formulated as a differential equation system, the model enables it to be retuned and adjusted to new operation mode through the equations parameter setting while the model structure remains untouchable. The parameter values influence the hysteresis loop significantly effecting its shape and size and thus, the model response to input disturbance consequently. Identifying the parameter values, the best performance of the model can be set, which means the accurate and adequate behaviour of the model. Therefore, the key parameters of the Bouc-Wen model standard and extended types are studied and classified throughout the paper depending on their values impacting on the shape and size of hysteretic curve and response of the model. The efficient parameter ranges are recommended to provide the adequate model response. The Bouc-Wen response was modelled at various parameter values and inputs
Key words: hysteresis, the Bouc-Wen model, parameter identification, modelling
References
1. Charalampakis Aristotelis E. "Parameters of Bouc-Wen hysteretic model revisited", 9th HSTAM International Congress on Mechanics, Limassol, Cyprus 12-14 July, 2010, available at: https://www.charalampakis.com/files/c09.pdf.
2. Bartkowski P., Zalewski R., Chodkiewicz P. "Parameter identification of Bouc-Wen model for vacuum packed particles based on genetic algorithm", Arch. Civil Mech. Eng., 2019, no. 19(2), pp. 322-333.
3. Laudani A., Fulginei F. R., Salvini A. "Bouc-Wen hysteresis model identification by the metric-topological evolutionary optimization", IEEE Trans. Magn., 2014, no. 50(2), pp. 621-624.
4. Worden K., Hensman J.J. "Parameter estimation and model selection for a class of hysteretic systems using Bayesian inference", Mechanical Systems and Signal Proc., 2012, no. 32, pp. 153-169.
5. Yang J.N., Lin S. "On-line identification of non-linear hysteretic structures using an adaptive tracking technique", International Journal of Non-Linear Mechanics, 2004, no. 39(9), pp. 1481-1491.
6. Xiaomin X., Qing S. et al. "Parameter estimation and its sensitivity analysis of the MR damper hysteresis model using a modified genetic algorithm", Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2009, no. 20(17), pp. 2089-2100.
7. Carboni B., Mancini C., Lacarbonara W. "Hysteretic beam model for steel wire ropes hysteresis identification", Structural Nonlinear Dynamics and Diagnosis, 2015, vol. 168, pp. 261-282.
8. Carboni B., Lacarbonara W. "Nonlinear dynamic characterization of a new hysteretic device: Experiments and computations", Nonlinear Dynamics, 2016, vol. 83, pp. 23-39.
9. Semenov M.E., Zablotskaya T.Yu. "Choosing the model of biological neural network for image segmentation of a bioliquid facie", Vestnik KRAUNTs. Physics and Mathematics, 2019, vol. 26, no. 1, pp. 70-85. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-170-85.
10. Ismail M., Ikhouane F., Rodellar J. "The hysteresis Bouc-Wen model, a survey", Archives of Computational Methods in Engineering, 2009, vol. 16, no. 2, pp. 161-188.
11. Carboni B., Lacarbonara W., Brewick P.T., Masri S.F. "Dynamical response identification of a class of nonlinear hysteretic systems", J. Intell. Mater. Syst. Struct., 2018, no. 29(13), pp. 2795-2810.
12. Zhi-Lin Lai, Zhen Chen, Xiang-Dong Liu, Qing-He Wu. "A novel similarity-based hysteresis empirical model for pie-zoceramic actuators", Sensors & Actuators: A. Physical, 2013, vol. 197, pp. 150-165.
13. Kwok N.M., Ha Q.P., Nguyen M.T., Li, J., Samali B. "Bouc-Wen model parameter identification for a MR fluid damper using computationally efficient GA", ISA Transactions, 2007, no. 46, pp. 167-179.
14. Peng G.R., Li W.H., Du H., Deng H.X., Alici G. "Modelling and identifying the parameters of a magneto-rheological damper with a force-lag phenomenon", Applied Mathematical Modelling: Simulation and Computation for Engineering and Environmental Systems, 2014, no. 38 (15-16), pp. 3763-3773.
15. Ma F., Zhang H., Bockstedte A., Foliente G.C., Paevere P. "Parameter analysis of the differential model of hysteresis", Journal of Applied Mechanics, 2004, no. 71(3), pp. 342-349.
16. Solomon Ovidiu "Some typical shapes of hysteretic loops using the Bouc-Wen model", Journal of Information Systems and Operations Management, 2013, no. 7(1), pp. 73-82.
17. Semenov M.E., Solovyov A.M., Meleshenko P.A. "Elastic inverted pendulum with hysteretic nonlinearity in suspension: stabilization problem", Nonlinear Dynamics, 2015, no. 82, pp. 677-688.
18. Ikhouane F., Hurtado J. E., Rodellar J. "Variation of the hysteresis loop with the Bouc-Wen model parameters", Nonlinear Dyn., 2007, no. 48(4), pp. 361-380.
Submitted 29.06.2020; revised 17.08.2020 Information about the authors
Tat'yana Yu. Zablotskaya, Graduate student, A.A. Ugarov Technological Institute of National University of Science and Technology "MISIS" (Stary Oskol branch) (42 distr. Makarenko, Stary Oskol 309516, Russia), Assistant Professor, Belgorod State University (Stary Oskol branch) (18 distr. Solnechnyy, Stary Oskol 309502, Russia), e-mail: [email protected]
