СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И МОДИФИКАЦИИ СИСТЕМЫ С ГИСТЕРЕЗИСОМ БУКА-ВЕНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI 10.25987/^ТО.2020.16.2.009 УДК 681.5.015

СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И МОДИФИКАЦИИ СИСТЕМЫ С ГИСТЕРЕЗИСОМ

БУКА-ВЕНА

Н.Н. Карабутов

МИРЭА - Российский технологический университет, г. Москва, Россия

Аннотация: предложен метод структурной идентификации динамической системы с гистерезисом, описываемым уравнением Бука-Вена, в условиях неопределенности по данным «вход-выход». Метод основан на введении специального класса геометрических структур, отражающих состояние гистерезиса. На основе анализа структур предложен метод оценки структурной идентифицируемости системы и рассмотрены условия его применения. Он основан на фрагментации геометрической структуры и дальнейшем анализе ее свойств. Для их оценки применяется метод секущих, который позволяет на классе линейных моделей получить показатели, позволяющие принимать решение о структурных свойствах и идентифицируемости системы. Решение задачи структурной идентификации базируется на применении метода иерархического погружения, позволяющего на каждой итерации структурного синтеза устанавливать существенные связи, влияющие на выход гистерезиса. При этом на каждой итерации должно выполняться условие структурной идентифицируемости. Решение задачи дается для классической модели Бука-Вена. Определены условия, при которых возможно применение метода иерархического погружения. Предложены модификации модели Бука-Вена и показана их работоспособность. Модификации позволяют упростить процесс идентификации параметров системы и гарантируют ее устойчивость. Результаты применения предложенного подхода подтвердили структурные свойства рассматриваемой нелинейной системы

Ключевые слова: нелинейная система, гистерезис, модель Бука-Вена, геометрическая структура, структурная идентифицируемость, иерархическое погружение

Введение

Для описания нелинейных систем с гистерезисом широко применяется модель Бука-Вена (МБВ) [1]. Система описывается следующей системой уравнений

тх + сх + Е(х, 2,0 = f (О, (1)

^ (х, 2, t) = акх^) + (1 - а)Ыг ^), (2)

2 = ё

л (ах - ¡5 \х\\г\П sign(z) - ух^"), (3)

где т > 0 — масса, с > 0 — демпфирование, ^(х, 2, ^ — восстанавливающая сила, ё > 0, п > 0, к > 0, о е (0,1), f (О — возбуждающая сила, а, ¡,у — некоторые числа. Далее будем обозначать систему (1)-(3) через SBW .

(3) является уравнением Бука-Вена. Предложены различные модификации МБВ (см., например, [1-4]). Они направлены на учет особенностей и свойств конкретного объекта управления. При этом за основу берется система, описываемая уравнениями (1)-(3). В [5] предложена модификация МБВ на случай несимметричного гистерезиса. Модель приведена к виду

2 = (а - (5 + уsign (2х)) |21"| х .

© Карабутов Н.Н., 2020

Ряд расширений модели Бука-Вена основано на введении в уравнение (3) новых множителей [1, 6], которые позволяют учесть требования, предъявляемые к системе. Так, для учета эффектов деградации и зажатия железобетонных конструкций предложена следующая модификация модели Бена-Вена [6]

^ 2, е)

1 + 5

( х -1 - )(5| ФГ1 + у( х|2|)" )

где 5П и 8у — параметры, отражающие уменьшение жесткости и прочности конструкции; И(2,е) учитывает эффект защемления.

Во всех исследованиях структура модели (1)-(3) считается известной. Пределы изменения параметров выбираются из условия обеспечения устойчивости уравнения (3). Эта проблема оказывает существенное влияние на выбор метода идентификации. Для идентификации параметров МБВ применяются различные подходы и методы [1, 6-8]. В [8] отмечается, что оценки параметра модели (3) могут не совпадать с результатами, полученными для других входных сигналов. Такие примеры говорят о неоднозначности идентификации, которая вызывает неустойчивость модели относительно входа. Это объясняется тем, что модель Бука-Вена должна быть устойчивой и обеспечивать адекватность физическому процессу.

Итак, существует разнообразие модификаций модели Бука-Вена. Они адаптируют структуру модели (3) к различного рода особенностям изучаемой системы. Вносимые изменения в МБВ часто приводят к усложнению структуры модели. Это сказывается на процессе идентификации, что приводит к применению различных процедур оценки параметров. В проводимых исследованиях не рассматривалась задача идентифицируемости модели (3), что приводило к чувствительности получаемых оценок к входу системы. Связано это с тем, что не любой вход может обеспечить идентифицируемость системы [9]. Оценка идентифицируемости нелинейной системы связана с анализом специального класса структур Б , которые отражают

состояние нелинейной части системы.

Учитывая это, ниже рассматривается задача структурной идентифицируемости системы (1)-(3) с целью восстановления структуры модели (3) на основе данных «вход-выход» (f, х).

Показывается, до какого уровня возможно применение структур для восстановления связей в модели (3). Так как реализация МБВ связана с решением проблемы устойчивости модели (3), то предлагаются модификации уравнения с целью упрощения исходного уравнения и обеспечения его устойчивости.

Постановка задачи

Рассматривается -система (1)-(3). Для системы известна информация о входе и выходе

I, ={ f (0, х^), t е^0, te ]}, (4)

где te < да . Считаем, что /(О, х^) являются ограниченными функциями времени.

Необходимо на основе анализа множества 10 ценить условия идентифицируемости нелинейной части системы SBW и определить структурные составляющие модели Бука-Вена (3).

Решение этой задачи позволяет ответить на вопрос: возможна ли оценка структуры такой сложной нелинейной системы, как система, описываемая уравнением (3), в условиях неопределенности.

Применение геометрических структур для оценки структурной идентифицируемости системы

Для оценки структурной идентифицируемости системы (1)-(3) воспользуемся подходом, предложенным в [9, 10]. Применим к х^) операцию дифференцирования и обозначим полученную переменную через х . В результате получим информационное множество

I „ ={10, .

Выделим подмножество данных I вс I т1,

соответствующее частному решению системы (1)-(3) (установившемуся состоянию). Это значит, что необходимо исключить данные \г, содержащие информацию о переходном процессе в системе. Применим математическую модель

->/✓,4 ггТ Г-. - ,ч"1Т

х (t) = Нт [1 и (0 х^)]т

(5)

для выделения линейной составляющей

определенной на интервале

Jg = J \ Jtr

Здесь

H е Rъ — вектор параметров модели. Выбор интервала Jg нетрудно осуществить на основе

минимизации критерия Q(e):

тт д(е)

-х ^ .

На основе модели (5) определяем прогноз для переменной х1 Vt е ^ и формируем ошибку е^) = х (t) - х1 (t). е^) зависит от переменной г SBW -системы. В результате получаем множество

^={У(0, <И$) t е ^ } ,

которое будем использоваться в дальнейшем. Здесь у = х — выход SBW -системы.

Перейдем в пространство Руе = (у, е) и построим фазовый портрет системы (1). Фазовому портрету в, описываемому функцией Гух : {у} ^ {х1}, соответствует структура Беу,

описываемая функцией Геу : {у} ^ {е} Vt е Jg .

На рис. 1 представлен фазовый портрет Б и изменение выхода гистерезиса г для системы (1)-(3) с параметрами: d = а = т, п = 1.5,

Р = 0.5, а = 1.5, k = 0.6, т = 1, с = 2, d = а = т . Возбуждающая сила /= 2 - 2 зш(0.15я^).

х

е=

х, 2

2,5 2,01,51,00,50,0-0,5-1,0-1,5-2,0

0,0 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5

х

Рис. 1. Фазовый портрет и выход модели (3)

Для оценки возможности структурной идентифицируемости нелинейной части системы определим структуру Беу, которая является

оценкой гистерезиса в структурном пространстве . Применим модель

х = -0.199х + 0.471 /

(6)

и вычислим ошибку е = х - х. Соответствующая структура Беу, описываемая отображением s еу : у(0 ^ е^), показана на рис. 2. Здесь же представлен выход модели е, аппроксимирующей е(^ . Модель имеет вид:

Уеу = 0.033у - 0.153, т1у = 0.983,

л 2

где у у = е — секущая структуру Б у, г^ — коэффициент детерминации. Если сравнить рис. 1, 2, то можно заметить, что области определения 2 и е совпадают. Из рис. 2 следует, что SBW -система является нелинейной. Оценим ее идентифицируемость. Определим центр структуры Беу на множестве {е }.

0,08

0,04-

0,00-

-0,04-

-0,08

2345

у

Рис. 2. Структура Б е.

Он равен сБ = -0.001. Далее воспользуемся подходом, предложенным в [11]. Проведем че-

рез точку сБ на ось у прямую, параллельную оси ординат. Получим два фрагмента (тБ ,т/ )с Беу. Построим секущие для левого т'Б и правого тБг фрагментов

у'е = 0.0313у - 0.146, ^ = 0.912, уге = 0.032у - 0,15, = 0.926,

Теорема 1 [10, 11]. Пусть: 1) линейная часть системы (1)-(3) является устойчивой, а нелинейность 2(х) удовлетворяет секторному условию

I * 0, р(0) = 0, х, > 0, ^2 <«>}' 2) вход f (t) является ограниченным, кусочно-непрерывным и постоянно возбуждаемый; 3) существует такое > 0, что h (Б еу )> , где Ь(Беу) — расстояние между противоположными сторонами структуры Беу. Тогда структура Беу является h -идентифицируемой на множестве .

Из рис. 2 следует, что структура Беу является h -идентифицируемой и информативной. Вход является постоянно возбуждаемым и S-синхронизирующим [9]. Структурная идентифицируемость SBW -системы следует из следующего утверждения [10, 11].

Теорема 2. Пусть: 1) структура Беу является h -идентифицируемой и имеет вид

1 г 1 г

Беу = т^ и , где т^, т^ — левый и правый фрагменты Бу; 2) секущие для т'Б ,тгБ описываются уравнениями (7). Тогда структура Б

является структурно идентифицируемой или hs -идентифицируемой, если

а - ач < 5

(8)

где 8И > 0 — некоторое заданное число, а и аг — коэффициенты секущих при у .

Условия теоремы 2 выполняются с 5Л = 0.002 . Структура секущих (7) согласуется с секущей уу для Беу. Полученные результаты показывают, что SBW -система является hs -

(5)

БМ -

идентифицируемой, а модель идентифицирующей [10].

Эти результаты позволяют перейти к оценке структурных составляющих модели Бука-Вена (3).

е

6

7

Структурная идентификация системы

Найдем производную от е^), применив операцию численного дифференцирования. Так как эта процедура чувствительна к ошибкам вычисления, то для сглаживания е^) применим обратное преобразование Фурье. Обозначим полученную переменную через е = е . Дальнейший анализ показал, что е не зависит от х (см. рис. 3). Таким образом, е должна зависеть от х и г .

Рассмотрим структуру , описываемую отображением Ге^: х ^ е , где х — оценка производной х. Построим секущую уе для вех. Она имеет вид

у ■ = 0.0324х, г2- = 0.86. (9)

' ех у ех 4 '

Ее адекватность отражает рис. 3. Итак, рис. 3 и (9) подтверждают влияние х на свойства гистерезиса.

0,04

0,02-

е

У

' с

0,00-

-0,02-

-0,04

-1,0 -0,5 - 0,0 0,5 1,0

х

Рис. 3. Структура для оценки влияние производной выхода -системы

Оценим связь между переменными г с е . В качестве оценки г используем переменную е . В дальнейшем для нее будем использовать обозначение Г = е. Анализ показывает, что между Г и е отсутствует линейная связь. Следовательно, может существовать корреляция между е и комбинацией Г и х (см. выше). Исключим влияние линейной составляющей по х на е . Для этого сформируем переменную 3 = е- Ух. Перейдем в пространство ,

/и = \Г\к х, к > 0 . Введение абсолютной величины связано с обеспечением действительного значения /и при Г < 0 . Пример оценки связи на

основе анализа структуры показан на рис. 4, где к = 0.5 .

0,08 0,06 0,04 0,02 3 0,00 -0,02 -0,04 -0,06 -0,08

-0,2

0,1

0,2

-0,1 0,0 и

Рис. 4. Структура для оценки влияния переменной /

Секущая у3/ структуру имеет вид:

уи = 0.354/, г/ = 0.82 , к = 0.5 . Следует заметить, что выбор к может не соответствовать параметру п в (3). Причина такого несоответствия следует из предлагаемого подхода. Истинные оценки для параметров модели Бука-Вена могут быть получены только на этапе параметрической идентификации.

Для рассматриваемого случая МБВ влияния переменной и можно оценить не только на основе анализа системы структурной идентификации в пространстве Р3/ , но и в пространстве . Этот вывод следует из рис. 5, где представлена зависимость 3 = 3(е).

Замечание 2. Для установления структурных связей можно в качестве выхода использовать секущую (9).

0,08

0,04

3

0,00

-0,04

-0,08

3/

У3е = 1,872е

г2 = 0,963

-0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 е

Рис. 5. Оценка взаимосвязи между е и 3

Справедливость предложенного подхода подтверждает рис. 6, который отражает взаимосвязь эталонной и полученной оценок гистерезиса. Секущая структуру имеет вид

уг = 0.033г - 0.0068 , г2 = 0.836 .

Рис. 6. Оценка близости 2 и 2

Итак, проведенный структурный анализ показал, что динамика гистерезиса зависит от переменных 2 их. Выход системы (1), (2) непосредственно не влияет на изменение гистерезиса. Структурный анализ требует применения адекватного математического аппарата для принятия решений о структуре системы Бш . Рассмотренный здесь структурный анализ представляет собой метод иерархического погружения [12] в пространство состояния системы и ее расширение.

Возникает вопрос: до какого этапа (уровня) может применяться метод иерархического погружения?

Рассмотрим информационное множество 11 (10), на котором определена структура Б1, где i — уровень иерархического погружения. Содержание множеств ^ (10) представлено выше.

Там же рассмотрены соответствующие им структуры. Пусть является незначимой

структурой [11]. Это значит, что на уровне , +1 система является структурно неидентифициру-емой.

Теорема 3. Система является структурно идентифицируемой на заданном информационном множестве ^ (10) с помощью структуры Б1, если на уровне , +1 Б,+; = ЖБМ .

Теорема 3 непосредственно следует из теорем 1, 2 [11]. Пример остановки метода иерархического погружения демонстрирует рис. 7. На рис. 7 представлена структура Б ф,

где ¡1 = |2| |х|, ё = 3 - у31 . Здесь же показана секущая структуру Б¡.1.

1

Рис. 7. Незначимая структура Б~

Если аппроксимировать переменную ё на множестве {х^), ¡1 , т. е. получить модель

ё = а11+а2 х

и ввести невязку к = ё - ё, то последующая аппроксимация к с помощью линейной модели с независимой переменной ¡1 дает основание сделать вывод, что эта связь является существенной. Тем самым этот вывод обосновывает наличие в уравнении (3) третьего слагаемого в правой части.

Замечание 3. Каждый нелинейный математический объект имеет свою специфику. Поэтому обобщать предложенный подход для работы с незначимыми структурами на другие классы нелинейностей вряд ли справедливо. Только учет особенностей системы, которые проявляются в синтезируемых структурах, позволяет применить тот или иной метод к оценке исследуемой связи между переменными. Так реализация процедур структурной идентификации системы (1)-(3) с у = 0 показала, что структуры Б, могут отличаться от представленных выше.

Итак, предложен метод оценки структуры модели Бука-Вена на основе анализа информационного множества 10. Он основан на процедуру иерархического погружения и анализе специального класса геометрических структур, отражающих состояние нелинейной части системы на каждом этапе структурной идентификации.

Модификации гистерезиса Бука-Вена

Предложено много модификаций МБВ (см., например, [1-4]). Они направлены на учет особенностей и свойств конкретного объекта

управления. При этом за основу берется система, описываемая уравнениями (1)-(3). Ниже предлагается ряд модификаций системы SBW . Основная цель внесения структурных изменений — упрощение системы и улучшение ее свойств.

Анализ результатов моделирования показал, что последнее слагаемое в правой части (3) отвечает за «доводку» гистерезиса на участках «насыщения» или переключения. Если для конкретного объекта это не критично, то за счет подбора параметров SBW -системы можно компенсировать этот член в уравнении (3). Ниже предлагаются следующие модификации модели Бука-Вена (3)

1*1® I • • / • \ МраиР" : Г = -РГ\х\ + а\х\ Slgn(х) (ю)

-Р |х\" |г|" ^п(г), Мрп : Г = а|х/ slgn(X) - Р|х| \г\" sign(г), (11)

Миирп : Г = а|хх|и sign(х) - Р \х\" |г|" sign(г). (12)

Введение в (10) линейной составляющей по г повышает возможности реализации модели, связанные с обеспечением устойчивости SBW -системы. Так как система является нелинейной, то для обеспечения требуемого состояния гистерезиса введена функция )|а, которая позволяет соблюсти требуемые условия

изменения переменной г . Параметры р >,а> 0 изменяются в заданных диапазонах. Для сравнения выходов модели (3), которую будем считать эталоном, и моделей (10)-(12) было проведено математическое моделирование, результаты которого представлены на рис. 8, 9. Модель (3) обозначим через М. Рис. 8 отражает в обобщенном виде выходы моделей (3), (10)-(12).

Значения параметров для рассматриваемых моделей представлены в таблице.

Выбранное на рис. 8 представление позволяет сравнивать свойства моделей по обобщенным показателям в пространстве «минимум-максимум», исключив при этом наложение выходов моделей в пространстве Рхг, что приводит к усложнению процесса принятия решения. На рис. 8 использованы следующие обозначения: z — модель М, z1 — модель МраиРп, z2 —

модель Мррп, z3 — модель М^; ♦ — среднее

значение; — - медиана; О — экстремальное значение (конец области «насыщения»). Из рисунка следует, что модели (10)-(12) адекватно описывают процесс гистерезиса. При моделировании не предпринималась попытка точного воспроизведения М -гистерезиса модификациями Бук-Вена.

Параметры моделей для сравнительного моделирования

Модель т Р У а с и Р и а k

М 1 0.5 0.2 0.7 1.5 2 0 0 0 0 0.6

М ра/иР" 1.5 0.5 0 0.7 1.55 2.1 0.9 0.2 0.9 1.1 0.6

М 1 0.5 0 0.7 1.5 2 0 0 1.7 0 0.6

М /иР" 1 0.5 0 0.7 1.5 2 0.7 0 1.5 0 0.6

ф та с го о:

z1 z2

z3

Рис. 8. Сравнение моделей гистерезиса (3), (10)-(12)

Другим подтверждением работоспобности предложенных модификаций являются их вы-

сокие показатели в пространстве РМЩ . В РМЩ

получены модели, описываемые функциями : г ^ Г,, где Г, — выход модели М, I = 1, 2, 3 ,

1 = -.ра/иР", 2 = :/Р" , 3 = /иР" . Соответствующие модели имеют вид

уг. = г , гД = 0.996,

= 0.972г , г\г = 0.992,

= 0.968г , г2 = 0.994 .

УгГ

У*

(13)

(14)

(15)

На рис. 9 показан пример изменения выходов моделей М и МрШииРп .

Рассмотрим влияние параметров на свой. Параметр а изменяет об-

ства модели М

ра/ииР"

г

ласть значений гистерезиса. Эту же функцию выполняет и р , но он влияет как на область значений, так и область определения. Параметр и изменяет как дистанцию, так и диаметр, а п диаметр гистерезиса. Влияние остальных параметров исследовано в литературе.

1,5. 1,0. 0,5. г 0,0. -0,5. -1,0. -1,5

4

x

1,5 1,0 0,5

0,0 г1

-0,5 -1,0 -1,5

M

[xufin

Рис. 9. Выходы гистерезиса, описываемого моделями (3) и (11)

Влияние параметров на свойства модели . Параметр и оказывает такое же влияние,

как и в модели Мра>иирп. Аналогично влияет параметр /и . Наконец модель МиРп. Параметр /и

изменяет область определения гистерезиса. Параметр п влияет на форму петли, оставляя при этом исходные области задания гистерезиса.

Заключение

Предложен метод структурной идентификации динамической системы с гистерезисом, описываемым уравнением Бука-Вена, в условиях неопределенности. Он основан на введении специального класса структур, отражающих состояние гистерезиса. Предложен метод оценки структурной идентифицируемости системы и рассмотрены условия его применения. Далее на основе подтверждения структурной идентифицируемости системы синтезированы структуры, позволяющие выявить взаимосвязи между переменными, задающими вид итоговой идентифицируемой модели Бука-Вена. Реали-

зация процесса структурной идентификации основана на применении метода иерархического погружения. Определен уровень, на котором возможно применение данного метода. Предложены модификации модели Бука-Вена и показана их работоспособность.

Литература

1. Ismail M., Ikhouane F., Rodellar J. The hysteresis Bouc-Wen model, a survey // Arch Comput Methods Eng. 2009. Vol. 16. P. 161-188.

2. Chang C.-M., Strano S., Terzo M. Modelling of hysteresis in vibration control systems by means of the Bouc-Wen model // Shock and Vibration. 2016. Vol. 2016. Article ID 3424191. 14 p.

3. A Bouc-Wen model-based compensation of the frequency-dependent hysteresis of a piezoelectric actuator exhibiting odd harmonic oscillation / F. Fujii, К. Tatebatake, К. Mori-ta, Т. Shiinoki // Actuators. 2018. Vol. 7. No. 37. P. 1-16.

4. Ikhouane F., Rodellar J. Systems with hysteresis: analysis, identification and control using the Bouc-Wen model. New York: John Wiley & Sons Ltd, 2007. 223 p.

5. Bouc-Wen model parameter identification for a MR fluid damper using computationally efficient GA/ N. Kwok, Q. Ha, M. Nguyen, J. Li, B. Samali // ISA transactions. 2007. Vol. 46. No. 2. P. 167-179.

6. Dongl H., Han Q., Du1b X. Application of an extended Bouc-Wen model for hysteretic behavior of the RC structure with SCEBs // Structural Engineering and Mechanics. 2019. Vol. 71. No. 6. P. 683-697.

7. Karabutov N. Identification of system with Bouc-Wen hysteresis // EPJ Web of Conferences. 2019. Vol. 224. No. 01003. 6 p.

8. О модификации модели Бук-Вена для описания гистерезиса нестационарных процессов/ А.Н. Данилин, Е.Л. Кузнецова, Н.Н. Курдюмов, Л.Н. Рабинский, С.С. Тарасов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2016. № 4. С. 187-199.

9. Karabutov N. About structural identifiability of nonlinear dynamic systems under uncertainty // Global Journal of Science Frontier Research: A Physics and Space Science. 2018. Vol. 18. Is. 11. Version 1.0. P. 51-61.

10. Карабутов Н.Н. Структурная идентифицируемость нелинейных динамических систем // Мехатроника, автоматизация, управление. 2019. Т. 20. № 4. C. 195-205.

11. Karabutov N. Frameworks in problems of structural identification systems // International journal of intelligent systems and applications. 2017. Vol. 9. No. 1. P. 1-19.

12. Karabutov N. Structural identification of dynamic systems with hysteresis // International journal of intelligent systems and applications. 2016. Vol. 8. No. 7. P. 1-13.

Поступила 03.02.2020; принята к публикации 25.03.2020 Информация об авторах

Карабутов Николай Николаевич - д-р техн. наук, профессор, МИРЭА - Российский технологический университет (119454, г. Москва, проспект Вернадского, д. 78), e-mail: kn22@yandex.ru

2

3

5

6

7

STRUCTURAL ANALYSIS AND MODIFICATIONS OF SYSTEM WITH BOUC-WEN

HYSTERESIS

N.N. Karabutov

MIREA - Russian Technological University, Moscow, Russia

Abstract: we propose the method of structural identification of a dynamic system with hysteresis described by the Bouk-Wen equation under conditions of uncertainty according to the input-output data. The method is based on the introduction of a special class of geometric structures that reflect the state of hysteresis. Based on the analysis of structures, we considered a method for assessing the structural identifiability of the system is proposed and the conditions for its use. It is based on the fragmentation of the geometric structure and further analysis of its properties. To evaluate them, we used the secant method, which allows one to obtain indicators on the class of linear models that make it possible to decide on the structural properties and identifiability of the system. The solution to the structural identification problem is based on the application of the hierarchical immersion method, which allows one to establish significant relationships at each iteration of structural synthesis that affect the hysteresis yield. At the same time, at each iteration, the condition of structural identifiability should be fulfilled. The solution to the problem is given for the classical Bouk -Wen model. We determined the conditions under which the hierarchical immersion method is possible. We propose modifications of the Bouk -Wen model and show their performance. Modifications can simplify the process of identifying system parameters and guarantee system stability. The results of applying the proposed approach confirmed the structural properties of the considered nonlinear system

Key words: nonlinear system, hysteresis, Bouc-Wen model, geometrical framework, structural identifiability, hierarchical immersion

References

1. Ismail M., Ikhouane F., Rodellar J. "The hysteresis Bouc-Wen model, a survey", Arch ComputMethods Eng, 2009, vol. 16. pp. 161-188.

2. Chang C.-M., Strano S., Terzo M. "Modelling of hysteresis in vibration control systems by means of the Bouc-Wen model", Shock and Vibrations, 2016, vol. 2016, article ID 3424191, 14 p.

3. Fujii F., Tatebatake K., Morita K., Shiinoki T. "A Bouc-Wen model-based compensation of the frequency-dependent hysteresis of a piezoelectric actuator exhibiting odd harmonic oscillation", Actuators, 2018, vol. 7, no. 37, pp. 1-16.

4. Ikhouane F., Rodellar J., "Systems with hysteresis: analysis, identification and control using the Bouc-Wen mode", New York: John Wiley & Sons Ltd, 2007.

5. Kwok N., Ha Q., Nguyen M., Li J., Samali B. "Bouc-Wen model parameter identification for a MR fluid damper using computationally efficient GA", ISA transactions, 2007, vol. 46, no. 2, pp. 167-179.

6. Dongl H., Han Q., Du1b X. "Application of an extended Bouc-Wen model for hysteretic behavior of the RC structure with SCEBs", Structural Engineering and Mechanics, 2019, vol. 71, no. 6, pp. 683-697.

7. Karabutov N. "Identification of system with Bouc-Wen hysteresis", EPJ Web of Conferences, 2019, vol. 224, no. 01003, 6

p.

8. Danilin A.N., Kuznetsova E.L., Kurdumov N.N., Rabinsky L.N., Tarasov S.S. "A modified Bouc-Wen model to describe the hysteresis of non-stationary processes," Bulletin of Perm National Research University of Technology (Vestnik Permskogo natsional'nogo issledovatel'skogopolitekhnicheskogo universiteta), 2016, no. 4, pp. 187-199.

9. Karabutov N. "About structural identifiability of nonlinear dynamic systems under uncertainty", Global Journal of Science Frontier Research: A Physics and Space Science, 2018, vol. 18, is. 11, version 1.0, pp. 51-61.

10. Karabutov N.N. "Structural identifiability of nonlinear dynamic systems," Mechatronics, Automation, Control (Mek-hatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie), 2019, vol. 20(4), pp. 195-205.

11. Karabutov N. "Frameworks in problems of structural identification systems", International journal of intelligent systems and applications, 2017, vol. 9, no. 1, pp. 1-19.

12. Karabutov N. "Structural identification of dynamic systems with hysteresis", International journal of intelligent systems and applications, 2016, vol. 8, no. 7, pp. 1-13.

Submitted 03.02.2020; revised 25.03.2020

Information about the author

Nikolay N. Karabutov, Dr. Sc. (Technical), Professor, MIREA-Russian Technological University (78 Vernadskiy avenue, 119454 Moscow, Russia), e-mail: kn22@yandex.ru