CC BY
3УДК 517. 521. 75
ПРИЛОЖЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРЕМ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ СТИЛТЬЕСА И ОБОБЩЕННЫХ РЯДОВ ТЕЙЛОРА-ДИРИХЛЕ
Камариддинзода З.Н.
Таджикский государственный педагогический университет имени С. Айни
В этой статье, используя методы М. А. Субханкулова [1] и М. М. Каримовой [2], получены результаты для средних Чезаро т - го порядка. Теорема 1. Пусть
fa (<) =
are
—г
абсолютно сходится при < > 0
и у
n=0
c - не зависит от к и < . И пусть выполне
где к-
а > 0,
положительна
аг >--
r
к
аг <~ Г
f л Л
а = O
(2)
vr у
^Г ( 1 - r ] аг = H + O
. — m — 1
In
R
(3)
где m > 0 - цело. Постоянная в оценке O зависит от m .
ж
Теорема 2. Пусть ряд Тейлора-Дирихле fa (<) = £are—<r удовлетворяет
n=0
условиям теоремы 1. Тогда спра
всем
<(m) = H + O
V
1п
R|1
v
у
n —> ж,
(т) ^
где а п - чезаровская средняя т - го порядка и постоянная в оценке О зависит от т . Для доказательство теоремы необходимы следующие леммы.
Лемма 1. Пусть 3(1:) есть функция ограниченной вариации в любой конечной части интервала (0, го), и пусть
1з(а) = / еахаз( х)
0
абсолютно сходится при а > 0 и удо
(а) = Н + О{Я(а)}, а —> +0. (4)
И пусть существуют неубывающая функция ¡32 (t) и посто
t
r(t) = Lfi^ (t) + J ud3(u) (5)
есть
J(x — t)m dv(t) = Hxm
1 + O
. — m—1
ln
R
x —> ж,
GO
r
m
1
n —> ж
1
r=0
n
V
у
m—1
1
>
n
1
1
0
ч
у
где т > 0 - целое и Я(а) определена, как и в предыдущих леммах.
Доказательство леммы 1. Для доказательства этой леммы понадобится следующее обобщение теоремы Литтльвуда [3].
Лемма*. Пусть функция С(а) в точке а = 0 имеет вторую правостороннюю производную и удовле
\С(а) - Н\ < г (а), (7)
где г(а) - знакоположительная монотон
&"(а) > -^(а), (Ю) где р(а) - знакоположительная монотонно убывающая функция, удовл
р(+0) = <х>, < с2р(а). (Ю)
О'(а) = оУг(а)р(а)} при а ^ +0. (12)
Наконец, пус
Доказательство приведено в [1].
Лемма 2. Пусть обобщенный ряд Дирихле Da
(а), абсолютно сходится пр H = consta 0 < < \ <• • • < \ < Яи+1 < • • •
ап > -к.,
Л
ап < к1
Лп — Лп—1
Л
или а = Лп — Лп-1 \ (14)
к-
где к1 - положительна
Л
X 1 — Л I a„ = H + O
In
R
(15)
x —> ж,
где т > 0 - целое. Постоянная в оценке О зависит от т . Доказательство леммы
рг(г) = Х(Я -¿п-г), ¿-г = 0.
Если
L > к
то со
t
r(t) = L02(t) + JudS(u) = X [L(K _ ¿n_i) + Лпап]
Л <t
есть в
1
Jе adfi(t) = — + obrs\ S> 0. í &
Следовательно, все условия леммы 1 выполнены, и поэтому имеет место (6). Доказательство теоремы 1. Обозначая я = г и х = п, сравнивая доказываемую теорему с леммой 2, видим, что при наших предположениях все условия леммы 2 выполняются для рядов Тейлора - Дирихле.
Действительно, ряды Тейлора - Дирихле /а (а) являются частным случаем
Da (&) = X апе_Л
при
Л = r
получаем
n=0
Поэтому верно и утверждение леммы 2 для рядов Тейлора-Дирихле, то ес
m—1
m
1
l
x
0
ж
п=0
— ar = H + O-
ln
R
n —> ж.
Утверждение (3) доказано.
Доказательство теоремы 2. Частичная сумма Snт), т - го порядка ряда Тейлора-Дирихле у- (а) = ^ае-а, связана с коэффициентами последнего ряда /а(а)
(16)
„, " , (n — r + m^ " , ( r + m
^ =S l m >r =§ i a
m
n — r + m m
Подставляя
v
(n — r + 1)(n — r + 2) • • • (n — r + m) (n — r)
m!
m!
m -П^И-r
m! v n
n m
m n
snm) =x ^T (1 — rJ ar = ^ X(1 — r
r=0 V n у r "
Имея в виду утверждение (3) теоремы 1, из выше полученного равенс
m
1 '
(17) (18)
E (m) = n n m!
v
r n у
Разделив (19) на (20), получим чезаровскую
n" m!
o(m) (y.(m) _ S n _
H + O
In
R
г л —m—1
H + O In-1—r-
( 1 ^
R( — J
v vn у у
E
(m)
1--
m! V n
1 —
С л —m—1
H + O In-1—
( 1 ^
R( 1 J
v vn уу
= H + O
In
R
при n —> ж и _ r^m ~ х, что и требовалось доказать.
Теорема доказана полностью.
ЛИТЕРАТУРА
1. Субханкулов М.А. Тауберовы теоремы с остатком. / М.А.Субханкулов - М.: Наука, 1976. - 399 с.
2. Каримова М.М. Тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов Дирихле. / М.М. Каримова -Душанбе: Дониш, 1992. - 239с.
3. Litlewood J.E. The converse of Abel's theorem of power series / J.E. Litlewood // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1910. - vol. 9 (2). - P. 434-448.
ПРИЛОЖЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРЕМ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ СТИЛТЬЕСА И ОБОБЩЕННЫХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ
В этой статье, используя методы М. А. Субханкулова [1] и М. М. Каримовой [2], доказаны теоремы типа Таубера для интегралов Стилтьеса и обобщенных рядов Тейлора-Дирихле со средними Рисса и с со средними Чезаро m - го порядка.
Ключевые слова: теорема типа Таубера, интеграл Стилтьеса, ряды Дирихле, ряды Тейлора-Дирихле, абсолютно сходящийся, монотонно возрастающая, положительная постоянная, средние Рисса, средние Чезаро, функция, неубывающая функция, ограниченная вариация.
m—1
m
>
n
m
m—1
1
1
n
r
n
n
m—1
1
1
1
n
APPLICATIONS OF THE RESULTS OF TAUBER-TYPE THEOREMS FOR STILTYES INTEGRALS AND GENERALIZED TAYLOR-DIRICHLET SERIES
In this paper, using the methods of M.A. Subkhankulov and M.M. Karimova, Tauber-type theorems are proved for Stieltjes integrals and generalized Taylor-Dirichlet series with Riesz means and with Cesaro means.
Keywords: Tauber-type theorem, Stieltjes integral, Dirichlet series, Taylor-Dirichlet series, absolutely convergent, monotonically increasing, positive constant, Riesz means, Cesaro means, function, non-decreasing function, bounded variation.
Cведение об авторе
Камариддинзода Заррина Нусратулло-кандидат физико-математических наук, доцент заведующий кафедрой алгебры и теории чисел Таджикского государственного педагогического университа именни Садриддин Айни г.Душанбе, ул. Фирдавси, дом 59/2, кв.19. Тел: (+992) 919680242 E-mail: zarrina. qamariddinova@gmail. com
About the autor:
Kamariddinzoda Zarrina Nusratullo - candidate of physical and mathematical sciences Associate Professor, Head of the Department of Algebra and Number Theory Tajik State Pedagogical University named after S. Aini,. Dushanbe, st. Firdavsi, house 59/2, apt. 19. Phone: (+992) 919680242 Email: [email protected]
УДК 536.12.24
ИССЛЕДОВАНА ТЕПЛОЕМКОСТИ НЕКОТОРЫХ РАСТВОРОВ
Гуломов М.М., Сафаров Ш.Р., Сафаров М.М., Мирзоева К.
Таджикский государственный педагогический университет им. С. Айни
Гортышов Ю.Ф.
КГТУ им. А.Н. Туполева
Данная конструкция калориметра даёт возможность измерять теплоемкости жидкостей в режиме монотонного разогрева; наличие промежуточного ядра в виде радиатора (5) позволяет полностью исключить такой фактор как влияние теплопроводности жидкости на измерения при заданном режиме.
Исследование имеет следующий порядок. В калориметр заливаем изучаемую жидкость (8) и медный цилиндр помещаем в смесь воды и льда (3). Необходимо продержать калориметр в течение часа при температуре тающего льда, что позволит достичь состояние термодинамического равновесия. Потом включаем нагреватель (4) калориметра и одновременно запускаем графопостроитель Н-306 (2). На оси х графопостроителя получим развертку процесса по времени, а по оси у изменение температуры калориметра.
Полученная зависимость время - температура изучаемого образца при постоянной мощности нагревателя наглядно вырисовывается на графопостроителе (рис. 1).
Рис. 1. Экспериментальная установка для измерения удельной теплоемкости жидкостей и растворов (временная зависимость температуры, полученная при постоянном атмосферном давлении).
