CC BY
31
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2007, том 50, №1________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517. 521.75.
М.М.Каримова, З.Н.Камарадинова КОМПЛЕКСНАЯ ТАУБЕРОВА ТЕОРЕМА ПРИ ЧЕЗАРОВСКИХ СРЕДНИХ
С ГЛАВНЫМ ЧЛЕНОМ РОСТА
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 12.12.2006 г.)
В настоящей статье, используя методы работ [1] и [2], доказали комплексную теорему типа Таубера при чезаровских средних с главным членом роста.
Теорема. Пусть ряд Тейлора - Дирихле
s = а + іі
т=0
при Яе * > 0 абсолютно сходится, в области О :
і < Са° , 0 <о < 1 , 0<а <ап <-
удовлетворяет оценке
и пусть
/(*) = с*^{ 1 + О ( | * | и
> 0
(1)
К
ат\ <
т | , і\т
т > 0 , 0 <т < 1 , о <т, К = соті.
(т + 1)т ’
Тогда для V к > 0 - целого справедливо утверждение
(2)
где
к) =
Схм
Т(р +1)
|і + О(хко+о к т и) + О{Р(х)}| ; х ^+да при о <т .
Р( х) =
х
х-ао 1п х
если
если
если
/и>а, /л<а, /л = а
(3)
и <т(хк) - есть чезаровская средняя к - го порядка.
Определение чезаровской средней приведено в [3].
Далее для доказательства теоремы необходима следующая лемма. Лемма. Пусть 0 <а < Л, 0 <^< 1, к > 0 целое. Тогда
т*
1
2
2^ д (а + И)
k+1
1- є
-(а+іі)
а + іі
йі =
% к!
+ О{тіп(Л-кєт'1, Л-к-1єт'1у-1)}; %> 0,
О {тіп (Л-кє°\ Л-к-1єа%1%% )}; %< 0.
Здесь постоянные в оценке О не зависят от а, Л, ух, ^.
Доказательство леммы. Пусть 2 = Т] + И . Рассмотрим интеграл
-Г
Утгі Л
(а+ г)%
2жі * (а + г)
к+1
1 -є
(а+ г)
а + г
йг.
(4)
Если у1 > 0, то за путь интегрирования Г принимаем замкнутый контур, состоящий из отрезка [— Л, Л] мнимой оси и К большой дуги окружности К с центром в точке 2 = —а и радиусом Я = |Л/ + а|. Учитывая, что подынтегральная функция интеграла (4) имеет единственную особенность - полюс (к +1) - го порядка в точке 2 = — а, применяя теорему Коши, имеем:
1
7/
Є
(а+)%
2пі\ (а + г)
к+1
1 —Є
-(а+г)
а + г
1 Л є(а+іі)%1
2ж д (а + іі)
к+1
1 —Є
-(а+іі)
а + іі
= 2 ГЄ*.
г=-а
Находим вычеты. Известно, что
поэтому
и ■, и и
Єи = 1 + — +---------------------------------------+ •••,
1! 2!
?(а+г% = 1 + (а ' г-1 + (а ' г) % +••• +
3(а+ г )%
2!
(а +
к+1
(а + г)к+1 х , (а + г, (а + г)2%' +.. ^
1! 2!
или
Є
(а+г )%
1
+ -
%
- + -
(а + г) %2
к+1
(а + г)к+1 1!(а + г)к 2!(а + г)
к-1
+ ••• + -
%
1
а + г
1
%
к !(а + г) V,
к-(к-1)
+
Є
(а+ г )%
к+1
+ -І-----------+----|-^ + •
чк 1ІҐ-' -лк-1 к!
(а + г)к 1!(а + г)к
значит
(5)
(6)
ГЄ* = -
к!
(7)
г=-а
Из (6) и (7) имеем
1 Л е(а+іі 1 "1 - е~(ет+й) " & і II ук 1 [ е(с+г)у1 "1 - еЧет+г)"
2л Д (с + іі)к+1 с + іі к! 2лі І, (с + г)к+1 с + г
йг.
(8)
Далее
Є
(с+1 )у
ІКІІ (а + г)
Є™1
к+1
1 - Є
-(с+ г )
с + г
йг = О
а(с+ г )у
(с + г)
к+1
1 - Є
-(с+ г )
с + г
йг
(а + г >
к+1
й1 и О
"Iі
Лл+ч )у
Я
•к+1
й1
(9)
О і є"1Я к-11 й11 = О (є""1 Л-к),
так как
еУ1 < 1, р| < Я + а< 2Л,
Оценим этот интеграл другим способом
Я > Л,
г + с| = Я,
г є К.
2жіі (а + г)
к+1
1 - Є
с + г
Г
йг = О
(с + г)к+1
йг
(10)
Проинтегрировав два раза по частям, получим
1
-А
(с+ г )у
2лі К (с + г)
к+1
1 - Є
<с+ г)
с + г
йг = О (е^у-1 Л-к-1).
Из (8)-(10) вытекает утверждение леммы при у1 > 0.
Пусть теперь у1 < 0, тогда за путь интегрирования Г выбираем контур, состоящий из отрезка [— Л, Л] мнимой оси и малой дуги окружности К с центром в точке г = —а и радиусом Я = |Л/ + ст|.
Имеем
-1
Утті *
,(с+ г)у
2лі * (с + г)
к+1
1 - Є
- (с+ г)
с + г
йг = О,
ибо подынтегральная функция в рассматриваемой области никаких особенностей не имеет. Далее, поступая, так же как и выше, получим
,-\к+1
1 - Є
-(ст+іі)
с + іі
2л 'К (а + И)
Лемма доказана.
Доказательства теоремы. Пусть
йі = О {шіп (Л-кеот/і, Л-к-1еСі у;1)};
у < 0.
К
х > х0 > 0, о = -1, Л = Со01.
х
Тогда, применяя лемму при 8Х= 0, учитывая абсолютную сходимость ряда /(5), по-
лучим
1 Л р(с+й )х 1 Л р(с+й')х 1 Л (а+іі )х ш
Г--------— /(^)йі =— Г-------— /(а + іі)йі =— Г---------------— V а е~(а+й)тйі =
і (пл- Ц\к+^К; Г (гг + нлк+1 7 4 7 ?тТі(-' ^к+1 ^ т
2л д (с + іі)
_
2л
Л е(а+іі)( х-т)
2л д (с + іі) 1
, йі = —
^+1 к!
2л-л (с+іі)к+1 т-0т
V ат | Т-7^Г = Т, V (Х - ^)кат + Л-к V атЄ <Ут ШіП (^ Л'(Х - п)- ) .
т=0 —л (а Н ^0 л ! т<х
Оценим в (11) второе слагаемое
т=0
(11)
V а е ат шіп
т
т=0
іп (1, Л '(х - да) 1):
Л
а е ат шіп
іп (1, Л '(х-т) 1)
I + I + 2
.хх 1 1 1 1 2 х <т<®
)<т<— —<т<х х <т<хн— хн—<т<2 х
2 2 Л Л Л Л
= I ате аЛ—1( х —тГ1 + I ате ~0т Л 1( х —тГ1 + I
^ х х 1 11
0<т<— —<т<х х <т<хн—
2 2 Л Л Л
+ I атв~атЛ—1(х —т)—1 + I ате~атЛ—1(х —т)—1.
, 1 0 2 х<т<да
хн—<т<2 х Л
Используя формулу (2) имеем
ате~ат +
т
V
а е ат шіп
т
(1, Л '(х-т) 1):
= О
\ (
л" V
0<т<—
V 2
1
(т + 1)г (х-т)
+ О
Л-1 V
1 (т + 1)г (х-т)
<т< х-
V 2 Л
+О
+О
л-1 V
1
1 (т + 1)г( х-т)
х+—<т<2х х у х у
V л
+О
1
\
л-1V —
V 2 х <т (т + 1)г( х-т)
О (Л-V1) + О
Г 1 \
V (т + 1)ТҐ
( \ 1 1
Л
(х + 2)г
2
г
+О
Л 1
1
(х + 1)г
Л ( +О
Л 1
(Лх +1 + Л)Г
V
х(2 х + 1)г
= О |Л-1— |.
у
Таким образом, оценим второе слагаемое (11):
V
а е ап шіп (
т 1
(1, Л- Ч х-т)-1 )= о[л-'-М
(12)
Применяя лемму при 5г = 0 к ряду / (5), имея в виду условие (1), оценим следующий интеграл
ш
т=0
т=0
где
Л (а+іі)х
1 Л е
Л
± г
")7Г г
(с+іі) х
2л д (а + іі) + (а + іі)
2 л д (а + іі)
к+1
/ (а + іі)йі =
Л е^а+іі) х
(а + іі)
к+1+р-а
йі
к+р
(к + р)!
+О (шіп (Л-кеак, Л-к^е1^1)} + О < еак — I
Л е(а+й) х
2л Л а + іі
лк+1+р-а
йі
(13)
к+р
(к + р)!
+ О {шіп (1, (Л-1 х-') Л-кеах)} + О Л
йі
а + іі
х
к+р
(к + р)!
+
О (л-кеах шіп (1, Л-1 х 1)} + О (р (х)},
Р(с) = |
йі
а + іі
лк+р-а-1
= О 1 л 1+О Й
а Л
II
. 0 а йі
йі
I + іі
О іі і
йі
(14)
а-р-к
а
Ла-Р
1п Л
если k + р > є, k > 0, если р < а, к < 0,
если Р = а, k = 0.
Из (11), (12) и (14) при а = —, Л = Сат следует
х
1V(х-т)к
к ! т< у
а,„ =
х
к+р
(к + Р)!
к+р
+ О (е ахЛ-к-1 х 1) + О (
, ^кт+т-к-т-р .
) + О (Р( х)}
(к + р)!
+ О (хкт+т-к-т-р) + О (р (х)} ; х — +ш.
(15)
х
Разделив обе части (13) на —, будем иметь
к!
Ск! • х р
VI 1 -т I ат = Ск;• +О(хкт+т-к-т-р)+ О(р1 (х)}; х — +ш.
(к + р)!
Из (16) вытекает
VI 1 -х) ат = Скк+р)(1 + О(х—^
Ск! • хр
) + О (Р( х)}} ;
х —— +ш,
— <
к
к
или
II 1 — т I ат =^С^Т{ + 0{хко+°—к—^)+ О{Р(х)}}; х ^+^,
(17)
т<_ х) Г(^ +1)
при со<т и где Р(х) выражена, как в формуле (3).
Далее, чтобы получить утверждение теоремы, надо знать, что частичная сумма £^к) к - го порядка ряда Тейлора-Дирихле связана с коэффициентами последнего ряда /(5) следующим образом:
т<х \
к
а =
т
I
т
а
Раскроем комбинацию
(х — т + кI (х = т + 1)(х — т + 2)••• (х — т + к) (х — т)к хк ( т'
к!
Подставляя (19) в (18), имеем:
Из (17) и (20) вытекает
(18)
(19)
(20)
\к ь-
т I х
Схр
Г(м +1)
{1 + О ( хк0+0—к—Т—М ) + О {Р( х)}}
т.е.
хк
С(к) _ х_ х к!
Схм
Г(р +1)
{1 + О ( хк0+0—к—т—м ) + О {Р( х)}}
Из [4] ясно, что
ех к) =
(х +1)( х + 2) • • • (х + к) хк
к! к!
Разделив £(к) на Е(к), получим чезаровскую среднюю к - го порядка:
а(к) = ~ х
х
£(к) к!
Схм
Г(р +1)
{1 + О ( хк °+°—к—^ ) + О {Р( х)}}
Е
(к)
х
к!
Схм Г(р +1)
{1 + О ( хк0+0—к—т—р) + О {Р( х)}} ;
к
к
т.е.
)+О {P( x)}} ; x . при (0<T,
что и требовалось доказать.
Таджикский государственный педагогический университет им.С.Айни
Поступило 12.12.2006 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Субханкулов М.А. Тауберовы теоремы с остатком. - М.: Наука, 1976, 399 с.
2. Каримова М.М. Тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов Дирихле. - Душанбе: Дониш, 1992, 239 с.
3. Каримова М.М., Камарадинова З.Н. - Вестник Таджикского государственного педагогического университета, 2004, №4, с.14-21.
4. Харди Г.Х. Расходящиеся ряды. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1951, 504 с.
М.М.Каримова, З.НДамарадинова ТЕОРЕМАИ НАМУДИ ТАУБЕРИИ КОМПЛЕКСВ БО МИЁНА^ОИ ЧЕЗАРОИ АЪЗОЯШ АСОСИ
Дар монографиями М.А.Суб^онкулов [1] ва М.М.Каримова [2] теоремами на-мудашон комплексии бак;иядор барои миёнах,ои Рисс оварда шуда буданд. Дар мак;олаи мазкур усули исботи теоремах,ои муаллифони дар боло номбаркардашударо истифода бурда оиди теоремаи тауберии комплексй барои миёнах,ои Чезаро теоремаи наве исбот карда шудааст.
M.M.Karimova, Z.N.Kamaradinova THE COMPLEX TAUBERIAN THEOREM AT CESaRO MEANS WITH THE MAIN MEMBER OF GROWTH
In the monographies М.А. Subhankulov [1] and М.М. Karimova [2] are given complex Tauberian of the theorem with Risses means. Using methods of the proofs of the above-stated works in given clause the result of the complex theorem such as Tauber with Cesaro means is received.
