ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО РЕАЛИЗАЦИИ ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ ПЕДВУЗА Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

2. Бершадский М.Е., Гузеев В.В. Дидактические и психологические основания образовательной технологии. М.: Центр «Педагогический поиск», 2013. 256 с.

3. Зарецкий В.К. Становление и сущность рефлексивно-деятельностного подхода в оказании консультативной психолого-педагогической помощи // Консультативная психология и психотерапия. 2013. №2. С. 8-37.

4. Коджаспирова, Г.М. Педагогика в схемах, таблицах и опорных конспектах / Г.М. Коджаспирова. М.: АЙРИС ПРЕСС, 2008. - С. 252

5. Митчелл Д. Эффективные педагогические технологии специального и инклюзивного образования. М.: Форум, 2012. 208 с.

6. Ростовцев Н.Н. Методика преподавания изобразительного искусства в школе. М.: АГАР, 2010. — 242 с.

Педагогика

УДК 37.016:51(045)

кандидат педагогических наук, доцент Кочетова Ирина Викторовна

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева» (г. Саранск); доктор педагогических наук, доцент Егорченко Игорь Викторович Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Всероссийский государственный университет юстиции (РПА Минюста России)», Средне-Волжский институт (филиал) (г. Саранск)

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО РЕАЛИЗАЦИИ ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ ПЕДВУЗА

Аннотация. Статья посвящена рассмотрению вопросов, связанных с реализацией прикладной направленности обучения математике студентов педвузов посредством системы прикладных задач.

Ключевые слова: прикладная задача, прикладная направленность обучения, обучение математике, студенты, вуз.

Annotation. The article is devoted to the consideration of issues related to the implementation of the applied orientation of teaching mathematics to students of pedagogical universities through a system of applied tasks.

Keywords: applied task, applied orientation of teaching, teaching mathematics, students, university.

Статья выполнена в рамках гранта на проведение научно-исследовательских работ по приоритетным направлениям научной деятельности вузов-партнеров по сетевому взаимодействию (Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева и Мордовский государственный педагогический институт им. М.Е. Евсевьева) по теме «Технология математической подготовки студентов педвуза в условиях прикладной направленности обучения»

Введение. Процесс математизации многих областей науки, отраслей техники и производства определяет одно из лидирующих мест математики в образовании человека. Определяет ее роль в самых разнообразных сферах жизни общества. Однако, теоретические математические знания, применяемыми на практике и учебный предмет «Математика» находятся на разных берегах бездны. Преодолеть расстояние между ними возможно посредством значительного усиления прикладной направленности курсов математических дисциплин.

Информатизация всех сфер общества выставляет новые запросы к знаниям и умениям, а также к общему и прикладному характеру образования. Это предъявляет современному школьному образованию и высшим учебным заведениям новые тенденции совершенствования процесса обучения и подготовки выпускников к практической деятельности. Выполнение поставленных задач предполагает повышение уровня теоретической подготовки школьников и студентов, а также усиления прикладной направленности обучения в целом и обучения математике в частности.

Реализация прикладной направленности обучения математике в рамках школьного образования, а также в высших учебных заведениях, безусловно, предполагает выполнения ряда условий преподавания. К ним прежде всего относится осуществление единства изложения теории и практики, формирующего у обучающихся умения применять теоретические знания при решении прикладных и практико-ориентированных задач и навыки выполнения различных практических работ. В процессе изучения математических дисциплин, обучающиеся (школьники и студенты) должны увидеть и усвоить прикладные возможности, кроме этого получить основные навыки применения математических знаний в практической деятельности.

Целью настоящей работы является описание теоретических основ реализации прикладной направленности обучения математике студентов педвуза посредством системы прикладных задач.

Изложение основного материала статьи. Лидирующей составляющей совершенствования математического образования на современном этапе его развития выступает усиление прикладной направленности математического блока учебных дисциплин. Которое предполагает выражение связи его содержания и методики обучения с практической деятельностью.

Отметим, что вопрос ее необходимости не является новым. На всех ступенях своего становления и развития он был обусловлен рядом аспектов, некоторые из которых не решены и в настоящее время. Данный вопрос динамичен по своему содержанию и в силу непрерывного развития математической науки, повышения роли математизации и информатизации в связи с расширением области человеческой деятельности. Математика поэтапно превращается в инструмент познания. В рамках методики обучения математике важно показать обучающимся функционирование этого инструмента и сферы его применения.

Несмотря на это, в последнее время наблюдается тенденция к «затуханию» интереса и школьников, и студентов к математическим знаниям. Причина такого положения заключается в том, что на учебных занятиях обучающиеся не получают достаточно убедительного ответа на вопрос: где возможно применить

эти знания, как сложный теоретический и, порой, абстрактный материал можно применить в жизни? Таким образом, между учебным предметом и математической наукой, применяемой на практике, образуется так называемая бездна. Решением сложившейся проблемы способно и необходимо выступить значительное усиление прикладной направленности курсов математических дисциплин.

Проблемой значимости и необходимости реализации прикладной направленности обучения занимались ведущие педагоги на различных этапах развития образования. В разное время вопрос прикладной направленности обучения математике обсуждали как математики, так и методисты: С.С. Варданян, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.А. Терешин и другие. В контексте своих исследований они представляют различные трактовки понятий: прикладная и практическая направленность обучения. Рассмотрим варианты наиболее известных взглядов на аспект реализации прикладной направленности преподавания математики, появившиеся в последние десятилетия двадцатого века.

В контексте своих исследований авторы В.В. Пикан, Ю.М. Колягин отмечают, что «прикладная направленность обучения математике состоит в ориентации содержания и методов обучения на применение математики в технике и смежных науках, в профессиональной деятельности, в сельском хозяйстве и в быту» [3].

Кроме этого, данные авторы различают ещё и «практическую направленность обучения математике -направленность содержания и методов обучения на решение задач и упражнений, на формирование у обучающихся навыков самостоятельной деятельности математического характера».

Похожую трактовку предлагает Н.А. Терешин, который определяет прикладную направленностью обучения математике как ориентацию содержания и методов обучения на применение математики для решения задач, возникающих вне математики [7].

В свою очередь, Г.В. Дорофеев высказывает мнение, что термин «прикладной» в рамках математики в школе и вузе необходимо понимать иначе, чем это принято в науке. «Если определённый математический аппарат имеет для них прикладное значение, то они приносят им вполне прикладную пользу» [1]. Термин прикладной направленности в этом случае предполагает обучение применению математического аппарата, как в самом курсе математики, так и в других дисциплинах с использованием методов и приемов, характерных для деятельности в области применения математики.

Н.Я. Виленкин, известный математик и автор учебников математики, в качестве ведущего принципа обучения математике указывает принцип связи обучения с практикой. В данном контексте, все приемы и средства обучения, применяемые преподавателем на занятии, должны быть ориентированы на реализацию прикладной направленности обучения во всех возможных сферах.

В настоящее время одна из основных задач, решаемых системой образования в результате реформы общеобразовательной и высшей школы - это усиление практической и прикладной направленности математики, выполняющей пару взаимосвязанных и взаимодополняемых функций: мировоззренческую и социально-педагогическую.

Первая функция (мировоззренческая) осуществляется в процессе изучения исторических аспектов становления математических понятий, при раскрытии связей математики с другими дисциплинами, в результате алгоритмизации и т.д.

Социально-педагогическая функция осуществляется через совокупность задач профессиональной направленности силами и возможностями математики, в рамках экономического воспитания, в ходе решения задач оптимизации технологических процессов на современном производстве и т.д.

В контексте сказанного под прикладной направленностью обучения математике будем понимать ориентацию содержания и методов обучения на формирование умений применять математический аппарат для решения задач, возникающих в других отраслях научного знания, учебных дисциплинах, в будущей профессиональной деятельности, с использованием методов и приемов, свойственных математической науке и математической деятельности.

Одним из путей реализации прикладной направленности обучения математике выступают задачи, раскрывающие применение математики в реальной действительности (вычисление значений величин, встречающихся в практической деятельности; построение графиков, диаграмм и т.д.).

Анализ научно-методической литературы позволяет выделить различные трактовки понятия прикладной задачи:

- как задача, требующая перевода с естественного языка на математический (С.С. Варданян, Г.М. Возняк и др.) [2];

- как задача, близкая к задачам, возникающим на практике, по своей постановке и методам решения (Г.М. Морозов и др.) [5];

- как задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами (Н.А. Терешин и др.) [7].

А.А. Столяр также определяет прикладную задачу, как задачу возникшую в научной, но не математической области или практической деятельности.

Если возникает необходимость решить такую задачу математическими средствами, то называют ее прикладной (по отношению к математике)» (6, с. 145). Таким образом, прикладная задача обязательно несет в себе практическую значимость, не только в математике, но и в других сферах науки.

В контексте исследования под термином «прикладная задача» понимается задача, показывающая применение математической теории в практических ситуациях. В содержании или в ходе решения прикладных задач необходимо отразить применение математической теории или математического аппарата в повседневной жизни.

Прикладные задачи различают по содержанию, их роли в учебном процессе и по другим функциям. В системе прикладных задач выделяют следующие типы:

- задачи с практическим (бытовым) содержанием, показывающие бытовые и общественные вопросы деятельности человека;

- задачи экономического содержания;

- производственные задачи;

- текстовые задачи (отражающие различные разделы экономики, науки, техники, производства);

- задачи, показывающие внутри- и междисциплинарные связи;

- задачи, профессиональной направленности;

- задачи с сельскохозяйственной тематикой;

- задачи, показывающие движение транспортных средств;

- задачи кибернетики и связанные с управлением информационными процессами;

- задачи математического моделирования;

- задачи с приближенными вычислениями;

- задачи, решаемые с применением численных методов;

- экстремальные задачи;

- задачи на оптимизацию, задачи линейного программирования;

- задачи статистики, теории вероятностей и теории игр;

- исторические задачи;

- игровые и занимательные;

- логические задачи;

- задачи, самостоятельно составленные обучающимися.

К прикладной задаче следует предъявлять следующие требования:

- способы и методы решения задачи должны быть приближены к практическим приемам и методам;

- задачи должны соответствовать программе курса, использоваться в образовательном процессе в качестве необходимого элемента, способствовать достижению целей обучения;

- содержание практико-ориентированных и прикладных задач должно раскрывать математические и нематематические вопросы и их композицию;

- применяемые в задаче понятия и термины должны быть доступными для обучающихся, содержание и условие задачи должны быть близки к реальной действительности;

- практическая, т.е. прикладная составляющая часть задачи не должна преобладать над ее математическим компонентом.

Прикладные и практико-ориентированные задачи могут быть использованы с разной целью: способствовать заинтересованности обучающихся, в качестве мотивации обучения, для развития умственной деятельности, для разъяснения межпредметных связей математики с иными дисциплинами. Данные задачи способствуют повышению интереса школьников и студентов к математике, как учебному предмету, так как для многих важная ценность математического аппарата состоит в ее практических возможностях.

Задача с практическим содержанием - это математическая задача, раскрывающая приложения математики в реальной жизни, в смежных дисциплинах. Такая задача знакомит с ее применением в различных сферах деятельности человека (при выполнении трудовых операций, организации, технологии и экономике производства, в сфере обслуживания, в быту).

Очевидно, что посредством системы прикладных задач осуществляется межпредметная связь математики с другими науками. На основе математических знаний формируются общепредметные расчетно-измерительные умения.

При изучении смежных учебных дисциплин выявляется практическое применение математических знаний и умений, получаемых студентами, что способствует формированию у них научного мировоззрения, а также представлений о математическом моделировании как обобщенном методе познания мира.

В процессе реализации прикладной направленности обучения математике важную роль играет применение в преподавании разнообразных форм организации учебного процесса [4].

Приемами или способами реализации прикладной направленности являются:

1. Применение разнообразных форм заданий.

2. Интегрированный подход к обучению. Данный подход характеризует использование средств, форм и методов обучения, способствующих активизации познавательной деятельности обучающихся, а также осуществлению возможности научить их составлять творческие и нестандартные задания. В качестве примеров таких форм могут выступать, так называемые «буквенные», «цифровые» «числовые» диктанты.

3. Математические разминки. Они могут состоять не только из вопросов на проверку домашнего задания, но и на актуализацию опорных определений и понятий, изученных ранее и которые необходимо вспомнить обучающимся.

4. Составление математических моделей и задач по математическим моделям.

Приведем примеры прикладных задач, решаемых методами высшей математики, возможных к изучению в курсах математических дисциплин.

Методы линейной алгебры в решении прикладных задач.

Задача. Завод осуществляет выпуск изделий трех видов Р1, Р2, Р3 и использует для этого материалы

г2 3

А =

5 2

V1 4 у

двух типов 51 и S2. Нормы расхода материала характеризуются матрицей 4 у , где каждый

элемент а' (г = 1, 2, 3;/ = 1, 2) показывает, сколько единиц материала/-ого типа расходуется на производство единицы изделий г'-ого вида. План выпуска изделий определяется матрицей-строкой С = (100 80 130),

( 30Л

В =

V 50 ,

стоимость единицы каждого типа материала - матрицей-столбцом . Определить затраты

материала, необходимые для планового выпуска изделий, и общую стоимость материала.

Решение. Затраты первого типа материала составляют 51 = 2 • 100 + 5 • 80 + 1 • 130 = 730 ед. Второго - 52 = 3 • 100 + 2 • 80 + 4 • 130 = 980 ед. Таким образом, матрица-строка затрат материала 5 будет представлена в виде произведения

5 = С • А — (100 80 130)

2 3^ 5 2

V1 4 у

= (730 980)

Тогда общая стоимость материала Q = 730 • 30 + 980 • 50 = 70900 денежных единиц представима в матричном виде Q = 5 ■ В = (СА)В = (70900).

Общую стоимость материала можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат материала на единицу изделий, т.е. матрицу

/11 л\

R — А • В

затрат

2 3

5 2

1 4

( 30 ^

V 50 у

210 250

Ч230У

а затем общую стоимость материала

V у

Q = С ■ Я= С (АВ) = (70900).

Методы аналитической геометрии на плоскости в решении прикладных задач.

Задача. Две деревни М и N располагаются у подножия горы на уровне моря. Расстояние между ними составляет 6 км по прямой. Между ними находится горный перевал, на который из Ми N ведут почти прямолинейные автотрассы. Из пункта М уклон дороги (тангенс угла между дорогой и уровнем моря) составляет 0,15; трасса из деревни N имеет уклон 0,25. На какой высоте над уровнем моря находится перевал?

Решение. Выберем систему координат так, что ее начало совпадает с точкой М, ось Ох проходит через отрезок MN (предполагаем, что пункт N находится правее М), а ось Оу перпендикулярна Ох и направлена вверх. Пусть перевал находится в точке С (х1, у1). Т.к. при движении из М в С осуществляется подъем, а при движении из С в N - спуск, то угловые коэффициенты прямых МС и NС соответственно равны ^ = 0,15 и k2 = -0,25. Следовательно, прямая МС задается уравнением у = 0,15х, а прямая ВС - уравнением у = -0,25(х - 6).

—

15 4

У1

Находим точку пересечения прямых: 0,15х = -0,25(х - 6); отсюда 1 , тогда

0,15 •— — 0,5625. ,

4 т « " = У1 = 0,5625

^ Таким образом, ^ 1 км - искомая высота перевала над

уровнем моря.

Приложения дифференциального исчисления к решению прикладных задач.

3

Задача. Необходимо запланировать размеры открытого бассейна квадратной формы объемом в 32 м таким образом, чтобы на отделку его дна и стен потратить наименьшее количество отделочных материалов. Решение. Примем сторону основания за переменную х, а высоту за у. Тогда, объем бассейна V равен

V — х2у — 32 г)

Площадь боковой поверхности бассейна и его основания, которые необходимо облицевать, равна 5

32

5 5°сн +5бок х +4х (**). Из соотношения (*) выразим переменную

о/ \ 2 . 32 2 128 5 (х) — х + 4 х— — х +

У —

х

подставим в (**):

х

х

Данную функцию исследуем на наличие минимума в промежутке 128

5'(х) — 2х--- ^ 5'(х) — 0

(0;+с»):

х

и 5 (х )

при х = 4.

Наименьшее значение функци (она неограниченно возрастает как при

в полученной точке, поскольку наибольшего значения у нее нет

х_^ 0 х_^ оо

, так и при ). Применив второе достаточное

условие существования экстремума, убедимся в этом, найдя вторую производную функции

5"(х)— 2 + ^ ^ 5"(4)— 2 + 256 — 2 + 4 — 6 > 0.

5 (х):

х

43

и

S"(x)> 0 4 й ф S (x)

v / .то х=4 - является точкой минимума функции V '.

Таким образом, так как \ ' , то х=4 - является точкой минимума функции Следовательно, поверхность бассейна, которую необходимо облицевать будет минимальной, если сторона

32 2

У = т = 2 42

его основания составляет 4 м, а высота боковых сторон равна ^ м.

Приложения интегрального исчисления к решению прикладных задач.

Задача. Легковая машина, движется со скоростью 48 км/ч (г0,), начинает притормаживать и останавливается через 3 с. Определить расстояние которое проедет машина от начала торможения до того, как остановится.

Решение. Считаем, что с момента начала торможения и до полной остановки движение легковой

V = v0 - п

машины является равнозамедленным. Формула скорости равнозамедленного движения 0 , где v0 - начальная скорость, а - ускорение, ^ время.

3

Определим ускорение из условия v = 0 при t= 3 c = 3600 часа: V ( 3 ^

v0 - at = 0 ^ a = = 48: - = 48 • 1200

v3600 у /2

v у км/ч2

^ v(t) = 48 - 48-1200t

Найдем расстояние, пройденное до полной остановки: 1/1200 1/1200

s(t) = J(48-48-1200t )dt =48 J(1 -1200t)dt =48(t-600t2)

1/1200

= 0,02 км

0

00

Выводы. Обучение математике на всех этапах должно иметь развивающий характер и прикладную направленность: развитие интеллекта, алгоритмической культуры, математической интуиции, умения и желания учиться и применять свои знания для решения практических задач. Прикладная направленность математических дисциплин реализуется с целью усиления качества математического образования обучающихся, а также, с целью применения математических знаний к решению практико-ориентированных задач.

Литература:

1. Блох, А.Я. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. Ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев [и др.]; сост. В.И. Мишин. -М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

2. Возняк, Г.М. Прикладные задачи в мотивации обучения / Г.М. Возняк // Математика в школе. - 1990. -№2. - С. 9-11.

3. Колягин, Ю.М. О прикладной и практической направленности обучения математике / Ю.М. Колягин, В.В. Пикан // Математика в школе. - 1985. - №6. - С. 27-32.

4. Кочетова, И.В. Интерактивное обучение как фактор совершенствования современного высшего образования / И.В. Кочетова, О.Н. Шалина, И.В. Егорченко // Гуманитарные науки и образование: научный журнал. - 2017. - № 3. - С. 31-36.

5. Морозов, Г.М. Методика формирования умений строить математические модели при обучении математике: автореф.дис. ... канд. пед. наук / Г.М. Морозов. - НИИ СиМО АПН СССР. - М, 1978. - 21 с.

6. Столяр, А.А. Педагогика математики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. педагогических ВУЗов - Минск: «Вышэйшая школа», 1986. - 414 с.

7. Терешин, Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: книга для учителя / Н.А. Терешин. - М.: Просвещение, 1990. - 96 с.