CC BY
226
Связь между бета- и гамма-функцией
Гамма- и бета- функции, непременно, связаны между собой. Эта взаимосвязь определяется формулой:
Некоторые применения гамма-функции.
В математической статистике и теории вероятностей очень часто встречается Интеграл Пуассона [6]. Как известно, первообразная функции е~" не является элементарной функцией. Однако, вычислить ее значения в отдельных точках (точнее, предел при х — -Нк), можно. А именно, проводя замену переменной х - = г, получаем
Согласно _ уже известной нам формуле
Га - сО ■ Г&О = ■
—г-г [в;
sinQi - с] v J
получим:
Г(С,5) -Г(1 - 0,5) = Г(С,5): = —» (12)
я
sLti 0.5тг
Поэтому
г
j П
9-'rdx = —, (13)
Гамма функция находит очень широкое применение в прикладном анализе. С гамма-функцией связана функции Бесселя используемые при синтезе фильтров и спектральном анализе, а также другие специальные функции: бета-функция, К-функции, G-функции. В статистике широко используется гамма-распределение, частными случаями которого являются экспоненциальное распределение и распределение хи-квадрат.
Заключение
Гамма- и Бета-функции удобно использовать с целью расчета некоторых интегралов, многие из которых не представимы в элементарных функциях. Очень многие ряды и интегралы, встречающиеся в анализе, могут быть выражены через Гамма- и Бета-функции Эйлера. В теории аналитических функций они фигурируют почти наравне с элементарными функциями [1,2 ].
В связи с этим гамма- и бета-функции обширно используется в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки [3,4,7,8 ].
В данной работе мы изучили основные свойства этих функций, а так же установили и проанализировали связь между ними. Были приведены примеры их использования, то есть вычисление эйлерова интеграла первого и второго рода.
ЛИТЕРАТУРА
1. Балк, М.Б., Виленкин, Н.Я., Петров, В.А. Математический анализ. Теория аналитических функций. М.: Просвещение, 1985. 159 с.
2. Бермант, А.Ф., Араманович, И.Г. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1966. - 735 с.
3. Бронштейн, И.Н., Семендяев, К.А. Справочник по математике для студентов вузов. М., Наука. 1965. - 360 с.
4. Бугров, Я.С., Никольский, С.М. Дифференциальные уравнения. Ряды. Функции комплексного переменного. Ростов-н/Д. Феникс. 1997. - 511 с.
5. Виленкин, Н.Я., Куницкая, Е.С, Мордкович, А.Г. Математический анализ: интегральное исчисление. М.: Наука, 1979. - 435 с.
6. Дадаян, А.А., Дударенко, В.А. Математический анализ: Учеб. пособие. Мн.: Выш шк., 1990. - 428 с.
7. Кузнецов, Д.С., Специальные функции. М.: Высшая школа, 1962. - 5 с.
8. Лебедев, Н.Н. Специальные функции и их приложения. 1953.- 28 с.
9. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Физматгиз, 1962. -807 с.
В.К. Чурюкина
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ С ЦЕЛЬЮ АКТИВИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ СТАРШЕКЛАССНИКАМИ СТЕРЕОМЕТРИИ
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Аннотация. Прикладная направленность обучения является одной из содержательно -дидактических линий школьного курса математики. Эффективность обучения школьников на уроке математики зависит от методики обучения решению задач с прикладным содержанием. В настоящей работе рассмотрены вопросы необходимости использования указанного типа задач с целью активизации изучения старшеклассниками стереометрии.
Ключевые слова:Процесс обучения, математический материал, средняя школа, прикладная направленность обучения.
V.C. Churyukina
USE OF THE APPLIED DIRECTIONS TASKS TO ACTIVATE THE STUDY OF STEREOMETRY SENIOR GRADUATES IN SECONDARY SCHOOL
Abstract. Applied orientation of learning is one of the content-didactic lines of the school course of mathematics. The effectiveness of teaching students in a mathematics lesson depends on the teaching methodology for solving problems with applied content. This paper discusses the need to use this type of task in order to enhance the study of high school students stereometry.
Key word:The learning process, mathematical material, high school, applied orientation of learning.
Для овладения навыками управления современной техникой и передовой технологией требуется серьезная общеобразовательная подготовка, включающая в качестве непременного компонента активные знания по математике. Учителям необходимо повышать эффективность и качество учебной работы, добиваться, чтобы каждый урок способствовал развитию познавательных интересов школьников и приобретению навыков самостоятельного пополнения знаний.
Одним из возможных путей решения этих серьёзных задач является прикладная ориентация школьного курса математики, позволяющая вооружить ученика теми знаниями, которые, с одной стороны, будут развивать его математическую культуру, а с другой стороны, помогут эти знания применять на практике в будущей профессиональной деятельности и жизни. Изучая математику, учащиеся усваивают и оценивают её прикладные возможности, получают базовые навыки в приложении этой науки на практике [1-4]. Независимо от того, какой жизненный путь и профессию выберут выпускники в дальнейшем, опыт решения «жизненных» задач, несомненно, пригодится им в жизни и поможет адаптироваться к изменениям, происходящим в обществе.
Потребность в использовании прикладных материалов диктуется также и тем, что возникновение и развитие математических понятий имеет своим источником ощущения и восприятия. Поэтому обращение к примерам из жизни, решение прикладных задач облегчает усвоение абстрактных математических положений, способствует развитию логического мышления, формированию умений применять полученные знания.
Когда в тексте условия задачи описывается реальная ситуация из жизни, у обучающихся складывается представление о возникновении математики из практической жизненной необходимости. Такие задачи интересны школьникам любого возраста.
Следует отметить, что данная проблема не является новой. Теоретическое обоснование проблемы прикладной направленности обучения математике получено в работах Н.Я. Виленкина, Г.В. Дорофеева, А.Н. Колмогорова, Ю.М. Колягина, H.A. Терешина, С.И. Шварцбурга, И.В. Зубовой, И.А. Иванова, М.Ю. Тумайкиной, Л.Э. Хайминой, Н.А. Хоркиной и др. В работах большинства авторов раскрываются сущность понятия прикладной направленности, рассматриваются отдельные методические вопросы данной проблемы и предлагаются пути их решения.
Несмотря на большой интерес педагогов и методистов к этой проблеме, процесс обучения большинства тем действующего курса математики средней школы продолжает предусматривать такую систему задач, решение которых способствует усвоению преимущественно абстрактного теоретического материала. Такие методы обучения вводят в учебный процесс "искусственность", изолируя предмет от реальной жизни. В связи с вышесказанным, актуальным является рассмотрение некоторых особенностей использования задач прикладной направленности, способствующих активизации изучения математики.
Несомненно, реализация прикладной направленности школьного курса математики неразрывно связана с понятием прикладной задачи. Используя определение Н.А. Терешина, прикладная задача - это задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами. Прикладная задача содержит проблемную ситуацию, для разрешения которой необходимо выбрать и применить математические знания.
На основе существующих в настоящее время разделов прикладной математики выделяются задачи на математическое моделирование, алгоритмизацию и программирование. Чаще всего в школьном курсе математики встречаются прикладные задачи, связанные с вычислением значений величин, встречающихся в практической деятельности; построением графиков и диаграмм. В частности, для геометрии - это задачи на вычисление площадей и объемов тел, измерительные работы на местности, использование свойств фигур в архитектуре и строительстве. Особый класс задач составляют задачи по стереометрии, которые являются прекрасными упражнениями для развития пространственных представлений, умения логически мыслить, способствуют глубокому усвоению всего школьного курса геометрии.
Систематический курс стереометрии изучается в 10-11 классах и предусматривает рассмотрение начальных базовых тем:
1.Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.
2. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.
3. Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Данные темы закладывают фундамент знаний по разделу «Стереометрия» (основные определения, аксиомы, теоремы, признаки) для успешного изучения пространственных фигур и решения задач.
Решение стереометрических задач с прикладной направленностью позволяет:
■ усилить прикладную направленность изучения школьного курса геометрии;
■ выработать необходимые навыки решения задач, умения оценивать величины и находить их приближенные значения;
■ сформировать представления о соотношениях размеров реальных объектов и связанных с ними геометрических величин;
■ выработать навыки работы с таблицами и другими справочными материалами;
■ повысить интерес, мотивацию и, как следствие, эффективность изучения стереометрии.
Например, тема «Тела вращения» содержит в себе теоретический и практический материал, обладающий
огромным потенциалом. Во время изучения тем «Цилиндр» и «Конус», целесообразно попросить учащихся назвать тела вращения, встречающиеся в нашей жизни. При необходимости, учитель добавляет свои примеры: цилиндрические резервуары и цистерны, хоккейные шайбы, воронка для переливания жидкостей из более крупной посуды в более мелкую: рупор, конструкции крон и стволов деревьев, отдельные элементы предметов обихода и т.д.
Проанализировав наличие прикладных задач по теме «Тела вращения» в учебнике геометрии Л.С. Атанасяна, можно сделать вывод о том, что они, как правило, предлагаются учащимся для решения в конце каждого параграфа. Особое место среди них занимают задачи о трубах, на которых хорошо иллюстрируются и закрепляются формулы объема и площади поверхности цилиндра. Поэтому на уроках стереометрии в 11 классе желательно решить хотя бы несколько задач, аналогичных следующим:
1. Первая труба пропускает на 14 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 528 литров она заполняет на 42 минуты быстрее, чем первая труба?
2. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром в 65 см имеет высоту в 18 м. Сколько квадратных метров жести нужно для изготовления этой трубы, если на заклепку уходит 10% всего требующегося количества жести?
3. Конусообразная палатка высотой в 3,5 м с диаметром основания в 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?
4. Поверхность конического шпиля башни равно 250 квадратных метра, а диаметр основания 9 м. Найти высоту шпиля.
5. Сколько кг олифы потребуется для окраски 100 ведер конической формы, если диаметры ведра 25 см 30 см, а образующая 27,5 см, если на 1 квадратный метр требуется 150 г олифы?
6. Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре. Сколько краски потребуется для окраски полной поверхности подвала при расходе 250г/м2
7. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см3. Определить массу стога сена.
8. Высота консервной банки цилиндрической формы равна 4 см, а радиус основания 6 см. Сколько таких банок можно изготовить из 15000 кв. метров жести, если 10% материалов идет на отходы и швы?
9. Какова должна быть высота цилиндрической кастрюли с диаметром дна 26 см, чтобы в ней можно было приготовить 0,75 л плодово-ягодного киселя?
10. Диаметр цилиндрического парового котла длиной 3,8 м равен 0,8 м. найдите давление пара на полную поверхность котла, если на 1 см кв. пар давит с силой 10Н.
Включение прикладных задач на нахождение объемов тел вращения на уроках стереометрии необходимо еще и потому, что они включены в материалы ЕГЭ. Вот некоторые примеры заданий ЕГЭ по математике профильного уровня:
1. Цилиндрическая емкость радиусом 38 см и высотой 86 см. на две трети заполнена маслом. Сколько литров масла можно долить в эту емкость? Сколько литров масла было первоначально?
2. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 см. Какова масса 25 м этой трубы?
3. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала?
4. В цилиндрическую посудину, внутренний диаметр которой 20 см, опущена деталь. При этом уровень воды в посудине поднялся на 12см. найти объем детали.
5. В цилиндрический сосуд, радиус основания которого 4 см, помещен шар радиуса 3 см. В сосуд наливается вода так, что её свободная поверхность касается поверхности шара(шар не всплывает). Определить толщину того слоя воды, который образуется, если шар вынуть.
6. Два шарика помещены в цилиндрическую банку, диаметр которой 22 см. Если влить в банку 5 л воды, то покроются ли водой полностью оба шарика, если их диаметры 10 и 14 см?
7. В цилиндрической посудине жидкость достигает высоты 16 дм. На какой высоте будет уровень жидкости, если её перелить в посудину, диаметр которой в 2 раза больше первого?
8. Из свинцового шара радиуса 10 мм делают цилиндрический диск, толщиной 3 мм. Найти диаметр этого диска.
9. Сколько шариков диаметром 0,6 см можно отлить из куска свинца, массой 1 кг. Плотность свинца 11,4 кг/дм3.
10. Шар радиусом 6 дм плавает в воде. Найдите высоту части шара, которая выступает из воды, если плотность материала, из которого сделан шар 0,7 г/см3.
Задачи прикладного характера помогают формированию интереса школьников к предмету, предрасполагают к самостоятельности в поиске решения, в поиске необходимой теоретической информации, расширяют кругозор обучающихся. В современном мире необходимо быть способным интерпретировать визуальную информацию, уметь работать с изображением и пространством. Правильно подобранные геометрические задачи прикладного содержания помогут обучающимся в самоопределении, выборе дальнейшего профессионального пути, опыт решения таких задач, безусловно, пригодится для их повседневной деятельности. Чем богаче учебная среда различными ситуациями взаимодействия между обучающимися, тем больше условий для индивидуального прогресса, личностного, коммуникативного и социального развития школьников.
В заключении важно сказать, что человечество ценит математику за ее прикладное значение, за общность и мощь ее методов исследования, за действенные прогнозы при изучении природы и общества.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бузнякова, А.А., Макарченко, М.Г., Сидорякина, В.В. Основные принципы построения объяснения доказательства теоремы школь-
ного курса математики//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2017. № 1.-С. 179-184.
2. Сидорякина, В.В., Кружилина, Е.В. Формирование эвристических приемов у учащихся при изучении векторов в средней шко-
ле//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2016. N° 2.-С. 130-134.
3. Сидорякина, В.В., Тулинова, О.А., Кружилина Е.В. О некоторых методических особенностях обучения школьников решению гео-
метрических задач векторным методом//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2017. № 1.-С. 261266.
4. Сидорякина, В.В., Аксайская, Л.Н., Кумакова, Е.А. Специфика использования метода координат при решении стереометрических
задач в средней школе//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2017. № 2.-С. 241-245.
