CC BY
277
Теоретическое и экспериментальное исследование течения вскипающих жидкостей в области давлений ниже атмосферного [Текст]/ ФГБОУ ВПО "Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ", отчёт о НИР Грант РФФИ №09-01-97013, 2009.
Р.А. Тюленева, А.А. Илюхин ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА
Аннотация. В статье рассматривается более углубленное изучение одной из интереснейших тем математического анализа «Интегралы Эйлера первого и второго рода».
Ключевые слова: Гамма-функция, Бета-функция, свойства, взаимосвязь, применение.
R. A. Tyuleneva, A. A. Ilyukhin THE EULERIAN INTEGRALS
Abstract. The article deals with a more in-depth study of one of the most interesting topics of mathematical analysis "Euler Integrals of the first and second kind".
Key words: Gamma function, Beta function, properties, interrelation, application.
Во многих случаях первообразная от заданной элементарной функции не выражается конечными комбинациями основных элементарных функций. Об этих функциях говорят, что они не интегрируемы в конечном виде. В ряде случаев, для их вычисления используют так называемые эйлеровы интегралы, являющие собой особый класс функций, которые представляются в виде собственного либо несобственного интеграла, зависящего не только от формальной переменной, но и от параметра. К эйлеровым интегралам относятся так называемые гамма- и бета- функции Эйлера.
Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, применение ее свойств помогает при изучении многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.
Благодаря ее введению значительно расширяются возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение ее все же часто облегчает использование гамма- функции, хотя бы при промежуточных преобразованиях.
Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции [8,9]. Задача интегрирования некоторых выражений считается решенной, если она приводит к вычислению эйлеровых интегралов, свойства которых изучены с разных точек зрения, что позволит также изучить свойства некоторых функций, элементарно не представимых.
Цель данной работы - изучить возможность различных представлений гамма- и бета- функции, их свойства, установить между ними взаимосвязь.
Эйлеров интеграл первого рода (бета-функция) представим в виде:
Где
а, Ь > О (2),
об этих неравенствах скажем чуть позже.
А равенство (1) определяет функцию от двух переменных a и b параметров, называемую Бета-функцией.
Наименование ей дал французский математик, механик и астроном Жак Бине.
Область определения
Теперь о неравенствах, указанных выше:
Для сходимости интеграла (1) при х = 0 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее: а > 0, а для сходимости интеграла при х = 1 необходимо и достаточно, чтобы Ь > С. Тем самым обоснована необходимость в неравенствах.
Рис.1. Графическое изображение Бета - функции.
Укажем свойства Бета - функции:
1. Симметричность.
Исходя из свойств (1) можно показать, что Бета - функция Ь) является симметричной относительно перестановки ее аргументов, то есть В (с, Ь) = 3(,Ь. а).
На самом деле, выполнив замену переменной ¡г = 1 — х, с?£ = — с!х, Получим заявленное утверждение:
2. Формула понижения.
При с >1 справедлива формула
доказательство которой можно провести методом интегрирования по частям.
fa,ь) = f =
Jr. а
— 1 Г1
- хс (1 - j:] с -dx
а 1С
Г1 . b - 1
(1 -x)--"'dx-- Cl - х)ь_1Ае =
Л, а 1„
(1 - b-1 f1 Г Л
а ь.
Ъ- 1
0 г
откуда
Эту формулу можно использовать для уменьшения Ь, пока Ь остается больше1; таким образом, всегда можно добиться того, чтобы второй аргумент стал не больше 1.
Этого же результата можно достичь и в отношении первого аргумента, поскольку имеет место свойство симметрии.
3. Иное интегральное представление бета-функции.
Для функции существует аналитическое представление. Если в интеграле (3) произвести подстановку х = т^— где у - новая переменная, изменяющаяся от 0 до то получается:
3(.а, Ь) = j h
Полагая здесь Ь = 1 - а (в предложении, что 0 < с. < 1), найдем
В {а л - а) = I --¿у.
- ~ У
(Для начала, установим, для каких значений параметра а этот интеграл вообще имеет смысл. Особые значения: х = со, х = С (при ь > 1 последняя точка не будет особой). Применение бета-функции
С помощью бета-функции можно охарактеризовать некоторые свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эту особенность впервые подметил Габриэле Венециано в 1968 году. И только в 1970 году сумели выяснить, в чем же заключается физический смысл Бета-функции. Это и привело к возникновению теории струн.
Эйлеров интеграл второго рода(гамма-функция)
Гамма-функция определяется равенством
и называется Эйлеровым интегралом второго рода.
Область определения Для сходимости интеграла (5) в нуле требуется, чтобы выполнялось условие а > С. На бесконечности интеграл сходится при любом а Е Л, так как множитель е~* убывает на бесконечности быстрее любой степени переменной х. Таким образом. Гамма-функция определена при а > С.
Ре
График бета - функции
Гамма - функция имеет следующие свойства: 1. Формула для производных гамма-функции.
Функция Г(с) при всех значениях с >0 непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков. Достаточно доказать лишь существование производных. Продифференцируем интеграл (5) и получим:
Г Ча)
= I хс-'-<?-х!ппи)с!х (6]
■ п
формулу для производных гамма-функции. Гамма-функция бесконечно дифференцируема. Гамма-функцию еще называют аналитическим продолжением факториала. 2. Формула понижения.
При этом для любых комплексных значений с справедливо равенство:
Данное рекуррентное соотношение называется формулой понижения для гамма-функции Эйлера и является очень важным в расчете гамма-функции.
З.Приведем также формулу дополнения:
Г(1 - о] ■ Г(п] = ■
еш^ТГ ■ с] 4. Формула Эйлера-Гаусса
Равенство вида
и- и:
Г(я) = лт л —
(а]
+ 1) ... [а + и — 1)
(9)
называется формулой Эйлера-Гаусса.
Связь между бета- и гамма-функцией
Гамма- и бета- функции, непременно, связаны между собой. Эта взаимосвязь определяется формулой:
Некоторые применения гамма-функции.
В математической статистике и теории вероятностей очень часто встречается Интеграл Пуассона [6]. Как известно, первообразная функции е~" не является элементарной функцией. Однако, вычислить ее значения в отдельных точках (точнее, предел при х — -Нк), можно. А именно, проводя замену переменной х - = г, получаем
Согласно _ уже известной нам формуле
Га - сО ■ Г&О = ■
—г-г [в;
sinQi - с] v J
получим:
Г(С,5) -Г(1 - 0,5) = Г(С,5): = —» (12)
я
sLti 0.5тг
Поэтому
г
j П
9-'rdx = —, (13)
Гамма функция находит очень широкое применение в прикладном анализе. С гамма-функцией связана функции Бесселя используемые при синтезе фильтров и спектральном анализе, а также другие специальные функции: бета-функция, К-функции, G-функции. В статистике широко используется гамма-распределение, частными случаями которого являются экспоненциальное распределение и распределение хи-квадрат.
Заключение
Гамма- и Бета-функции удобно использовать с целью расчета некоторых интегралов, многие из которых не представимы в элементарных функциях. Очень многие ряды и интегралы, встречающиеся в анализе, могут быть выражены через Гамма- и Бета-функции Эйлера. В теории аналитических функций они фигурируют почти наравне с элементарными функциями [1,2 ].
В связи с этим гамма- и бета-функции обширно используется в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки [3,4,7,8 ].
В данной работе мы изучили основные свойства этих функций, а так же установили и проанализировали связь между ними. Были приведены примеры их использования, то есть вычисление эйлерова интеграла первого и второго рода.
ЛИТЕРАТУРА
1. Балк, М.Б., Виленкин, Н.Я., Петров, В.А. Математический анализ. Теория аналитических функций. М.: Просвещение, 1985. 159 с.
2. Бермант, А.Ф., Араманович, И.Г. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1966. - 735 с.
3. Бронштейн, И.Н., Семендяев, К.А. Справочник по математике для студентов вузов. М., Наука. 1965. - 360 с.
4. Бугров, Я.С., Никольский, С.М. Дифференциальные уравнения. Ряды. Функции комплексного переменного. Ростов-н/Д. Феникс. 1997. - 511 с.
5. Виленкин, Н.Я., Куницкая, Е.С, Мордкович, А.Г. Математический анализ: интегральное исчисление. М.: Наука, 1979. - 435 с.
6. Дадаян, А.А., Дударенко, В.А. Математический анализ: Учеб. пособие. Мн.: Выш шк., 1990. - 428 с.
7. Кузнецов, Д.С., Специальные функции. М.: Высшая школа, 1962. - 5 с.
8. Лебедев, Н.Н. Специальные функции и их приложения. 1953.- 28 с.
9. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Физматгиз, 1962. -807 с.
В.К. Чурюкина
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ С ЦЕЛЬЮ АКТИВИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ СТАРШЕКЛАССНИКАМИ СТЕРЕОМЕТРИИ
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Аннотация. Прикладная направленность обучения является одной из содержательно -дидактических линий школьного курса математики. Эффективность обучения школьников на уроке математики зависит от методики обучения решению задач с прикладным содержанием. В настоящей работе рассмотрены вопросы необходимости использования указанного типа задач с целью активизации изучения старшеклассниками стереометрии.
Ключевые слова:Процесс обучения, математический материал, средняя школа, прикладная направленность обучения.
