Подготовка будущего учителя математики к использованию прикладных задач в обучении школьников Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОДГОТОВКА БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ ШКОЛЬНИКОВ

I М.В. Егупова

Аннотация. В статье рассмотрены вопросы методической подготовки будущего учителя в области использования приложений математики в обучении школьников старших классов. Предлагается в дополнение к существующему курсу стереометрии организовывать для учащихся прикладные учебные исследования, на конкретном примере разъясняется методика их организации. Одним из направлений такого исследования может быть использование понятий сферической геометрии для решения задач навигации. Цель прикладного исследования состоит в овладении школьниками методом математического моделирования.

Ключевые слова: методическая подготовка будущего учителя математики, обучение старшеклассников, прикладные задачи, метод математического моделирования, сферическая геометрия.

Summary. The article investigates questions on methodological training of future teacher for usage of applied mathematical problems for teaching of senior pupils. Author suggests using applied educational research as an additional part for current course of stereometry. This is practical example illustrates methods of teaching: usage of ideas in spherical geometry for navigation. The object ofapplied research is mastering of mathematical model approach by schoolchildren.

Keywords: methodological training of future teacher of mathematic, teaching of senior pupils, applied mathematical problems, mastering of mathematical model, spherical geometry.

63

В последнее время все чаще говорится о том, что успехи в реформировании школьного образования в нашей стране зависят не только и не столько от принятия тех или иных нормативных документов, но и от качества подготовки педагогических кадров. Ведь именно на плечи учителей возлагается задача исполнения всех новых требований образовательных

стандартов. Модернизация школы в настоящее время направлена на повышение доступности, качества и эффективности образования [1, 3]. Умение достигать заданных высот — основное требование к профессиональным качествам любого учителя-предметника.

Принятие Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования1 потребовало пере-

1 Приказ Минобразования России от 18.07.2002 г. №2783. 2 / 2009

Преподаватель

смотра содержания подготовки учителей математики в рамках дисциплин теории и методики обучения математике. Учитель профильной школы должен быть не только специалистом высокого уровня в области математики. Он должен обладать рядом новых профессиональных компетенций: владеть исследовательскими методами обучения, уметь проектировать индивидуальные образовательные траектории учащихся, осуществлять прикладную ориентацию учебного процесса и т.д. Для реализации данных задач в содержание дисциплин теории и методики обучения математике должны быть включены соответствующие разделы, разработанные на основе современных подходов к организации педагогического образования.

Покажем, как может быть организована подготовка будущего учителя математики к использованию прикладных задач в обучении.

Известно, что одним из главных методов решения задач, поставленных перед математикой другими науками, является метод математическо-пя го моделирования. На примере школьных прикладных задач имеется возможность не только интуитивно использовать этот метод для поиска решения, но и заложить основы знаний о математическом моделировании, о принципах построения математических моделей.

Учитель должен понимать, что школьные прикладные задачи носят учебный характер. Это означает, что их содержание отражает реальную ситуацию схематично, упрощенно. Такой подход позволяет решать прикладные задачи средствами школьной математики. Однако это не умаляет образовательной ценности таких задач, а наоборот, позволяет на ранних ступе-

нях обучения математике заложить основы прикладного математического мышления. Это означает, что учащиеся должны понимать, что применение математики не ограничивается решением бытовых и производственных проблем. Математические понятия позволяют глубже осмысливать различные факты, события, видеть их общие черты. Навыки разумной точности также могут помочь в выборе правильного подхода к разрешению той или иной жизненной ситуации.

Среди прикладных задач, решаемых в школьном курсе математики, можно выделить три типа согласно степени сложности построения математической модели:

1. Задачи, в которых реальная ситуация описана с использованием математических терминов. Перевод таких задач на математический язык не вызывает затруднений.

Диаметр Земли равен 13000 км. Найти площадь земной суши в квадратных километрах, если она составляет 29% площади всей земной поверхности.

2. Задачи, сформулированные без использования языка математики, но не требующие знаний из других наук.

Игра в монеты. Двое по очереди кладут на лист бумаги прямоугольной формы пятикопеечные монеты. Монеты можно класть только на свободные места, т.е. так, чтобы они не покрывали друг друга даже отчасти. Сдвигать монеты с места, на которое они положены, нельзя. Предполагается, что каждый имеет достаточное количество монет. Выигравшим считается тот, кто положит монету последним. Как должен класть монеты начинающий игру, чтобы выиграть ?

3. Задачи, близкие к прикладным задачам, поставленным перед математикой другими областями знаний. Они содержат специальную термино-

логию той области, в которой поставлена задача. Это затрудняет их использование на уроках математики, т.к. требует владения учащимися дополнительными знаниями из области, в которой сформулировано условие задачи, а также тщательной работы по переводу задачи на математический язык.

Полное солнечное затмение - одно из самых удивительных природных явлений. Оно происходит, когда Луна оказывается между Землей и Солнцем, заслоняя собой солнечный свет. Укажите условия, при которых такое явление возможно.

В курсе школьной математики обучение решению прикладных задач методом математического моделирования должно начинаться с задач первого типа и заканчиваться задачами третьего типа. Ведь именно задачи третьего типа наиболее близки к тем задачам, которые решаются в прикладной математике. А значит, можно говорить о том, что, обучая решать такие задачи, мы способствуем осознанному выбору дальнейшей профессиональной образовательной траектории.

Покажем, как работать с задачами третьего типа. В большинстве учебников по геометрии для старших классов дается представление о сферической геометрии. Этот материал не является обязательным для изучения, но может представлять интерес для внеурочной работы. Как известно, сферическая геометрия широко применяется в астрономии и геодезии, картографии и навигации. Используя этот факт, можно организовать прикладное учебное исследование. Основой такого исследования может стать задача, поставленная, например, в навигации, и требующая для своего решения знаний из сферической геометрии. Рассмотрим такую задачу.

Вычислить начальный курс корабля при движении по ортодромии из А в В, если известны географические координаты этих точек фА, ХА и фВ, ХВ.

Понятно, что без использования метода математического моделирования эту задачу не решить. Традиционно в этом методе выделяется три этапа: построение математической модели; внутримодельное решение; интерпретация результата. Но в нашем случае довольно трудно сразу предъявить математическую модель условия задачи — много непонятной нематематической терминологии. Поэтому целесообразно выделить еще один этап, где будет проделана подготовительная работа: определены все термины других наук, дана им математическая интерпретация, выявлены отношения между объектами задачи и уяснен смысл задачи в целом. Эти этапы и составят план исследования.

Обратим внимание на роль учителя и ученика на каждом этапе исследования. Так, на первом этапе ученик ищет в литературе различные определения нужных нематематических терминов и предъявляет их учителю. Учитель помогает составить математическую интерпретацию этих терминов и при наличии нескольких определений одного понятия показывает преимущества и недостатки возможной математической модели, оценивает степень ее точности и помогает осуществить рациональный выбор модели для этой задачи. При отсутствии такой помощи со стороны учителя на первом этапе деятельность ученика на втором этапе будет затруднена. Второй этап может быть осуществлен учеником самостоятельно, учитель должен только проверить итоговый результат — построенную математическую модель за-дачной ситуации в целом. Третий этап

опять требует активного участия учителя. Здесь его роль заключается в помощи в освоении понятий и теорем сферической геометрии, т.е. собственно в изучении нового для ученика математического материала. Доза этой помощи может быть различной и зависеть от желаемой глубины изучения вопроса, способностей и потребностей ученика. Четвертый этап выполняется учеником самостоятельно. На этом этапе должно произойти осмысление результатов поведенного исследования. Такое учебное прикладное исследование может быть хорошим дополнением к элективному курсу по сферической геометрии.

Наибольшую методическую сложность в работе учителя представляет первый этап решения задачи. Изложим его максимально подробно.

1 этап. Анализ текста задачи

Условие задачи содержит не совсем ясные и даже совершенно незнакомые слова — специальные термины других наук: курс корабля, ортодромия, географические координаты точек. Нам необходимо выяснить их значение и дать соответствующую условию задачи математическую интерпретацию.

1. Курс корабля

Вообще говоря, в задаче идет речь о начальном курсе корабля. Почему требуется вычислить именно начальный курс, мы поговорим позже, когда будем выяснять значение термина «ортодромия».

Курсом корабля в точке А земной поверхности называется угол между плоскостью меридиана, проходящего через точку А, и продольной плоскостью судна, отсчитываемый в градусах от северной части меридиана по часовой стрелке (от 0 до 360°).

В этом определении встречается специальная терминология, не выявленная нами ранее: меридиан, продольная плоскость судна. Дадим и этим терминам математическую интерпретацию. Известно, что меридианы являются большими окружностями на поверхности Земли, принимаемой нами за сферу. Все меридианы пересекаются в точках Северного и Южного полюса и имеют одинаковую длину (как большие окружности сферы). Продольная плоскость судна это не что иное, как вертикальная плоскость, являющаяся плоскостью симметрии судна и проходящая через крайние точки кормы и носа судна. Эта плоскость проходит через центр Земли2, а, значит, является диаметральной плоскостью сферы, т.е. пересекает сферу по большой окружности. Значит, курс судна, с точки зрения математики, — это величина двугранного угла между плоскостями, каждая из которых пересекает сферу по большим окружностям.

На рис. 1 изображен двугранный угол АО между плоскостями, содержащими большие окружности АВ и АС на сфере. Величина этого угла равна величине линейного угла XAY между касательными АХ и AY к этим большим окружностям, или величине угла ВОС между радиусами ОВ и ОС, лежащими в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла.

Встречается и другое определение курса корабля: угол между направлениями движения судна в море и направлением на север называется курсом судна. Соответственно получаем и другую математическую интерпретацию этого понятия. Она более простая. Величина угла между направлениями на шаре есть величина плоско-

2 Если считать Землю сферой, то отвесная линия, лежащая в вертикальной плоскости, всегда проходит через ее центр.

1ЕК

Рис. 1

го угла между хордами, соединяющими соответствующие точки земной поверхности. Нетрудно заметить (рис. 1), что угол ВАС между хордами АВ и АС будет меньше угла XAY между касательными АХ и А^ Но если рассматриваемые расстояния АВ и АС на поверхности Земли-шара невелики, то разность величин соответствующих углов будет близка к нулю.

Какую из этих двух математических моделей использовать в решении задачи? В условии заданы произвольные координаты точек земной поверхности, значит, следует рассмотреть наиболее общий случай и воспользоваться для этого первым определением.

2. Ортодромия

Этот термин, совсем незнакомый школьникам, имеет простой смысл. Известно, что всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении окружность. Если плоскость проходит через центр сферы, то в сечении получается так называемая большая окружность. В геодезии и навигации большие окружности называют ортодромиями. Таким образом, можно сказать, что корабль движется по дуге АВ большой окружности.

Хотя ортодромия и является кратчайшим путем на сфере, путь корабля

в навигации прокладывают по другой кривой. Дело в том, что ортодромия, отличная от меридиана или экватора пересекает различные меридианы под разными углами, и, следовательно, при движении по ортодромии приходится непрерывно менять курс. Это неудобно, поэтому на практике для прокладки курса используют кривую, которая пересекает все меридианы под постоянным углом. Ее называют локсодромией (в переводе «косой бег»). При движении по локсодромии путь несколько удлиняется. При небольших расстояниях между точками А и В это удлинение несущественно. Если же сферическое расстояние АВ велико, то поступают следующим образом: рассчитывают ортодромию, связывающую А и В, а затем вычисляют координаты нескольких промежуточных точек, далее каждый раз определяют курс по локсодромии, связывающей последовательно две промежуточные точки, и следуют этими курсами. Такие точки еще называют точками смены курса. Поэтому в задаче и идет речь о вычислении начального курса корабля в точке А — начальной точке движения.

3. Географические координаты точек

На первый взгляд, именно это понятие из всех, использованных в задаче, наиболее знакомо учащимся. 1ео-графическими координатами точек земной поверхности являются широта и долгота. Они изучались в курсе географии 6 класса [2] и определялись так:

Географическая широта заданной точки определяется величиной в градусах дуги меридиана от экватора до параллели, проходящей через эту точку.

Географическая долгота заданной точки определяется величиной в градусах дуги параллели от начального меридиана до меридиана, проходящего через эту точку.

67

Однако на основе этих определений учащимся в 6 классе было довольно трудно уяснить математическую суть этого понятия. Поэтому предстоит заново изучить этот вопрос на совершенно новом уровне.

Приведенные выше определения есть лишь наглядная иллюстрация широты и долготы на глобусе. Их точное определение иное. Это связано с тем, что Земля не является шаром, и глобус лишь упрощенная ее модель. Истинная форма Земли, называемая геоидом, довольно сложна. Она близка к эллипсоиду вращения, сплюснутому в направлении полюсов. По этой причине возникает расхождение между географическими координатами, полученными из астрономических наблюдений, и координатами, определенными для данной точки по глобусу или карте.

Вследствие неправильной формы Земли отвесная линия не в любой точке проходит через ее центр. Она может даже не пересечь земную ось. Отсюда возникают так называемые уклонения отвеса, выражающиеся в неправильных измерениях направлений отвеса при переходе от точки к точке. А так как при практическом нахождении широт и долгот астрономические инструменты ориентируются в основном по отвесной линии, то расхождение между истинными географическими координатами точки Земли и ее координатами на глобусе становятся очевидными.

Сформулируем строгое определение широты и долготы.

Географическая широта точки М — это величина угла фм между отвесной линией в данной точке и плоскостью экватора, отсчитываемый от 0° до 90° в обе стороны от экватора, причем к северу от экватора широта считается положительной, а к югу — отрицательной, -90° < ф < 90°.

м

Географическая долгота точки М есть величина двугранного угла Хм между плоскостью меридиана, проходящего через данную точку, и плоскостью начального Гринвичского меридиана. Долготы от 0° до 180° к востоку от начального меридиана называют восточными и считаются положительными, к западу — западными и отрицательными, -180° < X < 180°.

м

Перед нами опять встает вопрос: какой математической интерпретацией понятия географических координат воспользоваться при решении задачи? Понятно, что наш выбор зависит от того, будем ли мы считать Землю шаром или геоидом. Целесообразно принять Землю за шар. Тогда мы можем воспользоваться определениями долготы и широты, известными из курса географии 6 класса. В противном случае, решение задачи значительно усложняется и становится недоступным для школьников.

2 этап. Построение математической модели

Мы закончили определение значений понятий, встречающихся в тексте задачи. Одновременно мы выбрали соответствующие условию задачи математические модели этих понятий.

Теперь нанесем все данные задачи на чертеж. Эта работа поможет нам установить взаимосвязи между объектами задачи. На рис. 2 О — центр Земли-шара, С — точка Северного полюса, СН — Гринвичский меридиан, сферический угол ВАС — начальный курс судна в точке А, который необходимо найти. Плоские углы фА и фв — широты точек А и В, а плоские углы ХА и Хв — долготы точек А и В.

3 этап. Внутримодельное решение

Сферическому треугольнику АВС

на сфере (О, R) соответствует трехгранный угол ОАВС, причем величи-

1ЕК

Рис. 2

ны углов А, В и С этого треугольника равны величинам двугранных углов при соответствующих ребрах ОА, ОВ и ОС трехгранного угла, а длины противолежащих сторон ВС=а, АС=Ь и АВ=с связаны с соответствующими плоскими углами а = ZВОС, в = ZAOC и у = ZАОВ трехгранного угла (рис. 2) формулами а=Rа, b=Rp, c=Ry, где R — радиус сферы (для нашей задачи, R — радиус Земли), а а, в и у — радианные меры соответствующих углов. Поскольку значение R фиксировано, то вместо длин сторон а, Ь и с будем рассматривать плоские углы а, в и у.

Для вычисления искомого сферического угла ВАС, который для краткости будем обозначать одной буквой А, применим теорему косинусов [3, 162] к сферическому треугольнику АВС:

cos ZВОС = cosZАОСcosZАОВ + sinZАОСsinZАОВcosZА.(*)

Заметим, что из условия задачи (рис. 2): а = ZВОС = 90° - фв, в = ZАОС = 90° - фА. Неизвестен ZАОВ. Найти его также можно с помощью сферической теоремы косинусов.

Выразим ZC через координаты точек А и В. По определению сферического угла ZC < 180°. Поэтому либо ZC = |^А - Лщ|, если |Л.А - Лщ| < 180°, либо

ZС = 360° - |ХА - , если |ХА - > 180°.

Теперь, зная а, в и ZС, находим у = ZАОВ:

созу = соза созв + зта зтР cosZС. Подставляя известные значения углов, получим:

созу = зтфА зтфв + созфАсозфв

со^л - ^в).

Выразим из (*) cosZА и далее подставим найденное значение созу:

cosZА = [зтфв - зтфА(зтфА зтфв + созфАсозфвсоз(^А - ^В))]: созфАзту.

4 этап. Интерпретация результата

В условии задачи требовалось вычислить начальный курс корабля. Согласно построенной нами модели за-дачной ситуации искомой величиной будет сферический угол А. Его и позволяет вычислить последняя формула.

Таким образом, на примере этой задачи-исследования учитель может продемонстрировать учащимся процесс развития и уточнения математической модели, пути выбора оптимальной модели задачной ситуации. Кроме того, в ходе внутримодельного решения есть возможность изучить ряд основных понятий новой для 69 школьников математической области.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сборник нормативных документов. Математика / Сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. — М.: Дрофа, 2007.

2. Герасимова Т.П. Начальный курс географии: учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений / Т.П. Герасимова, Н.П. Неклюкова. — М.: Дрофа, 2005.

3. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. 10 кл. / Под ред. В.В. Фирсова — М.: Просвещение, 1980. ■