CC BY
36
Литвинов А. Н., Литвинов М.А. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЭФФЕКТИВНОСТИ ГЕТЕРОГЕННЫХ ВИБРОДЕМПФИРУЮЩИХ ПОКРЫТИЙ
Для повышения демпфирующих свойств конструкций используются вибродемпфирующие покрытия, выполненные из полимерных материалов с высокими показателями внутреннего рассеяния. Покрытие, как правило, состоит из слоев полимерного материала, где в основном происходит диссипация энергии, и стесняющих слоев из материала повышенной жесткости, назначение которых - увеличить эффективность покрытия за счет развитых деформаций сдвига в полимерных слоях [1]. Применение таких многослойных покрытий является наиболее эффективным для тонкостенных несущих конструкций в виде пластин и оболочек различной конфигурации. В этом случае несущая конструкция с покрытием представляет собой многослойную гетерогенную структуру, динамические процессы в которой можно исследовать на основе теории многослойных систем [2]. При этом полученные решения учитывают обратное влияние покрытия на формы колебаний несущей конструкции. Однако построение точных решений для таких гетерогенных структур возможно только для ограниченного класса задач, например, для прямоугольной пластины [3], круговой цилиндрической оболочки [4] с условием Навье-Власова на контуре и некоторых других.
Реальные несущие конструкции, как правило, имеют достаточно сложную геометрию и подкрепляются набором ребер жесткости. Кроме того, из конструктивных и технологических соображений покрытие может наноситься не на всю поверхность несущей конструкции, а на ее отдельные части, что также существенно усложняет динамический расчет гетерогенной системы. В этом случае особо важное значение приобретают приближенные методы расчета, позволяющие достаточно точно оценивать эффективность применения вибродемпфирующих покрытий в сложных гетерогенных системах. В то же время эти методы должны быть относительно просты для их практического использования в инженерных расчетах.
В работе предлагается приближенный метод расчета эффективности применения многослойных гетерогенных покрытий применительно к несущим конструкциям сложной формы.
Для гетерогенных вязкоупругих систем сложной формы наиболее общей характеристикой демпфирования при гармонических колебаниях является относительное рассеяние (коэффициент поглощения) энергии в гетерогенной системе за период колебаний:
АЖ
' (1)
где Щ - некоторое среднее за период значение полной механической энергии системы; ДЩ - величина энергии, рассеиваемой в конструкции за период. При этом динамические свойства вязкоупругой гетерогенной системы в самом общем случае характеризуются тензором комплексных модулей [1]. Вычисление характеристик ДЩ и Щ подробно рассмотрено в [1].
Величина относительного рассеяния (1) существенно зависит от частоты и формы колебаний. Для прикладных вибрационных расчетов наиболее важно знать характеристики демпфирования при колебаниях, происходящих при частотах и формах, близких или совпадающих с собственными частотами и формами колебаний несущей конструкции.
Так как характеристика демпфирования (1) является интегральной, то она относительно мало чувствительна к малым изменениям формы колебаний. В качестве приближенного тензора поля деформаций можно, например, использовать поле деформаций, соответствующее собственным формам соответствующей упругой системы, тензор модулей упругости которой совпадает с тензором упругости Лг (Х,ш) [1] .
Формы колебаний, определяющие тензор деформаций е0 (X,ш) [1], можно также аппроксимировать подхо-
дящими функциями координат.
Энергия системы Щ складывается из энергии несущей конструкции Щк и энергии покрытия Щл. С точки зрения ограничения веса и размеров конструкции покрытия, как правило, стремятся выполнить достаточно тонкими. Если кроме того жесткость покрытия относительно невелика (т.е. выполняется соотношение Щп <<Щк), то можно считать, что Щ= Щк+ Щп* Щк. Для рассеянной энергии существенны оба слагаемых: ДЩ=АЩк+АЩп. Относительное рассеяние энергии в несущей конструкции без покрытия считаем из-
АЖ /
вестным: \ук = у^ . В этом случае приближенное выражение для относительного рассеяния энергии
у/ в конструкции с покрытием запишем в виде
¥ = ¥к+¥п' (2)
АЖ /
где коэффициент относительного рассеяния в самом покрытии определяется выражением ¡уп = .
Очевидно, покрытие следует считать эффективным, если второе слагаемое в (2), учитывающее вклад покрытия в величину относительного рассеяния энергии, существенно больше фк.
Далее будем рассматривать многослойные покрытия, выполненные из чередующихся мягких и жестких слоев. Рассеяние энергии в мягких слоях происходит за счет развитых деформаций сдвига. Жесткие слой покрытий, как правило, выполняются из металла и их вклад в энергию рассеяния является несущественным по сравнению с мягкими вязкоупругими слоями, обладающими развитыми диссипативными свойствами. Таким образом, в выражении для энергии, рассеиваемой в покрытии, будем учитывать лишь вклад мягких слоев, динамические свойства которых характеризуются комплексным модулем сдвига О (ш) = Ог (ш) +(ш) . Это выражение представим в виде:
АЖП = 2тп1РШп , (3)
где Т](ш) - тангенс потерь для вязкоупругого материала мягкого слоя; Р(ш) - безразмерная
функция частоты; Щп - некоторое характерное значение полной энергии для покрытия. Это значение выбирается таким образом, чтобы оно легко вычислялось; при этом выбор величины Щп и коэффициента в взаимно обусловлены. С учетом (3) для относительного рассеяния (2) получим приближенную формулу
у = ук+ 2тг^———. (4)
у
3
В этой формуле предусмотрена возможность того, что как полная энергия, так и энергия, рассеянная за период колебаний, вычисляются суммированием по ^ частям гетерогенной системы, что позволяет применять формулу (4) для оценки демпфирования в сложных конструкциях.
Полагая жесткость покрытия достаточно малой, будем при практическом применении выражения (4) в качестве форм колебаний использовать соответствующие собственные формы для упругой несущей конструкции без покрытия. При этом имеется в виду, что любой вибрационный расчет несущей конструкции опирается на знание собственных форм и частот колебаний, так что эти формы и соответствующие им частоты можно считать заданными. Движение покрытия будем рассматривать как вынужденное квазиста-тическое деформирование, вызванное заданным движением несущей конструкции. Таким образом, основная задача сводится к определению полей перемещений в слоях покрытия при заданном характере движения поверхности несущей конструкции, на которой расположено покрытие.
Для инженерных расчетов возможно использование дальнейших упрощений: локальная замена соб-
ственной формы более простым аналитическим выражением, локальная аппроксимация покрытия на криволинейной поверхности плоским покрытием и т.д. Это позволяет существенно упростить расчет, подобрать характеристики вибродемпфирующего покрытия, теоретически оценить его эффективность и решить вопрос о целесообразности его применения уже на этапе проектирования сложной гетерогенной структуры. Для оценки погрешности принятых допущений следует использовать задачи, допускающие точные решения.
Определение поля деформаций в покрытии сводится к задачам теории многослойных конструкций. Особенностью этих задач применительно к вибродемпфирующим покрытиям является то, что движение одного из крайних слоев задано: оно совпадает с движением поверхности несущей конструкции, на которой расположено покрытие, при колебаниях по соответствующей форме.
Пусть несущая конструкция - оболочка с характерной толщиной Но и характерным радиусом кривизны Ro. Покрытие имеет толщину Н. Элемент несущей конструкции в виде оболочки с вибродемпфирующим покрытием показан на рисунке 1 (ось х3 направлена по нормали к поверхности оболочки). Типичное распределение перемещений на поверхности несущей оболочки в направлении осей x, x, x имеет вид
u0 (x,x) -U sinк (x _й)sinк (X
üq (xl5 X2) - F0sin kx (x -fy )sin k (x -fy), (5)
w0 (x,x) - W sinк (x -íi)sink2 (x -^2).
Здесь U W 9^9^ ,^2 - заданные локально величины, характеризующие рассматриваемую
форму колебаний; волновые числа klf k2 связаны с масштабами форм колебаний Ai, A2 в направлении осей Xi, Х2 (рис. 1) соотношениями к - 2ж/^ , k2 — . Далее везде параметры с нулевым индексом
будут относиться к несущей конструкции.
Рисунок 1 - Элемент несущей конструкции с покрытием
Рассмотрим случай, когда мягкие и жесткие слои покрытия являются изотропными вязкоупругими, а жесткие слои подчиняются также гипотезам Кирхгофа-Лява. Для мягких слоев все компоненты тензора деформаций, кроме поперечных сдвигов, полагаются пренебрежимо малыми. Считаем, что парциальные собственные частоты покрытия настолько велики по сравнению с частотой о, что можно ограничиться квазистатическим приближением.
Пусть масштабы форм колебаний Ах, А2 и соотношение Н0/-^ в области расположения покрытия таковы, что в пределах части конструкции А1ХА2 (рис. 1) кривизной покрытия можно пренебречь. В этом случае поле перемещений в слоях гетерогенной системы определяется из уравнений, составленных для прямоугольной пластины размером А1ХА2 с многослойным покрытием, решение для которых подробно рассмотрено в [3] . При этом, определяя поля перемещений и деформаций, материалы всех слоев покрытия считаем упругими. Таким образом, применяя локальную аппроксимацию на ^-ом участке криволинейной поверхности несущей конструкции плоским покрытием и вычисляя на этом участке энергии ДЩпз и Щк} после суммирования по j частям системы, где расположено покрытие, вычислим приближенное значение коэффициента относительного рассеяния энергии в гетерогенной системе (4).
Оценку погрешности и области применения предлагаемого приближенного метода выполним на примере расчета замкнутой цилиндрической оболочки с граничными условиями Навье-Власова, на внешней поверхности которой расположено вибродемпфирующее покрытие. Эта задача имеет точное решение, учитывающее обратное влияние покрытия на формы колебаний несущей конструкции, полученное в [1].
Относительное рассеяние энергии вычислялось по формуле (4), полагая, что рассеяние энергии в несущей конструкции отсутствует, т.е. фк=0. Определение поля перемещений в слоях покрытия выполнялось в соответствии с предложенным методом: материалы слоев покрытия считались упругими, участки покрытия на поверхности несущей оболочки аппроксимировались плоскими поверхностями, амплитуды тангенциальных перемещений Па и Уд на поверхности контакта несущей оболочки и покрытия принимались равными соответствующим амплитудам тангенциальных перемещений на внешней поверхности оболочки без покрытия.
Вычисления проводились для оболочки с покрытием, имеющим следующие характеристики: Иа=10~2Ка;
И=0,2Ио; v=vo=0,3; л=1; 1=5Кд - длина оболочки; а=0,5 - коэффициент армирования покрытия;
е = Е (1 —Уд )/ Е0 (1 —V2 ) = 1 - относительная жесткость жестких слоев покрытия. Величины тангенса потерь
П и безразмерного параметра сдвига g = О^1 — V2^Е , характеризующего относительную жесткость мягких слоев покрытия на сдвиг, варьировались. Вычисления проводились для собственных форм изгибных колебаний несущей оболочки с одной полуволной вдоль образующей и различными значениями ш=2, 4, ..., 12, определяющими номер формы колебаний в окружном направлении оболочки. Относительное рассеяние энергии ф определялось по алгоритму, изложенному в [1], приближенные значения у/ - по приближенному методу, изложенному в настоящей работе. Погрешность 5 предлагаемого приближенного
\у/ -ф\
метода оценивалась по формуле д = ---------*-100% .
¥
Результаты вычисления характеристик ф, Ц/ для значения тангенса потерь материала мягких слоев П=0,2 приведены в таблице 1.
Таблица 1 - Результаты расчетов
т д
10-6 10-5 10-4
¥ V ¥ V ¥ V
2 0,178- 10-2 0, 185 • 10-2 0, 229 • 10-2 0,251 • 10-2 0, 392 • 10-3 0, 528 • 10-3
4 0,291 • 10-1 0, 294 • 10-1 0,103 0,110 0, 403 • 10-1 0, 4 65 • 10-1
6 0, 16 9 • 10-1 0,170 • 10-1 0, 9 61 • 10-1 0,101 0, 7 96 • 10-1 0, 8 9 9 • 10-1
8 0, 97 5 • 10-2 0, 97 9 • 10-2 0, 6 91 • 10-1 0, 709 • 10-1 0,103 0,115
10 0, 62 8 • 10-2 0, 630- 10-2 0, 500 • 10-1 0, 509 • 10-1 0,115 0,126
Анализ результатов расчета показывает, что предлагаемый приближенный метод дает завышенную оценку величины относительного рассеяния энергии в гетерогенной системе. На рисунках 2 и 3 приведены зависимости погрешности метода 5 от параметров д, п и номера т, характеризующего номер формы изгибных колебаний несущей оболочки.
6. %
Рисунок 3 - Зависимость погрешности 5 от тангенса потерь г| при д= 1СГ5
Из представленных результатов следует, что при уменьшении значений параметров д и п погрешность приближенного метода уменьшается. При возрастании номера формы собственных колебаний несущей оболочки погрешность существенно уменьшается. Это связано с тем, что на более высоких формах колебаний поверхность несущей оболочки разбивается на большее число участков, в пределах которых аппроксимация криволинейного покрытия плоским является более точной. Проведенные численные исследования показали, что погрешность приближенного метода уменьшается при уменьшении толщины, жесткости и кривизны покрытия. Из приведенных результатов следует, что при допускаемой погрешности расчета диссипативной характеристики ф в 10% предлагаемый метод можно применять в достаточно широком диапазоне изменения параметров сложной гетерогенной системы (рис. 2 и 3).
Таким образом, что для достаточно тонких и не слишком жестких покрытий предлагаемый приближенный метод обладает приемлемой точностью и его применение позволяет на этапе проектирования сложных гетерогенных конструкций теоретически оценить эффективность применения покрытия и подобрать его оптимальные параметры.
Литература
1. Литвинов А.Н. Эффективность демпфирования оболочек при помощи многослойных покрытий/ А.Н. Литвинов// Известия вузов. Поволжский регион. Технические науки, №5(20), 2005. - с. 178-191.
2. Болотин В.В. Механика многослойных конструкций/ В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков// М.: Машиностроение, 1980. - 374 с.
3. Литвинов А.Н. Оценка эффективности демпфирования колебаний пластин слоистыми покрытиями/ А.Н. Литвинов, М.А. Литвинов// Труды международного симпозиума (АПН0-2003), Пенза, ПензГУ, 2003, т.1, с. 91-94.
