Литвинов А.Н.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВИБРОДЕМПФИРУЮЩИХ ПОКРЫТИЙ
Динамический расчет современных конструкций должен учитывать сложный характер воздействий и весь комплекс требований, предъявляемый к ним, в числе которых низкий уровень шума, долговечность и высокая надежность конструкций. При эксплуатации диапазон частот внешних возмущений, как правило, является достаточно широким. Это в значительной степени затрудняет, а в подавляющем большинстве случаев не позволяет проектировать безрезонансные конструкции. Статистика, показывает, что половина отказов элементов радиоэлектронной аппаратуры происходит на резонансных частотах колебаний шасси электронных блоков и несущих панелей. Попытки решить эти задачи обычными конструктивными мерами часто являются неприемлемыми. Одним из подходов к решению проблемы повышенного уровня вибрации и шума является введение в конструкцию механизмов с высоким уровнем рассеивания энергии.
Эффективным средством снижения вибрации являются вибродемпфирующие покрытия [1,2], выполненные из материалов с высокими показателями внутреннего рассеяния. Широкое распространение получили покрытия, состоящие из слоев полимерного материала, где, в основном, происходит диссипация энергии, и стесняющих слоев из материала повышенной жесткости, назначение которого - увеличить эффективность покрытия за счет развития сдвиговых деформаций мягкого слоя. В этом исполнении конструкция с вибродемпфирующим покрытием представляет собой многослойную систему, состоящую из несущей конструкции (панель, пластина, оболочка и т.п.) и чередующихся мягких и жестких слоев покрытия, которое может располагаться с одной или двух сторон несущей конструкции. В связи с широким практическим применением слоистых вибродемпфирующих покрытий актуальной проблемой является разработка методов их расчета и выбор характеристик, позволяющих оценить эффективность применения покрытий.
Будем рассматривать многослойные вибродемпфирующие покрытия, состоящие из чередующих слоев различной жесткости. Назначение слоев повышенной жесткости - увеличить эффективность покрытия за счет развитых деформаций сдвига в мягких слоях. Пусть материалы несущей конструкции и покрытия являются линейными вязкоупругими. В этом исполнении несущая конструкция с вибродемпфирующими покрытиями представляет собой многослойную вязкоупругую систему [3].
За характеристику демпфирования в конструкции примем относительное рассеяние энергии
АШ
'У~~ЩТ, (1)
где АЩ - величина энергии, рассеиваемой в конструкции за период; Щ - среднее за период значение
полной механической энергии конструкции. Поле деформации задается в виде
8к (X, Х) = 80 (X,©)ехр(/'Ш) , (2)
где (Х,ф) - тензорная функция координат Х=(х1, х2, хз), характеризующая форму колебаний с частотой о. Обобщенные соотношения вязкоупругости [4] имеют вид
и к (Х, I) = Л ехр (Ш) , (3)
Здесь Ид (X, Х) - комплексная тензорная функция напряжений;
Л^т( X, ш) - тензор комплексных модулей вязкоупругой системы, который представляется в виде
Лш(^ ш)=Лкт(^ ®)+>л<кк1ш (^ ш) , (4)
Тензор четвертого ранга Л<Г/т (X, ш) характеризует упругие свойства системы и называется тензором
упругих постоянных, тензор Л% (X, ш) характеризует диссипативные свойства системы и называется тензором модулей рассеяния. Компоненты этих тензоров зависят от координат Х и частоты о.
Принимая во внимание соотношения (3), (4), для величин, входящих в правую часть (1), получим
АШ = х$лк1т (X, ®)4 (X, ®)4 (X, ш) ау,
V
1 (5)
Ш = - |Л % (X, ®)4 (X, ш)4 (X, Ш ау.
2 V
Интегрирование в (5) производится по всему объекту системы V, включая область, занятую покрытием. Заметим, что с точностью до множителя 2п относительное рассеяние р равно отношению интегралов одинаковой структуры (5).
Относительное рассеяние энергии зависит от частоты и формы колебаний. Зависимость р от частоты
определяется через составляющие Л<кт(X, ш) , Л<кт(X, ш) тензора комплексных модулей, характеризующего вязкоупругие свойства системы, и через форму колебаний, которая соответствует частоте о и определяет поле деформации (X,®) . Для вычисления характеристики демпфирования (1) необходимо знать тензорное
поле деформации 8д(X, Х), которое определяется через поле перемещений и(X, Х) в рассматриваемой многослойной конструкции. При этом для прикладных вибрационных расчетов наиболее важно знать характеристики демпфирования при колебаниях, происходящих при частотах и формах, которые близки к собственным.
Относительное рассеяние энергии (1) можно вычислить рассматривая свободные и вынужденные колебания многослойной вязкоупругой системы, уравнения колебаний которой в операторной форме запишем в виде
д2и
Ьи + Ц—Т = а , (6)
Х дХ2
где и(X,Х) - вектор перемещений с компонентами Ык (X, Х) ; а) - вектор, характеризующий внешнее
воздействие; ь и ь - вязкоупругие операторы, вид которых зависит от принятых гипотез и особенностей несущей конструкции [3].
Уравнения свободных колебаний получим из (6) при д=0. Предполагая гармонический характер свободных колебаний, поле перемещений представим в виде
u (X,/) = Uj (X)exp(iot) . (7)
Так как система является вязкоупругой, то частота а и соответствующая ей собственная вектор-
функция Uj (X) являются комплексными [4] . Выделяя действительные и мнимые части в (7), решение представим в виде
uj (X,t) = \Uj (X)| exp(-®,.t) exp [ort + ^.(X)] , (8)
где
UJ(X)=UJr)(X)+iU?(X); (9)
о = юг + щ; (or )0; щ )0.
Здесь о и щ - действительная и мнимая часть комплексной частоты свободных колебаний.
Сдвиг фаз определяется по формуле ф, (X) = arctg [ U() (XV Uj) (X)] , (10)
Полное решение задачи о свободных колебаниях записывается в виде суммы решений (8).
Существенной особенностью решения является то, что в общем случае сдвиг фаз (10) зависит от координат Х; понятия собственных частот и собственных форм для вязкоупругих систем утрачивает при этом строгий смысл. Если рассеяние невелико, то щ << щ и сдвигом фаз в (8) можно пренебречь, что существенно упрощает расчет характеристики демпфирования (1).
Относительное рассеяние энергии при свободных колебаниях можно оценить не определяя поле перемещений (8) и соответствующее ему поле деформаций (2). Определив одну из комплексных частот свободных колебаний о=щ+ щ , относительное рассеяние энергии оценим как
и 0\
¥св = 4^— . (11)
о
Таким образом, отношение также можно рассматривать как характеристику демпфирования в вяз-
коупругой системе.
Рассмотрим установившиеся вынужденные колебания вязкоупругой системы, находящейся под действием внешней гармонической нагрузки q(X,t)= Q(X)exp(iot) . Здесь а - частота вынужденных колебаний, которая является действительной величиной. Наличие рассеяния энергии в системе приводит к сдвигу фаз между нагрузкой и перемещениями, которые определяются в форме (7) из уравнений вынужденных колебаний. Так как рассматриваемая система является линейной, то энергии AW, W будут пропорциональны квадрату величины нагрузки Q(X) . При этом относительное рассеяние энергии р не зависит от величины
внешней нагрузки, но существенно зависит от вида функции Q (X), определяющей возможные формы колебаний.
Формула (1) позволяет определить характеристику демпфирования для конструкций сложной структуры и конфигурации. При этом для вычисления относительного рассеяния энергии р необходимо знать поле перемещений U (x t) и соответствующее ему поле деформаций sJk (X, t) в конструкции. Так как относительное
рассеяние энергии является интегральной характеристикой, то оно относительно мало чувствительно к малым изменениям поля деформации. Это позволяет использовать формулу (1) для приближенного вычисления относительного рассеяния, если точное тензорное поле 6° (X, о) , аппроксимировать при помощи приближенного поля достаточно близкого к истинному. В качестве такого поля естественно ис-
пользовать, например, деформации, соответствующие формам собственных колебаний упругой системы, тензор модулей упругости которой Л(Г/т(X, о) . При приближенной расчете возможны и дальнейшие упрощения, основанные на аппроксимации форм колебаний достаточно близкими к ним функциями координат.
Например, в качестве поля деформации £д(Х, ¿у) можно использовать поле деформации, рассчитанное
для несущей конструкций без учета покрытия. Это вполне допустимо, если вибродемпфирующее покрытие является достаточно тонким, а его жесткость существенно меньше жесткости несущей конструкции. Оценку погрешности такого подхода необходимо осуществлять на примерах расчета конкретных конструкций.
Для оценки характеристик эффективности демпфирования (1) и (11) были рассмотрены задачи о вынужденных и свободных колебаниях прямоугольной несущей пластины с покрытиями [5].
В таблице приведены результаты расчета характеристик р и рсв для пластины, на которой покрытие расположено с одной стороны и имеет два слоя: мягкий и жесткий (армирующий). Толщина покрытия принята равной H = 0,1H0 , где Но - толщина несущей пластины. Относительная жесткость армирующих слоев покрытия принималась равной единице, параметр, характеризующий относительную жесткость мягких слоев покрытия на сдвиг и тангенс потерь п для вязкоупругого материала мягких слоев покрытия [5] варьиро-
В этой же таблице приведены результаты приближенного расчета относительного рассеяния энергии у/ с использованием поля деформаций ~е% (X, (0^ , определенного для несущей пластины без учета покрытия.
Полученные результаты расчета показывают, что характеристики эффективности у и ^ , определенные
при рассмотрении вынужденных и свободных колебаний, хорошо согласуются между собой. При этом расчет характеристики у оказывается существенно проще. Применение приближенного расчета относительного
рассеяния энергии у/ приводит к завышению этой характеристики, но при малой относительной жесткости покрытия д^0,1, что соответствует реальным конструкциям, приближенный метод является вполне приемлемым в широком диапазоне изменения величины тангенса потерь п материала покрытия.
Анализ результатов расчетов, проведенных для различных покрытий, показывает, что максимальная эффективность демпфирования достигается при применении покрытия с параметром сдвига,
g = а(1 -а)/ф + ц2 . (12)
Здесь а - коэффициент армирования покрытия, равный а= И/ (И + 5), где Ь и
3 - толщины жесткого и мягкого слоев покрытия соответственно.
Предложенные характеристики у/ , щ и у/ позволяют достаточно точно оценить эффективность применения многослойного вибродемпфирующего покрытия, а так же на этапе проектирования выбрать оптимальные параметры и материалы для слоев покрытия и его месторасположения на несущей конструкции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Болотин В.В., Литвинов А.Н. К теории вибродемпфирующих полимерных покрытий. - Механика полимеров, №2, 1978. - с.269-276.
2. Литвинов А.Н. Эффективность демпфирования оболочек при помощи многослойных покрытий. - Известия вузов. Поволжский регион. Технические науки, №5(20), 2005. - с.30-38.
3. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. - М., Машиностроение, 1980. -
374с.
4. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М., Мир, 1974. - 388с.
5. Литвинов А.Н., Литвинов М.А. Оценка эффективности демпфирования колебаний пластин слоистыми покрытиями. - Труды международного симпозиума. (АПНО - 2003), Пенза, ПензГУ, т.1, 2003. - с.91-94.