Исследование эффективности вибродемпфирования цилиндрических оболочек многослойными покрытиями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Литвинов А.Н. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВИБРОДЕМПФИРОВАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК МНОГОСЛОЙНЫМИ ПОКРЫТИЯМИ

Одним из способов снижения уровня вибрации и шума является применение вибродемпфирующих покрытий, позволяющих при незначительном увеличении веса и размеров несущей конструкции обеспечить эффективное демпфирование колебаний. Конструктивно вибродемпфирующие покрытия выполняются однослойными и многослойными, часть или все слои которых изготавливают из материалов, обладающих высокими показателями внутреннего рассеяния энергии. Чаще всего применяются покрытия, состоящие из мягкого слоя, выполненного из материала с развитыми диссипативными свойствами, и стесняющего слоя из материала повышенной жесткости, назначение которого - увеличить эффективность покрытия за счет развитых деформаций сдвига в мягком слое. Как показали исследования, такие покрытия оказываются значительно эффективнее однослойных при их одинаковом весе. Это привело к созданию вибродемпфирующих лент, которые могут изготавливаться в удобном для практического применения виде, обеспечивать эффективное демпфирование колебаний, а в специальных случаях могут выполнять одновременно ряд функций: демпфирующие, теплоизоляционные, защиты от воздействия среды и т.п., что позволяет обеспечить высокую надежность конструкций, работающих в сложных условиях эксплуатации. Расчет вибродемпфирующих покрытий обычно основывается на простейших моделях трехслойных балок или пластин [1], что существенно снижает точность расчета. Данная работа посвящена приложению теории многослойных конструкций [2] к расчету эффективности демпфирования колебаний оболочек при помощи слоистых покрытий.

Рассмотрим несущую оболочку, на внешнюю и внутреннюю поверхности которой нанесены многослойные вибродемпфирующие покрытия, состоящие из чередующихся слоев различной жесткости. Проскальзывание между слоями покрытий и по поверхностям контакта покрытий с несущей оболочкой отсутствует. Материалы слоев покрытий и несущей оболочки считаются вязкоупругими, а вся конструкция рассматривается как многослойная вязкоупругая система.

За характеристику демпфирования в конструкции при гармонических колебаниях примем относительное рассеяние энергии [3]:

АЭ

^ = - , (!)

где АЭ - величина энергии, рассеиваемой в конструкции за период; Э - среднее за период значение полной механической энергии конструкции. Поле деформаций при гармонических колебаниях с частотой Ф имеет вид

є = є0 (хф)ехр(Ф/1) (2)

Здесь є0 (х,ф) - тензорная функция координат х = (^, х2, х3), характеризующая форму колебаний.

Свойства вязкоупругой системы характеризуются тензором комплексных модулей Л = Лг +іЛ{ , где тензор четвертого ранга Лг (х,ф) характеризует упругие свойства материала, а тензор Лі (х,ф) - его диссипативные свойства [3]. Величины, входящие в (1), вычисляются по формулам

АЭ = Лєой¥ , Э =11 є0Лгє0<іУ , (3)

V 2 V

где є Лєо и є Лг є - скалярные функции координат, полученные путем перемножения и свертывания

соответствующих тензоров. Интегрирование производится по всему объему системы V , включая область, занятую покрытиями.

Относительное рассеяние энергии зависит от частоты и формы колебаний. Причем зависимость у от

частоты определяется через составляющие Лг (х,ф) и Лі (х,ф) тензора комплексных модулей и через форму колебаний, которая соответствует Ф и определяет поле деформаций є0(х,ф) . Так как относительное рассеяние энергии является интегральной характеристикой, то оно относительно мало чувствительно к малым изменениям поля деформаций. Это позволяет использовать формулу (1) и для приближенного вычисления относительного рассеяния, если точное тензорное поле є(х,ф) аппроксимировать при помощи приближенного поля £0(х,ф) , достаточно близкого к истинному. В качестве такого поля можно использовать, например, деформации, соответствующие форма собственных колебаний упругой системы, тензор модулей упругости которой совпадает с Лг (х,ф) . Это в частности было использовано в [2] при разработке приближенного метода расчета вибродемпфирующих покрытий.

Так как несущая конструкция с покрытиями представляет собой многослойную систему, то определение поля деформаций сводится к теории многослойных конструкций [2].

Рассмотрим установившиеся вынужденные колебания оболочки, находящейся под действием внешней нормальной гармонической нагрузки д = Ох.,х2)ехр(/ф/) . Несущая оболочка имеет толщину Н0 , а на ее

внешнюю и внутреннюю поверхности нанесены покрытия толщиной Н. , состоящие из чередующихся мягких и жестких слоев толщиной и кк соответственно

(рис. 1) . Параметр / введен для различия характеристик внешнего ( ] =+1) и внутреннего (] = —1) покрытий. Несущей оболочке припишем индекс к = 0 , а жесткие слои покрытий занумеруем следующим образом: к = j,2j,..., jnj ; ( у = ±1 ), где п. - число жестких слоев в соответствующем покрытии. Каждое

покрытие является регулярным, физико-механические и геометрические характеристики слоев внешнего и внутреннего покрытий полагаем различными. При этом вся конструкция (несущая оболочка с покрытиями) является нерегулярно многослойной вязкоупругой оболочкой.

Рис.1. Элемент оболочки с покрытиями

Пусть все слои являются изотропными, для несущей оболочки и жестких слоев покрытий применяем гипотезу Кирхгофа-Лява, а для мягких слоев все компоненты, кроме поперечных сдвигов полагаем пренебрежимо малыми. Кроме того считаем, что выполняются гипотезы пологих оболочек, а тангенциальными силами инерции можно пренебречь. При принятых гипотезах существенные компоненты тензора деформаций для мягких слоев определяются как

(4)

где и(к) - ковариантные составляющие тангенциальных перемещений точек срединной поверхности к -го

жесткого слоя (а —1,2 ); £/3 - нормальный прогиб, который в рамках данной модели одинаков для всех

[к ]

символ ковариантного дифференцирования на срединной поверхности к -го мягкого слоя;

Ск — Sк + —(Ик + Ьк+1) . Здесь и в дальнейшем величины с индексами в круглых скобках относятся к

жестким слоям, величины с индексами в квадратных скобках - к мягким слоям.

Поле деформаций в рассматриваемой конструкции определяется через перемещения и(к) , из жестких

слоев, которые представим в виде

и (х, Х2, /) — и (Х1, Х2 ) ехр(/® О

иК (х, X ,£) — V (х, х2 ) ехр(/ т{) (5)

иК (х, х2 Ш (х, х ) ехр(/'т ^

Уравнения колебаний оболочек с вибродемпфирующими покрытиями получим, обобщая соответствующие уравнения для многослойных оболочек [1] на случай нерегулярной вязкоупругой системы. С учетом (5) эти уравнения имеют вид:

\7(к)\г(к)аР , С,-1/")1>]а„ С-1 /П[к-1]аг7 — П

У Р М ^к 2 Чкп+ - Лк- + +(- +— — 0 ,

(к — 0,j,2j,...,nj;j = +1) ; (6)

Т+ {ьа^(к)аР + У<к¥кМ{к)ару П *^4У^б^-шт^ — б

к—-п- к—-п-

(а,р—1,2) .

Здесь , М(к)а^ - усилия и моменты в жестких слоях; у[к]а

к )

Ьа/3

перерезывающие (сдвиговые)

усилия в мягких слоях; Ь- компоненты тензора кривизны срединной поверхности жестких слоев;

ш — ^ р^Нк + ^ Р*]1^ , где р^ , рк] - плотности материалов жестких и мягких слоев; 1 -£к/ ,

к—-п_ к—-п_

где - символ Кронекера.

Физические составляющие усилий и моментов вычисляются по формулам

] — 2О Б,и;

<к) — а (А(1к) +у* 4к)); N2 — А (42) +vк^));

^ — N2? — А(1 -V,)4к); (7)

м 1(к) — Д(х« + V,¿2?) ; М22) — Д(х^ +УК) ;

М« — М2к) — Д (1 -V, ) Хх2 ,

где I(к) , Х{оф - компоненты тензора деформаций точек срединных поверхностей жестких слоев и тензора изменения кривизны [4]. Кроме того введены обозначения Ак — ЕКИК1 (1 -V2), А — ЕЯ/12^-^2)

. Коэффициенты Пуассона жестких слоев V считаем действительными величинами, а Ек и О -комплексные модули

Ек(т) — Е((\т) + ¿Е^т) ; Ок(т) — О?)(т) + *3°(®) (8)

которые характеризуют вязкоупругие свойства материалов жестких и мягких слоев соответственно. Если покрытия являются регулярными, то

а

кк — hJ ; Ик — hj ; Ик — hJ при к — j,2j,..., jnj ;

£к — 5+ ; Ос (т) — О (т) при к > 0 ; (9)

5к — З- ; Ок (т) — О- (т) при к < 0 .

Исходя из соображений ограничения веса и размеров конструкций, демпфирующие покрытия, как правило, выполняют не слишком толстыми. Это обстоятельство позволяет не учитывать изменение метрики по толщине покрытия и положить

У[ак] —У(ак) —Уи , Ь(и) — ьа$ при к — j,2j,..,jnj (10)

В тоже время в уравнениях (6) учитывается изменение метрики при переходе от несущей оболочки к покрытию, что позволяет исследовать влияние места расположения покрытия на эффективность вибродемпфирования.

Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку с радиусом срединной поверхности В . Оболочку с

(к) (к)

покрытиями отнесем к цилиндрической системе координат х —х ; х\ — ф , где х и ф - продольная и

окружная координаты соответственно. Средние радиусы покрытий (внешнего и внутреннего) введем по формулам

В — П11 2 Вк при —+1 , (11)

где В - радиусы средних поверхностей жестких слоев.

Пусть на торцах оболочки выполняются граничные условия N1*) — М\к) — V — Ш — 0 при х — 0,1 и

к — 0, j,2j,...,,]пI,

(12)

где I — ь/В - безразмерная длина оболочки, Ь - длина оболочки.

Удовлетворяя граничным условиям (12), решение уравнений (6) с учетом выражений (7)...(10) ищем в комплексной форме

да да

и к ( х,ф) — икпт совСхл} ;

п—1 ш—0

да да

Ук (х Ф) — 2 2 Гкпт ®™(Х х) ; (13)

п—1 ш=0

да да

Чх,ф) — 2 2 Шпш sin(хx>cos(шф> ,

X — лп/1 ; п ,

целые положительные числа, определяющие формы колебаний в продольном и

окружном направлениях соответственно.

Внешнюю нагрузку представим в виде двойного ряда Фурье:

да да

2( х,ф)—2 2 бпш ^(Х х) сов(шф) . (14)

п—1 ш—0

Подставляя (13),(14) в систему (6), получим систему конечно-разностных уравнений относительно комплексных амплитуд перемещений ишт , V , Ш , которые решаются как краевая задача для системы уравнений в конечных разностях с постоянными коэффициентами. Полученное решения показывает, что амплитуды перемещений жестких слоев покрытия и несущей оболочки ишт , V , Ш ,

характеризующие ( пш ) -ю форму колебаний, пропорциональны соответствующим коэффициентам 2 разложения внешней нагрузки в ряд Фурье (14). Истинное поле перемещений всех жестких слоев определяется как действительная часть выражения (5).

Полученные решения являются точными в рамках принятых гипотез и учитывает обратное влияние вибродемпфирующих покрытий на поле перемещений несущей оболочки. Ввиду громоздкости выражений решение для общего случая не приводится.

Рассмотрим частный случай. Пусть несущая оболочка и покрытия представляют собой полностью регулярную многослойную оболочку, т.е. характеристики слоев покрытий не зависят от номера слоя ( к ). Полагаем, что общее число жестких слоев покрытий N — 2п +1 , где п — п+ — п_, и введем средний радиус регулярной многослойной оболочки В — В . В этом случае комплексные амплитуды перемещений (13) имеют вид:

2 2 У% - ш

(ш2 + X2 )2 \^Ж.п +1) - ^(^п)](2 п + а) ^ В

Н

V

кпт

(2 + у)хг + ш

зЩрк)

Н

WnmX, (15)

Шптш ,

(ш + X)2 ^у.(п +1) - зЫ^цп)](2п + а) 1, В,

Шпш = <2пш(Р-1{ц,х,ш,п,гЬш0®2 ) .

Здесь Р - комплексная функция, зависящая от параметров X, ш, п и г — Е(1 -VI)аН/Е0(1 -V)пН0 ,

ш

где

где E,V - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала жестких слоев покрытия; Е0 V -

модуль упругости и коэффициент Пуассона материала несущей оболочки; Н, Н0 - суммарная толщина

покрытия и несущей оболочки; а — Ц (И + 5) - коэффициент армирования в покрытии; п - количество

жестких слоев в покрытии; ш0 — Мп/М0 - относительная масса покрытия, равная отношению массы

покрытия к массе несущей оболочки; т - круговая частота колебаний. Комплексный параметр ^ определяется из уравнения

(х2 + т2 ) Еа(1 -а)^ н ^2

с^ы — 1 + ^— ------------------------^--I — I (16)

2О(1 -V2)(2п +а) VВ )

По найденному полю перемещений в жестких слоях покрытий и несущей оболочки в соответствии с (1) рассчитывается относительное рассеяние энергии у .

Пусть жесткие слои покрытия и несущая оболочка - упругие с модулями Е и Е соответственно, а

рассеивание энергии происходит только в мягких слоях покрытия за счет развитых деформаций сдвига.

Материал этих слоев характеризуется комплексным модулем сдвига О(т') — О"г)(т)\1 + У^(т)] , где

!](№) — О (‘)(т)/О(г )(т) - тангенс потерь для материала мягких слоев покрытия.

Для численного исследования рассмотрим цилиндрическую оболочку, на внешней и внутренней поверхностях которой расположены покрытия с одинаковыми характеристиками слоев. В качестве характеристики эффективности вибродемпфирующих свойств покрытий примем безразмерную величину у — у/2ят/ , (17)

пропорциональную относительному рассеиванию энергии.

При расчете были приняты следующие исходные данные: ЬВ — 5 ; Н0/В — 10-2 ; толщина покрытия

Н — 0,2Н0 ; тангенс потерь (если не оговорено особо) принят равным /7 — 0,3 .

На рис. 2 представлены результаты вычислений характеристики эффективности (17) в зависимости от относительной жесткости мягких слоев покрытия на сдвиг £ — О^) (1 - V2 2)1Е(г) при различных значениях параметра ш (цифры у кривых), характеризующего форму колебаний в окружном направлении. Коэффициент армирования в покрытии принят равным а — 0,5 ; относительная жесткость жестких слоев

е — Е(г) (1 - V2 )/е(г ) (1 - V2) — 1 , число жестких слоев в покрытии п — 1 . Зависимость у от £ является существенно немонотонной, а величина и расположение максимума характеристики эффективности существенно зависит от формы колебаний. Положение максимума у при возрастании номера формы колебаний в окружном направлении смещается в область более высоких значений параметра сдвига £ . Дальнейшие вычисления проводились для формы колебаний с п — 1; ш — 3, соответствующей минимальной собственной частоте изгибных колебаний заданной несущей оболочки. Влияние числа жестких слоев в покрытии (цифры у кривых) на величину у показано на рис. 3. Суммарная толщина покрытия принималась не зависящей от числа слоев. Максимальное значение характеристики у мало зависит от числа слоев в покрытии.

ЯГ*

/О'3

/Г

'0 Н 9

V \ %

т- 2 / \

/¿7'*

Рис. 2. Зависимость характеристики демпфирования от формы колебаний

Рис. 3. Влияние числа слоев на характеристику демпфирования при постоянной суммарной толщине

покрытия

Рис. 4. Зависимость характеристики демпфирования от коэффициента армирования

На рис. 4 для того же покрытия представлены зависимости характеристики у/ от коэффициента армирования а при различных значениях параметра сдвига g (цифры у кривых). Характеристика

демпфирования имеет экстремум относительно коэффициента армирования, что объясняется увеличением сдвиговых деформаций в мягких слоях при промежуточных значениях а . Наиболее целесообразным,

очевидно, является применение покрытий с коэффициентом армирования а = 0,4...0,8 . Все остальные

результаты приведены для покрытий с коэффициентом армирования а = 0,5 .

Результаты вычисления характеристики демпфирования у при внешнем и внутреннем расположении покрытия для формы колебаний, характеризующейся т = 3 , представлены в таблице. Суммарная толщина покрытия принята равной Н = 0,2Н0 и не зависит от числа слоев в покрытии. Сопоставление

результатов расчета показывает, что внутреннее покрытие является более эффективным. Это связано с тем, что кривизна внутреннего покрытия больше, чем внешнего.

Таблица

Число жестких слоев п = 2 п = 4

£ внешнее внутреннее внешнее внутреннее

покрытие покрытие покрытие покрытие

10-2 0,612*10-4 0, 63 9*10-4 0, 4 54*10-4 0, 473-10-4

10-3 0, 606-10-3 0, 633-10-3 0,4 51*10-3 0, 4 6 9*10-3

10-4 0, 555*10-2 0, 57 8*10-2 0,421*10-2 0, 437-10-2

10-5 0,271*10-1 0, 27 8*10-1 0, 23 0*10-1 0, 238-10-1

10-6 0,17 1-10-1 0,17 3*10-1 0,191*10-1 0,193-10-1

Рис. 5. Влияние кривизны оболочки на эффективность демпфирования

Влияние кривизны несущей оболочки на характеристику демпфирования у при внешнем покрытии и n = 1 показано на рис. 5. Цифры у кривых соответствуют отношению Е^/И0 .

Предложенный метод позволяет рассчитывать и проектировать покрытия, содержащие произвольное число слоев и расположенные на внешней и внутренней поверхностях оболочки.

Представленные результаты могут быть непосредственно использованы при проектировании цилиндрических панелей с покрытиями для снижения шума и обеспечения виброизоляции аппаратуры, расположенной на поверхностях этих панелей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mead D.J., Markus S. Loss factors and resonant frequencies of encastre clamped sandwich beams. - J. Sound Vibs., 1970, vol. 12.

2. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. - М.: Машиностроение, 1980,

374 с.

3. Болотин В.В., Литвинов А.Н. К теории вибродемпфирующих полимерных покрытий. - "Механика полимеров", 1978, № 2, с. 269-276.

4. Новичков Ю.Н. Вариационные принципы динамики и устойчивости многослойных оболочек. Труды МЭИ. Динамика и прочность машин, 1973, вып. 164, с. 14-32.