Динамический расчет сферических оболочек с гетерогенными покрытиями Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.2:534.833

А. Н. Литвинов, М. А. Литвинов ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С ГЕТЕРОГЕННЫМИ ПОКРЫТИЯМИ

Аннотация. Сферическая оболочка с покрытиями рассматривается как многослойная вязкоупругая система. Эффективность демпфирования определяется по результатам динамического расчета свободных колебаний гетерогенной системы. Исследовано влияние параметров и места расположения покрытий на характеристику демпфирования оболочки. Результаты исследований могут быть использованы при практическом проектировании вибродемпфирующих покрытий.

Ключевые слова: динамический расчет, сферические оболочки, гетерогенные покрытия.

Abstract. The spherical shell with coatings is considered as multilayered viscoelastic system. Demping efficiency is defined by results of dynamic design of free fluctuations of heterogeneous system. Influence of parametres and the location of shells on the shell damping characteristic is investigated. Results of researches can be used at practical vibration damping coatings designing.

Keywords: dynamic design, sperical shells, heterogeneous coating.

Введение

Одним из эффективных способов снижения уровня вибрации и шума несущих конструкций в виде оболочек являются многослойные вибродемпфирующие покрытия, состоящие из чередующихся слоев различной жесткости. Чаще всего применяются покрытия, мягкие слои которых выполняются из вязкоупругих материалов с развитыми диссипативными свойствами при сдвиговых деформациях. В этом случае несущая конструкция с покрытиями может рассматриваться как многослойная вязкоупругая гетерогенная система [1]. Наиболее общей характеристикой эффективности демпфирования при динамических воздействиях следует считать относительное рассеяние энергии в системе, которое определяется из решения задач о вынужденных или свободных колебаниях соответствующей вязкоупругой гетерогенной системы. Способы определения этих характеристик при вынужденных и свободных колебаниях подробно рассмотрены в [2]. Так как относительное рассеяние энергии при свободных колебаниях можно оценить, не определяя точно поле деформаций в гетерогенной системе, что существенно упрощает динамический расчет, то в качестве характеристики эффективности вибродемпфирования будем рассматривать относительное рассеяние энергии при свободных колебаниях сферической оболочки с многослойными покрытиями.

1 Основные уравнения

Рассмотрим свободные колебания замкнутой сферической оболочки, имеющей радиус срединной поверхности R0 и толщину Н0. На внешней и внутренней поверхностях оболочки нанесены вибродемпфирующие покрытия общей толщиной Н, где j = +1, -1 относится к внешнему и внутреннему покрытию соответственно. Каждое покрытие состоит из чередующихся nj мягких и жестких слоев. Мягкие слои являются вязкоупругими, работают

преимущественно на сдвиг и обеспечивают демпфирование колебаний несущей оболочки (рис. 1).

Рис. 1 Элемент оболочки с покрытием

Задача решается в сферической системе координат Х1 = а; х2 = в (а -угол широты, в - угол долготы), хз - координата, нормальная к срединной поверхности оболочки.

В самом общем случае уравнения колебаний сферической оболочки с вибродемпфирующими покрытиями в перемещениях, полученные из общих уравнений для многослойной гетерогенной системы, приведенных в [1], имеют очень громоздкий вид. Будем считать, что все слои системы являются изотропными, для несущей оболочки и жестких слоев покрытий применимы гипотезы Кирхгофа - Лява. Считаем также, что выполняются гипотезы пологих оболочек. В этом случае уравнения свободных колебаний оболочки с покрытиями принимают следующий вид:

(Д + 1 -Ук) -(Д + 1 -Ук|(Д + 2)

Х

Gk-1 (

sk-1

0к -0к-1 + -¡г-1 Диз

Gks-1

^к(-п-)

(

Х{ 0к - 2и3 + Рк

к -1 /

(0к+1 + 0к - 4и3 )акп+ + (к + 0к+ - 4и3 )к( к = 0, у; 2 У;...; упу; ] = ±1;

0к+1 -0к + 7Г Ди3 ¡к

рк^к 2 Х оґ

\

Х

= 0, (1)

2 “2{ ^Д(1 + Ук ) 0к_^ [(Д + 1 -ук )Д + 2из} +

к=(-п-) Хк

П+ 1 Ґ'"' ( + ^ Gkck

к=(-п-) )*кХк

0к+1 -0к + -¡Г Ди3 ¡к

\

д2щ 0

- т—= 0. 0ґ2

(2)

Здесь введены следующие обозначения: к - номер жесткого слоя покрытия (положительные значения соответствуют слоям внешнего покрытия, отрицательные - внутреннего покрытия; к = 0 - соответствует несущей оболочке), Як - радиус средней поверхности жесткого слоя; Vk, Ек - коэффициент Пуассона и модуль упругости материала жесткого слоя; Нк, Sk - толщины жесткого и мягкого слоев соответственно; Ок - комплексный модуль сдвига для материалов мягкого слоя; Ак = ЕкНк /(1 - Vк) - жесткость на растяжение жесткого слоя; ёк = Нк /12Яо ; ск = 5к + 0 5(Нк-1 + Нк); Рк = 0,25Р[к]' 5к / РкНк -

относительная плотность; рк, р[к ] - плотность материалов жесткого и мягко-

п+ и+-1

го слоев соответственно; т = ^ ркНк + ^ р[к^к - распределенная мас-

к=-п- к=1-п-

са всего покрытия; °к(>пу ) =1 к^п), где к(>пу) - символ Кронекера;

Д = 8Іп 1 а

Э ( . Э )+ . -1 Э2

8іп а— I + 8.п а-

, _—» , , ^ 2 - оператор Лапласа на сфере в гео-

Эа ^ Эа) эр2

графических координатах а, Р; t - время; и3 - нормальный прогиб сферической оболочки. Так как покрытия являются достаточно тонкими, то трансвер-сальной податливостью мягких слоев пренебрегаем и считаем, что нормальный прогиб для всех слоев одинаков.

При выводе системы уравнений (1), (2) рассматривались преимущественно нормальные формы колебаний. Колебания оболочки без изменения ее объема описываются отдельной системой уравнений и здесь не рассматриваются.

Система уравнений (1), (2) содержит функции 0к, пропорциональные относительному изменению объема и связанные с тангенциальными и[к),

(к)

и2 и нормальными и3 перемещениями жестких слоев соотношениями

0к = — 8іп а

(к) • \ Эи2к)

—, щ ’ 8іп а) + ——

да \ 1 / ЭР

+ 2и3к). (3)

Решение системы уравнений (1), (2) представляем в виде 0к (а, Р, ґ) = 0к (а, Р)ехр(/юґ);

и3 (а, Р, ґ) = ^(а, Р) ехр(/юґ), (4)

где ю - комплексная частота свободных колебаний.

Так как формы колебаний 0к (а, Р) и ^(а, Р) оболочки должны удовлетворять условиям непрерывности и однозначности на сфере, то представляем их в виде

0к (а, Р) = ©к • У[±т)(а, Р);

^(а, Р) = Ж • 7/±т)(а, Р). (5)

Здесь Y/+m)(a,Р) = Р™(cosa){ Р при l = 0, 1, 2,..., а Р™(cosa) -

[sin mp

присоединенные функции Лежандра.

Учитывая, что ^Y¡±m) = -1(l + 1)Y¡±m), после подстановки выражений

(4) с учетом (5) в уравнения (1), получим систему конечно-разностных уравнений относительно 0£ :

(1 -v* )Wl-l0k +xkrk-2 [(0^+1 -0k-Ck £W )akn+ -

-(0k-0*-1- ck-1^W )ak(-w-) =0 (k =0, j;2j;...; jnj; j = ±1), (6) где £ = l (l + 1) - параметр, характеризующий форму колебаний несущей обо-

G* (1 -vi) 2

лочки; X* =-------------R - безразмерный комплексный параметр;

Ekhksk

rk = R)/Rj - безразмерный радиус (k = 0, j, 2 j,..., jnj; j = ±1); Rj = ) =

= 0,5 (0 + jHj) - средний радиус внешнего (j = 1) и внутреннего (j = -1) покрытий; r0 = 1.

2 Расчет частот свободных колебаний оболочки с покрытием

Для многослойных регулярных покрытий система уравнений (6) допускает точное аналитическое решение. Пусть внешнее и внутреннее покрытия являются регулярными, т. е. выполняются соотношения:

sk = s+, Gk = G+ при k > 0 ; s* = s-, Gk = G- при k < 0 ;

hk = hj, rk = rj, ck = cj , Ek = ej , v k = v j, при k = j, 2J, •••, Jnj для J = ±1.

В этом случае система уравнений (6) принимает вид

(1 -Vj)WI-I0k +Xjrf [(0k+1 -0k -Cj£W)1т+ -

-(_<% -1 - cj

= 0. (7)

Здесь безразмерный комплексный параметр Ху, характеризующий относительную жесткость мягких диссипативных слоев на сдвиг, определяется выражением

О, (1 -V2)

Х = л ■} Я 2

Ху Е Н 8 ■

где О у = Оу(г+ ^ у | - комплексный модуль сдвига для вязкоупругого май О (г) “

териала мягких слоев покрытий; Оуу ' - действительная часть модуля сдвига;

П - тангенс потерь, характеризующим диссипативные свойства материала мягких слоев покрытий.

Решение системы уравнений (7) представим в виде

©k = ©0k + ©* , (8)

где ©ok - решение однородной системы уравнений (7) при W = 0; ©*- частное решение этой системы. Решение однородной системы уравнений ищем в виде ©ok = C exp (ц£). Подставляя это решение в (7) и требуя нетривиаль-

ности решения однородной системы, получим характеристическое уравнение для определения комплексного характеристического показателя ц—

ch Ц j = 1 + -— . (9)

2Ху

Частное решение принимаем в виде ©* = (1 — v — jlW.

Таким образом, общее решение системы конечно-разностных уравнений (6) принимает вид

©k = Ci — ch (—k j + C2 — ch (—k j + (1 — Vk) W. (10)

Постоянные С1— и С2— определяются из уравнений (7) при k = — и k = —n—

для — = ±1, которые выполняют роль граничных условий:

fy—W + — [ch Ц—n— — ch Ц — (n— + 1) ] C2—

С — =--------------------------------------;

sh ц—n— — sh ц — (n— +1)

C2 — = \ ©0 — —

(1—v —)0'5 H0

ri—Hi.“—'

V H 0 n— J

Здесь а у = Ну /(Ну + 5 у) - коэффициент армирования для внешнего

(у = 1) и внутреннего (у = -1) покрытий.

0о определяется из уравнения (7) при к = 0 с учетом выражений (10) для 0к при к = ±1.

Подставляя решение (10) в уравнение (2) и требуя, чтобы Ж Ф 0, получим уравнение для определения комплексной частоты ю свободных колебаний сферической оболочки с вибродемпфирующими покрытиями в виде

ю2 = М-1^(цу, еу, пу, Х). (12)

Здесь М = 1 + Мп/Мо , где Мп - масса всего покрытия; Мо - масса несущей оболочки; ю = юг + /юг-, где юг, юг- - действительная и мнимая части частоты свободных колебаний для соответствующей формы колебаний, которая определяется параметром £,.

Для случая, когда внешнее и внутреннее покрытия являются регулярными, функция ^ принимает вид

Р -00 (1 + у0 ) + ^оХ+ Е е і—1,1

г ■

] ]

]пі

( + ^ )Е 0 + «А2 х2

к-і

+ Е у[с°0х-і(-0о)] + Е X і—1,1 і--1,1

0с?

су («у -1)х- Л0« ~0і )

. (13)

Здесь дополнительно введены следующие обозначения:

Л Д1- V2

£ у =

Еу (1 -У0)Н; 0 0

у -„ „ ,.2\і; хі -єуху; сі - я0+^ - щ /12*0; 0. - *0 /.

Е0(1 -V?) н 0

За характеристику эффективности вибродемпфирующего покрытия принимаем безразмерную величину, равную отношению мнимой части комплексной частоты свободных колебаний к ее действительной части для соответствующей формы колебаний

ю,

Лю - —, юг

(14)

которая при малых колебаниях с точностью до множителя 4п совпадает с величиной относительного рассеяния энергии в рассматриваемой гетерогенной системе [2]:

¥св - 4тоПю.

(15)

3 Исследование эффективности применения многослойных вибродемпфирующих покрытий

Для численного исследования рассмотрим оболочку, у которой все характеристики слоев покрытий не зависят от индексау: 5 у = 5 , ку = к, Vу = V,

Еу = Е . Комплексный модуль сдвига материала мягких слоев О у = О (1 + /^),

где О - действительная часть, характеризующая упругие свойства, а п - тангенс потерь, характеризующий диссипативные свойства вязкоупругого материала. Эффективность вибродемпфирования оцениваем безразмерной характеристикой (14). При проведении исследований дополнительно был введен

безразмерный параметр сдвига [1] £ = О (1 -V2 )/е , характеризующий относительную жесткость мягких слоев. Коэффициенты Пуассона приняты равными V = Vo = 0,3 ; коэффициент армирования в покрытии а = 0,5; отношение плотностей принималось равным ]/Рк = 0,3 при к = 0, 1, 2, ..., п; толщина

покрытия Н = 0,2Н0. Результаты численных исследований представлены на рис. 2-7. Значения параметров гетерогенной системы, которые варьировались, указаны на соответствующих рисунках. Если не оговорено особо, то считается, что покрытие расположено только на внешней поверхности несущей оболочки.

На рис. 2 представлены зависимости характеристики пш от параметра I, величина которого характеризует форму изгибных колебаний несущей обо-

лочки, при различных значениях параметра сдвига £ и числе жестких слоев в покрытии п = 1 и п = 2. Радиус срединной поверхности оболочки принят равным ^0 = 100Н0 . Результаты исследований показывают, что эффективность покрытия существенно зависит от параметра сдвига £ и номера формы собственных колебаний I. При малой относительной жесткости мягких слоев покрытия на сдвиг (£ = 10-6.10-4) для I > 24 повышение номера формы собственных колебаний при заданном значении тангенса потерь п не приводит к существенному увеличению характеристики демпфирования. Это связано с тем, что повышение номера формы колебаний сопровождается одновременным увеличением энергии рассеяния и потенциальной энергии самой системы. Все дальнейшие вычисления проводились для форм колебаний, характеризующихся значением I = 11.

12 18 24 30

--- п = 1, - - - п = 2

Рис. 2 Зависимость характеристики демпфирования от формы колебаний при е = 1, п = 0,3

На рис. 3 представлены зависимости характеристики демпфирования при различных относительных радиусах срединной поверхности Ло/Нд несущей оболочки. Эффективность покрытия существенно зависит от отношения Ло/ Но и увеличивается при увеличении кривизны несущей оболочки. При этом максимум характеристики демпфирования смещается в область больших значений параметра сдвига g.

10"

Лео

10

10

10

. «-50

150 \ ч 100 \г

\ \ 250 \ \ \ \

104 10’5 10“* 10'3 10'2 g

Рис. 3 Влияние кривизны оболочки на эффективность демпфирования при е = 1, п = 0,3, п = 1

Влияние относительной жесткости армирующих слоев покрытия е = Е(і - V0 (і - V21 на величину пш при различных значениях параметра

сдвига g и числе слоев п показано на рис. 4. Увеличение жесткости стесняющих слоев приводит к резкому возрастанию рассеяния энергии. Зависимость Цт(е) является немонотонной и имеет экстремальный характер, а величина е,

при которой обеспечивается максимальное демпфирование, существенно зависит от параметра сдвига g и числа слоев в покрытии. Увеличение числа жестких слоев в покрытии при его постоянной толщине является эффективным при малых значениях параметра сдвига g. На рис. 5 для того же покрытия при относительной жесткости армирующих слоев е = 1 представлены зависимости характеристики демпфирования от параметра g при различных значениях тангенса потерь п для материала мягких слоев покрытия и числа жестких слоев в покрытии. Максимальное значение характеристики демпфирования уменьшается при увеличении числа жестких слоев п в покрытии. С увеличением танген-

са потерь п рассеяние энергии в конструкции увеличивается, а значение параметра сдвига g, при котором обеспечивается максимум характеристики пш, практически не меняется. Изменение величины тангенса потерь с п = 0,2 до П = 0,6 приводит к увеличению максимального значения пш в 2,5 раза, а при П = 1 эффективность покрытия увеличивается в 3,5 раза. При возрастании параметра сдвига эффект увеличения демпфирования за счет использования мягких прослоек с большими характеристиками рассеяния уменьшается.

Ло

----п = 1,------п = 2, — • — п = 3

Рис. 4 Влияние жесткости покрытия на эффективность демпфирования при е = 1, п = 0,3

Л

ю

со

10

ю4

10

-Ж II *»* \ * ^ ^ \ “"Оч4 ч' \ ' • V \ V* \ II

/ ' ///' ■ •/ ' / "// // ¥ \ \\ л\. V4 V Ч \'ЧЧх \%" \ \\\

10 5 10 4 10 3 10

------п = 0,2,------------п = 0,6, — • — п = 1

Рис. 5 Зависимость характеристики демпфирования от параметра сдвига при различном числе слоев в покрытии

Влияние числа слоев вибродемпфирующего покрытия на его эффективность показано на рис. 6, 7. Вычисления проводились для несущей оболочки с радиусом срединной поверхности Лд/Но = 100 . Суммарная толщина мягкого и жесткого слоев покрытия принималась постоянной и равной И + s = 0,05Нд . Сплошными линиями на рис. 6 показаны результаты вычисления характеристики пш для случая послойного нанесения слоев покрытия на внешнюю поверхность оболочки. Значение п соответствует числу жестких слоев в покрытии. Штриховая линия соответствует варианту, когда покрытие расположено на внешней и внутренней поверхностях оболочки. Анализ результатов показывает, что применение двухстороннего покрытия позволяет повысить величину характеристики демпфирования (14) в 2,1 раза по сравнению с величиной пш, которая обеспечивается односторонним покрытием, содержащим один жесткий слой и расположенным на внешней поверхности оболочки. Применение двухстороннего покрытия для демпфирования прямоугольной в плане пластины приводило к повышению эффективности демпфирования в 2 раза [3]. То что в сферической оболочке этот эффект несколько больше, объясняется тем, что расположение покрытия на внутренней поверхности является более рациональным, чем его расположение на внешней поверхности. Очевидно, выигрыш в применении двухстороннего покрытия будет тем больше, чем больше его относительная толщина Н/Н .

Лео 10

10

10

10

/// /// / /// ^ / /У/х г луУ Ч ч N \ \ \ ■ ^ 4 Л. \ \ \ \ Ч \ \ \ \ V А. 3

л II

10 * 10 5 10" 10'* 10^ g

Рис. 6 Влияние числа слоев и места расположения покрытия на эффективность демпфирования

Применение двухстороннего покрытия по сравнению с покрытием, расположенным на внешней поверхности несущей оболочки и состоящим из двух слоев, является целесообразным при малой относительной жесткости на сдвиг мягких слоев (£ < 10-5). На рис. 7 для того же покрытия представлена

зависимость ^21 = ^2ю , равная отношению величины характеристики демпфирования ^2ю для оболочки с покрытием, содержащим два жестких слоя, к величине Г|1ю, вычисленной для оболочки с покрытием, содержащим один жесткий слой. Покрытия расположены на внешней поверхности оболочки.

п 41-----------------------------------------------------

Л21 х

3

2

КГ6 10'5 104 101 102 g

Рис. 7 Оценка эффективности применения покрытия при увеличении числа его слоев

Увеличение числа жестких слоев в покрытии с n = 1 до n = 2 позволяет в зависимости от величины параметра g и тангенса потерь п повысить характеристику демпфирования в 1,3-3,5 раза. Дальнейшее увеличение числа при h + s = const также приводит к положительному эффекту, но в меньшей степени. Например, при g = 10-3 и п = 0,3 увеличение числа жестких слоев с n = 1 до n = 2 повышает эффективность демпфирования в 3 раза, увеличение числа слоев с n = 2 до n = 3 - в 2,5 раза, а увеличение числа слоев с n = 3 до n = 4 -в 2 раза (рис. 6). При малой относительной жесткости увеличение числа слоев покрытия приводит к незначительному повышению характеристики демпфирования и является нецелесообразным.

Выводы

Предложенный метод динамического расчета позволяет исследовать эффективность применения вибродемпфирующих покрытий, содержащих произвольное число слоев и расположенных на внешней и внутренней поверхностях несущей сферической оболочки. Проведенные исследования и представленные результаты могут быть непосредственно использованы при проектировании несущих конструкций в виде сферических оболочек и панелей с покрытиями для снижения шума и обеспечения виброизоляции аппаратуры, расположенной на поверхностях этих конструкций, а также для обеспечения их динамической прочности.

Список литературы

1. Литвинов, А. Н. Эффективность демпфирования оболочек при помощи многослойных покрытий / А. Н. Литвинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2005. - № 5 (20). - С. 178-191. - (Технические науки).

2. Литвинов, А. Н. Характеристики эффективности вибродемпфирующих покрытий / А. Н. Литвинов // Надежность и качество : труды Международного симпозиума. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2008. - Т. 2. - С. 127-129.

3. Литвинов, А. Н. Оценка эффективности демпфирования колебаний пластин слоистыми покрытиями / А. Н. Литвинов, М. А. Литвинов // АПН0-2003 : труды Международного симпозиума. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2003. - Т. 1. - С. 91-94.

Литвинов Александр Николаевич

кандидат технических наук, профессор, кафедра надежности машин и приборов, заместитель декана факультета заочного отделения, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Litvinov Alexander Nikolaevich Candidate of engineering sciences, professor, sub-department of machinery and devices reliability, vice-dean of department of correspondence education, Penza State University

Литвинов Максим Александрович руководитель группы ФГУП ФНПЦ «Старт» им. М. В. Проценко

Litvinov Maxim Alexandrovich Team leader at the Federal State Unitary Facility Federal Scientific Production Center “Start” named after M. V. Protsenko

E-mail: [email protected]

УДК 539.2:534.833 Литвинов, А. Н.

Динамический расчет сферических оболочек с гетерогенными покрытиями / А. Н. Литвинов, М. А. Литвинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 3 (11). -С.142-153.