CC BY
23
Литвинов А.Н.
ВИБРОДЕМПФИРОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК МНОГОСЛОЙНЫМИ ПОКРЫТИЯМИ
Рассматриваются свободные колебания замкнутой сферической оболочки, имеющей радиус срединной поверхности Ко и толщину Но. На внешней и внутренней поверхностях оболочки нанесены вибродемпфирующие покрытия общей толщиной Н^, где ^ = +1, -1 относится к внешнему и внутреннему покрытию соответ-
ственно. Каждое покрытие состоит из чередующихся мягких и жестких слоев. Мягкие слои являются вязкоупругими, работают преимущественно на сдвиг и обеспечивают демпфирование колебаний несущей оболочки.
Задача решается в сферической системе координат Х1=а; Х2=в (а - угол широты, в - угол долготы), Хз - координата, нормальная к срединной поверхности оболочки. Уравнения свободных колебаний оболочки с покрытиями принимают вид:
At [(Д +1 -^ в-(dk2A +1 -V )(A + 2) u3 ] + + GkS- івк+1 - вк + Cl Дщ j^ - Gk-1 ^вк - вк-1 + Ck Au3j^
-pkhk в - 2u3 +pk [(ek+l +вк - 4u3 )Лы+ + (вк +вк+ - 4u3) ] j = 0;
(k = 0, +1; + 2;...; + n,.; j = ±l);
A R,
n+-1 n n ( n \ ^2
£ JL{[dkД(1 + v,)]вк -dk [(Д +1 -Vk)(Д + 2)]u3j +
к=n_ Rk
- (2)
_ ОкСк [а а Ск А ) д2щ п
+ у I Д _0 + _к. Д _ т ^ = 0;
к~ БкКк ^ к+‘ к Як 3) дг2
Здесь введены следующие обозначения: к^ - номер жесткого слоя покрытия (положительные значения
соответствуют слоям внешнего покрытия, отрицательные - внутреннего покрытия; ко - соответствует несущей оболочки), Кк - радиус средней поверхности жесткого слоя; ук - коэффициент Пуассона материала жесткого слоя: Ькг Бк - толщины жесткого и мягкого слоев соответственно, Екг Ок - модули упругости и сдвига для материалов жестких и мягких слоев; АК = ЕкИк /(1 _Ук) - жесткость на растяжение жест-
1; dk = Ик/12Я0 ; Ск = Sk + 0,5(\_1 + Ик) ; Рк = 0,25р^ • ^/Рк\ ~ относительная плотность; рк,р^
кого слоя;
п+ П+_1
плотность материалов жесткого и мягкого слоев; т = ^ РФк + ^ Р^\^ - распределенная масса всего
к=_п_ к=1_п_
покрытия; rljk = 1_ &jk , где - символ Кронекера; Д = sin 1 а
д і . д \ . j д2 — sin а— + sin а—г
да| даj др2
оператор
Лапласа на сфере в географических координатах а,р ; I - время; из - нормальный прогиб сферической оболочки.
При выводе системы уравнений (1); (2) рассматривались преимущественно нормальные формы колеба-
ний. Колебания оболочки без изменения ее объема описываются отдельной системой уравнений и здесь не рассматриваются.
Система уравнений (1), (2) содержит функции вК , пропорциональные относительному изменению объе-
(к) (к)
ма и связанными с тангенциальными и\ ,и\ и нормальными из перемещениями к-х слоев соотношениями:
в, =
д / m . \ д^^ — (u,( -^та) + - 2 Я/у V 1 )
-2u (к) (3)
да ' др
Решение системы уравнений (1), (2) представляем в виде
вк (а,р,г) = вк (а,р) ехрОг), и (а,р,г) = № (а,Р)ехр(шг).
Так как формы колебаний в (а,Р) и Щ (а,Р) оболочки должны удовлетворять условиям непрерывности и однозначности на сфере, то представляем их в виде вк (а,Р) = ©к • Г/±т)(а,Р),
(5)
I cos
Здесь Yt{±m\а,Р) = рт(cosa)I . 1 при l = 0, 1, 2,..., l а Рт (cos а) - присоединенные функции Ле-
w(a,P) = W ■ Y(±m)(a,P).
cosa)'
I sin mp
жандра.
Учитывая, что
ДГ;(± т) =_ 1(1 + 1)Г,(± п), (6)
после подстановки (5) в систему уравнений (6), (1), (2), получим систему конечно-разностных
уравнений относительно © и Щ. Решая полученную систему конечно-разностных уравнений и требуя в (2), чтобы Щ#0, получаем частотное уравнение для определения комплексной частоты свободных колебаний сферической оболочки с вибродемпфирующими многослойными покрытиями:
т2 = М-Ии,.,е^,п1 ,х) . (7)
Здесь комплексная функция Г имеет достаточно сложный вид; М = 1+Мп/МО, где Мп - масса всего покрытия; Мо - масса несущей оболочки; т=т + , где т - де5йствительная и мнимая части частоты
свободных колебаний.
Для случая, когда внешнее и внутреннее покрытия являются регулярными, функция Г принимает вид:
Р = ©0 (1 + Уо )+92оХ+ 2 ЕГ
.
(1 *у1 )Е0*+иА2*2
+ 1*0 [ с0х-1 (<© -00)] +
1=-1,1
+ 2 х>“ [С1 {П1 - 1)х- К®п -© 1)].
1=-1,1
Здесь введены следующие обозначения:
х = м*
(8)
Е, (1 -Vo’)h0
е1 =-------------’-----
1 Ео(1 -V,’ )Н о
Е, (1 -v0’)hj
1 Ео(1 -V2 )Н о
С1 = ;
= И2/12^0; ^ = НО/12.R0 ; г. = до/Л, ; Л. = 1 + 0,5(Н0 + 1) ; х = 1(1 +1)
Решение системы конечно - разностных уравнений имеет вид: в к = ©к /Ш = Сг + С21ц1к + (1 -vj ) (9)
при к=3, 23...
„’
Зпз
где комплексный характеристический параметр |Llj
является решением уравнения
(10)
А коэффициенты С^ и С23 определяются соотношениями:
ХГ1 +1 [сИ!]п1 - сИ^(п1 +1)] яИци. - яИ!(и. + 1)
си =-
С
’1
в0 - ]
(11)
В (11) введено понятие коэффициента армирования покрытия ^= И- /(И. + я-) для внешнего (3=1) и
внутреннего (3=-1) покрытий.
За характеристику эффективности вибродемпфирующего покрытия принята безразмерная величина
(12)
которая при малых колебаниях с точностью до множителя 4я совпадает с величиной относительного рассеяния энергии в системе.
В качестве примера была исследована эффективность применения вибродемпфирующего покрытия для сферической оболочки при Ко = 100Но. Покрытие расположено только на внешней поверхности оболочки. Число жестких слоев в покрытии п =1, общая толщина покрытия Н+ = 0,2Но. демпфирование происходит за счет развитых деформаций сдвига в мягком вязкоупругом слое, свойства которого характеризуются комплексным модулем сдвига О = С+(1+1п), где п - тангенс потерь для вязкоупругого материала. Толщины мягкого и жесткого слоев покрытия одинаковы б+=Ь+. Результаты расчетов для п=0,2 и п=0,6 при различных значениях параметра 1, характеризующего формы колебаний несущей оболочки приведены в таблице:
Эффективность вибродемпфирующего покрытия пw Таблица
0
0
С
Г
п = 0 г2 п = 0 г 6
'ч. 10 -2 1С -4 10 -6 10 -2 10 -4 10 -6
5 0, 804 10-6 0, 551 10-4 0, 117 10-4 0, 203 10-5 0, 139 10-3 0, 350 10- -4
9 0, 4 4 - 0, 691 10-3 0, 347 10-4 0, 494 10-4 0, 189 10-2 0, 104 10- -3
13 0, 136 10-3 0, 222 10-2 0, 595 10-4 0, 316 10-3 0, 637 10-2 0, 178 10- -3
17 0, 419 10-3 0, 368 10-2 0, 717 10-4 0, 970 10-3 0, 108 10-1 0, 172 10- -3
21 0, 840 10-3 0, 430 10-2 0, 700 10-4 0, 195 10-2 0, 127 10-1 0, 210 10- -3
25 0, 133 10-2 0, 420 10-2 0, 610 10-4 0, 312 10-2 0, 125 10-1 0, 181 10- -3
29 0, 859 10-3 0, 377 10-2 0, 500 10-4 0, 440 10-2 0, 113 10-1 0, 150 10- -3
Расчеты приведены для различных вязкоупругих материалов мягкого слоя покрытия. При этом жест-
С+ (1 V
кость на сдвиг мягких слоев характеризовалась безразмерным параметром жесткости g =-------------------, где
Е+
0+ - действительная часть модуля сдвига материала мягкого слоя, а Е+ и у+ - модуль упругости и ко-
эффициент Пуассона жесткого слоя покрытия. Анализ приведенных результатов показывает, что эффективность покрытия существенно зависит от относительной жесткости на сдвиг д и формы колебаний. При правильном выборе материалов мягкого и жесткого слоев покрытия возможна оптимизация параметра ц„, характеризующего эффективность вибродемпфирования.
Численные исследования , проведенные для различных вариантов расположения покрытий (внешнее, наружное, внешнее и наружное), содержащих различное число слоев, выполненных из различных материалов показали, что коэффициент эффективности вибродемпфирования (12) существенно зависит от указанных параметров. При этом внутреннее расположение многослойного покрытия оказывается эффективнее, чем расположение покрытия на внешней поверхности несущей оболочки.
Таким образом, разработанный алгоритм расчета позволяет теоретически определять наиболее эффективную, с точки зрения вибродемпфирования, структуру и место расположения многослойного покрытия с учетом эксплуатационного диапазона внешних действующих частот.
