CC BY
42
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м XI 1 9 80 М3
УДК 629.7.015.4:539.43
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ БОЛТА С ЭЛЕМЕНТАМИ ОДНОСРЕЗНОГО СОЕДИНЕНИЯ
С. И. Галкин
На основе использования расчетной схемы, в которой элементы соединения представляются упругими основаниями болта, нагружаемыми искомыми силами взаимодействия, решается задача о взаимодействии болта с элементами односрезного соединения в окрестности нагруженного отверстия. Задача сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений изгиба соответствующих частей болта на упругом основании. Правые части этих уравнений определяются неизвестными погонными силами взаимодействия, соответствующими перемещению болта относительно упругих оснований как жесткого целого.
Дан анализ взаимодействия болта с элементами соединения, а также исследуется характер распределения контактных погонных сил взаимодействия по толщине этих элементов.
1. На рис. 1 приведена схема односрезного соединения с соответствующими компонентами внутренних усилий. Видно, что каждый г-й болт передает с одного элемента соединения на другой продольную силу и изгибающий момент М1 = М]+1 —
— Ж;. При этом по площади контакта /-го болта с соответствующими отверстиями элементов соединения возникают погонные силы взаимодействия, распределенные по толщине этих элементов существенно неравномерно.
В настоящей статье предлагается методика расчета контактных сил взаимодействия элементов односрезного соединения „болт — отверстие4*, при заданных значениях продольных сил Р1 и
і
Рис. 1
6—«Ученые записки» № 3
81
изгибающих моментов При построении этой методики используется модель упругого основания для описания работы элементов односрезного соединения в окрестности их сочленения болтом. При этом задача формулируется так. Болт (заклепка), как стержень, работающий на изгиб, нагружается упругими основаниями / = 1, 2, которые, в свою очередь, через жесткие крышки нагружаются самоуравновешенной системой продольных сил Рь и изгибающих моментов М1 (рис. 2, а). Упругие основания 1=1, 2, с одной стороны, связаны с упругим болтом на участках 81? 82, а с другой — с соответствующими жесткими крышками. При этом между болтом (заклепкой) и /-ми упругими основаниями по линиям их контакта возникают нормальные и касательные силы взаимодействия:
Р <(•*;) = — Т С*г) (*«)> Й1 (Х,\ = /,/>, (X,),
1= 1, 2;
(1)
здесь обозначено: — перемещения упругого основания; ^-ко-
эффициент жесткости /-го упругого основания, определенный как сила, действующая на единицу площади упругого основания и вызывающая при этом перемещение этого основания, равное единице; рь(х— погонные силы взаимодействия между болтом и /-м упругим основанием; (я,.) — касательные погонные силы трения, возникающие при проскальзывании болта относительно упругого основания; — 2) — коэффициент трения между поверхностями
отверстия и болта при их взаимном проскальзывании; /.(/ = 1,2) — отрезки, определяющие координаты приложения равнодействующих сил Рь.
Здесь следует отметить, что силы, возникающие при взаимодействии болта с элементами односрезного соединения, распределяются по поверхности контакта болта с отверстиями этих элементов по некоторому закону, вообще говоря, подлежащему определению. Если предположить, что характер распределения этих сил по поверхности контакта имеет вид (рис. 3, а):
р](х1 6) = />*(*,)сое0; <7*(-*;6) = ?*(*/) сое 0, г= 1, 2, (2)
то в этом случае интенсивности этих сил взаимодействия
а) недеформированное состояние О') деформированное состояние
д*(хь 6) можно связать с погонными силами р1{х1)л ^(л^) следующими выражениями:
/*,(■*,) СОвб Л 0.(ЛГ.)СО5 6
= -Л-Ла-----; д](х1В)=-^Е----. (3)
Если через г обозначить параметр, определяющий положение погонных сил трения д1(х1) относительно оси болта (рис. 3, <5), то с учетом выражений (3) находим
г =
(4)
Особенность рассматриваемой постановки задачи определяется предположением о том, что крышки 7, 2 (рис. 2,а) каждого /-го упругого основания относительно болта (и наоборот) могут перемещаться как жесткие целые. В связи с этим следует принять
У/(*/) = »!(*/) + а1х1 + Ь1, г= 1, 2, (5)
где у>1 (х^ — прогибы ий части упругой линии болта как стержня, работающего на изгиб от сил взаимодействия /?/(х*), ^(^); аь Ьь — произвольные постоянные, определяющие смещения крышки /-Й части упругого основания как жесткого целого относительно неподвижных осей координат х1о1у1 (рис. 2, а) в случае, если перемещения /-й части болта как жесткого целого ограничены.
Если при этих условиях болт принять абсолютно жестким, что соответствует у1(х1)^0, то в этом случае перемещения 1-й части упругого основания от внешних усилий Р1 изгибающие моменты Мь непосредственно приложенные к крышкам упругих оснований, согласно выражения (5), будут определяться как
®* (**) = — («!■*< + (6)
Если, наоборот, ограничить перемещения крышек г-х частей упругих оснований как жесткого целого, то в этом случае постоянные соотношения (5) будут определять перемещения как жесткого целого г-х частей болта.
2. В соответствии с описанной расчетной моделью взаимодействия болта с элементами односрезного соединения как с упругими основаниями запишем уравнения равновесия элемента болта с1хь нагруженного усилиями взаимодействия р^х^, д^х^) и внутренними силами /юДя;*), Ql(xl) (рис. 3,6):
=р1(х[), = <3 ; (Х{) + /, гр г (х(), 1=1,2. (7)
(1X1
Изгибающие моменты стержня т1(л:^), как известно, связаны с кривизной упругой линии соотношением
т1 (х *) — — Е1
у IЩ
<1х\
+
сдв
Р, (хд
г= 1, 2,
(8)
записанным с учетом влияния перерезывающей силы на кривизну упругой линии стержня.
в,- —г*" ъМ
|?г-Ю
С помощью выражений (7), (8), а также соотношения
РI (*;) = “ Т, (х,), *■ = Ь 2,
(9)
устанавливающего зависимость между погонными силами взаимодействия г-х частей болта с перемещениями упругого основания получаем дифференциальное уравнение изгиба 1-х
частей болта при их взаимодействии с элементами односрезного соединения как с упругими основаниями в следующем виде:
где асдв — коэффициент сдвига стержня, зависящий от формы его поперечного сечения. Для болта оссдв = 5/4 [1]; /Т7 —момент инерции и площадь поперечного сечения; Е, (7 — модули нормальной упругости и сдвига болта соответственно.
Таким образом, задача определения погонных сил взаимодействия болта с элементами односрезного соединения как с упругими основаниями с учетом влияния сил трения и сдвига на его прогиб сводится к решению дифференциального уравнения (10) при соответствующих граничных условиях, которые будут рассмотрены ниже. Если в уравнении (10) пренебречь силами трения или сдвигом, то соответственно получим:
= с11 (46* х I + '^) -)- Ьь\
(10) (Н)
(13)
(12)
Заметим, что уравнение (13) отличается от известного уравнения изгиба стержня, лежащего на упругом основании [2], правой частью. В частности, правая часть известного уравнения [2] представляет собой заданные активные силы, приложенные к стержню, а правая часть уравнения (13) представляет собой неизвестные погонные силы взаимодействия, соответствующие перемещению болта относительно упругого основания как жесткого целого.
3. Общее решение уравнений (12), (13) имеет вид
УАХЬ — (хд + Ац ^2 С*/) + + Аа1 У4 (х{) + а1х1 + Ьь,
1=1,2, (14)
где Ап (/= 1, 2,3, 4) — произвольные постоянные, а У; (х1) — функции:
У1 (х) = сИ к.1х1 соэ/^л;,; 1
У2 (х1) = -у- (сЬ 1г1х1 + эИ ^ х1 соэ к1х1)\
у, (•*<)
Уk (xi) = ~r (ch kt xt sin kL xt — sh kt xt cos kt xL), i = 1, 2,
(15)
удовлетворяющие уравнению (13).
Аналогичные функции, удовлетворяющие уравнению (12), имеют вид:
Y* (xt) = Ch аи X\ cos *2i xi — ctg sh au xL sin a2i X{,
Y*2 (x^=2shiy. (cOS~^~ sin a2t- xt sin3 -|p sh oleosa**,);
Y*3 (XJ = 2 sin о 'Sh a“'Xl Sin a2‘ X‘;
‘i
- J-----(cos^-cha^Sin a^ + sin -^-x
2 У 2 sin cp. \ * ^
! (is)
Xshalf xt cos a2i xt),
где
<?,. = arc tg
(17)
a,, = /2^ cos ; a2(.= ]/2^ sin ; г = 1, 2.
Заметим, что при аг -> оо, ^ 0, <рг- -» те/2, tg <рг -» оо, cos
sin
к—; 5т<рг -> 1, ^<р4.-*-0, а1г -> а2г -> &г-, а поэтому
>7 (^)-* /-1, 2> 3> 4-
Выражение (14) включает 12 произвольных постоянных, для определения которых необходимо иметь соответствующее количество граничных условий. Применительно к уравнению (13) запи-
шем эти условия для болта, края которого (хг = 0; 2) нахо-
дятся в условиях упругого защемления:
(18)
Уг (*|) .,.=о= .8/ (0); Е1у. (х,) ,г=г=^-(8Л;
уГ(*г) х.=0 ~ Е1";. (Х1) ,,»«, = Л, <=1.2;
у 1 (80 = — У2 (8_>); у[ (81) = у2 (У;
У,(М = 0; ^(80 = 0,
(19)
(20)
где рг- == параметр, характеризующий угловую податливость краев болта х1 = 0 (г=1, 2) при их упругом защемлении. Например, при = 0 углы поворота крайних сечений болта х-ь = 0 равны нулю, что соответствует их жесткому защемлению.
Выражения (19) определяют условия совместного деформирования смежных сечений болта хх = §! и л;2 = 82, а условия (20) ограничивают смещения всей системы „болт — элементы соединения" как жесткого целого.
Определяя произвольные постоянные Лу-г(у = 1, 2, 3, 4; / = 1,2), аь Мг=1> 2) решения (14) из условий (18) —(20), окончательно получаем
2 ф,
У2 (Л, х,)
1 +
Ф?
ММ,
6г +
У2 г я ()[“(-
+Л*,(8.) (Г — «Ь. + —
' А "IV 2 $г+рг
ММ)
2ф.
— Ъ I (*г *|)---------------ГГГ" **)
'»/ т Р/
У/(*г) = (•*<) +
л(^) = — (■*<);
ММ)
, » = 1, 2; (21)
(22)
а,
*?
Т| и К £; + Рг
х') х
XI
2 X.
I
+ м((М|2 (-г^ + Ц+рГ
2Ф.Х. \
1ГнГ_,ь) +
а?
+ Ч Р1
2 Ф.
5г + Р<
“Ч/
1 -
2Х.
Зг+ Рг
+ Мг
21-у Ф.-г
-^->,)2+(1_______*Ц(1_____
1/+Р; V V £< + Р/ /\ 6| + А /.
+
+ Ре /V + Р/
4 +
-Ч| X
XI-
+■ Р/
(23)
Здесь обозначено:
Р* = '"г3(М<У ’ 1,1 = с1д °г н“с№ к1 ь‘]
ф| = ^^8, — сШАД-; ^г = 2Х; Кз(М<)
^ = £ДсЬи,о<;
1 / 2^-
1_____. } (24)
А-И + - -Т1ПЕ+Г“^Х
Выражения (21) —(24) зависят от величины параметра характеризующего, как уже отмечалось, угловую податливость упругого защемления краев болта х^ = 0. Для вычисления этого параметра, вообще говоря, нужно решать соответствующую контактную задачу о взаимодействии элементов соединения с головкой и гайкой болта. Но тем не менее границы изменения этого параметра легко определяются, если заметить, что эти границы соответствуют, с одной стороны, условиям жесткого защемления, а с другой — условиям свободного от закреплений краев болта. В случае жесткого защемления
Зр. = [Зж. = 0. (25)
а в случае краев болта, свободных от закреплений,
Ррг= Гз(Мг) “<2Х,+ <!>/); $м1= Уа(М<) _2(Хг тГ)' (26)
4. Погонные силы взаимодействия элементов односрезного соединения с болтом /?/(*;), как видно из выражений (21) и (22), зависят от материала и диаметра болта, от материалов и толщин стыкуемых элементов, а также от условий закрепления краев болта (л^- = 0). С целью изучения этих зависимостей были выполнены параметрические расчеты погонных сил взаимодействия при УИ; = 0.
На рис. 4 для материала стыкуемых элементов, характеризуемого параметром 7 = 3-104 Н/мм3, нанесены кривые распределения контактных сил взаимодействия по толщине элемента при его взаимодействии с болтами, выполненными из стали и дюраля соответственно. Толщины стыкуемых элементов варьировались в диапазоне 8 = 4-*-16 мм. Из этих рисунков видно, что контактные силы взаимодействия по толщине стыкуемого элемента распределены существенно неравномерно (см. рис. 4). Они достигают наибольших значений у границы внутренних контактируемых плоскостей стыкуемых элементов при х1 = Ь1. Максимальные значения погонных сил взаимодействия р1тах существенно зависят от безразмерного параметра с1/8, достигая наименьших значений при 0,25 *<с?/8<0,5 (рис. 5).
5. При взаимодействии болта с элементами односрезного соединения в окрестности нагруженного отверстия перемещения г-х частей болта (£=1, 2) связаны с перемещениями соответствующих элементов соединения как упругих оснований соотношением
у. (*,) = Щ (х.) - Щ (8.) + (8,) (8; — Х1). (27)
Из этого соотношения видно, что перемещения 1-то упругого основания ъи1(х1) и перемещения соответствующей части болта У;(л;£) отличаются друг от друга членами ^(8,-) и <ш\ (8^) (8, —
С целью понимания причин этого отличия произведем сравнение деформированного и недеформированного состояний модели взаимодействия болта с элементами односрезного соединения. Сравнение этих состояний для случая нагружения элементов односрезного соединения только продольными силами при о1=80 = 4 мм, й — 4 мм, Е = 2,2-102 Г Па и 7 = 3-104 Н/мм3 дано на рис. 2, а и 2, б.
Из этих рисунков видно, что в процессе взаимодействия элементов соединения с болтом при их нагружении продольными силами Р1 происходит перемещение жестких крышек /, 2 упругих оснований как твердых тел на величину (8/) = еии2 (°г); поворот болта как твердого тела относительно точки хх — х2 = Ь в направлении действия продольных сил Р1 на угол ®^(8) = т'2(8); упругое перемещение элементов соединения как упругих оснований и упругое перемещение болта, изгибаемого силами взаимодействия р1(х1). Интересно отметить, что при этом болт поворачивается относительно точки х1 = х2 — й, как твердое тело в направлении действия продольных сил Р1У а г-е части его как консоли упруго изгибаются в направлении, противоположном действию продольных сил Наибольшие упругие прогибы 1-х частей болта у1 (0)=у2 (0), возникающие но его краям х^ = 0, х2 = 0, в рассматриваемом случае составляют всего лишь 9% по отношению к общим перемещениям этих краев 8^ (8) = 8^(8) от поворота болта как твердого тела.
Доля упругого перемещения краев болта х, = 0, определяемая
у,- (0)
параметром — ■, —, по отношению к перемещениям этих краев
(о)
как твердого тела при его повороте, как видно из рис. 5, существенно зависит от диаметра болта, толщин стыкуемых элементов и от их отношения с1/8;. Кривые рис. 5 показывают, что доля упругого перемещения, например, при й/8. = 1 и й = 4 мм, составляет 9% и 15% для стального и титанового болтов соответственно, а при о! = 12 мм — 20% и 39% соответственно. Расчеты показывают, что в соединениях авиаконструкций, имеющих, как правило, ^/^>0,75, основная доля перемещений при его взаимодействии с элементами односрезного соединения в окрестности нагруженного отверстия приходится на поворот болта как твердого тела. Упругие перемещения, вызванные изгибом болта от воздействия погонных сил взаимодействия, составляют меньшую долю по сравнению с его перемещениями от поворота как твердого тела.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тимошенко С. П., Гере Дж. Механика материалов. М., „Мир*, 1976.
2. Крылов А. Н. Балки на упругом основании. М., Оборон-гиз, 1933.
Рукопись поступила 101IV 1979 г.
