CC BY
37
УДК 519.6+519.246+551.5
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ СУТОЧНЫХ СУММ ЖИДКИХ ОСАДКОВ
Василий Александрович Огородников
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, тел. (383)330-77-56, e-mail: ova@osmf.sscc.ru
Ольга Владимировна Сересева
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, младший научный сотрудник, тел. (383)330-77-56, e-mail: seresseva@mail. ru
Работа посвящена численному стохастическому моделированию пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков на сетке и исследованию некоторых статистических характеристик этих полей. Рассмотрены две модели полей осадков. Первая основана на приближении, в соответствии с которым отсутствие осадков отождествляется с нулевым количеством осадков. Вторая модель основана на мультипликативном представлении поля осадков, в котором итоговое поле осадков является произведением двух полей - индикаторного поля и поля сумм осадков при условии их выпадения.
Ключевые слова: численные стохастические модели, индикаторные поля, поля осадков, суточные суммы жидких осадков.
APPROXIMATE MODELS OF STOCHASTIC FIELDS OF LIQUID PRECIPITATION
Vasiliy A. Ogorodnikov
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, prospect Akademika Lavrentieva, 6, Ph.D., Prof., Chief Researcher, tel. (383) 330-7756, e-mail: ova@osmf.sscc.ru
Olga V. Sereseva
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, prospect Akademika Lavrentieva, 6, Junior Researcher, tel. (383) 330-77-56, e-mail: seresseva@mail.ru
This work is devoted to numerical stochastic modeling of spatio-temporal fields of daily sums of liquid precipitation on the grid. The work investigates some statistical characteristics of these fields. The paper presents two models of precipitation fields. The first model is based on the approximation that the absence of rainfalls is identified with their zero quantity. The second model is based on the multiplicative representation of the precipitation field. Total field is represented as a product of two fields: the indicator field and field of precipitation.
Key words: numerical stochastic models, indicator fields, fields of precipitation, sums of liquid precipitation.
Данная работа посвящена численному стохастическому моделированию однородных по пространству и стационарных по времени пространственно-
временных полей суточных сумм осадков на сетке и исследованию некоторых статистических характеристик этих полей. Рассматривается две модели полей осадков, предназначенные для различных типов приложений. Первая модель основана на приближении, в соответствии с которым отсутствие осадков отождествляется с нулевым количеством осадков. В этом случае для моделирования используется метод обратных функций распределения. Вторая модель основана на мультипликативном представлении поля осадков, в котором итоговое поле осадков представлено в виде произведения двух полей - индикаторного поля осадков и поля сумм осадков при условии их выпадения. Проводится сравнение моделей с точки зрения точности моделирования. В работе были использованы данные пятнадцатилетних наблюдений за суточными суммами жидких осадков на 47 станциях западной части Новосибирской области. По данным наблюдений минимальная величина суточных сумм осадков, фиксируемая на осадкомерных постах, равна 0.1 мм., количество осадков меньше 0.1 мм., но больше нуля фиксируется как след осадков, а нули обозначают отсутствие осадков. В данной работе след осадков мы будем считать нулевым количеством осадков.
Специфика пространственных полей суточных сумм осадков r(x, y), x, y е S состоит в том, что области с отсутствием осадков перемежаются с областями с осадками. Таким образом, случайное поле осадков принимает нулевые значения в некоторых случайных областях заданной области S, а в остальных является некоторой случайной функцией.
Обозначим через P (r(x, y) = ü) = q вероятность того, что в точке x, y е S количество осадков равно нулю, а через P (r(x, y) = R(x, y)) = p = 1 - q вероятность того, что количество осадков в этой точке равно R(x,y) > 0.1 мм. Для удобства использования метода обратных функций распределения [3] функция распределения суточных сумм осадков F(и)задается как некоторая функция непрерывного аргумента в интервале [0,да), причем в интервале [0,0.1) функция F(u) удовлетворяет условию F(0.1) - F(0) = q. Для аппроксимации эмпирической функции распределения для этой модели используется модификация метода, предложенная А.С. Марченко [2], в которой в интервале [0,0.1) сумм осадков (мм) функция распределения соответствует равномерному распределению, в интервале [0.1,2) аппроксимируется полиномами третьего порядка, а в интервале [2, да) - распределением Вейбулла. При реализации метода обратных функций распределения модельные величины из интервала [0,0.1) распределены в нем равномерно, но корреляционно связаны с величинами из других участков интервала. Для того, чтобы в результате моделирования получить значения осадков, по структуре аналогичные используемым в реальных данных, необходимо заменить величины меньшие 0.1 на нули. В этой ситуации приближенно можно оценить, насколько сильно
будут искажены корреляции поля осадков при использовании этого приближения. С этой целью был проведен следующий эксперимент. Нулевые значения в данных заменялись независимыми равномерно распределенными в интервале (0,0.1). Далее оценивались блочно-теплицевы ковариационные матрицы поля осадков на станциях для двух типов данных - исходных и тех, в которых нули были заменены независимыми равномерно распределенными
величинами. Обозначим эти матрицы Я* = (гЛ^) и Я* = (ту*^), 1,^ = 1,Ь,
у, ¡ = 1, Т , где Ь - число станций, а Т - интервал времени наблюдений. Оказалось, что такая замена нулевых значений в данных не приводит к существенному различию матриц Я* и Я * максимальная по абсолютной величине относительная разность составляет 2,9%. Для многих приложений
такое приближение вполне приемлемо. В дальнейшем при построении
—*
первой модели мы будем использовать матрицу Я .
Обозначим каждый элемент пространственно-временного поля осадков ц( х ^ г) на сетке через {ц( х, у к, у)} = {цу}, где (х., ук, у) = ((/ -1)Ах,(к -1)Ду,( у - 1)Аг), Ах = Ау, I = Щ к = 1М , у = 1Т - координаты узлов, а N, М и Т - число узлов сетки вдоль осей х, у и г. Модель 1. Для построения поля {цку} с одномерным распределением (и) = ^(и) и корреляционной матрицей Я = {гку } используется метод
обратной функции распределения [3]. Его элементы вычисляются с помощью преобразования
Цк = ^-1 (Ф (Ску)),
(1)
где С1ку - элементы гауссовского поля {£1ку} с корреляционной матрицей Ж = {м у ]т11}. Элементы матрицы Ж связаны с элементами матрицы Я [3] соотношением
Гку,т1 (,]тц') .
(2)
Способ задания матрицы Я на сетке, а также всех входных матриц на сетке из модели 2 будет приведен ниже.
Модель 2. Каждый элемент пространственно-временного поля ц( х, у, г) суточных сумм жидких осадков в узлах регулярной сетки можно представить в виде произведения
Цку = ®1ку %1ку .
Здесь {а(хг,ук,V)} = {а V - поле безразмерных индикаторов осадков в узлах (х 1, ук, V) сетки, принимающее значения 1 или 0 соответственно с вероятностями Р(щку = 1) = р 1ку, Р(Щу = 0) = 1- Р,кУ и корреляционной матрицей 5 = ЩА ¡¡^= ыгг^к^ а \ и] =1,N, к,т =1,М ,
V,и = 1,Т а х.,ук, V)} = {^ку}- условное поле суточных сумм осадков (мм) на сетке (при условии, что осадки имели место) с одномерными распределениями Flckv(u) = Р(%1ку < и | щку = 1) [1] и корреляционной матрицей
Q = (Чгку,]ти ) , Чкп,ти = СОГГ(Хку , Х]т,и \ Цку = 1 ] = ^ где и - сумма
накопленных за сутки осадков. Как отмечалось выше, модель будет строиться в приближении однородного поля по пространственным переменным и стационарного по времени, поэтому вероятности ркку и
одномерные распределения Flcкv(u) будут рассматриваться не зависящими от пространственных координат и от времени, т.е. рку = р и Fickv(u) = Fc(и). Корреляционная матрица R = (гку]ти), поля {ц1ку} определяется матрицами 5, Q и преобразованием (3).
Таким образом, в модели 1 входными параметрами являются одномерное распределение F(и) и корреляционная матрица R = {гку ]ти} поля
суточных сумм жидких осадков. В модели 2 входными параметрами являются вероятность выпадения осадков и условное распределение, при условии, что осадки имели место, а также корреляционные матрицы 5 = ]ти} и Q = ]ти}. Для построения моделей необходимо для
каждого случая задать эти параметры. По данным наблюдений соответствующие характеристики оцениваются на станциях, а для построения модели необходимо иметь их в узлах сетки. Для этой цели
корреляционным матрицам 5* = (, Q* = ^^ и & = (rlVhhи), 1,к =1,^
V, и = 1, Т, оцененным по данным наблюдений, соответствующим каждому из перечисленных полей на станциях, была поставлена в соответствие корреляционная функция дискретного аргумента, которая определялась коэффициентом корреляции между значениями поля на двух станциях, а в качестве аргументов брались соответствующие координаты станций, входящие в эту пару. Далее эта функция была аппроксимирована функцией вида
р( ^ у*; -4 У*; С О = р( х* - х1 у/ - У1 V - О =
ехР(-[а(х* - х*)2 + р(х*- х*)(у* - У*) + У(У* - уЭТ)ехР(Я V - г )
* * г*
где параметры а, Р, у, в, X определялись по методу наименьших квадратов.
Далее полученные функции, соответствующие матрицам £ *, и R * использовались для получения входных корреляционных матриц для соответствующих полей на сетке.
Проведенные численные эксперименты показали, что модель 2 с достаточной точностью воспроизводит корреляционные функции индикаторного поля, поля сумм осадков и итоговую корреляционную функцию поля осадков. Модель 1 с аналогичной точностью воспроизводит только итоговую корреляционную функцию. Корреляционную функцию индикаторного поля и условную корреляционную функцию (при условии наличия осадков) поля сумм осадков модель 1 воспроизводит достаточно грубо (рис. 1). Тем не менее, модель 1 удобна для моделирования условных негауссовских полей. Соответствующие алгоритмы приведены в работе [4]. Модель 2 целесообразно использовать при оценках различных пространственных характеристик неблагоприятных режимов выпадения осадков, где требуется достаточно точное воспроизведение в модели реальной структуры перемежаемости участков с осадками и без осадков.
1|ГМ
\ -Заданная корр. ф. поля индикаторов осадков
0 3 д --Корр.ф. поля индикаторов осадков, модель 1
Л -Заданная корр. ф.поля сумм осадков
.......Корр.ф. поля сумм осадков, модель 1
Рис. 1. Графики корреляционных функций поля суточных сумм жидких осадков и поля индикаторов осадков. Модель 1
В качестве иллюстрации на рис. 2 приведены распределения площади, занимаемой осадками в используемой сеточной области, вычисленные по двум этим моделям. С точки зрения этой характеристики преимущество имеет модель 2, поскольку эта характеристика существенно зависит от точности воспроизведения корреляционной структуры поля индикаторов осадков.
Pl(s). Модель 1 P2(s). Модель 2
19200 38400 57800 78800 98000 115200 134400 153800 172800
Рис. 2. Распределения вероятностей площади, занимаемой осадками
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дробышев А.Д., Марченко А.С., Огородников В.А., Чижиков В.Д. Статистическая структура временных рядов суточных сумм жидких осадков в равнинной части Новосибирской области // Труды ЗапСибНИИ Госкомгидромета, 1989, вып. 86. с. 44-66.
2. Марченко А.С. Аппроксимация эмпирического распределения вероятностей суточных сумм жидких осадков// Труды ЗапСибНИИ Госкомгидромета, 1989 вып. 86. с. 6674.
3. Пригарин С.М. Методы численного моделирования процессов и полей. Новосибирск, 2005. 258 с.
4. V.A.Ogorodnikov, N.A. Kargapolova, O.V. Sereseva. Numerical stochastic model of spatial fields of daily sums of liquid precipitation. // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2013. Vol. 28, No. 2. P. 187-200.
© В. А. Огородников, О. В. Сергеева, 2014
