ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.64

doi: 10.21685/2072-3040-2023-1-2

Приближенные методы решения вырожденных сингулярных интегральных уравнений

И. В. Бойков1, А. А. Пивкина2

1,2Пензенский государственный университет, Пенза, Россия [email protected], [email protected]

Аннотация. Актуальность и цели. Сингулярные интегральные уравнения в вырожденных случаях описывают многие процессы в естествознании и технологиях. Теория этих уравнений достаточно хорошо исследована, но, насколько известно авторам, в настоящее время отсутствуют аналитические методы их решения. В связи с этим возникает необходимость в построении приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях. Работа посвящена построению таких методов, что определяет ее актуальность. Материалы и методы. При построении приближенных методов используются итерационно-проекционные методы. Результаты и выводы. Построен сплайн-коллокационный метод решения вырожденного сингулярного характеристического уравнения. Предложен двухэтап-ный приближенный метод для решения полных сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях и их характеристических уравнений.

Ключевые слова: сингулярные интегральные уравнения, вырожденный случай, преобразование Фурье, численные методы

Для цитирования: Бойков И. В., Пивкина А. А. Приближенные методы решения вырожденных сингулярных интегральных уравнений // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 1. С. 15-27. doi: 10.21685/2072-3040-2023-1-2

Approximate methods for solving degenerate singular integral equations

I.V. Boykov1, A.A. Pivkina2

1,2Penza State University, Penza, Russia [email protected], [email protected]

Abstract. Background. Singular integral equations in degenerate cases describe many processes in natural science and technology. The theory of these equations has been studied quite well, but as far as the authors know, there are currently no analytical methods for solving them. In this regard, there is a need to construct approximate methods for solving singular integral equations in degenerate cases. The article is devoted to the construction of such methods, which determines its relevance. Materials and methods. When constructing approximate methods, iteration-projection methods are used. Results and conclusions. A spline-collocation method for solving a degenerate singular characteristic equation is constructed. A two-stage approximate method is proposed for solving complete singular integral equations in degenerate cases and their characteristic equations. Keywords: singular integral equations, degenerate case, Fourier transform, numerical methods

© Бойков И. В., Пивкина А. А., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

For citation: Boykov I.V., Pivkina A.A. Approximate methods for solving degenerate singular integral equations. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(l):15-27. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-1-2

Введение

Аналитические и численные методы решения сингулярных интегральных уравнений (СИУ) являются направлением математики, активно развивавшимся в течение всего XX в. и продолжающим развиваться в настоящее время. Это обусловлено, в первую очередь, тем, что возникают все новые разделы физики, естествознания и технологий, процессы в которых моделируются СИУ, а также краевыми задачами Римана и Гильберта.

При исследовании одномерных сингулярных интегральных уравнений

a(t)x(t) + Гx(T)dт + Гh(t,т)x(x)dт = f (t), te L, (1)

ni l т -1 L

выделяются два типа уравнений:

2 2

1) уравнения нормального типа, когда a (t) ± b (t) Ф 0 при t e L ;

2 2

2) исключительный случай СИУ, когда функция a (t) ± b (t) обращается в нуль в конечном числе точек tk e L , k = 0, N , N = const.

Здесь в качестве L можно взять замкнутые или разомкнутые контуры, ограниченные или неограниченные.

Теорию и приближенные методы решения СИУ нормального типа в настоящее время можно считать полностью разработанными [1-9].

Значительно менее исследованными являются СИУ исключительного

2 2

типа (1), у которых функция a (t) ± b (t) обращается в нуль в отдельных точках. Теория этих уравнений изложена в работах [1, 7, 10]. Проекционные методы решения этих уравнений исследовались в [7].

Следует выделить отдельный класс СИУ вида (1), у которых функция

2 2

a (t) ± b (t), t e L, обращается в нуль на многообразиях с мерой, большей нуля, так называемые вырожденные СИУ [1, с. 250]. Теория этих уравнений изложена в работе [1, с. 249-257].

Насколько авторам известно, в настоящее время отсутствуют численные методы решения вырожденных СИУ. В то же самое время вырожденными СИУ моделируются многие важные задачи в физике. Это определяет актуальность разработки приближенных методов решения вырожденных СИУ.

Классическим представителем вырожденных СИУ является уравнение

< <

x(t) + — Г ^dт + Г h(t,т)x(T)dт = f (t), t e (-<, <), (2)

ni J т-1 J

—< —<

2 2

где a(t) = b(t) = 1, a (t) — b (t) = 0 на всей числовой оси.

В работе [11] отмечено, что решение уравнения (2) не единственно в классе непрерывных и суммируемых функций и единственно в классе непрерывных суммируемых функций, обращающихся в нуль на отрицательной полуоси.

М. М. Лаврентьев [11, 12] выделил следующие классы СИУ, в которых условие нормальности нарушается во всей области определения уравнений:

Х(()+Г ^ат = /(г), (3)

то т — г

—^

J_ f fCEiM+1 f «¿¡¡йdT2 = m,t2), (4)

га J Ti - ti TO J T2 -12

—^

f f|---x(Ti, T2)d TidT2 = f(ti, t2), (5)

J 1 Ti — ti T2 —12 )

—^ —^

и поставил задачу исследования условий существования единственного решения.

Уравнениями вида (3)-(5) моделируются многие задачи физики и техники.

В работе [13] выделены некоторые классы функций, на которых решение уравнений (3)-(5) единственно. В связи с тем, что неизвестны аналитические методы решения уравнений (1), (3)-(5), актуальной является разработка приближенных методов.

Отметим, что приближенные методы решения уравнения (3) исследованы в работах [14, 15] на классах функций, на которых решение уравнения не единственное.

Постановка задачи

Рассмотрим случай, когда (а + Ь) или (а - Ь) обращаются в нуль тождественно. В предположении, что Ь(г) не обращается в нуль на контуре Ь, уравнение (1) можно записать в виде

± - х(0 + — ГХ(т) йт + Г И(г, т) х(т)ат = / (г), (6)

2 2 л/ Ь т — г Ь

поэтому естественно ограничиться рассмотрением уравнения вида

1 Г х(т)

x(t) + — fdt + f h(t,t)x(T)dt = f (t).

TN T — t J

то Ь т — г ь

Здесь через Ь обозначаются как ограниченные, так и неограниченные контуры.

Статья посвящена приближенным методам решения сингулярных интегральных уравнений вида

х(г)+— Г х(т)ат + X Г Щ, т)х(т)ат = /(г). (7)

то т — г

—^ —^

Вначале построим приближенный метод решения характеристического уравнения

x(t) + .1 Г х(т) dx = f (t) (8)

га J т — t

в предположении, что / е . Дополнительные условия на функцию /

будут наложены ниже.

Решение уравнения также будем искать в пространстве .

Применим к уравнению (8) преобразование Фурье. В результате имеем X (ю) + sgn юХ (ю) = ^ (ю), (9)

где X(ю), ^(ю) - преобразование Фурье функций х(0, /(¿) соответственно.

Уравнение (9) представим в виде

в(ю) X (ю) = ^ (ю), (10)

2, ю> 0,

где G(ю) = -

[0, ю<0. Из уравнения (10) следует, что

— Г х(1 = -^(ю), юе [0, . (11)

га ^ 2

—^

Для приближенного решения уравнения (11) построим несколько вычислительных схем.

Первая вычислительная схема

Введем сетки узлов:

tk = —A +—k, k = 0,2 N, tk = tk +-, k = 0,2 N — 1.

k N k k 2 N

B , , —— — B

щ = — k , k = 0,2N, % = % +-, k = 0,2N — 1.

k N k k 2 N

Здесь A и B достаточно большие положительные числа, которые выбираются из следующих соображений.

Если функции x(t) и f (t) принадлежат классу функций Гельдера

Ha (M), то погрешность при их аппроксимации кусочно-постоянными

функциями есть величина O(N a). Поэтому величины A и B, A = B, можно находить из неравенства

sup \F (ю)| < -1.

rae(—<,—B)u[ B,<) N

Приближенное решение уравнения (11) ищем в виде

2 N—1

XN (t) = 2 akVk (tЬ (12)

k=0

1,

t e Ак

где (0 = ^ t ( )\л к = 0,2 N -1, A_i = (_~ to), Ak = [tk, tk+l) [0, t e <~)\ A к,

к = 0,2 N -1, А 2 N = [¿2 N, «О-

Коэффициенты ак находятся из системы линейных алгебраических уравнений

, 2 N-1 , _

- ^ ак [ = - ^), I = 0,2 N -1.

га ^ -1 2

(13)

к=0

Для удобства запишем систему (13) в операторном виде

К а = ^

(14)

с очевидными обозначениями.

Система реализуется непрерывным методом решения нелинейных операторных уравнений [16] или обобщенным непрерывным методом [17].

Предположим, что в банаховом пространстве X 2^мерных векторов с произвольно выбранной нормой (дальнейшее изложение не зависит от конкретной нормы) логарифмическая норма Л(К) оператора К отрицательна. Тогда [18] оператор К имеет линейно обратный, и справедливо неравенство

К

-1

1

|Л(К)| •

Замечание. Напомним определение логарифмической нормы. Пусть X - банахово пространство, К - оператор, действующий из X в X; В(а, г) = {х, а е Х:|| х - а ||< г}, Б(а, г) = {х, а е Х:|| х - а ||= г}, Л(К) -логарифмическая норма линейного оператора К, определяемая [19]

выражением Л(К) = Нт(|| I + НК ||-1)/ к, где символ к X 0 означает, что к

к10

стремится к нулю, убывая.

Для матриц в часто используемых пространствах логарифмические нормы известны.

Пусть дана матрица А = {а^}, I, / = 1, п, в п-мерном пространстве Яп векторов х = (х1,..., хп) с нормой

* 11= Z 1 Хк к=1

x 1Ь =

1/2

Z 1 Хк к=1

, || Х ||з= max 1 Хк 1<к <n

Логарифмическая норма матрицы A равна [20]:

( n \

Л1( A) = max

j

Re Ь }+ Z

v

i=1,i (

, Л2( A) = ^

(a T Л A + A

Лз( A) = max

i

Re {°ii}+ Z

j=1, j

к

Т

Здесь Xтах ((А + А ) / 2) - наибольшее собственное значение матрицы (А + АТ) / 2.

*

Оценим погрешность вычислительной схемы (14). Пусть х (г) - точное решение уравнения (11). Тогда справедливо равенство

— f X (t)e ni J

i

—iaitdt = - F(Ю/), l = 0,2N — i.

(i5)

Систему (i5) можно записать в виде 2 N—i

£ _i_ f x*(t)e~™ltdt = 2F(Ю/) — k=0 ro lk 2

— f xX(t)e~ia/tdt — f x*(t)e~ia/tdt, l = 0,2N — i.

(i6)

2 N

Вычитая (i3) из (i5) , имеем 2 N—i

S -i- f (() — «kVk(t)^je~ia/tdt = — f x*(t)e~iaitdt —

, „ ro

k=0 д

2 N—i

— f x\t)e~iaitdt + £ -i- f (k)Vk(t) — x*(t))e—i(Diidt.

2 N

, , ra

k=i д

2N

Для определенности оценки приведем в пространстве R векторов

x = (xi,x2,...,x2N) с нормой ||x|| = max |xk|:

i<k<2N

x (tk ) — xN (tk )

|A|

f x (t)e

* - - —i^it,

+

п|Л|

f x*(t)e~iaitdt

2 N

+

2 N—i

+

f (x*(tk)vk(t) — x*(tk))dt

= h +12 + h.

Оценки величин 11 и /2 зависят от класса функций, к которому при* *

надлежит функция х (г), и от выбора константы А. Так как х (г) е ,

то для любого £ , е> 0 , можно найти А такое, что /1 + /2 <£. Для оценки /3 заметим, что при х е На (М)

max

tеД

x (t) — x*(tk)

< M

2N

k

Следовательно,

I3 < CMNI-

3 1 2N

1+a

Таким образом,

x (tк ) _ xN (tk )

CMA

1+a

_ I1 +12

|Л| Na ' Л

При различных предположениях о поведении точного решения на бесконечности можно уточнить предыдущую оценку.

Вторая вычислительная схема

Будем искать приближенное решение уравнения (11) сплайн-коллока-ционным методом со сплайнами первого порядка:

2 N

(() = ^ ак Vк ((Ь

к=0

где базисные функции имеют вид

N А

у0(0 = 1 - N - , -А < г < - А + —,

А N

N А А

1 + N - к + , -А +—(к -1) < г < - А + —к,

А N N

¥ к(t) =

N A A

1 - N + к -1—, -A +—к < t < - A +—(к +1),

AN N

к = 1,2N -1,

^ (г) = 1 - N + Д, -А + N (2N -1) < г < А .

А N

Неизвестные коэффициенты ак находятся из системы уравнений

2 N

-Zak f ¥к(t)e~mtdt = -F(a*), l = 0,2N. пи ,n J 2

к=0 Ak

(17)

Введем обозначения g(к, I) = ^ у к (^)е ^^Л и вычислим полученные

интегралы аналитически, тогда

- A+A/N

g(0,l) = f ¥0(t)e 1 mdt =Z=2T~ Ncos(Ami) + Amisin(Ami)-

Ml A V

-A

f

-Ы cos

Ami (N -1)

N

\

- iAMl cos ( Ami ) + 1Nsin ( Ami ) - 1Nsin

f

Ami N -1)

N

w

к

—А+А(к+1)Ш _ (

% (к, /) = Г Ук Ц)еч = —

ю/ А

—А+А( к—1)/N

—Аю/ sin

( А~\ (

N sin

Аю/

V N ,

Sin

Аю/ (N — к)

N

[ Аю/ (N — к — 1) Л

N

— N sin

г АтЛ

V N ,

х

х cos

А

( Аю/ (N — к) Л

N

+ /Аю/ cos

^ Аю/ (N — к — 1) ^

N

//

% (2N,/) = Г у2 Ш (г)е 1 =N cos (Аю/) + Аю/ sin (Аю/)

^ cos

—А+А(2М —1)/N

Аю/ (N — 1)

ю/А V

N

+

/Аю/ ^ (Аю/) - N sin (Аю/) + Ш sin

Аю/( / 1)

N

//

Подставляя эти значения в систему (17), получаем систему

2 N

П£ ак%(к,/) = 2Ц(ю/), / = 0,2N,

п/

(18)

к=0

которая реализуется непрерывным методом решения нелинейных операторных уравнений по аналогии с первой вычислительной схемой [16, 17].

Алгоритм приближенного решения уравнения (7)

Построим итерационный метод решения уравнения (7). Метод включает в себя несколько этапов.

Первый этап. Пусть хо(г) - начальное приближение. Вычисляется интеграл Го (г) = Х | И(г, т)хо(т)ат. —^

Второй этап. Решается уравнение

1 Г х1(т)

(г)+± Г ад ат = /(г) — го(г). п/ -1 т — г

(19)

Уравнение (19) решается одним из двух методов, описанных выше в первой или второй вычислительной схеме. Затем переходим к первому этапу, полагая х^г) начальным значением. Замечания.

1. Функции Г)(г), ге (—, и в дальнейшем г (г), / = 1,2,..., вычисляются по квадратурным формулам.

2. Функции ^0(ю) = Ц(/(г) — Го(г)), и в дальнейшем Ц(г), / = 1,2,...,

вычисляются приближенно по квадратурным формулам вычисления преобразования Фурье [21].

Вычислительные эксперименты

Сначала приведем результаты решения модельных задач для характеристических уравнений вида (8).

Пример 1. Рассмотрим уравнение

. . 1 г х(т) , 2

x(t) + — I dx = —-.

ni J т -1 t2 +1

(20)

имеющее решение х(г) = -г-—. Правая часть в спектральном виде имеет вид

г2 +1

^ (ю) =-\/2ле~1ю1.

Результаты приближенного решения, полученного с помощью первой вычислительной схемы, представлены в табл. 1 при А = 10, В = 20, N = 100, 1000 итераций.

Таблица 1

Результаты решения примера 1

№ точки Точное решение Приближенное решение Погрешность

0 0,99 0,989 + 2,452 10-3i 1,16610-3

20 0,056 0,056 + 2,564 10-4i 2,046 10-5

40 0,015 0,015 + 8,402 10-5i 1,237 10-5

60 6,784 10-3 6,797^ 10-3 + 5,306 10-5i 1,309 10-5

80 3,843 10-3 3,869 10-3 + 5,024 10-5i 2,665 10-5

100 2,469 10-3 2,547-10-3 - 7,534 10^i 7,762^ 10-5

120 1,71910-3 1,729 10-3 - 2,102 10-5i 1,01510-5

140 1,265 10-3 1,267 10-3 - 9,348 10-6i 2,223^10-6

160 9,695 10-4 9,703 10-4 - 5,134 10-6i 7,636 10-7

180 7,667^10-4 7,67110-4 - 3,24 10-6i 3,235^10-7

199 6,277-10-4 6,279 10-4 - 2,289 10-6i 1,564 10-7

Пример 2. Рассмотрим уравнение

t

x(t) + — I dт = 2е 5 sin i - ], (21)

ni J т-1 5

ni J т -1 I 5

—^

— (t

имеющее решение x(t) = e 5 sin I -5-

Правая часть в спектральном виде имеет вид

ч 1/5 + ю 1/5-ю F (ю) =-2 +

1/25 + (1/5 + ю)2 1/25 + (1/5-ю)2'

Результаты приближенного решения, полученного с помощью первой вычислительной схемы, представлены в табл. 2 при А = 10, В = 20, N = 100, 1000 итераций.

Таблица 2

Результаты решения примера 2

№ точки Точное решение Приближенное решение Погрешность

0 0,02 0,02 + 1,924 • 10-6/ 1,084 • 10-4

20 0,322 0,321 - 1,192 • 10-5/ 1,624 • 10-4

40 0,198 0,198 + 5,42 • 10-5/ 6,115 • 10-5

60 0,059 0,059 + 1,792 • 10-5/ 5,383 • 10-6

80 -3,13 • 10-3 -3,151 • 10-3 + 1,042 • 10-5/ 3,144 • 10-5

100 -0,014 -0,014 - 2,335 • 10-5/ 1,096 • 10-5

120 -8,02 • 10-3 -8,105 • 10-3 - 2,508 • 10-5/ 8,52 • 10-5

140 -2,231 • 10-4 -2,26 • 10-3 + 5,23 • 10-6/ 2,864 • 10-5

160 2,221 • 10-4 2,246 • 10-4 - 1,516 • 10-6/ 2,49 • 10-6

180 5,896 • 10-4 5,944 • 10-4 - 5,49 • 10-6/ 4,856 • 10-6

199 3,549 • 10-4 3,414 • 10-4 - 3,46 • 10-6/ 1,844 • 10-6

Пример 3. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение вида (7):

t2

^ ^ I- I

x(t) + — Г dx + X Г e"(t-T)2x(x)dx = 2e~t2 (22)

ra J т —1 J V 2

—^

-t 2

имеющее решение x(t) = e . Преобразование Фурье функции x(t) равно

ю2

X(ю) =e 4 V2

Правая часть уравнения (22) в спектральном виде равна

—— X ——

F(ю) = Ле 4 +-e 2 .

2

В табл. 3 представлены результаты решения примера 3 при X=2, А = 1, В = 2, N = 100, 1000 итераций.

Таблица 3

Результаты решения примера 3

№ точки Точное решение Приближенное решение Погрешность

0 1 1,001 + 1,239 • 10-3/ 8,887 • 10-4

20 0,845 0,846 + 1,008 • 10-3/ 1,017 • 10-4

40 0,519 0,52 + 5,37 • 10-4/ 7,899 • 10-4

60 0,231 0,232 + 1,767 • 10-4/ 4,163 • 10-4

80 0,075 0,075 + 2,9881 • 10-5/ 1,488 • 10-4

100 0,018 0,018 - 3,196 • 10-7/ 3,6095 • 10-5

120 3,003 • 10-3 3,009 • 10-3 - 1,301 • 10-6/ 5,937 • 10-6

140 3,722 • 10-4 3,729 • 10-4 - 2,947 • 10-7/ 6,624 • 10-7

160 3,35 • 10-5 3,355 • 10-5 - 3,53 • 10-8/ 5,012 • 10-8

180 2,189 • 10-6 2,191 • 10-6 - 2,63 • 10-9/ 2,572 • 10-9

199 1,29 • 10-7 1,22 • 10-7 - 1,513 • 10-1°/ 1,07 • 10-10

Замечание. Выше предложены вычислительные схемы приближенного решения одного класса вырожденных сингулярных интегральных уравнений. В результате применения этих вычислительных схем находится частное решение вырожденного сингулярного интегрального уравнения. Вырожденные сингулярные интегральные уравнения могут иметь счетное число линейно независимых решений. Таким образом, для нахождения решения вырожденного сингулярного интегрального уравнения необходимо найти его частное решение и линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения.

Заключение

Предложены сплайн-коллокационные методы со сплайнами нулевого и первого порядков для решения характеристических сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях. Получены оценки погрешности.

Предложен двухэтапный приближенный метод для решения сингулярных интегральных уравнений в вырожденных. Эффективность алгоритма продемонстрирована на модельных примерах.

Список литературы

1. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М. : Наука, 1963. 640 с.

2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М. : Наука, 1966. 707 с.

3. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев : Наукова Думка, 1968. 288 с.

4. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М. : Наука, 1971. 352 с.

5. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М. : Наука, 1985. 256 с.

6. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М. : ТОО «Янус», 1995. 520 с.

7. Mikhlin S. G., Prossdorf S. Singulare Integraloperatoren. Berlin : Acad. Verl., 1980. 514 p.

8. Prossdorf S., Silbermann B. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations. Berlin : Acad. Verl., 1991. 544 p.

9. Бойков И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений. Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. 316 с.

10. Чикин Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений // Ученые записки Казанского государственного университета. 1953. Т. 113, кн. 10. С. 57-105.

11. Лаврентьев М. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений // Успехи математических наук. 1979. Т. 34, № 4. С. 143.

12. Лаврентьев М. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений // Сибирский математический журнал. 1980. Т. 21, № 3. С. 225-228.

13. Бойков И. В. Об одном исключительном случае сингулярных уравнений // Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях : межвуз. сб. научн. тр. Вып. 6. Пенза : Пенз. политехн. институт, 1984. С. 3-11.

14. Бойков И. В., Кудряшова Н. Ю. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, № 9. С. 1230-1237.

15. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М. : Наука, 1978. 296 с.

16. Бойков И. В. Об одном непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 9. С. 1308-1314.

17. Бойков И. В., Пивкина А. А. Итерационные методы решения уравнений Амбар-цумяна. Ч. 2 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 4. С. 71-84. doi: 10.21685/2072-3040-2021-4-6

18. Лозинский С. М. Замечание о статье В. С. Годлевского // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. Т. 13, № 2. С. 457-459.

19. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М. : Наука, 1970. 534 с.

20. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге - Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М. : Мир, 1988. 332 с.

21. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. M. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с.

References

1. Gakhov F.D. Kraevye zadachi = Boundary problems. Moscow: Nauka, 1963:640. (In Russ.)

2. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye uravneniya = Singular integral equations. Moscow: Nauka, 1966:707. (In Russ.)

3. Ivanov V.V. Teoriya priblizhennykh metodov i ee primenenie к chislennomu resheniyu singulyarnykh integral'nykh uravneniy = The theory of approximate methods and its application to the numerical solution of singular integral equations. Kiev: Naukova Dumka, 1968:288. (In Russ.)

4. Gokhberg I.Ts., Fel'dman I.A. Uravneniya v svertkakh i proektsionnye metody ikh resh-eniya = Convolution equations and projection methods for their solution. Moscow: Nauka, 1971:352. (In Russ.)

5. Belotserkovskiy S.M., Lifanov I.K. Chislennye metody v singulyarnykh integral'nykh uravneniyakh = Numerical methods in singular integral equations. Moscow: Nauka, 1985:256. (In Russ.)

6. Lifanov I.K. Metod singulyarnykh integral'nykh uravneniy i chislennyy eksperiment = Method of singular integral equations and numerical experiment. Moscow: TOO «Yanus», 1995:520. (In Russ.)

7. Mikhlin S.G., Prossdorf S. Singulare Integraloperatoren. Berlin: Acad. Verl., 1980:514.

8. Prossdorf S., Silbermann B. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations. Berlin: Acad. Verl., 1991:544.

9. Boykov I.V. Priblizhennoe reshenie singulyarnykh integral'nykh uravneniy = Approximate solution of singular integral equations. Penza: Izd-vo PGU, 2004:316.

10. Chikin L.A. Special cases of the Riemann boundary value problem and singular integral equations. Uchenye zapiski Kazanskogo gosudarstvennogo universiteta = Proceedings of Kazan State University. 1953;113,10:57-105. (In Russ.)

11. Lavrent'ev M.M. On a class of singular integral equations. Uspekhi matematicheskikh nauk = Advances in mathematical sciences. 1979;34(4):143. (In Russ.)

12. Lavrent'ev M.M. On a class of singular integral equations. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal = Siberian mathematical journal. 1980;21(3):225-228. (In Russ.)

13. Boykov I.V. On one exceptional case of singular equations. Primenenie vychislitel'nykh metodov v nauchno-tekhnicheskikh issledovaniyakh: Mezhvuz. sb. nauchn. tr. Vyp. 6 = Application of computational methods in scientific and technical research: intercollegiate collected papers. Edition 6. Penza: Penzenskiy politekhnicheskiy institut, 1984:311. (In Russ.)

14. Boykov I.V., Kudryashova N.Yu. Approximate solution of singular integral equations in exceptional cases. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 2000;36(9): 1230-1237. (In Russ.)

15. Gakhov F.D., Cherskiy Yu.I. Uravneniya tipa svertki = Convolution type equations. Moscow: Nauka, 1978:296. (In Russ.)

16. Boykov I.V. On one continuous method for solving nonlinear operator equations. Dif-ferentsial'nye uravneniya = Differential equations. 2012;48(9):1308-1314. (In Russ.)

17. Boykov I.V., Pivkina A.A. Iterative methods for solving the Ambartsumian equations. Part 2. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;(4):71-84. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-4-6

18. Lozinskiy S.M. Note on the article by V. S. Godlevsky. Zhurnal vychislitel'noy ma-tematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of computational mathematics and mathematical physics. 1973;13(2):457-459. (In Russ.)

19. Daletskiy Yu.L., Kreyn M.G. Ustoychivost' resheniy differentsial'nykh uravneniy v banakhovom prostranstve = Stability of solutions to differential equations in a banach space. Moscow: Nauka, 1970:534. (In Russ.)

20. Dekker K., Verver Ya. Ustoychivost' metodov Runge - Kutty dlya zhestkikh neliney-nykh differentsial'nykh uravneniy = Stability of Runge-Kutta methods for stiff nonlinear differential equations. Moscow: Mir, 1988:332. (In Russ.)

21. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobel'kov G.M. Chislennye metody = Numerical methods. Moscow: BINOM. Laboratoriya znaniy, 2008:636.

Информация об авторах / Information about the authors

Илья Владимирович Бойков

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Il'ya V. Boykov

Doctor of physical and mathematical sciences, professor, professor of the sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Анастасия Александровна Пивкина аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Anastasiya A. Pivkina

Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 05.12.2022

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 20.01.2023 Принята к публикации / Accepted 14.02.2023