ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОЛИСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ВЫРОЖДЕННЫХ СЛУЧАЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.64

DOI 10.21685/2072-3040-2020-2-5

И. В. Бойков, Н. Ю. Кудряшова, А. А. Шалдаева

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОЛИСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ВЫРОЖДЕННЫХ СЛУЧАЯХ

Аннотация.

Актуальность и цели. Работа посвящена исследованию множеств функций, в которых выполняется условие однозначной разрешимости вырожденных полисингулярных интегральных уравнений, и построению приближенных методов решения полисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях. В настоящее время исследование многих разделов сингулярных интегральных уравнений можно считать в основном завершенным. Одними из исключений являются сингулярные и полисингулярные интегральные уравнения, обращающиеся в нуль на многообразиях с мерой, большей нуля. Построена теория сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях, из которой следует, что вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений и для этих уравнений не справедливы первая и вторая теоремы Нетера. Для полисингулярных интегральных уравнений подобная теория еще не построена. Более того, конкретные алгоритмы и приближенные методы решения полисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях отсутствуют. В связи с тем, что вырожденными полисингулярными интегральными уравнениями моделируются многие процессы в физике и технике, возникает необходимость в разработке приближенных методов их решения. Кроме того, так как в пространстве Гельдера и в пространстве функций, суммируемых в квадрате, вырожденные полисингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений, возникает актуальная задача выделения множеств единственности решений этих уравнений. Не менее актуальной является задача построения приближенных методов решения вырожденных полисингулярных интегральных уравнений.

Материалы и методы. Для выделения классов функций, в которых вырожденные полисингулярные интегральные уравнения имеют единственное решение, используются методы теории функций комплексной переменной, краевые задачи Римана и теория сингулярных интегральных уравнений. При построении приближенных методов используются итерационно-проекционные методы.

Результаты. Построены классы функций, на которых решения вырожденных полисингулярных интегральных уравнений, если они существуют, определяются однозначно. В связи с этим предложена новая постановка задачи решения вырожденных полисингулярных интегральных уравнений. Предложены и обоснованы методы коллокации и механических квадратур решения, вырожденных полисингулярных интегральных уравнений на построенных классах функций.

Выводы. Предложенные результаты могут быть непосредственно использованы при решении многих задач физики и техники, в частности, в задачах

© Бойков И. В., Кудряшова Н. Ю., Шалдаева А. А., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/ by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

интегральной геометрии, аэродинамики, гидродинамики. Представляет интерес распространение этих результатов на вырожденные многомерные сингулярные интегральные уравнения.

Ключевые слова: полисингулярные интегральные уравнения, вырожденный символ, единственность, проекционно-итерационный метод.

I. V. Boykov, N. Yu. Kudryashova, A. A. Shaldaeva

AN APPROXIMATE METHODS FOR SOLVING POLYSINGULAR INTEGRAL EQUATIONS IN DEGENERATE CASES

Abstract.

Background. This work is devoted to the study of sets of functions in which the condition of unique solvability of degenerate polysingular integral equations is satisfied, and to the construction of approximate methods for solving polysingular integral equations in degenerate cases. Nowadays, the study of many sections of singular integral equations can be considered largely completed. Some of the exceptions are singular and polysingular integral equations that vanish on manifolds with measure greater than zero. The theory of singular integral equations in degenerate cases is constructed, from which it follows that degenerate singular integral equations have an infinite number of solutions and for these equations the first and second Noether theorems are not valid. For polysingular integral equations, a similar theory has not yet been constructed. Moreover, there are no specific algorithms and approximate methods for solving polysingular integral equations in degenerate cases. Due to the fact that many processes in physics and technology are modeled by degenerate polysingular integral equations, it becomes necessary to develop approximate methods for their solution. In addition, since in the Holder space and in the space of functions summable in a square, the degenerate polysingular integral equations have an infinite number of solutions, the actual problem of identifying the sets of uniqueness of solutions of these equations arises. The problem of constructing approximate methods for solving degenerate polysingular integral equations is no less urgent.

Materials and methods. To distinguish classes of functions in which degenerate polysingular integral equations have a unique solution, methods of the theory of functions of a complex variable, Riemann boundary value problems and the theory of singular integral equations are used. When constructing approximate methods, iterative-projection methods are used.

Results. Classes of functions are constructed on which solutions of degenerate polysingular integral equations, if they exist, are uniquely determined. In this regard, a new formulation of the problem of solving degenerate polysingular integral equations is proposed. Methods of collocation and mechanical quadratures for solving degenerate polysingular integral equations on the constructed classes of functions are proposed and substantiated.

Conclusions. The proposed results can be directly used in solving many problems of physics and technology, in particular, in problems of integral geometry, aerodynamics, hydrodynamics. It is of interest to extend these results to degenerate multidimensional singular integral equations.

Keywords: polysingular integral equations, degenerate symbol, uniqueness, projection-iterative method.

Полисингулярные интегральные уравнения, а также связанные с ними краевые задачи Римана в полицилиндрах, находят широкое применение в различных областях физики и техники.

Исследованию полисингулярных интегральных уравнений посвящены работы [1-6].

В меньшей степени разработаны приближенные методы решения краевой задачи Римана в полицилиндрических областях и полисингулярных интегральных уравнений [7].

При этом остались не исследованными многие вопросы, в том числе вопросы разрешимости полисингулярных интегральных уравнений (и краевой задаче Римана) в вырожденных случаях.

В данной работе исследуются вопросы однозначной разрешимости би-сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях. Построены и обоснованы сплайн-коллокационные методы решения бисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях. Распространение полученных результатов на полисингулярные интегральные уравнения не представляет трудностей.

Рассмотрим бисингулярное интегральное уравнение а(Н, ¿2) Х(Ч, ¿2) + ЪЦъ t2 )% + , ¿2) ^ х + ё (¿ь ^12 х + и (Их) = / (¿ь ¿2), (1)

где

% = 1Г ё Т1, ^ Х = 1 Г х^ ё т2 ,

пО т - ¿1 п/ ^ т2 -

71 1 1 Т2 2 2

512х = -!- Г Г х(т1, т2) а ё ,

12 (п/)2 (Т - ¿1)(Т2 - ¿2) 1 2'

71 7 2

U(hx) = J J h(t1,t2,т2)х(т1,T2)dT1dт2

71 72

У/ - замкнутая гладкая кривая в плоскости z^, / = 1,2.

Для простоты изложения будем считать, что уг- - единичная окружность с центром в начале координат в соответствующих плоскостях z^, / = 1,2.

Покажем, что уравнение вида (1) в вырожденных случаях имеет бесконечное число решений. Для простоты ограничимся рассмотрением уравнения

х^1,¿2) + Г Г х(Т1;Т2) ёт^ = 0. (2)

(п/)2 и (т1 -¿1)(т2 -¿2)

71 7 2

Известно [8], что если функция х^) аналитическая в области П+, то

х^) = 1Г хй ё т.

пн т -1

7

А если функция х^) аналитическая в области , то

1 x(t) + — Г^ dт - x(-) = 0 .

2 7 n.i J т —1

2га т —,

1

Кроме того, известно [8], что ^^ = «2 51 = «>12.

Тогда, как не трудно видеть, функции , к = 1,2,..., I = —1, -2,..., являются решениями уравнения (2). Таким образом, уравнение (2) имеет счетное множество линейно-независимых решений.

Рассмотрим следующие двумерные бисингулярные интегральные уравнения:

± г+П г«а—а^ = /Х(|,,2) (3)

га -1 т1 — га -1 т2 —

71 1 1 Т2 2 2

и

л

Yi Y 7

1 i - + -

т1 -11 т2 -12

x(Ti, Т2)dTidТ2 = /(ti, t2). (4)

Уравнения (3), (4) представляют интерес в связи с тем, что частный случай этих уравнений, а именно уравнения видов

± с ¡ал»а +± г ¡а—а)^ = /й>,2) (5)

га -1 Т — ¿1 га -1 Т2 — ¿2

и

П

—^ —^

1

- + -

T1 —11 т2 —12

x(Ti, T2 )dT1dT2 = /(t1, t2), (6)

находят применение в интегральной геометрии, и М. М. Лаврентьев [9, 10] отметил важность их исследования.

Так как уравнения (3), (4) и (5), (6) исследуются по одной схеме, то естественно остановиться на более общих уравнениях (3), (4).

Покажем, что однородные уравнения, отвечающие уравнениям (3), (4), имеют счетное множество линейно-независимых решений.

Нетрудно видеть, что функции ¿2, к = 1,2,..., I = —1, —2,..., являются решениями однородного уравнения, отвечающего уравнению (3), а функции —,к,2 , к = 1,2,..., I =—1, —2,..., являются решениями однородного уравнения, отвечающего уравнению (4).

В связи с этим возникают следующие задачи:

1) разработка эффективных методов решения уравнений вида (3), (4), гарантирующих сходимость к одному решению исходного уравнения;

2) определение классов функций, в которых уравнения (3), (4) однозначно разрешимы;

3) разработка приближенных методов решения уравнений (3), (4) в пространствах однозначной их разрешимости.

Так как уравнения (3), (4) имеют бесконечное число решений, то применение стандартных вычислительных методов линейной алгебры может оказаться неэффективным. Это связано с тем, что при каждом изменении размерности аппроксимирующей системы уравнений полученные решения могут входить в окрестности различных точных решений.

Более эффективным в данном случае является непрерывный метод решения операторных уравнений [11], так как для его реализации требуется устойчивость соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения. Следовательно, метод будет сходиться к одному и тому же решению при возмущениях начальных условий, коэффициентов и правых частей.

В данной работе для решения вырожденных бисингулярных интегральных уравнений используется непрерывный метод решения нелинейных операторных уравнений [11], основанный на теории устойчивости Ляпунова.

Непрерывный метод решения операторных уравнений

Пусть х^) - решение векторного дифференциального уравнения

ёх

= F (¿, х), (7)

л

которое определено для всех t > ¿0 . Решение х(^ называется устойчивым -точнее, устойчивым на интервале [¿0, если для каждого е>0 существует соответствующее значение 5 = 5(е) > 0, что любое решение х^), которое удовлетворяет неравенству |х(^) - х(^)| < 5, существует и удовлетворяет неравенству |х($) - х($)| < £ для всех t > ¿0 .

Решение называется асимптотически устойчивым, если всякий раз, когда |х(^) -х(^)| достаточно мало, выполняется ) -х^)| ^ 0 при t

Мы используем следующие обозначения:

В(а, г) = ^ е В : || z - а|| < г} , £ (а, г) = ^ е В: || z - а|| < г} , Re(К) = К) = (К + К*) / 2, Л(К) = Ит (( + ИК\ - 1)И-1.

Здесь В - банахово пространство, а е В, К - линейный и ограничен*

ный оператор в В; Л(К) - логарифмическая норма [12] оператора К ; К -сопряженный оператор к К ; I - тождественный оператор.

Логарифмическая норма известна в наиболее часто используемых пространствах. Мы ограничимся описанием трех норм.

Пусть А = {агу} , /,] = 1,2,...,п , - вещественная матрица.

В п -мерном пространстве Яп векторов х = (1,...,хп) часто используются следующие нормы:

п

- октоэдральная: ||х| 1 = хг |;

/=1

- кубическая: х 2 = max\хл ;

2 1<i<n

( n ^

S х2

1

- сферическая (евклидова): ||х||3 =

V г=1 /

Отметим, что логарифмическая норма одной и той же матрицы может быть положительной в одном пространстве и отрицательной в другом.

Приведем некоторые логарифмической нормы матрицы А = {агу} , ассоциированные с вышеуказанными нормами векторов:

- октоэдральная логарифмическая норма Л1:

Л1 (A) = max

1<j<n

( \ ajj + Si a

v

- кубическая логарифмическая норма Л2 :

( \

Л 2 (A) = max

1<i<n

aii+S| aij\

]

- сферическая (евклидова) логарифмическая норма Л3 :

Лз( A) = Ь D

/ * Л

1 A + A 2

v /

где А - сопряженная матрица для А .

Логарифмическая норма обладает свойствами, полезными в численном анализе.

Пусть А, В - квадратные матрицы порядка п с комплексными

элементами; х = (хl,..., хп ) у = (у1,...,уп ) ^ = ), П = (П1,...,Пп) -

п -мерные векторы с комплексными координатами. Рассмотрим следующие системы алгебраических уравнений: Ах = £ и Ву = п . Пусть норма вектора и соответствующая операторная норма матрицы зафиксированы, а логарифмическая норма Л( А) соответствует операторной норме.

Теорема 1 [13]. Если Л(А) < 0, то матрица А не вырождена и

-11/ |Л (А).

Теорема 2 [13]. Пусть Ах = £ , Ву = п и Л(А) < 0 , Л(В) < 0 . Тогда

|х - у|| 1А -В

11 |Л( В) |Л( А)Л( В)|

Основные свойства логарифмической нормы приведены в [12]. Рассмотрим в банаховом пространстве В задачу Коши:

^ЛТ = А( x(t)), (8)

Л

х(0) = х0. (9)

Предположим, что нелинейный оператор А имеет производную Фреше и А(0) = 0 .

Приведем достаточные условия устойчивого и асимптотически устойчивого решения задачи Коши (8), (9). Эти условия были получены в [14, 15].

t

Теорема 3. Пусть интеграл ^Л(А'(ф(т)))Шт неположительный (соот-

0

ветственно, отрицательный) и удовлетворяет неравенству

Нш 1 ГЛ(А'(ф(т)))Шт < -аф, аф > 0 ,

t t

0

для любой дифференцируемой кривой ф^), лежащей в шаре В(0, г )с некоторым радиусом г . Тогда тривиальное решение уравнения (4) устойчиво (соответственно асимптотически устойчиво).

Замечание 1. Теорема остается верной при г = ^ . Замечание 2. Утверждения, аналогичные теореме 3, с логарифмической нормой оператора А'(х), замененной на зирСКа(А'(х))), верны в гильбертовом пространстве Н . Здесь с(А) - спектр оператора А . Рассмотрим нелинейное операторное уравнение

А( х) - / = 0. (10)

Здесь А - нелинейный оператор, действующий из банахова пространства В в В .

Мы связываем уравнение (10) с задачей Коши

ЩФ = А(х^)) - /, (11)

Ш

х(0) = х0. (12)

* *

Пусть х - решение уравнения (10), положим х = х +и. Тогда уравне-

* *

ние (10) трансформируется в А(х +и) - А(х ) = 0. Замена переменной

*

х^) = х + и(0 сводит задачу Коши (11), (12) к следующей:

Ш )

dt

= A(x +u(t)) - A(x ), (13)

и(0) = х0 - х . (14)

Очевидно, что если тривиальное решение уравнения (13) асимптотиче-

*

ски устойчиво в целом, то решение задачи Коши (13), (14) стремится к х для любого начального значения.

Из теоремы 3 следует, что если неравенство

lim 1 Г Л (A'( g (T)))dT < -а g, а g > 0, (15)

tJ

0

выполняется для каждой непрерывно дифференцируемой функции g (t):

*

[0,го) ^ B, то решение задачи Коши (13), (14) сходится к решению x уравнения (10).

Следующие утверждения были доказаны в [11].

*

Теорема 4. Пусть уравнение (10) имеет решение x и пусть неравенство (15) выполняется на каждой дифференцируемой кривой g(t), лежащей

в банаховом пространстве B . Тогда решение задачи Коши (13), (14) сходится

*

к решению x уравнения (10) для любого начального значения.

Замечание 3. Из неравенства (15) следует, что теорема 4 справедлива и в случаях, когда логарифмическая норма Л(A'(x)) может принимать значение нуль или положительные значения в конечном или счетном количестве точек пространства B.

*

Теорема 5. Пусть уравнение (10) имеет решение x и пусть на любой

*

дифференцируемой кривой g (t), лежащей в шаре B(x , r), выполняются

следующие условия:

1) неравенство

t

J Л( A' (g (T)))d т< 0

0

выполняется для всех t (t > 0);

2) неравенство (15) выполнено.

*

Тогда решение задачи Коши (11), (12) сходится к решению x уравнения (10).

Единственность решений бисингулярных интегральных уравнений вида (5)

Пусть f (t1, t2) - функция, определенная в области R . Введем обозначения:

+ (t t ) = Гf (t1, t2), (t1, t2) e (t1 > 0) n (t2 > 0), f++(1,2) I 0, (t1,t2)e (t1 < 0) u(t2 < 0);

+ (t t ) = Г-f (t1, t2), (t1, t2) e (t1 > 0) n (t2 < 0),

f+1,2) I 0, (t1,t2)e (t1 <0)u(t2 >0);

f (t t ) = Г-f (t1, t2), (t1, t2) e (t1 < 0) n (t2 > 0), +(1,2) I 0, (t1,t2)e (t1 > 0) u(t2 < 0);

- ип = /ь(¿1,¿2)е (¿1 < 0) П< 0),

1,2)) I 0, е (¿1 > 0) и( ^ > 0).

При этих обозначениях

/( ¿1, ¿2) = /++ ( Ь,¿2) - /+_( ¿1,¿2) -/-+ ( '1 ,Ь) + /--(

Замечание. Значения /( ^, ¿2) при ^ = 0 , ¿2 = 0 не влияют на дальнейшие рассуждения.

Определение 1. Функция /( ^,'2) принадлежит классу {0,0}, если ее преобразование Фурье Р (ю^, ©2) принадлежит ¿2(-^, и удовлетво-

ряет условию Гельдера:

1« . 1 1а'

Г 1 1 a + 1 1 a >

\ XT ^ 2 /

(Хь-Р(X2,М < А-X2| +1^1 2\ ) ,

для любых действительных значений Х1, Х2, М-1, ^2 , а для любых по модулю больших единицы Х1, X2 , , Ц2 :

(Хь- Р(X2,< А

Определение 2. Функция /( ^,¿2) принадлежит классу {а,в} , если

/(1ъ12)е~ш2 е {0,0} .

Определение 3. Функция

/( ¿1^2) = /++ ( ¿1,¿2) - /+-( ¿1,¿2) - /-+ ( ¿1,¿2) + /--( ¿1,¿2) принадлежит классу {аьа2;РьР2;71,72;51,52}, если /++ (^2)е{а1,а2}, /+-(^2)е{в1,Р2}, /-+ ( ¿1,¿2)е {71,72}, /--СьЪ)е {6Ь62} .

Определение 4. Через Е(а, Ь; с, й) обозначим класс функций / (л}, Х2), определенных на плоскости Л2 и принимающих в области П = (а, Ь; с, й) заранее заданные значения:

/(*1,*2) = /*(*1,х2), (Л1,х2)е^ . В работе [16] доказано следующее утверждение.

Лемма 1. В классе функций х^,^)е{а1,а2;РьР2;71,72;61,62} , где

а1 <0<а2, Р1 <0<р2, 71 <0<72, 61 <0<62 и а1 *а2, Р1 *р2, 71 *72, 61 ^ 62 уравнение (5) имеет единственное решение.

Доказательство. Применив к уравнению (5) преобразование Фурье, приходим к алгебраическому уравнению

X (ю1, ю2)0 (ю1, ©2) = Р (®ъ »2),

где X(о>1, Ю2), С(а>1, Ю2), Р(»1, ©2) - преобразование Фурье функций х( ¿1, ¿2), §( ¿1, ¿2), /( ¿1, ¿2), причем функция G(G)^, Ю2) определена формулой

2, > 0, ю2 > 0,

-2, « < 0, ю2 < 0,

ю2) = I 0, « < 0, ю2 > 0, « > 0, ю2 < 0,

1, « = 0, ю2 > 0, « > 0, ю2 = 0,

-1, « = 0, ю2 < 0, « < 0, ю2 = 0.

Функция X («1, Ю2) является аналитической в области В пространства С комплексных переменных ^ и являющейся топологическим произведением полос тах(а1, Р1) < л < тт(у1,61) и тах(а2, У2) < У2 < min(52, Р2). Здесь = Х1 + ¡У1, Z2 = ^2 + /У2 . Из этого утверждения и приведенной выше функции С(Ю1, Ю2) следует справедливость леммы.

Лемма 2. Пусть О = (а,Ь;с,ё), < а < Ь с < ё Пусть

ищется решение х(^, ¿2), для которого в области О выполняется условие х(^,¿2) = и(1 ¿2), где и(112) - заданная функция, (^,¿2)еО,. В классе функций Е (О) уравнение (5) имеет единственное решение.

Доказательство леммы подобно доказательству аналогичной леммы для вырожденных сингулярных интегральных уравнений [17] и здесь опускается.

Замечание 2. Из леммы 2 вытекает следующая постановка задачи решения полисингулярных интегральных уравнений вида (5), аналогичная задаче Коши в теории обыкновенных дифференциальных уравнений или граничной задаче в теории уравнений с частными производными.

2

Постановка задачи. Пусть О - ограниченная область, Ое (—. Пусть в О задана функция и ¿2),(^ъ ¿2) еО. Требуется найти решение уравнения (5), удовлетворяющее на множестве О условию х(^, ¿2) = и(^, ¿2), (¿1, ¿2) еО.

Замечание 3. Пользуясь леммами 2, 3, можно сформулировать утверждения, аналогичные теоремам 4, 5 работы [16], о классах единственности решений уравнений вида

1 1 1 f Xiiil^ dXi +1 f «ЪТйdT2 +

ni J T — U ni J ~

ni J Tj — ti ni J T2 — ^2

—1 —1

— f f h(tj,t2,Ti,T2)x(Ti,T2)dTidT2 = f(tbt2). m J J

+ ni

—1 —1

Приближенное решение вырожденных бисингулярных интегральных уравнений

Рассмотрим бисингулярное интегральное уравнение вида

Х(Т1,¿2) ёТ1 + Г Х(^1,Т2) (

Т1 - ¿1 т2 - Ь

> —^

Для решения уравнения (16) ниже строятся две вычислительные схемы.

f W^dTi + f dT2 = f(ti,t2). (16)

•1 T1 — ti J„ T2 —12

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Первая вычислительная схема Аппроксимируем уравнение (16) более простым уравнением

+А +А )

Г ^^йТ1 + Г ^^йТ2 = /(¿1,¿2), (17)

-А Т1 - ¿1 -А Т2 - ^

где А - достаточно большие положительные числа.

Для упрощения описания вычислительной схемы введем различные обозначения для узлов по переменным ¿1 и ¿2. По переменной ¿1 введем узлы

2 А

ук =-А + —к, к = 0, N, = ук + —, к = 0, N -1.

к N к N

По переменной ¿2 введем узлы 2 А

=-А + ^к, к = 0, N, = wk + ^, к = 0, N -1.

Приближенное решение уравнения (17) будем искать в виде кусочно-постоянной функции

N-1N -1

xN ¿2) = к/ ¥к/ ¿2) , (18)

к=0 /=0

где

П, (гь i2) ,

Vkl t2) = \n Г . Л12,.

[0, [- A, A]2\ A ki,

Akl = V, vk+1) x [wl, wl+1X k, l = 0,1,-5 N -1

A N-1, I = [vn-1, VN ] X [ Wl, wi+1), l = 0,1,..., N -1, Ak,N-1 = [vk,Vk+1)X[WN-1,WN],k = N -1, A N-1, N-1 = [vN-1, VN] X [ WN-1, WN]-

Неизвестные коэффициенты {ак/} , к,/ = 0,N -1, определяются из следующей системы уравнений:

~ , N-1 Ук+1 , ~ Л N-1 w/+1 ,

2А^ гат1 2А^ г йт2 /•/--ч ■ ■ тттг—г

^ X а к I -~ + ^ X а/ I -^ = /(Ч, О' К ^ 7 = 0 N -1. (19)

Nk=0 Ук Т -У N 1=0 W! Т2 - ^

Эту систему можно записать в виде

N-1 N-1

2 °kakj + 2 blj ail = (vi, Wj ) , ^ j = 0 N -1,

k=0 l=0

здесь

2aV dTi 2A. aki =— I -— = —ln

N J Ti — vi N

4 i г

2A V dt2 2A, bu =— j -^ = — ln

l N w x2 — Wj N

vk+i — vi

k, i = 0, N — i,

wi

vk — vi wl+i — wj

wi — Wj

l, j = 0,N — i.

Выпишем подробно одну строку системы:

0 +... + 0 + a0i a0 j + % ai j +... + qn—ij a n—i, j + 0 +... + 0 +

+bo j a, 0 + bi j аг1 +... + bN—i, j a, n—i + 0 +... + 0 = fj, i, j = 0, N — i. (20)

Нетрудно видеть, что доминирующими коэффициентами являются ац и bjj . При этих коэффициентах в качестве неизвестных выступает a;j . Учитывая это замечание, систему (20) можно записать в виде

N—i N—i _

(aii + bjj )aij + Z Qb'Oj' + Z = fij, ^ j = 0 N — i. (2i)

k=0 k Ф1

l=0 l * j

К системе (21) можно применить непрерывный метод решения операторных уравнений

d aij (a) 4 =Хц

da 4

N—i N—i

(aii +bjj ) aj (a) + Z akiakj (a) + Z bljail(a) — fij

k=0 l=0 k ^г l ^ j

, (22)

где Ху =±1, /, у = 0, N -1.

Знак Ху выбирается из условия получения отрицательного значения

логарифмической нормы матрицы, стоящего в левой части системы уравнения (21).

Для решения системы уравнений (22) может быть использован любой метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В случае, если логарифмическая норма отрицательна, то система (22) устойчива к возмущениям коэффициентов, правых частей и начальных значений, что особенно важно при решении систем с неединственным решением.

Вторая вычислительная схема

Приближенное решение уравнения (16) будем искать в виде полинома

N N

хп (1Ъ12) = £ £ ак!(11)¥/ (12) ,

к=-N1=-N

где

¥ k(t) =

2n +1

(1 N

1 + 2 (cl (t )cl (Vk) + sl (t )sl (Vk))

V2 l=1

, ci (t) = cos 2larctg t,

si (t) = sin 2larctg t, Vk = t

k n

2 N +1

, k = -N,-N + 1,...,-1,0,1,...,N.

Коэффициенты {ак/} , к, / = —N, N, находятся из системы уравнений

2п

N N

2n +

1 2 2 a kl

1k=-Nl=-N

( N

Л

2 (i V )c (Vk ) + (Ci (Vr) + (-1У+1 )Si (Vk )

V i=1

¥l (vs ) +

+

N

Л

2 (Sj(Vs)Cj (Vl) + (Cj(Vs) + (-1) j+1 )sj (Vl)

,j=1

¥k (vr)

= /(уг , V,), г, 5 = ^,N . (23)

При построении вычислительной схемы (23) использованы формулы [18]:

1Гамйх=сп^)+(-1г+\ П г^йт=,ис).

П * Т-1 П J Т-1

—^ —^

Учитывая, что У/(у,) = 6/а, где 6/а - символ Кронекера, систему (23) можно записать в виде

2п

N N

2n +

1 2 2 a kl

1k=- Nl=-N

( N

Л

2 (Si (Vr )Ci (Vk ) + (Ci (Vr) + (-1)i+1 )si (Vk )

i=1

8ls +

+

N

2 (Sj(Vs)Cj (Vl) + (Cj(Vs) + (-1)j+1 )sj(Vl)

j=1

\r

= f (Vr, Vs ), r, s =-n, N . (24)

Для численной реализации вычислительной схемы (24) используется непрерывный операторный метод.

Модельный пример

Рассмотрим уравнение ~ х(Тъ t2)

г нош.dT1 + г ШИЯ1 dT2=f(t„t2)

J т -1 J ^ -1„

T1-11

T2 -12

(25)

где

f (t1, t2) = 2 At1 + 2 At2 +1^2 ln

A - ti

A + ti

+ t1t2 ln

A -12

A +12

Точное решение уравнения (25) равно х('ц, '2) = '\'2 • Уравнение (25) будем аппроксимировать уравнением в конечных пределах

М^Ш Л Т1 л Т2 = f („, ,2).

-л Т1 - '1 !л т2 - '2

Результаты решения уравнения (25), полученные по первой вычислительной схеме при Л = 5 и N = 100, приведены в табл. 1 и на рис. 1.

Таблица 1

Приближенное решение уравнения (25)

Точка t\ Точка t2 Точное решение Приближенное решение Погрешность

-4,85 1,85 -8,9725 -9,0395 0,067

-3,85 -0,85 3,2725 3,2195 0,053

-2,85 3,85 -10,9725 -10,97 0,004

-1,85 -2,85 5,2725 5,2555 0,017

-0,85 4,85 -4,1225 -4,1235 0,001

0,85 -4,85 -4,1225 -4,1345 0,012

1,85 2,85 5,2725 5,2675 0,005

2,85 -3,85 -10,9725 -10,9795 0,007

3,85 -1,85 -7,1225 -7,0335 0,089

4,85 0,85 4,1225 4,3135 0,191

а)

б)

Рис. 1. Приближенное (а) и точное (б) решения уравнения (25) Библиографический список

1. Симоненко, И. Б. Характеристические бисингулярные уравнения в пространствах суммируемых функций / И. Б. Симоненко // Известия вузов. Математика. -1974. - № 2. - С. 115-120.

2. Пилиди, В. С. Обоснование метода вырезания особенности для бисингуляр-ных интегральных операторов с непрерывными коэффициентами / В. С. Пилиди // Известия вузов. Математика. - 1990. - № 7. - С. 51-60.

3. Козак, А. В. О проекционных методах решения двумерных сингулярных уравнений на торе / А. В. Козак, И. Б. Симоненко // Функциональный анализ и его приложение. - 1978. - Т. 12, № 1. - С. 74-75.

4. Какичев, В. А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных / В. А. Какичев. - Тюмень : Тюменский гос. университет, 1973. - 124 с.

5. Какичев, В. А. Краевая задача типа задачи Гильберта для пары функций, аналитических в биообластях / В. А. Какичев // Дифференциальные уравнения. -1986. - Т. 22, № 2. - С. 356-360.

6. Какичев, В. А. О задаче Римана для p-конуса в алгебрах Владимирова /

B. А. Какичев, В. М. Шелкович // Математические заметки. - 1980. - Т. 27, № 6. -

C. 899-911.

7. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. - 316 с.

8. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - Москва : Наука, 1963. - 640 с.

9. Лаврентьев, М. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений / М. М. Лаврентьев // Успехи математических наук. - 1979. - Т. 34, № 4. - С.143.

10. Лаврентьев, М. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений / М. М. Лаврентьев // Сибирский математический журнал. - 1980. - Т. 21, № 3. -С. 225-228.

11. Бойков, И. В. Об одном непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, № 9. - С. 1308-1314.

12. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. - Москва : Наука, 1970.

13. Лозинский, С. М. Оценка погрешности численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. I / С. М. Лозинский // Известия вузов. Математика. - 1958. - № 5. - С. 52-90.

14. Бойков, И. В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений / И. В. Бойков // Доклады Академии наук СССР. - 1990. - Т. 314, № 6. -С. 1298-1300.

15. Бойков, И. В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2008.

16. Бойков, И. В. Об одном исключительном случае сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях : межвуз. сб. науч. тр. - Вып. 6. - Пенза : Изд-во Пенз. политех. ин-та, 1984. - С. 3-11.

17. Бойков, И. В. К вопросу о единственности решений вырожденных сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Н. Ю. Кудряшова, А. А. Шалдаева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 1 (53). - С. 3-21. - DOI 10.21685/2072-3040-2020-1-1.

18. Gregor, J. O aproximaci obrazu v Hilbertove transfomaci ortogonalnimi radami ra-cionalnich lomenych funkci / Jrzi Gregor // Aplik. Matem. Ceskoslovenska Arademie VED. - 1961. - Vol. 6, № 3. - Р. 214-240.

References

1. Simonenko I. B. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 1974, no. 2, pp. 115-120. [In Russian]

2. Pilidi V. S. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 1990, no. 7, pp. 51-60. [In Russian]

3. Kozak A. V., Simonenko I. B. Funktsional'nyy analiz i ego prilozhenie [Functional analysis and its application]. 1978, vol. 12, no. 1, pp. 74-75. [In Russian]

4. Kakichev V. A. Metody resheniya nekotorykh kraevykh zadaCh dlya analitiCheskikh funktsiy dvukh kompleksnykh peremennykh [Methods for solving some boundary value problems for analytic functions of two complex variables]. Tyumen: Tyumenskiy gos. universitet, 1973, 124 p. [In Russian]

5. Kakichev V. A. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 1986, vol. 22, no. 2, pp. 356-360. [In Russian]

6. Kakichev V. A., Shelkovich V. M. Matematicheskie zametki [Mathematical notes]. 1980, vol. 27, no. 6, pp. 899-911. [In Russian]

7. Boykov I. V. Priblizhennoe reshenie singulyarnykh integral'nykh uravneniy [Approximate solution of singular integral equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2004, 316 p. [In Russian]

8. Gakhov F. D. Kraevye zadachi [Boundary value problems]. Moscow: Nauka, 1963, 640 p. [In Russian]

9. Lavrent'ev M. M. Uspekhi matematicheskikh nauk [Advances in mathematical sciences]. 1979, vol. 34, no. 4, p.143. [In Russian]

10. Lavrent'ev M. M. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal [Siberian mathematical journal]. 1980, vol. 21, no. 3, pp. 225-228. [In Russian]

11. Boykov I. V. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 2012, vol. 48, no. 9, pp. 1308-1314. [In Russian]

12. Daletskiy Yu. L., Kreyn M. G. Ustoychivost' resheniy differentsial'nykh uravneniy v banakhovom prostranstve [Stability of solutions of differential equations in a Banach space]. Moscow: Nauka, 1970. [In Russian]

13. Lozinskiy S. M. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 1958, no. 5, pp. 52-90. [In Russian]

14. Boykov I. V. Doklady Akademii nauk SSSR [Reports of the Academy of Sciences of the USSR]. 1990, vol. 314, no. 6, pp. 1298-1300. [In Russian]

15. Boykov I. V. Ustoychivost' resheniy differentsial'nykh uravneniy [Stability of solutions of differential equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2008. [In Russian]

16. Boykov I. V. Primenenie vychislitel'nykh metodov v nauchno-tekhnicheskikh issledo-vaniyakh: mezhvuz. sb. nauch. tr. [Application of computational methods in scientific and technical research: interuniversity collected works]. Issue 6. Penza: Izd-vo Penz. politekh. in-ta, 1984, pp. 3-11. [In Russian]

17. Boykov I. V., Kudryashova N. Yu., Shaldaeva A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2020, no. 1 (53), pp. 3-21. - DOI 10.21685/2072-3040-2020-1-1. [In Russian]

18. Gregor J. Aplik. Matem. Ceskoslovenska Arademie VED [Application. Mathematics. Czechoslovak Academy of Sciences]. 1961, vol. 6, no. 3, pp. 214-240.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Кудряшова Наталья Юрьевна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Kudryashova Natal'ya Yur'evna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Шалдаева Анастасия Александровна магистрант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Shaldaeva Anastasiya Aleksandrovna Master's degree student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: [email protected]

Образец цитирования:

Бойков, И. В. Приближенные методы решения полисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях / И. В. Бойков, Н. Ю. Кудряшо-ва, А. А. Шалдаева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 2 (54). - С. 44-60. - DOI

10.21685/2072-3040-2020-2-5.