CC BY
31
УДК 517.392
DOI 10.21685/2072-3040-2016-3-6
И. В. Бойков
О РАЗРЕШИМОСТИ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация.
Актуальность и цели. Гиперсингулярные интегральные уравнения являются активно развивающимся направлением математической физики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в аэродинамике, электродинамике, квантовой физике, геофизике. Помимо непосредственных приложений в физике и технике, гиперсингулярные интегральные уравнения возникают при решении граничных задач математической физики. В последнее время опубликован цикл работ, посвященных приближенным методам решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого и второго рода на замкнутых и разомкнутых контурах интегрирования. Интерес к этим методам связан с непосредственными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений к аэродинамике и электродинамике. В то же время отсутствует общая теория гиперсингулярных интегральных уравнений - отсутствуют утверждения о существовании и единственности решений гиперсингулярных интегральных уравнений. В данной статье получен ряд утверждений о разрешимости гиперсингулярных интегральных уравнений. Наличие этих утверждений позволяет более эффективно использовать гиперсингулярные интегральные уравнения в многочисленных приложениях.
Материалы и методы. В работе используются методы функционального анализа, теории сингулярных интегральных уравнений и обобщенной краевой задачи Римана. Рассмотрены линейные одномерные гиперсингулярные интегральные уравнения на замкнутых контурах интегрирования.
Результаты. Получены общие утверждения о существовании и единственности решений гиперсингулярных интегральных уравнений, заданных на замкнутых контурах интегрирования.
Выводы. Получены общие утверждения о существовании решений гиперсингулярных интегральных уравнений. Эти утверждения позволяют при решении прикладных задач поставить задачу о нахождении всех решений рассматриваемой задачи. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач аэродинамики, электродинамики, гидродинамики, при решении уравнений математической физики методом граничных интегральных уравнений.
Ключевые слова: гиперсингулярные интегральные уравнения, сингулярные интегральные уравнения, обобщенная краевая задача Римана, теоремы Нетера.
I. V. Boykov
ON SOLUBILITY OF HYPERSINGULAR INTEGRAL EQUATIONS
Abstract.
Background. Hypersingular integral equations are an actively developing field of mathematical physics. It is associated with numerous applications of hypersingular integral equations in aerodynamics, electrodynamics, quantum physics, geophysics.
Besides direct applications in physics and technology, hypersingular integral equations occur when solving boundary problems of mathematical physics. Recently there has been published a series of works devoted to approximate methods of solving hypersingular integral equations of first and second kind on closed and open integration contours. The interest to these methods is associated with direct applications of hypersingular integral equations in aerodynamics and electrodynamics. At the same time there is no general theory of hypersingular integral equations - there are no confirmations on existence and uniqueness of solutions of hypersingular integral equations. The present article describes a number of assertions on solubility of hypersingular integral equations. The presence of such assertions allows to use hypersingular integral equations more efficiently in many applications.
Materials and methods. During the study the author used methods of functional analysis, singular integral equations theory and generalized Riemann boundary problems. The article considers linear one-dimensional hypersingular integral equations on closed integration contours.
Results. The researcher obtained general confirmations on existence and uniqueness of hypersingular integral equations, set on closed integration contours.
Conclusions. The author obtained general confirmation on existence of solutions of hypersingular integral equations. When solving applied problems, these confirmations allow to set the problem of finding all solutions of a problem under consideration. The obtained results may be used for solving problems of aerodynamics, electrodynamics, when solving equations of mathematical physics by the method of boundary integral equations.
Key words: hypersingular integral equations, singular integral equations, generalized Riemann boundary problems, Noether theorems.
Введение
Теория сингулярных интегральных уравнений (СИУ), зародившаяся в начале ХХ в. в трудах выдающихся математиков Д. Гильберта и А. Пуанкаре, бурно развивалась в течение всего ХХ в. и продолжает активно развиваться в настоящее время. Существует несколько принципиально различных методов исследования сингулярных интегральных уравнений. По-видимому, исторически первым был метод сведения сингулярных интегральных уравнений к уравнению Фредгольма второго рода (метод регуляризации). Начиная с конца 30-х гг. прошлого века к исследованию сингулярных интегральных уравнений начали применять краевую задачу Римана. Подробное изложение этого метода содержится в книге Ф. Д. Гахова [1]. В конце 60-х гг. прошлого столетия к исследованию уравнений в свертках (в том числе сингулярных интегральных уравнений) И. Ц. Гохберг и И. А. Фельдман применили теорию колец [2]. Операторные методы исследования сингулярных интегральных уравнений развивались в работах З. Пресдорфа [3], С. Г. Михлина и З. Пре-сдорфа [4]. Методы исследования многомерных сингулярных интегральных уравнений изложены в монографии С. Г. Михлина [5].
Отдельно отметим работы по приближенным методам решения сингулярных интегральных уравнений [6-9].
Гиперсингулярные интегральные уравнения появились в математической литературе в задачах аэродинамики [10]. Начиная с этого времени методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений активно развиваются, превратившись в отдельное направление. При этом необходимо отметить,
что в основном развивались приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов и решения гиперсингулярных интегральных уравнений [11-15]. Теория гиперсингулярных интегральных уравнений к настоящему времени не получила должного развития.
Среди работ, непосредственно посвященных теории гиперсингулярных интегральных уравнений, следует отметить книгу [16], в которой рассмотрены уравнения
Hx = —
( 1 ^ Г xw d х
J х-t
V-1 /
x(x)
=f (t), -1< t <1, (1)
x(t)--(1 -1)1/2 Г x(x)0 dх = f(t), -1< t<1, a = const. (2)
Я -1( х-t)2
Для решения уравнения (1) предложено несколько методов и получено решение в аналитическом виде:
1
' '- x ' ,-1< t <1. (3)
x(t) = - Гf (t)ln
Я J
-1
1 - tx + {(1 -12)(1 - x 2)}1/2
.... ^ 2ч1/2 у n
При f (t) = —— (1 -x ) , где k, p - известные константы, дано решение уравнения (2) в аналитическом виде:
4rck / 2\1/2
x(t) =-(1 - x2 I .
W 1 + 2P / я\ '
Методы исследования уравнений (1) и (2) основаны на применении краевой задачи Римана.
Для того чтобы считать функцию x(t), представленную выражением (3), решением уравнения (1), необходимо показать, что к этой функции применим гиперсингулярный оператор H. К сожалению, такое исследование в [16] не проведено.
В данной работе исследованы вопросы разрешимости гиперсингулярных интегральных уравнений вида
a(t)x(t) + -1 ГX)x(pT)dx = f(t), p = 2,3, (4)
ЯiL (x-t)p
где L - гладкий замкнутый контур.
Статья построена следующим образом.
В разделе 2 приведены необходимые сведения из теории обобщенной краевой задачи Римана.
В разделе 3 исследована разрешимость гиперсингулярного интегрального уравнения (4), у которого функции a(t), f (t), h(t, x) принадлежат
классу Гельдера.
1. Обозначения и вспомогательные сведения
Пусть L - простой замкнутый гладкий контур на плоскости комплексной переменной г, который делит эту плоскость на две односвязные
области Б+ и Б- . Область Б- содержит бесконечно удаленную точку. Для
определенности будем считать, что область Б + содержит начало координат. Положительным направлением обхода контура L будем считать то
направление, которое оставляет область Б + слева. Через t их будем обозначать координаты точек на контуре L. Рассмотрим интеграл типа Коши
ф( г)=2_ Г ФТОЛ, (5)
2га ^ х -1
L
где функция ф(t) удовлетворяет условию Гельдера: ф^) е Н.
Замечание. Мы не указываем конкретного значения экспоненты в условии Гельдера, так как ниже оно (значение) не используется.
Функция Ф(г) является голоморфной всюду в расширенной плоскости комплексной переменной за исключением точек контура L и определяет функцию Ф+ (г), аналитическую в Б+, и функцию Ф (г), аналитическую
в области Б . Функции Ф+ (г) и Ф (г) непрерывно продолжаются на контур L и их предельные значения связаны с функцией ф^) формулами Племеля - Сохоцкого
Ф+ ^)- Ф-^ ) = ф^), 1 гф(х)
ф+(t)+ ф- (t )=—г
v.i J
d т.
га J т -1
L
Связь между функциями Ф+(t), Ф (t), 9(t) выражается следующим утверждением.
Лемма 1 [1]. Пусть функции Ф+ (t) и Ф-(t) голоморфные в областях
D + и D ; непрерывно продолжаются на контур L так, что Ф± (t) е H;
выполнено условие Ф (^) = 0. Тогда функции Ф± (z) представимы единственным образом в виде интеграла (5), где
9(t ) = Ф+ (t)- Ф-(t). Нам понадобится следующее определение.
Определение 1 [17]. Пусть функции F + (z) и F-(z) голоморфные
соответственно в областях D + и D-, непрерывно продолжаются на контур L вместе со своими производными соответственно до m и n порядков включительно, причем так, что граничные значения этих функций и всех указанных производных удовлетворяют условию Гельдера. Функция F(z), определенная формулой
F (z ) =
F+ (z), z е D +, If - (z), z е D -,
называется Нтп -кусочно-голоморфной функцией. Известны следующие утверждения.
Теорема 1 [17]. Нтп -кусочно-голоморфная функция ^(г) допускает следующее интегральное представление (представление А):
F+(z ) =
(-1)й
2ni(m -1)!
]ф( х)
(х-z )m-1ln |l -z | +
m-1
+ > akх
m -k-1 k z
k=1
m-1 k jkj7 +/n\
x-i z d F (0) d х + >--^-;
^ k! dzk k=0 dz
(6)
F - (z) =
(-1)"
2rn(n -1)!
|ф(х)х-и
(х-z)n-1ln| 1 -- I +
n-2
+ >Pk х
k=0
n-k-1 k z
dх + F («>),
(7)
где ф(т) удовлетворяет условию Гельдера; под функциями 1п — J и
1п — —| при данном т понимаются ветви, исчезающие соответственно
в точках г = 0 и г = «>;
^=А = '
j=0
k - j
j=k+1
j - k
При этих условиях функция ф(^) определяется по функции ^(г) единственным образом.
Теорема 2 [17]. Нпт -кусочно-голоморфная функция ^(г) допускает следующее интегральное представление:
F+(z ) =
(-1)"
2Ki(m -1)!
|ф( х)
(х-z )m-1ln |1 -z I +
D( )П, m-1 zkdkF+ (0) +R (z, х) d х + w-
k=0
k! dzk
F-(z) = 2 V-1)! |ф(х)(х - z)n-1 ln|1 -- jdх + F-(-);
2ra(n -1)!
(8) (9)
где
R( z, т) =
m-к-1 к ч. 1
z ,m-n > 1,
m-n-1
Z акт к=1
0, m-n < 1
ф(х), а^, 1п — J, 1п — J обозначают то же самое, что и в предыдущей теореме; кроме того, функция ф(х) удовлетворяет условиям
]ф(т)тк
d т = 0, к = 0,1,..., n-1.
L
З П ^ + (г) (г)
Замечание. Производные - и - представляются в виде
интеграла
где
dzm dzn
1 r9(T)d т
2га J т - z
L
ф(т)=dmflSzzl |z _т_ dlF-izzl
dzm din
В работе [17] исследована следующая обобщенная краевая задача Римана: найти Нтп -кусочно-голоморфную функцию Г(г) по следующему краевому условию:
Z
j=0
aj (t)
djF + (t) dzj
jAj (t, т)
djF + (т) dzj
d т
-Z
i=0
djF- (t)
^dzj
(t, т)
djF-(т) dzj
d т
= f (t)
(10)
на контуре L, и начальным условиям: djF + (0)
dzj
= Y j, j = 0,1,.,m-1, F («,) = Ym.
Здесь ау^), Ъу ^), /^) - заданные на L функции, удовлетворяющие условию Н; причем функции ат ^) и Ъп (t) нигде на L не обращаются в нуль; Ау (t, х) и В у (^ х) - заданные на L функции вида
А0 (t, х) В® (t, х)
Aj(t, х)=^тх, ■ х)=-¡¿—г,
11-т|
I t-т|
где О<А<1, а А®х) и В®х) удовлетворяют условию Н по каждой переменной.
Показано, что краевая задача (10) сводится к сингулярному интегральному уравнению
В(1) рф(х)^х т
A(t)9(t) + Ш Г ^^ + Гк(t, т)ф(т)dт = g(t), та •> т -1 j
т-1 L L
где
1
1
А(0 = 2\ат^) + Ъп^У , В^) = 2\ат(t)-Ъп(t)Г
ядро к ^, х) является слабосингулярным, а правая часть равна
(11)
g (t) = f (t) + Y „
m-1 m-1
- ZZ
Y к
^0 h^j (к-1)!
) + j B0(t,т)dт
aj (t )tk-j + j Aj (t, т)тк--^ т
в [17].
В явном виде функция к(^ х) не выписывается, она представлена
.
Напомним определения гиперсингулярных интегралов. В работе [18] Ж. Адамар ввел новый тип особых интегралов. Определение 1. Интеграл вида
г А( х)йх
(b-x) Р+а
при целом р и 0< а <1 определяет величину («конечную часть») рассматриваемого интеграла как предел при х ^ Ъ суммы
Г
B( x)
A(t )dt
(b-t)p+а + (b-x)p+а-1
если предположить, что А(х) имеет р производных в окрестности точки Ъ . Здесь В( х) - любая функция, на которую налагаются два условия:
а) рассматриваемый предел существует;
б) В( х) имеет по крайней мере р производных в окрестности точки
х=Ъ.
Произвольный выбор В(х) никак не влияет на значение получаемого предела: условие (а) определяет значения (р -1) первых производных от В(х) в точке Ъ, так что произвольный добавочный член в числителе есть
бесконечно малая величина, по меньшей мере порядка (Ъ - х)р .
В работе Л. А. Чикина [19] дано определение интеграла типа Коши -Адамара, обобщающее понятия интеграла в смысле главного значения Коши и интеграла в смысле Адамара.
Определение 2. Интегралом
ф(х^ х (х-c) Р
a < c < b,
в смысле главного значения Коши - Адамара будем называть следующий предел:
ф(х)дх _
-Р = lim
( х-cy v ^0
b
ф(хМ х + г ф(х^ х + l(v) (х-c)p c+v (х-c)p vp-1
где ^(у) - некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел существовал.
2. Гиперсингулярное интегральное уравнение с непрерывными коэффициентами
В этом разделе рассматривается следующее линейное гиперсингулярное интегральное уравнение:
а(г)х(г) + - I Н( , Т)Х(рТ) йт = /(г), (12)
(т- 0р
где Ь - замкнутый гладкий контур; /( г) - заданная на Ь функция, удовлетворяющая условию Гельдера; Н(г, т), г, теЬ, - функция, удовлетворяющая условию Гельдера по первой переменной и имеющая производные до (р -1) порядка, удовлетворяющие условию Гельдера, по второй переменной; решение х( г) ищется в классе функций, имеющих непрерывные производные
до (р -1) порядка, удовлетворяющие условию Гельдера. Уравнению
1 гН( г, т) х(т)
a(0x( 0 + ± Гdх = 0 ni J /V - лР
L
(х-1)p
поставим в соответствие союзное уравнение
= 0. (13)
я(т- г)Р
Воспользовавшись определением гиперсингулярного интеграла, уравнение (12) представим в виде
/ч / ч 1 ГАР-1(г, т) х( т) 1 гк(г, т) х( р-1)( т) , ... „„
а( г) х( г) + — I -й т + — + — I —^-— й т = / ( г). (14)
я О т-г я н т-г
Ь Ь
В последнем уравнении через % ^, х) обозначена частная производная к -го порядка (к = 1,2,.,р-1) функции Ь(^х) по переменной х; Ь®^, х) = Щ, х).
Для дальнейшего исследования преобразуем уравнение (14) к следующему виду:
a(t)x(t) + bait) fx(Р- 1)(т) dт +
ui J т -1
L
+cp 1 Ml f x p-2)(т) Л+...+cp -J ^ f xiDdi+
P ui J т-t Р 1 ui J т-t
L L
Г h0(t,т)- h0(t,t) x( p -1)( ^ т +
u iJ т -t
L
+CP 1± Гh1(t,т)-h1(t,t) x(Р-2)Wdт + ••• + p uiJ т-t
L
Р-, J_ j hP-.(t.т)-*Р-.(t.t) x( x)d т = f (t), (15)
^ u7 J т-t
т ^ х-1
L
Ък(t) = Ьк(t,t), к = 1,2,.,р-1, Ъ(о = Ь(t,о, ¿о(0 = Лоаt), Ьo(t,х)=Ь(t,х).
Отметим, что так как функции Ьк(^х), к = 0,1,2,...,р-1, по обеим переменным удовлетворяют условию Гельдера, то интегралы
г (Ьк (t, х)-Ьк (t, t)) х( р-1-к \х)ё х
т Н х-1
L
к = 0,1, 2,..., р -1, являются несобственными интегралами в смысле Римана. Введем в рассмотрение функцию
F (z) = 2u7 i
1 fxCc)
d т.
2u iJ т- z
L
Функция F(z) является кусочно-голоморфной. Для предельных значений ее производных справедливы формулы Племеля - Сохоцкого
x(k)(t) = + (z) | ^^(z) |
x (t) dzk ^ dzk ^
1 rx(к )(тК dkF + (z). dkF-(z). , ni ,
— I-^ d т =-^|z=r +-r^h=t, где к = 0,1,..., p -1. (16)
uiL т-t dz dzk
Подставляя выражение (16) в уравнение (15), приходим к следующей краевой задаче:
(а(г) + СРр-\Ър-1)Г+ (г) - (а(г) - ср-\Ър-1)Г-(г) +... +
-1Г + (г) иг чй(р-1)Г-(г)
+Ъ(г)-+ Ъ(г)-+
- р-1 „/_р-1
^0 1 ГГ , \td F + (х) dp F (х)ч^
+СJ-1 — J/T0(t, х)(-—^ +-—^ )d х+ +
F —iL dzp 1 dzp 1
+СР- — jV^, х)( F + (0 + F-(х))dх = /(t), (17)
ЛТ7 ±/
й г ( г)
где % (г, т) = (И^ (г, т)(г, г)) / (т - г), к = 0,1,..., р-1; запись -г— озна-
йгк
± (г) , п , чает, что вычисляется производная-:-при г = г, к = 0,1,..., р -1.
йгк
Таким образом, каждое решение уравнения (12) является также решением уравнения (17).
Покажем, следуя [17], что и обратно: если Нр-1 р-1 - кусочно-
голоморфная функция Г(г), удовлетворяющая условию Г= 0, является
решением краевой задачи (17), то функция х( г) = Г + (г)-Г-( г) является решением уравнения (12).
Из леммы 1 следует, что функция х(г) единственным образом
представима в виде х(г) = Г + ( г)-Г-(г). Нетрудно видеть [1], что функция
х( г) = Г + (г)- Г (г) имеет производные до (р -1)-го порядка, удовлетворяющие условию Гельдера. Действительно,
х( к )(0 = йкГ + (г) - йкГ-(г) йгк йгк
1 гх( к)(т) йкГ + ( 0 йкГ-(0 ,
— I-—йт =-^ +-^, к = 0,1,2,..., р-1.
Я*Ь т-г йгк йгк
Отсюда и из (17) следует, что х( г) = Г + ( г)-Г ( г) является решением уравнения (12).
Продолжим исследование краевой задачи (17) в предположении, что коэффициент Ъ( г) нигде на Ь не обращается в нуль.
Так как исходное гиперсингулярное интегральное уравнение (12) преобразовано к обобщенной граничной задаче Римана (17), то для решения последней необходимо располагать р начальными значениями. Одно из них
известно: Г (^) = 0. Таким образом, необходимо выбрать еще (р -1) начальное значение.
Формально можно взять значения
(18)
Однако, так как в данном случае краевая задача (12) связана с уравнением (12), то функция Г (г) определяется интегралом
Г (г ) = ^- Г ^ а х.
2тО х-г
Ь
Разлагая обе части предыдущего равенства в ряд Тейлора в окрестности начала координат и приравнивая коэффициенты разложения, имеем [17]:
При этом начальные данные (18) для обобщенной задачи Римана трансформируются в граничные условия
для гиперсингулярного интегрального уравнения (12).
Таким образом, возникает следующая постановка задачи. Задача. Найти решение х(^ гиперсингулярного интегрального уравнения (12), принадлежащее классу функций Нр- р- и удовлетворяющее
граничным условиям (19).
Из проведенных выше рассуждений следует, что решение гиперсингулярного интегрального уравнения (12) при граничных условиях (19) и условии Г = 0, где
соответствует решению обобщенной задачи Римана (17) при начальных
условиях (18) и Г-(те) = 0. При этом каждому решению задачи (12), (19)
соответствует решение задачи (17), (18) и наоборот.
Исследуем разрешимость обобщенной задачи Римана (17) при условиях
(18) и Г-(те) = 0.
Как отмечено в разд. 2, решение обобщенной краевой задачи Римана представимо в виде кусочно-голоморфной функции
(19)
L
F (z ) = 2- j ^ d т, 2ui J т-1
2ui J т -1
L
Р-2 Р-2 k
+ Zактр-к-2zk dт + Z k=1 k=0
F-(z ) =
(-1)Р
-1
2ui (p- 2)!
|ф(т)т
-p+1
L
p-3
+ ZPk т p-k-2 zp-1 к=0
(т-z)p-2ln[1-- I +
d т + Y p-1,
где функция ф^) является решением сингулярного интегрального уравнения
A(t)ф(г) + ^ iф(т)dт + jk(t, т)ф(т)dт = g(t),
ui J т - t J
ui J т -t
L
(20)
в котором
A(t ) = B(t ) =
b(t)- b(t )t-p+1
b(t) + b(t )t
-p+1
=2b(t)
=2b(t)
-t-p+1
1 -t
1 +1
-p+1
ядро к ^, х) является слабосингулярным, правая часть имеет вид
g (t ) = f (t) + Yp-1
p-2
a (t) - cp:}bp-1(t) - jcpp:;/ip-1(t, т)d т"
-Z
Yk k!
(a (t) + Cp-¡bp-1(t ))tk -jcpp -h 4(t, т)тk-jd т
к=0
- е етТ™ С--;-^- 1-у (t)tk-j+сР--1-%-1-■ (, х)хк-ых
у=1 к=у (к ■[ £
Индекс сингулярного интегрального уравнения (20) равен (-р + 1). Так как рассматриваются гиперсингулярные интегральные уравнения при р > 2, то отсюда следует следующее утверждение.
Теорема 3. Индекс гиперсингулярного интегрального уравнения (12) отрицателен и равен (- р +1).
Уравнением, союзным с однородным уравнением
A(tMt) + М г^^ + jk(t, т)ф(т)dт = 0, ui J т - t J
является уравнение
ui J т-1
L L
A(t)¥(t)-1 f в(т)¥(тМт - fk(т,t)¥(т)dт = 0. uiJ т -1 J
L L
(21)
(22)
Перепишем последнее уравнение в виде
A(t)¥(0-Ш f^dх--1 f B(T)"B(t)dх- fk(х,t)¥(x)dx = 0. (23) ni J x -1 niJ x -1 J
L L L
Индекс уравнения (23) равен (p -1).
Третья теорема Нетера [1] утверждает, что разность между числом n линейно независимых решений уравнения (21) и числом n линейно независимых решений уравнения (22) равна индексу уравнения (21):
n-n = -p + 1. (24)
Из этого равенства следует, что для того чтобы гиперсингулярное интегральное уравнение (21) при произвольных граничных условиях (19) было разрешимо, необходимо, чтобы число линейных независимых решений союзного уравнения (22) было не меньше р.
Из равенства (24) следует еще один вывод.
Теорема 4. Гиперсингулярное интегральное уравнение (12) при произвольных граничных условиях (19) и при произвольной правой части f (t) неразрешимо.
Доказательство. Из равенства (24) следует, что n> р -1 при любом n > 0 . Это означает, что число линейно независимых решений однородного уравнения (23) n> р -1>0. Из второй теоремы Нетера следует, что для разрешимости уравнения (20) при любой правой части g(t) необходимо и достаточно выполнения условий
fg (0л j (t )dt = 0, j = 1,2,...,n', (25)
L
где j(t)} - полная система линейно независимых решений уравнения (22).
*
Нетрудно построить функцию g (t) е H такую, чтобы хотя бы одно из равенств (25) для нее не выполнялось.
Доказательство проведем от противного.
*
Пусть уk, k = 0,1,...,р-2, - произвольно фиксированный набор констант. Пусть уравнение (12) разрешимо при любой правой части. Это равносильно тому, что сингулярное интегральное уравнение (20) разрешимо при любой правой части g(t).
Из теоремы Нетера следует, что должны выполняться равенства
f g (0Л/(t)dt = 0, j = 1,2,..., n', (26)
L
где ^j(t), j = 1,2,...,n, - собственные функции сопряженного уравнения (22).
Представим систему уравнений (26) в виде
f f (ОЛу (t)dt = Xj, j = 1,2,..., n', (27)
L
где Xу, У = 1,2,...,п, - набор чисел,
Ху = Г(ё(0-/(0)Л/т, у = 1,2,...,п.
£
Из вида функции ё (t) следует, что возмущение функции /(t) (и, следовательно, ё(t)) слагаемым, не ортогональным к функциям Лу ^), у = 1,2,...,п, нарушает необходимые и достаточные условия разрешимости сингулярного интегрального уравнения (20) и, следовательно, гиперсингулярного интегрального уравнения (12) при фиксированных граничных условиях и произвольных правых частях. Теорема доказана.
Исследуем вопросы разрешимости гиперсингулярного интегрального уравнения (12). Для этого достаточно исследовать вопросы разрешимости сингулярного интегрального уравнения (20).
Из второй теоремы Нетера следует, что для разрешимости уравнения (20) необходимо и достаточно выполнение условий
Г ё (ОЛу т = 0, у = 1,2,..., п', (28)
£
где Л у ^), у = 1,2,..., п, - система собственных функций сопряженного уравнения (16).
Так как из построения функции ё(^ следует, что в ее состав входит (р -1) свободный параметр, то система уравнений (28) является системой из п уравнений с (р -1) неизвестным.
Выше было показано, что для того чтобы однородное уравнение (20) имело только тривиальное решение (п = 0), однородное сопряженное уравнение должно иметь (р -1) линейно независимое решение (п = р -1).
Отсюда следует, что если однородное уравнение (20) имеет единственное тривиальное решение (п = 0), то в системе (28) п= р-1 и
система (28) имеет единственное решение у у ^), у = 1,2,..., р -1.
Отсюда следует, что гиперсингулярное интегральное уравнение (12) имеет единственное решение.
Теорема 5. Пусть однородное сопряженное уравнение (21) имеет полную систему Л у (0, у = 1,2,..., п, линейно независимых решений. Пусть
система уравнений (28) с неизвестными у у ^), у = 1,2,..., р -1, имеет единственное решение. Тогда гиперсингулярное интегральное уравнение (12) имеет единственное решение.
Список литературы
1. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - М. : ГИФМЛ, 1963. - 639 с.
2. Гохберг, И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. - М. : Наука, 1971. - 352 с.
3. Пресдорф, З. Некоторые классы сингулярных уравнений / З. Пресдорф. - М. : Мир, 1979. - 494 с.
4. Michlin, S. G. Singular Integral Operatoren / S. G. Michlin, S. Prossdorf. - Berlin : Acad. Verl., 1980.
5. Михлин, С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. - М. : Физматгиз, 1962. - 254 с.
6. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. - Киев : Наукова думка, 1968. - 287 с.
7. Prossdorf, S. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations / S. Prossdorf, B. Silberman. - Berlin : Acad. Verl., 1991.
8. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов. - М. : Янус, 1995. - 520 с.
9. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. - 316 с.
10. Некрасов, А М. Теория крыла в нестационарном потоке газа. - М. : Изд-во АН СССР, 1947. - С. 3-65.
11. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. -М. : Янус-К, 2001. - 508 с.
12. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. II. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. - 252 с.
13. Boykov, I. V. An Approximate Solution of Hypersingular Integral Equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Appl. Num. Math. - 2010. - Vol. 60. - P. 607628.
14. Boykov, I. V. An approximate solution of nonlinear hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, V. A. Roudnev, A. I. Boykov // Applied Numerical Mathematics. - 2014. - December. - Vol. 86. - P. 1-21
15. Бойков, И . В . Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, М. А. Семов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2015. - № 3 (35). - С. 11-27.
16. Mandal, B. N. Applied Singular Integral Equations / B. N. Mandal, A. Chakra-bani. - New York : CRC Press, 2011. - 264 p.
17. Крикунов, Ю. М. Обобщенная краевая задача Римана и линейное сингулярное интегродифференциальное уравнение / Ю. М. Крикунов // Ученые записки Казанского государственного университета. - 1956. - Т. 116, вып. 4. - С. 3-30.
18. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. - М. : Наука, 1978. - 351 с.
19. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского государственного университета. - 1953. - Т. 113, № 10. - С. 57-105.
References
1. Gakhov F. D. Kraevye zadachi [Boundary problems]. Moscow: GIFML, 1963, 639 p.
2. Gokhberg I. Ts., Fel'dman I. A. Uravneniya v svertkakh i proektsionnye metody ikh resheniya [Convolution equations and projection methods of their solution]. Moscow: Hauka, 1971, 352 p.
3. Presdorf Z. Nekotorye klassy singulyarnykh uravneniy [Some classes of singular equations]. Moscow: Mir, 1979, 494 p.
4. Michlin S. G., Prossdorf S. Singular Integral Operatoren. [Singular integral operators]. Berlin: Acad. Verl., 1980.
5. Mikhlin S. G. Mnogomernye singulyarnye integraly i integral'nye uravneniya [Multidimensional singular integrals and integral equations]. Moscow: Fizmatgiz, 1962, 254 p.
6. Ivanov V. V. Teoriya priblizhennykh metodov i ee primenenie k chislennomu resheniyu singulyarnykh integral'nykh uravneniy [The theory of approximate methods and its application in numerical solution of singular integral equations]. Kiev: Naukova dumka, 1968, 287 p.
7. Prossdorf S., Silberman B. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations. Berlin: Acad. Verl., 1991.
8. Lifanov I. K. Metod singulyarnykh integral'nykh uravneniy i chislennyy eksperiment [The method of singular integral equations and numerical experiment]. Moscow: Yanus, 1995, 520 p.
9. Boykov I. V. Priblizhennoe reshenie singulyarnykh integral'nykh uravneniy [Approximate solution of singular integral equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2004, 316 p.
10. Nekrasov A M. Teoriya kryla v nestatsionarnom potoke gaza [The wing theory in non-stationary gas flow]. Moscow: Izd-vo AN SSSR, 1947, pp. 3-65.
11. Vaynikko G. M., Lifanov I. K., Poltavskiy L. N. Chislennye metody v gipersingul-yarnykh integral'nykh uravneniyakh i ikh prilozheniya [Numerical methods in hypersingular integral equations and their applications]. Moscow: Yanus-K, 2001, 508 p.
12. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh in-tegralov. Ch. II. Gipersingulyarnye integraly [Approximate computing methods for singular and hypersingular integrals. Part II. Hypersingular integrals]. Penza: Izd-vo PGU, 2009, 252 p.
13. Boykov I. V., Ventsel E. S., Boykova A. I. Appl. Num. Math. 2010, vol. 60, pp. 607628.
14. Boykov I. V., Ventsel E. S., Roudnev V. A., Boykov A. I. Applied Numerical Mathematics. 2014, December, vol. 86, pp. 1-21
15. Boykov I. V., Boykova A. I., Semov M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 3 (35), pp. 11-27.
16. Mandal B. N., Chakrabani A. Applied Singular Integral Equations. New York: CRC Press, 2011, 264 p.
17. Krikunov Yu. M. Uchenye zapiski Kazanskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of Kazan State University]. 1956, vol. 116, iss. 4, pp. 3-30.
18. Adamar Zh. Zadacha Koshi dlya lineynykh uravneniy s chastnymi proizvodnymi giper-bolicheskogo tipa [The Cauchy problem of linear equations with partial derivatives of hyperbolic type]. Moscow: Nauka, 1978, 351 p.
19. Chikin L. A. Uchenye zapiski Kazanskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of Kazan State University]. 1953, vol. 113, no. 10, pp. 57-105.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
УДК 517.392 Бойков, И. В.
О разрешимости гиперсингулярных интегральных уравнений /
И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. - № 3 (39). - С. 86-102. Б01 10.21685/2072-3040-2016-3-6
