CC BY
51
УДК 517.392
DOI 10.21685/2072-3040-2017-2-6
И. В. Бойков, А. И. Бойкова
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Гиперсингулярные интегральные уравнения являются активно развивающимся направлением математической физики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в аэродинамике, электродинамике, квантовой физике, геофизике. Помимо непосредственных приложений в физике и технике, гиперсингулярные интегральные уравнения возникают при решении граничных задач математической физики. В последнее время опубликован цикл работ, посвященных приближенным методам решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого и второго рода на замкнутых и разомкнутых контурах интегрирования. Интерес к этим методам связан с непосредственными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений к аэродинамике и электродинамике. В то же время отсутствуют аналитические методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений и полигиперсингулярных интегральных уравнений. В данной статье предлагается метод аналитического решения одного класса гиперсингулярных интегральных уравнений и полигиперсингулярных интегральных уравнений. Этот метод позволяет более эффективно использовать гиперсингулярные интегральные уравнения в многочисленных приложениях.
Материалы и методы. Используются методы теории сингулярных интегральных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Рассмотрены линейные и нелинейные одномерные гиперсингулярные интегральные уравнения на замкнутых контурах интегрирования, бигиперсингулярные интегральные уравнения на замкнутых гладких поверхностях. Метод основан на преобразовании гиперсингуляных и по-лигиперсингулярных интегральных уравнений к дифференциальным уравнениям - обыкновенным и в частных производных.
Результаты. Построен аналитический метод решения одного класса гиперсингулярных интегральных уравнений, заданных на замкнутых контурах интегрирования, и бигиперсингулярных интегральных уравнений, заданных на замкнутых гладких поверхностях.
Выводы. Построен метод аналитического решения гиперсингулярных и по-лигиперсингулярных интегральных уравнений. Этот метод позволяет при решении прикладных задач получить решения в виде, удобном для дальнейшего исследования. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач аэродинамики, электродинамики, гидродинамики, при решении уравнений математической физики методом граничных интегральных уравнений.
Ключевые слова: гиперсингулярные интегральные уравнения, сингулярные интегральные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных.
I. V. Boykov, A. I. Boykova
ANALYTICAL METHODS OF SOLVING HYPERSINGULAR INTEGRAL EQUATIONS
1 Работа поддержана РФФИ. Грант 16-01-00594.
Abstract.
Background. Hypersingular integral equations appear to be an actively developing area of mathematical physics. It is associated with applications of hypersingular integral equations in aerodynamics, electrodynamics, quantum physics, geophysics. Despite direct application sin physics and engineering, hypersingular integral equations occur when solving boundary problems of mathematical physics. Recently there has been published a series of works devoted to approximate methods of solving hypersingular integral equations of first and second kind on closed and open paths of integration. The interst to such methods is associated with direct applications of hypersingular integral equations in aerodynamics and electrodynamics. At the same time there are no analytical methods of solving hypersingular integral equations and polyhypersingular integral equations. The present article suggests a method of analytical solution of one class of hypersingular integral equations and polyhypersingular integral equations. This method enables to more efficiently use hypersingular integral equations in multiple applications.
Materials and methods. The study used methods of the theory of singular integral equation, regular differential equations and partial derivative equations. The authors considered linear and nonlinear one-dimensional hypersingular integral equations on closed integration paths and bihyperssingular integral equations on closed smooth surfaces. The method is based on reduction of hypersingular and poly-hypersingular integral equations to differential equations - regular ones and with partial derivatives.
Results. The authors have developed an analytical method of solving one class of hypersingular integral equations on closed integration paths and bihypersingular integral equations on closed smooth surfaces.
Conclusions. The article considers the developed method of solving hypersingular and polyhypersingulae integral equations. Whensolving applied problems this method allows to obtain solutions in the form convenient for further research. The results obtained can be used to solve problems of electrodynamics, hydrodynamics, equations of mathematical physics by the method of boundary integral equations.
Key words: hypersingular integral equations, singular integral equations, regular differential equations, partial derivative equations.
Введение
Теория сингулярных интегральных уравнений зародилась в начале ХХ в. в трудах выдающихся математиков Д. Гильберта и А. Пуанкаре, бурно развивалась в течение всего ХХ в. и продолжает активно развиваться в настоящее время. Существует несколько принципиально различных методов исследования сингулярных интегральных уравнений. По-видимому, исторически первым был метод сведения к уравнению Фредгольма второго рода (метод регуляризации). Начиная с конца 30-х гг. прошлого века к исследованию сингулярных интегральных уравнений начали применять краевую задачу Римана. Подробное изложение этого метода содержится в книге Ф. Д. Гахо-ва [1]. В конце 60-х гг. прошлого столетия к исследованию уравнений в свертках (в том числе сингулярных интегральных уравнений) И. Ц. Гохберг и И. А. Фельдман применили теорию колец [2]. Операторные методы исследования сингулярных интегральных уравнений развивались в работах З. Пре-сдорфа [3], С. Г. Михлина и З. Пресдорфа [4]. Методы исследования многомерных сингулярных интегральных уравнений изложены в монографии С. Г. Михлина [5].
Отдельно отметим работы по приближенным методам решения сингулярных интегральных уравнений [2, 4, 6-9].
Гиперсингулярные интегральные уравнения появились в математической литературе в задачах аэродинамики [10]. Начиная с этого времени методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений активно развиваются, превратившись в отдельное направление. При этом необходимо отметить, что, насколько автор может судить по доступной ему литературе, в основном развивались приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов и решения гиперсингулярных интегральных уравнений [11-16].
Теория гиперсингулярных интегральных уравнений к настоящему времени не получила должного развития.
Среди работ, непосредственно посвященных теории гиперсингулярных интегральных уравнений, следует отметить книгу [17], в которой рассмотрено уравнение
Hx = -
( 1 ^
Г Хф d г
J г-t
К-1
= f (t), -1< t <1, (1)
при условиях x(±1) = 0 и уравнение
x(t) --(1 -1)1/2 Г x(x)0 dг = f (t),-1< t <1, а = const, (2)
п -1 (г-t )2
при тех же условиях.
Для решения уравнения (1) предложено несколько методов и получено решение в аналитическом виде:
1
x(t)— Г f (t )ln п J
t - x
1 - tx + {(1 -12)(1 - x2)}1/2
-1< t <1. (3)
2кк 2 1/2
При /) = —— (1 - х ) , где к, Р - известные константы, дано решение уравнения (2) в аналитическом виде:
4пк л 2\1/2
х(^) =-(1 - х2 I .
1+2Р/'
Методы исследования уравнений (1) и (2) основаны на применении краевой задачи Римана.
Представляет интерес построение общих методов решения в аналитическом виде широких классов гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегральных уравнений.
В данной работе предложен метод представления в замкнутом виде решений сингулярных, гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегральных уравнений.
Статья построена следующим образом. В разд. 1 предложен метод приведения гиперсингулярных интегральных уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Метод применим к линейным и нелинейным
гиперсингулярным интегральным уравнениям. В разд. 2 предложен метод приведения полигиперсингулярных интегральных уравнений к дифференциальным уравнениям в частных производных. Метод применим к линейным и нелинейным гиперсингулярным интегральным уравнениям.
1. Одномерные гиперсингулярные интегральные уравнения
В начале раздела приведем несколько определений. Определение 1.1. Класс функций Гельдера Иа (М; а, Ь) (0 < а<1) состоит из заданных на отрезке [а, Ь] функций /(х), удовлетворяющих во
всех точках х и х" этого отрезка неравенству | /(х') - /(х") |< М | х - х" |а .
В случае, когда из текста ясно, на каком множестве рассматриваются функции, вместо Иа (М; а, Ь) будем писать Иа (М). Это замечание относится и к остальным классам функций.
Определение 1.2. Класс Жг (М; а, Ь) состоит из функций, заданных на отрезке [а,Ь], непрерывных и имеющих непрерывные производные до (г -1) -го порядка включительно и кусочно-непрерывную производную г -го
порядка, удовлетворяющую на этом отрезке неравенству | /(г)(х) |< М.
Определение 1.3. Класс ЖгИа (М;а,Ь) состоит из функций, заданных на отрезке [а,Ь], непрерывных и имеющих непрерывные производные до
г -го порядка включительно, причем /(г)(х) е Иа (М;а,Ь).
Определения гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегралов приведены в [12].
Рассмотрим гиперсингулярное интегральное уравнение
а(0х(0 + ^ Г ^^ + Г^,Т)х(т)^т = /(¿), р = 2,3,..., (4) т •'у (т - {)р •'у
где у - гладкий замкнутый контур в плоскости комплексной переменной.
Обозначим через Б+ () внутреннюю (внешнюю) область
относительно контура у. Через В+ обозначим замыкание области В+.
Обозначим через О открытую область такую, что В+ с О. Рассмотрим характеристическое уравнение
а(,)х(0 + М Г^ = /(,). (5)
т •'У (т-г1)р
Будем искать решение уравнения (5) в классе функций, аналитических в и удовлетворяющих условию хе Жр-1Иа (М,у).
На функции а(^), Ь(^), / (^) наложим следующие условия:
1) функции а(г), Ь(г), /(г) аналитические в О;
2) функции а(^), Ь(^), /(^) являются следами функций а(г), Ь(г), /(г) на контуре у;
3) а(г) Ф 0 при г е Б+.
Покажем, что уравнение (5) при перечисленных выше условиях имеет по крайней мере (р —1) линейно независимое решение.
* р—1
Предположим, что уравнение (5) имеет решение х (() е Жр Иа (М,у). Так как а(г) Ф 0 при г е О, то
_ f (t) b(t) 1 г x (г)dг
x*(t ) = ft) - bit) _L Г
a(t) a(t) ni Jy
d г;
a(t) a(t) ni Jy (г -1)p пользуясь определением гиперсингулярных интегралов [18], имеем
d г.
x*(t) = Ж - М 1 Г x*(p-1)(г)dг
a(t) a(t) ni(p -1)! гу г-1 Функция
Y(z) = ± Г x*(г)dт _ 1 Г x*(p-1)(г)dг ra'J y (г- z)p ni( p - 1)N y г- z
является аналитической при z ^ y .
*
Таким образом, функция x (z), определяемая формулой
x*(z) = Ж - 1 b(z) 2. Г x*(p-1)(г)dг
a(z) ni(p -1)! a(z) ni J г-z
У
является аналитической в D+.
*
Следовательно, функция x (t) является граничным значением аналитической функции
f (z) b(z) 1 r x*^^, _f (z) b(z) 1 fx*(p-1)Cc)dг
, -йт = -----I -йт
а(г) а(г) га •'у (т — г)р а(г) а(г) л/'(р — 1)Ыу т — г
и может быть продолжена в область Б + функцией
х*(г)= ш — М± I /(т)йтйт.
а(г) а(г) л/•>у (т — г)р
* +
Функция х (г) является аналитической в Б . Кроме того, * р—1
х (^) е Иа(М,у) по предположению. Тогда имеем [18]:
1 г x ^)dг г = 1 dp 1 г x (г)dг ni гу (г-t)p ni(p-1)! dtp-1 гу г-1
d г
и, так как для функций, аналитических в 0+ и удовлетворяющих условию
*
х (¿) е Иа, справедливо равенство [1]
*
1 г х (т) , * ' -ёт = х Ц),
то имеем
Ki Jy х-1
1 Г х*(х) ^ 1 dp-1 *
— --t—dх =---x (t).
Ki JY (х — t)p (p - 1)!,-"p-1
Таким образом, решение х (¿) уравнения (5) удовлетворяет дифференциальному уравнению
^ х*(Г) + о(0 х*(Г) = / (0. (6)
( р -1)! ёР-1
Показано, что если уравнение (5) имеет решение х( ¿) е Жр-1Иа (М,у) и выполнены условия 1-3, то указанное решение уравнения (5) удовлетворяет дифференциальному уравнению
+ (р-1А(,>=<Р-!т (7)
ЛР-1 Ъ(0 6(0
Это обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее (р -1) линейно-независимое решение.
Найдем решение уравнения (7) при различных значениях р.
Пусть р = 1. Тогда уравнение (7) преобразуется к следующему функциональному уравнению:
x(t)
\+at) 1=ж
b(t) I b(t)'
решение которого равно
x(t) = - f(t)
a(t) + b(t)
В предположении, что а(г) + Ъ(г) Ф 0, ге О, функция х(^) является аналитической в области О. Она также является решением сингулярного интегрального уравнения (5), в чем непосредственно убеждаемся, подставив х(0 в (5).
Таким образом, множество решений уравнения (5), принадлежащих классу функций ЖР 1Иа, содержится среди множества решений дифференциального уравнения
Ъ(0 ёР-1
() — х(() + а(0 х(0 = / (1). (8)
-1
(p — 1)! dtP—
Если индекс уравнения (5) равен нулю, то решение единственное. Пусть р = 2. Гиперсингулярные интегральные уравнения с особенностью второго порядка находят широкое применение в физике и технике. Решение гиперсингулярного интегрального уравнения
a(t)x(t) + bГ -^Ldг = f (t)
ni jy in- _ /л2
л/ •'у (т —г)2
сводится к решению дифференциального уравнения
йх(г) + ОО ) = /г) йг Ъ(г) Ъ(г)'
Решением последнего уравнения является функция
(9)
- J pov г
x(t) = e t0
t - J p(x)dг x(t0) + J д(г)е t0 dг
(10)
/ ч а(г) /(г) где р(г) =-, ) =-; интегралы вычисляются по контуру у, ^ е у.
Ъ(г) Ъ(г)
Из формулы (10) следует, что для получения однозначного решения уравнения (9) требуется задать начальное условие в некоторой точке ¿0 е у. Приведем модельный пример. Рассмотрим уравнение
2 + г2 г х(т)
x(t) +
-d г =
ni y (г-t У
+ 2t2 )<
,2t
(11)
где у - замкнутый гладкий контур, во внешности которого находятся точки
±/', ±72/, ±л/3/.
Точное решение этого уравнения:
х(г ) = е2г.
Уравнение (11) сводится к дифференциальному уравнению
1
dx(t) dt 2 +1
. . 5 + 2t2 2t -x(t ) =-r e2t.
2 +12
(12)
Частным решением этого уравнения является функция хрГ = е Общим решением однородного уравнения
2t
1
-x(t) = 0
dx(t) dt 2 +t
является функция xc (t) = Aexp \ --J=arctg-^=j, где A = const.
Функция асГ^ г выражается через натуральный логарифм формулой
I (1 + ¡г г = — Ьп
2 ^ 1 - ¡г
Следовательно, функция асГ^ г аналитическая в плоскости комплексной переменной всюду, за исключением точек ±i.
Обозначим через О ограниченную замкнутую область во внешности которой лежат точки
В этой области решение дифференциального уравнения (12)
* и -72^72
х (^) = е + Ае V2 является функцией аналитической, а коэффициент
-Хг не обращается в бесконечность.
1 + 12
*
Следовательно, функция х (¿) также является решением исходного гиперсингулярного интегрального уравнения (11).
Непосредственная проверка подтверждает это утверждение. Предложенный метод сведения гиперсингулярных интегральных уравнений к дифференциальным уравнениям распространяется на составные гиперсингулярные интегральные уравнения и нелинейные гиперсингулярные интегральные уравнения.
В качестве примера рассмотрим составное гиперсингулярное интегральное уравнение
ар (()р х(т)<^т 1 ар-1(()р х(т)dт + +
1 г х(х)ат "p-ivy г
J (т- t)Р m J
m - (т-i)p m J (т-t)p-1
^хЩ. + ) = т (13)
то т - ^
у
где у - гладкий замкнутый контур.
Пусть контур у расположен в ограниченной замкнутой области О.
*
Пусть уравнение (13) имеет решение х ( 0 , аналитическое в области О.
Тогда, как следует из определения гиперсингулярного интеграла и формул
*
Сохоцкого - Племеля, решение х ( 0 уравнения (13) является также решением дифференциального уравнения
dp x(t) dp~ х(t) dx(t)
' —p-i— + ap-i(t)-p- 1 1 - *
dtp-i P dtp~
ap (t)-p-T + ap-i(t)-Т-Т-+ + °i(t)+ °o(t) x(t) = f (t )• (14)
r J+V-1 r A+V-2 nt
В случае, если уравнение (14) имеет решение, представимое в аналитической форме и являющееся аналитической в области О функцией, то это решение будет также решением гиперсингулярного интегрального уравнения (13).
В частности, этим свойством обладают уравнения с постоянными коэффициентами и с аналитической в области О правой частью.
Обратимся к нелинейным гиперсингулярным интегральным уравнениям
f
1 г x(x)dт 1 г x(x)dт 1 г
VJ J irr _ ЛР ' Vi J irr _ +\P_1 ' ' Vi J
1 rx(T)d т
Л
v Jy (т-t)p Jy (т-t)p-
mJ т -1
1
, х(т)
=f (t),
(15)
где £ - нелинейный оператор; у - гладкий замкнутый контур.
Пусть О - ограниченная замкнутая область, в которой расположен контур у.
Если уравнение (15) имеет аналитическое в О решение, то это решение удовлетворяет дифференциальному уравнению
£l (х( p-1) (t), х( p-2) (t), • • •, x'(t), x(t)) = f (t),
(16)
где £1 - оператор, полученный из £ заменой гиперсингулярных операторов и сингулярного оператора соответствующими дифференциальными операторами.
Если решение уравнения (16) представимо в аналитической форме в виде аналитической в О функции, то эта функция является решением уравнения (15).
Приведем пример.
Рассмотрим уравнение
N2
1 г x(T)dт 1 г ni J irr _ A2 ni J
(
VJ 1 (т-t)
1 cx(i)d т
V
mJ т -1
v 1
1 rx^d т
- 3 " J"
TO J т -1
1
= -4, t ey.
(17)
Используя предложенный выше метод, приведем это уравнение к дифференциальному уравнению
- х2(х) - 3х(х) = -4, х еу. (18)
&
Решением этого уравнения является функция
. . с - 4с2е5х х(х) = ^-, хеу.
С + С2е
Замечание. Известно [19], что решением дифференциального уравнения
у'(х) -у2(х) -3у(х) + 4 = 0, хе Я,
на числовой прямой является функция
с1 - 4с2е5х у = —-хе Я.
С1 + c2e
5t
Непосредственной проверкой можно установить, что функция
х( z) = 4с2^5 z
ci + C2e5z
является решением уравнения
х'(z) - (х(z))2 - 3х(z) + 4 = 0
в любой точке z плоскости комплексной переменной z. Функция
/ч C| - 4c2e5z c - 4e5z
х( z)-зТ =-sT,
c1 + c2e5 z c + e5 z
где c - числовой параметр, является аналитической в плоскости комплексной переменной всюду за исключением точки z = i-Ln^c).
Обозначим через ImG9(z) множество значений, принимаемых функ-
5 z
цией ф(z) = -e , когда z е G.
c - 4e5t
Тогда, если c £ ImGф(z), то функция х^) =-5—, t еу, является
c + e5t
решением уравнения (17).
2. Полигиперсингулярные интегральные уравнения
В этом разделе выделены классы полигиперсингулярных интегральных уравнений, для которых возможно получение решения в аналитическом виде. Для простоты обозначений ниже ограничимся рассмотрением бигиперсингу-лярных интегральных уравнений.
Рассмотрим бигиперсингулярное интегральное уравнение
a(t„ t2 Mti, t2) ♦ ^ J dт, ♦ ^ J dT2 -
m У, (T - ti)p m У2(Т2 -12)p
-^ JJ х(т1,Tp>dTldT2 p = f(ti,t2),(ti,t2)е fti хЫ (19) * yV2(T -11)p (T2 -12 )p
где i - гладкий замкнутый контур в плоскости комплексной переменной zi , i = 1,2. Обозначим через у контур у = У1х У2.
Обозначим через Gi замкнутую ограниченную область в плоскости Zi такую, что -i лежит внутри Gi, i = 1,2.
Обозначим через G область G1 х G2.
*
Покажем, что если уравнение (19) имеет решение х (t1, t2) аналитичес-
*
кое в области G, то функция х (t1, t2) также является решением дифференциального уравнения
а(х1, х2)х(х1, х2) + + ФМ Эр-1 хЦ, х2) +
(Р -1)! Эхр-1 (р -1!) Эхр-1
+ &(хl,х2) Э2р-2х(хl,х2) = ) (х х )е ) + ((р -1)!)2 Эхр-1Эх2Р-1 = /(Xl,X2), (х1,х2)е (У1 ХУ2).
Для обоснования перехода от бигиперсингулярных интегральных уравнений к дифференциальным уравнениям воспользуемся аналогами формул Сохоцкого - Племеля для кратных интегралов типа Коши.
Пусть в плоскости комплексной переменной контур уг- делит ее на
две части: внутреннюю Вг+ и внешнюю В-. Тогда у = у1 Х у2 является
границей регулярных бицилиндрических областей В±± = В± Х В2. Рассмотрим двойной интеграл типа Коши:
Ф(^2) = 1 2 Г ■4*4 (20)
(2Л/)2 у (■ - ^)(Т2 - ^2)
Рассмотрим интегралы:
51ф = ^ Г ф(Х1,х2)&Х1 , ^2ф = ^ Г Ф(х1,■2)&Т2 ,
Л/ у Х1 - х1 то у Т2 - х2
у1 у2
_ 1 Рф(Х1, %2)&т1&т2
^12Ф = 2 J
ю2 у (■ - х1)(Х2 - х2)
Обозначим через Ф±± (х1, х2) предельные значения интеграла (20), когда
точка (21,^2)е В±± стремится к точке (х1,х2)еу.
Известны [1, с. 83] следующие формулы, являющиеся многомерным аналогом формул Сохоцкого - Племеля:
Ф++± Ф+-± Ф-++ Ф-- = Р12^ (21)
Ф++ + Ф+-±Ф-+-Ф-- = (22)
№Ф.
Воспользовавшись определением бигиперсингулярного интеграла, имеем
Vt JJ-
x(Tl, т2) d Tld т2
V21i 12(т1 -11)p(т2 -12)p
1 1 jj x(p-1,p-1)(Tl,T2)dTldт2 JJ (т - и )(т. - и) '
((p - l)!)2 V2 yJlYJ2 (т1 - tl)(т2 - t2)
Из формулы (21) следует, что
х(р-1,р-1)(ть т2)аххйт2 _
i II-
^уу (T1 - t1)(T2 -12)
У1У2
= X--1, p-1 (t1, t2) + Xp-1, p -1 (t1, t2) + Xp-1, p-1 (t1, t2) + Xp-1, p-1 (t1, t2), (24)
где
х( p-1, p-1)(T1, T2)d T1d T2
Xp-1,p-1(z1,z2)~ 1 2 JJ
(2я/)2 у у (Т1 " ^1)(Т2 - ^ у1у2
Так как функция х(р-1,р-1)(предполагается аналитической в области О, то из интегральной формулы Коши [20] следует, что
К-1,р-1('1,Ъ)_ х(Р-1,Р_1)(^1,'2),
4+ ,р-1(^1,^2) _ 0, Х--1,р_1(*1,^2) _ 0.
Отсюда и из (23), (24) имеем
1 г Г х(^1,т^т^ _-1х(р_1,р_1)(^1,,2). (25)
у1 у2(Т1 _ '1)р(Т2 _ '2)р ((р _ 1)!)2 1 2
Ранее было показано, что
1Г х(т1,'2) ат1 = эр-1х(^у'2), (26)
я»- УГ1(Х1 - '1)р 1 (р -1)! Э'р -1 ' '
-1 Г Х('1,Т2) аХ2 _Э^Ь'2) (27)
я» у2(Х2 - '1)р 2 (р - 1)! Э'2р-1
Подставляя (25)-(27) в уравнение (19), приходим к дифференциальному уравнению
а('1,'2)х('1,'2) + (р -1)! э,р-1 + , с('ь'2) эр-1*('ь'2) , а('l,'2) э2р-2'2) _ Г(. . ) (28)
+ (р-1)! Э'2р-1 + ((р-1)!)2 Э'р-1Э'р-1 _ /('1,'2). (28)
Таким образом, показано, что если гиперсингулярное интегральное уравнение (19) имеет решение, аналитическое в области О, то оно является также и решением дифференциального уравнения (28). Нетрудно видеть, что справедливо и обратное - если дифференциальное уравнение (28) имеет
решение, аналитическое в области О, то оно является также и решением гиперсингулярного уравнения (19).
Пример. Рассмотрим бигиперсингулярное интегральное уравнение
а Г Г аТ1 + (Ц + с) ГГ ах2 = 0, (29)
j (XI -А)2 jJ (х2 - м2
у1у2 1 у1 у2
где у у — замкнутый гладкий контур в плоскости комплексной переменной 2, У = 1,2, а,Ь,с — константы.
Обозначим через О = О1 х О2 область, внутри которой расположен контур у = У1 ху2, уг- е Оу, У = 1,2.
Из приведенного выше метода следует, что если уравнение (29) имеет аналитическое решение в области О, то это решение также является решением дифференциального уравнения
а дМ^ + + с) дМ^ = 0. (30)
Эх1 Эх2
Главный интеграл этого уравнения равен [21]
1 2
х (¿Ь ¿2) = 2 Ь1 + ^ — аХ2.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что функция X (¿1, является решением гиперсингулярного интегрального уравнения (29).
Пример. Рассмотрим нелинейное полигиперсингулярное интегральное уравнение
± Г+ -1- Г^^ — Ьп(¿1,¿2) = 0Леуу= 1,2, (31)
^(Х! — ¿1)3 у2(Х2 — ¿2)3
где у у — ограниченный гладкий замкнутый контур на плоскости комплексной переменной , У = 1,2, п - натуральное число, п > 2.
Уравнение (31) сводится к дифференциальному уравнению в частных производных следующего вида:
+ — ьп (¿1, ¿2) = 0, (32)
Э^2 Эх2
где еуУ, У = 1,2.
Предполагается, что уравнение (31) имеет решение, которое является аналитической функцией в области О, включающей контуры У1 и у 2.
В предположении, что переменные ^ и ¿2 действительные, уравнение (32) имеет ряд решений, из которых остановимся на точных решениях вида [21]:
х(М2) = (А¿1 + Ы2 + С)2/(1—п),В = ± — А2; (33)
у 2(п +1)
х(^, t2) = 5[(t1 - С1)2 - (t2 - С2)2]
2.1/(1-«)
,s = [1 k (1 - «)2]1/(1-и), (34)
где А,С, С1,С2 - произвольные константы.
Рассмотрим решение (33). Выбор константы А ограничен условием
('1,'2)е О (А'1 + В'2 + С) Ф 0. Здесь полагается, что ^, - _1,2,-комплексные переменные. Тогда функция х('1,'2) является аналитической в области О. Непосредственной проверкой легко убедиться, что функция х('1, '2) удовлетворяет уравнению (31).
Аналогично, при константах С и С2 таких, что функция 2 2
('1 + С1) + ('2 + С2) Ф 0 при ('1, '2) е О, функция (34) удовлетворяет уравнению (31).
1. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - М. : ГИФМЛ, 1963. - 639 с.
2. Гохбеpг, И. Ц. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. - М. : Наука, 1971. - 352 с.
3. Пресдорф, З. Некоторые классы сингулярных интегральных уравнений / З. Пресдорф. - М. : Мир, 1979. - 494 с.
4. Mikhlin, S. G. Singular Integral Operatoren / S. G. Mikhlin, S. Prossdorf. - Berlin : Acad.-Verl., 1980. - 514 p.
5. Михлин, С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. - М. : Физматгиз, 1962. - 254 с.
6. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. - Киев : Наукова думка, 1968. - 287 с.
7. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2004. - 316 с.
8. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов. - М. : Янус, 1995. - 520 с.
9. Prossdorf, S. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations / S. Prossdorf, B. Silberman. - Berlin : Acad.-Verl., 1991.
10. Некрасов, А. И. Теория крыла в нестационарном потоке / А. И. Некрасов. -М. : Изд-во АН СССР, 1947. - С. 3-65.
11. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. - М. : Янус-К, 2001. - 508 с.
12. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. II. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2009. - 252 с.
13. Boykov, I. V. An Approximate Solution of Hypersingular Integral Equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Appl. Num. Math. - 2010. - Vol. 60. -Р. 607-628.
14. Boykov, I. V. An approximate solution of nonlinear hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, V. A. Roudnev, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. - 2014. - December. - Vol. 86. - P. 1-21.
Выберем константу C таким образом, чтобы при
Библиографический список
15. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, М. А. Семов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2015. - № 3 (35). - С. 11-27.
16. Бойков, И. В. Проекционные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений на фракталах / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, П. В. Айкашев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. - № 1 (37). - С. 71-86.
17. Mandal, B. N. Applied Singular Integral Equations / B. N. Mandal, A. Chakrabani. -USA : CRC Press, 2011. - 264 p.
18. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского университета. -1953. - Т. 113, кн. 10. - С. 57-105.
19. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - СПб. : Лань, 2003. - 576 с.
20. Фукс, Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных / Б. А. Фукс. - М. : ГИФМЛ, 1962. - 420 с.
21. Зайцев, В. Ф. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. - М. : Физматлит, 2003. - 416 с.
References
1. Gakhov F. D. Kraevye zadachi [Boundary problems]. Moscow: GIFML, 1963, 639 p.
2. Gokhbepg I. Ts., Fel'dman I. A. Uravneniya v svertkakh i proektsionnye metody ikh resheniya [Equations in convolutions and projection methods of their solution]. Moscow: Nauka, 1971, 352 p.
3. Presdorf Z. Nekotorye klassy singulyarnykh integral'nykh uravneniy [Some classes of singular integral equations]. Moscow: Mir, 1979, 494 p.
4. Mikhlin S. G., Prossdorf S. Singular Integral Operatoren [Singular integral operators]. Berlin: Acad.-Verl., 1980, 514 p.
5. Mikhlin S. G. Mnogomernye singulyarnye integraly i integral'nye uravneniya [Multidimensional singular integrals and integral equations]. Moscow: Fizmatgiz, 1962, 254 p.
6. Ivanov V. V. Teoriya priblizhennykh metodov i ee primenenie k chislennomu resheniyu singulyarnykh integral'nykh uravneniy [The theory of approximate methods and its application for numerical solution of singular integral equations]. Kiev: Naukova dumka, 1968, 287 p.
7. Boykov I. V. Priblizhennoe reshenie singulyarnykh integral'nykh uravneniy [Approximate solution of singular integral equations]. Penza: Izd-vo PenzGU, 2004, 316 p.
8. Lifanov I. K. Metod singulyarnykh integral'nykh uravneniy i chislennyy eksperiment [The method of singular integral equations and a numerical experiment]. Moscow: Yanus, 1995, 520 p.
9. Prossdorf S., Silberman B. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations. Berlin: Acad.-Verl., 1991.
10. Nekrasov A. I. Teoriya kryla v nestatsionarnom potoke [The theory of airfoil in nonstationary flow]. Moscow: Izd-vo AN SSSR, 1947, pp. 3-65.
11. Vaynikko G. M., Lifanov I. K., Poltavskiy L. N. Chislennye metody v gipersingulyarnykh integral'nykh uravneniyakh i ikh prilozheniya [Numerical methods in hypersingular integral equation and their applications]. Moscow: Yanus-K, 2001, 508 p.
12. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh integralov. Ch. II. Gipersingulyarnye integraly [Approximate methods of calculating
singular and hypersingular integrals. Part II. Hypersingular integrals]. Penza: Izd-vo PenzGU, 2009, 252 p.
13. Boykov I. V., Ventsel E. S., Boykova A. I. Appl. Num. Math. 2010, vol. 60, pp. 607628.
14. Boykov I. V., Ventsel E. S., Roudnev V. A., Boykova A. I. Applied Numerical Mathematics. 2014, December, vol. 86, pp. 1-21.
15. Boykov I. V., Boykova A. I., Semov M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 3 (35), pp. 11-27.
16. Boykov I. V., Boykova A. I., Aykashev P. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2016, no. 1 (37), pp. 71-86.
17. Mandal B. N., Chakrabani A. Applied Singular Integral Equations. USA: CRC Press, 2011, 264 p.
18. Chikin L. A. Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta [Proceedings of Kazan University]. 1953, vol. 113, bk. 10, pp. 57-105.
19. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniyam [Regular differential equations reference book]. Saint-Petersburg: Lan', 2003, 576 p.
20. Fuks B. A. Vvedenie v teoriyu analiticheskikh funktsiy mnogikh kompleksnykh peremennykh [Introduction into the theory of analytical functions of multiple complex variables]. Moscow: GIFML, 1962, 420 p.
21. Zaytsev V. F., Polyanin A. D. Spravochnik po differentsial'nym uravneniyam s chastnymi proizvodnymi pervogo poryadka [A reference book of differential equations with partial first-order derivatives]. Moscow: Fizmatlit, 2003, 416 p.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Е-таП: [email protected]
Бойкова Алла Ильинична кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Е-шаП: [email protected]
Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Boykova Alla Il'inichna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40, Krasnaya street, Penza, Russia)
УДК 517.392 Бойков, И. В.
Аналитические методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. -№ 2 (42). - С. 63-78. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-2-6
