Приближенные формулы для эллиптических интегралов 3-го рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Т о м X

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

197 9

№ 3

УДК 517.392

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 3-го РОДА

Я. М. Пархомовский

Даны приближенные формулы для вычисления эллиптических интегралов третьего рода. Формулы эти, обладая приемлемой в инженерных расчетах точностью, позволяют в ряде случаев получить окончательный результат в аналитической форме.

Через эллиптические интегралы третьего рода

П(я, к\ ?) =

(1 + П вшЗа) У~1 —

(1)

выражается решение большого числа самых разнообразных задач, в том числе технических.

До последнего времени серьезным затруднением при их вычислении было отсутствие таблиц этих интегралов. Двухтомные семизначные таблицы этих интегралов (1) были выпущены вычислительным центром АН СССР сравнительно недавно. Они охватывают достаточно широкий интервал значений п (— 1 -< п 100), а параметры <р и & изменяются в пределах 0-<<?<; 90°, 0<;&2-<1.

По необходимости в таблицах принят достаточно крупный шаг по п и недостаточно подробно вычислены значения (1) в областях £ и <?, где интеграл весьма быстро возрастает. Это требует интерполяции, при которой, конечно, снижается точность полученных данных. В таблицах, кроме того, не приведены значения интеграла (неполного) при 1.

Поэтому нам представляется не бесполезным предложить приближенные формулы, пригодные для технических расчетов и представляющие 1Т (я, £2, с?) в аналитической форме, позволяющей при решении конкретных задач устанавливать вид искомых зависимостей. Приводимые ниже формулы обладают достаточной для инженерных расчетов точностью во всем диапазоне изменения параметров эллиптического интеграла.

Для построения их используется прием, указанный в [2]. Именно, рассматривается эллиптический интеграл

п*

* ^ = f 77—,-»i ff я (2)

! (1 + Л cos 9) Veos cosa

Здесь 0 <6, 0<а. При 9 —а мы имеем дело с полным

эллиптическим интегралом. Интеграл (2) конечен, если

<Л< — 1 и —1<А<оо при 0<тс/2

cos (

1<Л<--г^Г при 0 > я/2.

cos 6

При „критических" значениях параметров

Л = - 1 (a);

е = * (tf);

Л =--— (в)

cos в v '

(3)

интеграл (2) принимает бесконечное значение.

Линии, описываемые уравнениями (3), в полосе шириной 0 = т. плоскости А, 6 параметров эллиптического интеграла отделяют области, в которых интеграл (2) конечен, от областей, в которых интеграл существует в смысле главного значения.

Интегралы (1) и (2) связаны соотношениями

П(я, к\ ср) = -^-11* (б, а, А), (4)

где

, . а . Sin 2 2№h /r,

A = sin cp = arcsin-, n — — J—(5)

2 ' T c.v-o... a , 1 -j-ft

sinT"

Представляем, далее, (2) в виде конечной суммы

л=1

П*(в, а, А)-2Т(в*. в*+1. А) (6)

k = 0

(s0 = o, б1<е2<...<0„=0),

где

9й + 1

0ft+I> а, А) = Г ——-. (7)

J (1 -f- Л cos ft) У cos 0—cos а

Подынтегральное выражение в (7) аппроксимируем таким образом, чтобы интеграл выражался через элементарные функции. При Д0А = 0^+1 — 0А малом этого можно достигнуть, принимая, что

cosft^ (l — -f)cos0ft+i + cpsin0ft+b (8)

где <p = 0A+1 —

Тогда для (7) получаем приближенное выражение

де,.

еА+ь а, J'

d<f

(«! + 26<р + c<f2) ]/ а + 2b<? + ccp2

При этом

a¡ = —(1 + /zcos6ft+1), 2¿? = sin с =--^-cos6ft+i, a — cos6ft+i — cosa.

(10)

В зависимости от знака и величины Л интервала, в котором расположены и 0А+1, интеграл (9) выражается либо через обратные тригонометрические функции, либо через логарифмы [3].

Вычисления, которые мы опускаем, показывают, что во всем диапазоне параметров Л, 6*+ь а функция 6А+1, а, К) выража-

ется одной из следующих двух формул:

если

и при

W (6Л, 6А+Ь a, h) =

2 В

{arcsin(c sin 6¿+0 —

1 -j- h COS a

— aresin \D (sin 6*+1 — p eos 6A+1)]},

— 2 eos

1 + eos2 6A+J

oo -< л —

<h<--— при а>4-

^ COSa v ^2

1

COSO >

2 сое

<k+X

1 + COS2 0fc + 1

-< h < oo,

если а<-—;

(И)

2B

Х1пЛ

В (sin

ife+1-peoSUft+1

— ) COS + P sin — cosa

k+l ■

В sin + j^cos 0ft+1 — cos

'ft+l

(12)

если

сое а

<h<-

сое 0

при 6ft+I < , а <

i

cos а — оо <Л<

< Л<оо, 1

сое 0

А+1

При 0ft+I <4-, а >-9",

и независимо от величины 6^+1 и a при

— 1<А<-

2 cosí

'J4-J

1+COS2 0a + ] •

1 + h cos a

В формулах (11) и (12):

/

p = (»+1-8„ £> = ЛС, B= у ,Ml.|OJSÍ,,tj|)

у

А =

1 + h cos 0fe+1

cos 0ft+1 + p Sin I

r

„ _ .. , 1 -\-h COS a

у (1 + h cos 0ft+I) (1 + cosaeA+1 — 2 cos б^, cos a)

На „стыках" формул (11) и (12) имеем:

— 4 cos i

X

^(V 6А+Ь a, h) — Л(1 + cos2eft+i_2cos6í+1cosa)

V'F

X

- J cos 6A + 1 + P sin 6A+1 - COS a -^cos eA + 1_

COS a

"fe+l

"ft+1

1

при h ■■

— 2 cos

'A+l

l+COS2 6fc+1 '

COS a

X

X

sin

ft+1'

I COS

"ft+1

— COS a

при h = —

COS I

J + 3 sin 6fe_|_j — COS

cos a

(14)

Наглядное представление об интервалах применения формул (11) и (12) дают рис. 1 и 2.

На полосе шириной я плоскости А, 9 параметров интеграла (2) помимо кривых (3), ограничивающих область конечности интеграла

_2 cos 6

II* (6, a, Л), нанесена пунктиром кривая А = -] — cos2fl .

Пусть требуется вычислить П* (6, a, А), причем й > ™ , a >6. Область конечности интеграла (см. рис. 1) это прямоугольник A BCD, в котором 0<6<(Г, — 1 <А<--Этот прямоугольник

cos в

2 cos 0 „ , — 1

И ПРЯМОЙ А :

разбивается кривой h--

на три час-

i + COS20 1 " cosa

ти. Если точка (Л, 6¿+i) лежит в AEFG (наклонная штриховка), то для вычисления W(0A, 6ft+1, a, Л) применяют формулы (11); если же точки (Л, еА_]_,) лежат в CDGF и ABE, заштрихованных вертикально,— формулы (12). ~

Иными словами, вычисляя интеграл П* (6, a, AJ при значении A = A¡ (см. рис. 1) при разбивке интеграла на участки, следует всюду, где bft+i <6* и 6* = 2 arctg-j/}^, пользоваться формулами (11),

а при 6А+1 > 6* — формулами (12). Если А — А2, то П*(6, a, А2) — сумма слагаемых, каждое из которых вычисляется по формуле (11).

6—Ученые записки Л"» 3

81

Рис. 1

Рис. 2

На рис. 2, а и б,' в которых соответственно 0< -у , а<-тг

и косой штриховкой отмечены области примени-

мости формул (11), вертикальной штриховкой — формул (12).

Отметим одно обстоятельство. При переходе от (7) к (9) и при аппроксимации по (8) подынтегрального выражения сохраняются [см. (3)] „критические" значения параметров (б) и (в) и сдвигается вправо — в сторону больших значений А—критическая точка (а).

Поэтому, если необходимо вычислить интеграл (2) при значениях Л^ —1, надо применить другую аппроксимацию подынтегрального выражения. Выделяем интеграл

о

W (О, 6, ос, А) = Г --- ff ; (15)

J (1 + h cos ») у cos » — cos a

о

полагаем <x>o, a Добычно можно брать 8 — j . При-

ближенное значение (15) получим, аппроксимируя

й 1 ®2 COSOii; 1 — — .

2

Это дает для (0, 8, ос, А) выражение:

V2__

]/"(! + Л) Г(1 + Л) — 2Лsin2 —-j

W(0, 8, а, Л) « г V2 X

/ 1 + h — 2ft sin2 ~ f 1 + h — Й52

ХагС5!п-V" I/ —-

281Пт

При 0а+1>8 уже применяются формулы (11) или (12). Сравнение приближенных формул для эллиптического интеграла с их табличными или точными значениями показывает, что ошибку, не превышающую 1 —1,5%, можно получить, перекрывая весь интервал 0(О<0<>) всего четырьмя-пятью участками. Для

значений 1 Л | < — можно ограничиться уже тремя-четырьмя

О А 1 . 100 1 11

участками. В табл. 1 для значении Л — — ---^ ,--¡г>ТГ'

~ и 1 при а = и приведены значения неполных интегралов

II* (0, а, А), определенных по формулам (11), (12) (верхние цифры каждой строки) и их табличных значений по [1] (нижние

цифры строки). Интервал разбивался на четыре части. Для А = — ^

выделялась дополнительно область малых 0 = При Л = 1,

а — т: интеграл П*(0, к, 1) псевдоэллиптический и сравнивалось его точное значение с приближенным. Для удобства в табл. 1 и 3 приведены пересчитанные по формулам (5) значения П(л, А2, у). В скобках первой строки и столбца табл. 1 даны значения пара-

Таблица I

е\ 100 -102-; <"»> - 0,5; (2) -у; 4-; (-о-5) ( т) 1; (-1)

30° (15°) 0,12353 0,12164 0,25372 0,25369 0,25901 0,25905 0,26095 0.26791 0,26879 0,26897 0,27064 0,26955

60° (30°) 0,13925 0,14142 0,47456 0,47324 0,50687 0,50648 0,57430 0,57606 0,58464 0,58605 0,60438 0,60798

90° (45°) 0,14924 0,15034 0,66580 0,66403 0,74910 0,74843 0,97906 0,98591 1,0228 1,031 1,1339 1,1478

120° (60°) 0,15609 0,15718 0,85837 0,85669 1,0157 1,0153 1,6184 1,626 1,783 1,7926 2,3684 2,3905

150° (75°) 0,16429 0,16539 1,1136 1,1184 1,3969 1.3978 2,8609 2,8747 3,4521 3,4717 8,1581 8,2236

170° (85°) 0,17551 0,17662 1,4924 1,4933 1,9531 1,9574 4,9958 5,0237 6,5721 6,6279 66,800 67,138

178° (89°) 0,19144 0,19260 2,0282 2,0308 2,7564 2,7633 8,1974 8,2365 11,36338 11,4614 1642.6 1643.7

2

метров п и <р(&2=1). Значения (табличные) при п = ~?г были

получены линейной интерполяцией.

Из табл. 1 легко усмотреть вполне достаточную точность приближенных формул. Важно отметить, что эта точность сохраняется и вблизи критических значений параметра. В табл. 2 (с шестью знаками) дано сравнение точных значений псевдоэллиптического интеграла

в

]/2II(6, 1) = У2$

и

Таблица 2

в 178°,5 179° 179°,25 179°,5 179°,5

Точное значение Приближенное 2065,09 2064,22 4644,48 4643,40 8255,46 8254,33 18572,4 18572,0 116065,0 116055,0

с приближенными при 6, близких к 180°. (При вычислении приближенных значений весь интервал разбивался только на четыре участка).

Наконец, в табл. 3 дано сравнение табличных значений интеграла

90°

П (л, 0,5, 90°) = Г-dl (17)

J (1 + /JSin2cp) )/ 1 -0,5sin8<f v '

с приближенными ^здесь 0 = для ряда значений л, лежа-

щих во всем диапазоне таблиц [1]. Значения Л, соответствующие заданным л и вычисленные по формулам (5), даны во второй строке таблицы. При использовании приближенных формул весь интервал разбивался на два равных участка. Таким образом, приближенная формула для интеграла (17) выглядела для А > 0 следующим образом:

П(л, 0,5, 90С)==-Щ , А),

где

П* I——, — 2 2

h) = 2

arcsin

1

/ 3 / тс

/ — (1 + ЛС08 —

— arcsin

Т 51 \ . К

/

1+А 1

я \ Я

--)--cos —

32 ' 4 / 4

+

ЗЛ + 4 cos —

fw(i-arcsinl/TT^) •

Таблица 3

п -0,995 -0,9 -0,7 -0.5 -0,1 10 50 80 100

h 199 9 7 т 1.0 1 9 -0,90909 -0,98039 -0,98765 -0,99010

Табличные значения 30,641 6,4255 3,5621 2,7013 1,9633 0,51060 0,22886 0,18025 0,16093

Приближенные значения 30,546 6,3529 3,5128 2,6656 1,9438 0,51324 0,23049 0,18036 0,16140

При А<0 интервал разбивался на три участка — выделялась

водились по формуле (16).

Таким образом, погрешность всюду лежит в пределах 1%. Если же при Л>0 перекрывать весь интервал одним участком, то наибольшая погрешность не превысит 5%.

1. Беляков В. М., Кравцова Р. И., Раппопорт М. Г. .Таблицы эллиптических интегралов*, т. 1, 2, М., АН СССР, 1962, 1963.

2. Пархомовский Я. М. Приближенные формулы для эллиптических интегралов и примеры приложения их к двум задачам нелинейной статики упругих балок. „Ученые записки ЦАГИ", т. 9, № 4, 1978.

3. Тимофеев А. Ф. Интегрирование функций. М. — Л., ОГИЗ ГТТИ, 1948.

дополнительно окрестность

вычисления про-

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 30\111 1978 г.