О интеграле фурьеразрывной функции двух переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 1

Р. Н. Мирошин

О ДИСПЕРСИИ ЧИСЛА НУЛЕЙ НЕКОТОРЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ: МАЛЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ ОТ ПРОСТЫХ РЕШЕНИЙ

Задача представления моментов числа нулей случайного процесса в виде простых аналитических формул не теряет своей актуальности с середины прошлого века из-за востребованности этих формул в приложениях (статистике, медицине, аэродинамике, радиофизике, океанологии и др.). Трудность этой задачи в том, что указанные моменты суть 2т-кратные интегралы (т — порядковый номер момента), которые, вообще говоря, содержат особенности в подынтегральной функции и потому стандартные вычислительные процедуры к ним не применимы. Полный ответ (т. е. для всех т) удалось получить только для двух гауссовских стационарных процессов [1]: косинус-процесса и процесса Уонга, да и то в последнем случае при т > 2 моменты сведены к двухкратным интегралам от комбинаций спецфункций [1—2]. При т = 2, т. е. для дисперсии числа нулей, имеется для стационарных гауссовских процессов формула в виде однократного интеграла [3], упрощенная недавно нами [4], что позволило для трех процессов выразить дисперсию через элементарные функции [5-6] (в дальнейшем мы будем называть эти формулы простыми решениями). В предыдущем нашем сообщении [7] указаны неравенства для дисперсии числа нулей процессов, корреляционные функции которых отличаются от корреляционных функций вышеупомянутых процессов лишь значениями параметров. В настоящей работе мы используем асимптотический анализ по малым отклонениям вышеуказанных параметров от тех, для которых дисперсия известна в виде простого решения. Попутно рассматривается обратная задача: определить корреляционную функцию процесса по дисперсии числа его нулей.

Рассмотрим стационарный гауссовский дифференцируемый случайный процесс ^ с нулевым средним и корреляционной функцией р1 = М£о&. В задачах, связанных с моментами числа нулей такого процесса, не теряя общности можно выбрать масштабы по осям координат таким образом, что ро = —р'0 = 1 [1], тем самым уменьшая число параметров корреляционной функции. Если мы хотим знать результат для произвольных ро и ро, нужно только в итоговых формулах умножить рг на ро, а £ — на -\/—Ро/ро-Например, для среднего числа нулей щ стационарного гауссовского процесса в интервале [0,*] при ро = -р'0 = 1 имеем N1(4) = Мп = ^¡п, а при произвольных ро и р'0 соответственно

£ I —р"

= — ■ \ —(формула Райса). п у ро

С учетом этого замечания положим ро = -ро = 1.

Перечислим простые решения. Дисперсия числа нулей в интервале [0, *] определяется формулой

У(г) = м[т - N1(4)]2 = м2(г) + N1(4) - N2(4),

где N2(4) = Мщ(щ - 1) —факториальный момент второго порядка, выражаемый интегралом (см. (11)—(12) или (27) ниже), который удалось пока упростить лишь в следующих трех случаях:

© Р. Н. Мирошин, 2006

— для косинус-процесса, т. е. стационарного гауссовского процесса с корреляционной функцией

рС = 1 - /2 + /2 cos(t//), 0 </ < 1, (1)

имеем ([8], с. 145-146)

t 2

= =---arcsin yttsin — при 0 < t < 2тг/л;

п п V 2/ '

(2)

— для процесса Уонга, т. е. стационарного гауссовского марковского процесса первого порядка с корреляционной функцией

3 1

Pf = - -¥>l(t), где ipw(t) = ехр{ —|£|/л/3},

имеем [4-5]

N2(t) = NW(t) =

t 1 3 + 3^ ~ 12 +

arcsm

(t)

и для стационарного гауссовского процесса с корреляционной функцией

у-2 U|3

= + пРи < 2 л/3,

(3)

(4)

(5)

являющегося примером локально марковского процесса первого порядка и примером возвратного процесса первого порядка, имеем [9]

t 1 3

3п 12 п2

1t

arcsin |---=

2 2A/3

при

О < t < 2л/3- (6)

Существование корреляционных функций (5), т.е. продолжимость (5) за пределы интервала |t| < 2а/3, доказана в [1].

Заметим, что простые решения (2), (4) и (6) можно выразить через корреляционные функции (1), (3) и (5), если рассмотреть (1), (3) и (5) как уравнения относительно cos(t//), pw(t) и |t| соответственно и их решения подставить в (2), (4) и (6). При этом из трех корней уравнений (3) и (5) смысл имеет соответственно лишь корень

(t) = -2cos(^/3 + 4n/3) = 2sin(n/6 - ф/3) при cosф = pw, (7)

t = a/3 - 2а/Зсо8(^/3 + тг/З) = л/3 - 2V3 sin(n/6 — ф/3) при cos ф = pm. (8) Подставив (7) и (8) соответственно в (4) и (6), объединяем (4) и (6) единой формулой

',2

NW (t)

Nm(t)

п 3 п 3п 3п2

где cosф = pW для (4) и cosф = pm для (6). Из (2) с помощью (1) находим

2

NC(t) =

• V1 ~Pt ■ л/1 ~Pt и ■ arcsin --=--arcsin -—=—

V2

MV2

(9)

(10) 51

2

2

t

2

п

2

п

Таким образом, простые решения связывают корреляционную функцию pt с N2(t) простыми (без интегралов) аналитическими формулами (9)—(10).

Уместно задаться вопросом, а нельзя ли решить обратную .задачу — по N2(2) определить корреляционную функцию соответствующего процесса? Мы рассмотрим случай, когда эта задача решается просто. Исходим из представления [4]:

2 Í1

N2(*) = —/ (t-r)(-f")(a + ctga)dr, (И)

п J о

f''sin f -r fí \ íio\

где sina = _ / = /(r) = arccospT (12)

(штрихом отмечается дифференцирование по т).

Предположим, что в (11) а = ао = const, и определим, какие корреляционные функции допускают это. Интеграл (11) вычисляется аналитически (интегрируем по частям):

2 Í'1

N2{t) = —{ao + ctgao) / (í - т)(-/"(r))dr

п Jo

2 («о + ctgaoj

0 2

—т(о;о + ctga0)(í - arceospt), (13)

поскольку f (т) = arccos pT.

Для определения f = f (t) имеем дифференциальное уравнение

f'' sin f

<* = -t=W (14)

в котором со = sinао = const. Обозначив y = f (t), запишем (14) в виде

y" sin y - co(y')2 + со = 0.

Это уравнение решается с помощью перехода к обратной функции t = t(y) и введения новой неизвестной функции

ф = Ф(у) = y'(t(y)), (15)

для которой получаем уравнение

ф'ф sin y - соф2 + со = 0, (16)

ибо y" = ф'ф. Штрих в (16) отмечает производную по y. Уравнение (16) сводится к уравнению с разделяющимися переменными

2ф'ф 2 + -- =0

со(1 - ф2) sin y

и легко решается:

Ф2 = l-ci(tg¡VC0, (17)

где ci —новая положительная постоянная. 52

Так как ро = 1 и, следовательно, у = агееовро = 0 при £ = 0, интегрируя (15) с использованием (17), находим, что

jrW , dy 2 • (18)

./о J о / \2c°

4/1-dítg*

(19)

В частном случае со = 1 интеграл (18) табличный [10]:

2

¿(Л = /-, , arcsin V1 + С1

_ /

а/1 + oí sin -

где по-прежнему ] = aгccos р1.

Обратим функцию (19), выразив р1 через Очевидно,

. arceos pt . Ía/1 + с\

V1 + с\ sin-= sin

т.е.

о • I 1 • Vl + сГ,

arceos pt = 2arcsm . sin- . (20)

\a/1 + cI 2

Из (20) следует, что

Pt = 1 - —— + —í— cosía/1 + ci . (21)

1+ C1 1+ C1

Обозначив

= 0<м<1,

1 + С1

приводим (21) к виду (1), т.е. получаем корреляционную функцию косинус-процесса. Равенство (20) запишется в виде

( t \

arceos pt = 2 arcsin /xsin— .

V 2¡J

Так как со = sin ао = 1, имеем ао = п/2, ctgao = 0. Поэтому из (13) получаем

N2 (t) = - - - arcsin (ц sin , (22)

п п V 2¡J

т.е. формулу, совпадающую с правой частью (2). Ограничение 0 <t < 2п¡ следует из того факта, что в (22) скобка должна быть положительной.

К сожалению, при значениях со = 1 аналитически обратить функцию (18) не удается, хотя численно это не сложно. Например, делая в (18) замену переменной

х2 = 1 - С1 (tg| 4 мы приводим интеграл к виду

со JX0 с1/С0 + (1-x2)1/co

2

где

2 ( Л2со

х0 = 1 - Ci ( tg- J , / = arceospt.

Делая в (23) замену переменной x = sin y, видим, что при со < 1 никаких особенностей в подынтегральной функции в (23) нет, так что интеграл (23) легко сосчитать по любой стандартной программе. Впрочем, для некоторых значений со, например, при со = 1/2 он вычисляется аналитически.

Заметим, что мы можем записать (13) в виде

откуда следует, что измеряя N2(t) по реализациям любого процесса, мы можем сопоставить этому процессу процесс с корреляционной функцией (24), зависящей от параметра «о + ctgao € [п/2, ж). Последний процесс получается из косинус-процесса заменой времени на

п2

Í-—--N2(t) (25)

2(ao + ctgao) W V ;

в интервале монотонности функции (25), т.е. обратная задача определения корреляционной функции гауссовского процесса по второму моменту числа его нулей не является однозначной: для любого гауссовского процесса существует косинус-процесс, имеющий тот же самый момент при подходящем преобразовании времени в интервале монотонности (25).

Перейдем к изучению N2(t) для процессов, мало отклоняющихся от трех вышеупомянутых, и определим для них два первых члена асимптотики. Первый совпадает с простым решением, а второй пропорционален отклонению параметра корреляционной функции. К сожалению, коэффициент при этом отклонении упростить не удается.

1o. Отклонение от косинус-процесса. Рассмотрим только случай р = 1, когда корреляционная функция косинус-процесса может быть получена в пределе при в ^ 0 из корреляционной функции марковского процесса первого порядка

pt = е-?1 (cos у7! - [34 + 13 sin \/l — (32\t\). (26)

v V1 - в2 J

При р =1 и 0 < t < п в (2) имеем N2 = 0, тем самым второй член асимптотики N2 при в ^ 0 для корреляционной функции (26) есть величина порядка о(1). Уточним этот порядок.

Исходим из формулы [4]:

N2(t)= í (t - t)F(t) dT, (27)

о

где обозначено p = pT, q = -p', r = q',

2 k2

F(t ) = —г—-7ГГТ-,Tricosa + a ■ sin a), sin a =

n2 (1 — p2)3/ 2

k2 = 1 — p2 — q2, кб = p2r + pq2 — r.

Оставляя в последних формулах только величины, пропорциональные в, находим, что для 0 < t < п

p = cos т + e(sin т — т cos т) + O(02), 1 — p2 = sin2 т — 2в cos т(sin т — т cos т) + 0(в2), k2 = 2в(т — sinт cos т)+0(в2), k6 = 2e(sin т — т cos т) + 0(в2),

sin т — т cos т sin т sin а ~ --- cos а ~ -

\/ т2 — sin2 •

т — sin т cos т т — sin т cos т

k2 2(т — sin т cos т)

- • Р,

(1 — p2)3/2 sin3 т

и поэтому при в ^ 0 из (27) имеем

N2(t) = A(t)e + 0(в2),

. . . 4 . г V т2 — sin2 т sin ^ — т cos т sin т — т cos т т .

M*) = -т / (í - г --ó--1---arcsin-:- . 28

п2 J0 L sin2 т аги3т т — sin т cos т i

Выразить интеграл (28) через известные функции не удалось. Для численных расчетов он не представляет труда, поскольку подынтегральная функция не имеет особенностей при 0 <t < п.

2o. Отклонение от процесса Уонга. Рассмотрим класс стационарных гауссовских марковских процессов первого порядка с корреляционной функцией

Л = где = 6> 0. (29)

о о

Процесс Уонга — частный случай этого процесса (при 0 = 2).

Положим 0 = 2 + е и найдем два первых члена асимптотики N2(t) при е ^ 0. Исходим из формулы (27). Пренебрегая членами порядка е2 и выше, находим, что в (27)

к2 = к™ + е^=А + 0(£2), 2k6/<pw = (1 - vif + (Brf, - (1 - /2)е + 0(£2),

sin а = ка/к<2 = sin aw + еС + 0(е2), sin aw = ipw/2,

А = 5а/3 - 4Т - 4(2А/3 + т)<р1 + (Зл/З + 4т)^, 2т , т 4 , Л т V „2

Вч1 —

с = —

Щ

2 (1 — чЬ )3 Aâ

1 — p2 = 1 — pl —

2 4а/3 J '

(т/V3 - l)<pw + (r/Vâ + l)fi ] e/2 + 0(e2).

Здесь индекс w отмечает величины, относящиеся к процессу Уонга.

Подставив правые части этих равенств в (27), после несложных выкладок и замены переменной интегрирования по формуле 2 sin а = получаем асимптотическую формулу

N2(t) = NW (t) + J (t)£ + O(e2),

в которой NW(t) совпадает с (4) (и, естественно, с (9)),

т, ч 2л/3 Г/6 ^ , ч t + л/31п(2 sin а) , , ч

J(í) = "Г" / - 2 //1 2 (30)

эт2 jao sin a cos2 a(4sm a — 1)3

Fi(a) = (cosa + asma^i7^«) — otC(ot), «о = arcsin(e_t/"^/2),

F2(a) = - ^tg2a • (1 - 4sin2 a)[(l + 4sin2 a) ln(2sina) + 1 - 4sin2 a],

A(a) = 5 + 4ln(2sina) — 16[2 — ln(2sina)] sin2 a + 16[3 — 4ln(2sina)] sin4 a, C(a) = [3 ln(2 sin a) + (1/4 — sin2 a)(5 — 28 sin2 a + 32 sin4 a)] sin a .

Представить коэффициент (30) в виде простой аналитической формулы вряд ли возможно, но вычисления интеграла (30) не сложны.

3o. Отклонение от процесса с корреляционной функцией (5). Рассмотрим гауссов-ский процесс с нулевым средним и корреляционной функцией

£2 b\t I3

Pt = + 6|t| < 2, 6>0. (31)

Он также возвратный и локально марковский (первого порядка), как и процесс с корреляционной функцией (5), получающейся из (31) при b = 1/л/3. Найдем для него первых два члена асимптотики N2(£) при е ^ 0, где

£ = 3b2 — 1. (32)

В исходной формуле для N2(£) сделаем замену переменной т = x/b, в результате которой получаем

2 Í'1 o

N2(t) = — J (t0 - x)F(x/b)dx, t0 = tb, (33)

где [4] p = pT, q = —p', r = q',

F(t) = t——+ a ■ tga), D = kykg, sin a = ke/k2, 1 — p 2

k2 = 1 — p2 — q2 ,кб = pq2 + p2r — r,k7 = (1 — r)(1 + p) — q2,kg = (1 + r)(1 — p) — q2.

Подставив в эти формулы (31), получим

4е

x2(3 — x) (1+ x)(2 — x)2

1 —P= -77-, 1 + P ~

6b2 6b2

1 +

(1 + x)(2 — x)2J

k2

(2 — x)3 г (8 — 3x)

36b4

k7 =

1 +

4

2ke — (1 — x)k2

(2 — x)3 J' 6 v 72 12b4(3 — x)

(2 — x)3 г 8е i x3(2 — x)

x(2 — x 12b2

1 +

(2 — x)3

12b2

x

Пусть теперь е ~ 0. Линеаризируем F(x/b) по е около Fq(x) = F(x\f?>), т. е. выбрасываем в F(x/b) члены порядка G(e). Результат записывается в виде

F (x/b) = b2Fi(ao),

f\(«) = 3 [i + ao • tgao + n , _ . -:-г e + 0(e2)j,

4cos2 aQ L (l + 2sin aQ)3(l — sin aQ) J

где

2 sin aQ = 1 — x, —n/2 <aQ <n/2, (34)

В (a) =-(3 — 4 sin a — 8 sin2 a) + 2 — 5 sin a — 6 sin2 a,

cos a

так что из (ЗЗ) следует

2 Í *o

N2(t) = — (t0-x)F1(a0)dx. (35)

n Jo

Заменяем в (35) переменную интегрирования x на ao по формуле (34) и переобозначаем ao в a (т. е. опускаем ради прозрачности формул индекс у ao). Находим, что

N2(t) = J(e,t) + M(t) e + 0(e2), (36)

3 Гп/6 da ( t \ B(a) , N

Mit) = — I -( —= — 1 + 2 sin a j --y-rj--, 37

7Г2 Jai cos a Va/3 / (1 + 2sina)3(l - sin a)

J(£,î) = 4t/ - 1 + 2 sin a) (1 +a ■ tga). (38)

n2 Ja2(£) cos a

Используя (32) и

t \ . 1 - ío * гм \ ■ V3—t

«2(e) = arcsm-= a\ +(J(e), sm«i =--=-,

2 2%/3

линеаризируем в свою очередь (38):

dJ

J(e,t) = J(0,t) + — -£ + 0(£2), (39)

de e=Q

где (см. [9])

dJ л/3 Г/6 1

a ■ tga ^ tyf3a i71"/6

de

e=o n2 a cos a 2n2 cos a

(4G)

(41)

' «1

Подставив (39)—(41) в (36), получаем для искомого отклонения асимптотическое равенство

N2^) - = А{г) • £ + о(е2), ¿<2л/З,

в котором

A(t) = ^( --^-Um(í). w 2тг2 v3a/3 cos oíi J

Интеграл М(£) берется в квадратурах. Итоговая формула слишком громоздка, чтобы быть приведенной здесь. Она содержит интеграл

т/6

' а

■ da,

значение которого известно лишь в виде ряда с коэффициентами, пропорциональными числам Эйлера ([11], с. 91, §442.11). С вычислительной точки зрения проще проводить расчеты непосредственно по формуле (37).

Отметим аналитический прием, который упрощает выкладки при получении квадратур в (37) (он может быть полезен и в других задачах). Именно, как легко проверить, интеграл

Ф(а) ¿а

у(х) = J ■

x + a • sin a cos a

удовлетворяет уравнению

,2 „2^1/ _ аф(а)

[(az -х/)у}' = —-^--ауо(х) — z, (42)

x + а • sin а

где

<^'(a)da f Ф(a)da

Уо(х) = J ■

z =

x + а • sin a J cos a

Решением уравнения (42) является функция

(a2 — x2)y = аФ(а) ln(x + a • sin а) — a j Ф'(а) ln(x + a • sin a)da — xz + C,

где C — произвольная постоянная.

При вычислении (37) встречаются y(1), y'(1), y"(1) для a = 2 и y(1) для a = —1, Ф(а) = а, 1.

а1 cos a

Summary

R. N. Miroshin. On the variance of the number of zeros of some stationary Gaussian processes: small deviations from simple solutions.

Formulae (2), (4), (6) are known as simple solutions of the problem on the computation of the variance of number of zeros of Gaussian stationary processes with correlation functions (1), (3), (5) correspondingly. Small deviations from (2), (4), (6) are obtained, the parameter of correlation functions of (1), (3), (5) being changed with small perturbation.

Литература

1. Мирошин Р. Н. Пересечения кривых гауссовскими процессами. Л., 1981. 211 с.

2. Аксенова О. А. Процесс Уонга как тестовой пример // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1983. Вып. 3 (№13). С. 48-51.

3. ¡Steinberg H., Schultheiss P. M., Wogrin C. A., Zweig F. Short time frequency measurements of narrow-band random signals by means of counting process // J. Appl. Phys. 1955. Vol. 26, N2. P. 195-201.

4. Мирошин Р. Н. О дисперсии числа нулей гауссовского стационарного процесса // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 1 (№1). С. 40-47.

5. Мирошин Р. Н. Моменты числа нулей процесса Уонга на большом интервале времени // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1991. Вып. 4 (№22). С. 70-73.

6. Мирошин Р. Н. Степенной отрезок асимптотического ряда для моментов числа нулей процесса Уонга на большом интервале времени // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1995. Вып. 2 (№8). С. 36-42.

7. Мирошин Р. Н. О неравенствах для дисперсии числа нулей некоторых стационарных гауссовских процессов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 56-63.

8. Мирошин Р. Н. Случайные процессы и поля. СПб., 2003. 284 с.

9. Мирошин Р. Н. Моменты числа нулей стационарных гауссовских локально марковских процессов первого порядка на малых интервалах времени // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 1 (№1). С. 24-31.

10. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971. 1108 с.

11. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М., 1966. 228 с. Статья поступила в редакцию 12 сентября 2005 г.