CC BY
219
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том IX
1 9 7 8
М 4
УДК 517.392 624.072.2
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ ИХ К ДВУМ ЗАДАЧАМ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАТИКИ УПРУГИХ БАЛОК
Получены приближенные формулы для эллиптических интегралов первого и второго рода, обеспечивающие приемлемую в технических расчетах точность. Рассмотрены примеры использования их при расчете двух нелинейных задач статики упругих тонких стержней.
Через эллиптические интегралы первого и второго родов
где 0<ф<1г/2, выражается решение большого количе-
ства различных технических задач. Для интегралов (1) составлены подробные таблицы (см., например, [1—3]).
Несмотря на это, представляется полезной попытка получения приближенных формул для этих интегралов, —формул, которые при сравнительной простоте обладали бы достаточной в технических расчетах точностью и делали бы обозримыми окончательные результаты.
11 Вместо интегралов (1) рассмотрим
Интегралы (1) и (2) связаны между собой соотношениями
V2 Р (Ф, к) = Р* (в, «), 2 У2 Е (ф, Щ = Е* (6, а) + 2 со$* -2- Р* (6, а), (3)
Я. м. Пархомовский
(1)
где
0^0-^ тс, 0^а<лг, 0^а.
где
а Sin-g-
k = sin -j-, ф = arcsin —— .
sin-|-
Форма (2) записи эллиптических интегралов представляется более предпочтительной, чем (1), в первую очередь потому, что входящие в (2) параметры а и 6 имеют прямой механический (или геометрический) смысл.
Искомые формулы получим приближенно, интегрируя (2). Однако в отличие от приема, обычно применяемого при вычислении (1) и заключающегося в том, что подынтегральную функцию аппроксимируют большим отрезком ряда и затем интегрируют егб по всему интервалу, поступим по-другому.
Разобьем в (2) интервал интегрирования на конечное число отрезков. Внутри каждого отрезка аппроксимируем подынтегральную функцию другой, выбранной так, чтобы она допускала точное интегрирование в элементарных функциях. Изменяя размер отрезков, можно получить целую совокупность, гамму приближенных формул, представляющих с различной степенью точности данную трансцендентную функцию в виде конечной суммы функций элементарных. Следует иметь в виду, что каким бы малым ни был выбран отрезок интегрирования, всегда будет существовать конечная, неустранимая погрешность, обусловленная заменой подынтегральной функции ее аппроксимирующей.
Применим указанный прием к вычислению интегралов (2). При этом окажется, что достаточную для инженерных расчетов точность можно получить, ограничиваясь весьма небольшим числом отрезков.
2. Эллиптический интеграл 1-го рода. Представим F* (Ъ, а) в виде
П
/=■*(6. «> = £^(8*, 6*+1» (4)
*=о
efc+i
~ Г db
Где *+1 * а)= J Kcos»— cosa (5)
(60 = 0, 01<е2< . .. е„+1=6).
Если разность Д0й = 0*+1 —0Й достаточно мала, то, положив Ь = j3ft — ср, имеем
cos& = (l - -^-)cospft + ?sinj3* + 0(<p8), (6)
и если пренебречь членами, содержащими ? в степени выше второй, то
cos О — cos а ж ak + bk<р + ck<f2, (6a)
где = cosf*ft— cosa, 4t — slnpft,' ck=---------^-cospA.
За если не оговорено противное, будем принимать верхний предел интегрирования рй = 6*_|_1. Таким образом, на отрезке
0й<6-< 0*+1 функцию - у-"о1 ц со8а~ аппроксимируем функцией 1
Уаи + ЬиЧ + с*?2
Следовательно,
й<(
У ак + Ьк<р + ск <е2
(7)
Интеграл же (7) выражается через элементарные функции. Так как подынтегральная функция в (7) меньше, чем в (5), то приближенное значение Т7 (6*. в*+1, а) будет меньше истинного. Приближенные формулы при таком выборе аппроксимирующей функции будут давать значения эллиптического интеграла первого рода с недостатком*.
Наиболее простые и, естественно, наименее точные формулы получим, если при 0 ■< те/2 ограничимся одной частью, а при 0 > л/2 — двумя. Это дает следующие формулы для неполного эллиптического интеграла первого рода:
гчп п \ 1/ 2 [ . вШ в . вШб—0 сов 01
( ’ 6’ У ШТ [агс51п—-агс^п —] ,
Д = 1 + соз20 — 2со80соза, О-<0<-^-, а>0; р(о, ^У2 — 2сова — У— 2соэа |, 0 = , а>0;
сов 0
X
Х1п
— 2сов0 £сов 0 — сов а ^0 — | вШ 0— ^0 — С08 ^ +
+ в1П 0 —^0 — “2“^ сов 0 у — 2 С05 0 (сов 0 — сов а) + в!п 0
< 0 < те, < а < те, а > 0
(8)
* Можно, конечно, оценить погрешность, происходящую при замене (5) на (7), но в данном случае точнее непосредственно сравнивать значения, давае-мыё формулами приближенными, со значениями табличными.
Полные эллиптические интегралы получаем из (8) при 6 = а
У2К=
=/=■*(«, а)=
/=■(0, а, а)яв агсз!п(1 — а^а)] , 0<а<-^- ;
р(о,-г, «) + Р(-г. «. «)«?(о,т-, .) + /£ЗЕх
—2 сов а | 81па — -у- сое а J -{-51па-{-
+ — “2“^ СОв а
X 1п
вша
Представление о погрешности этих, наиболее грубых, формул дает табл. 1, в которой дано сравнение величин К, вычисленных по формулам (9), с табличными [2]. Наибольшая ошибка (—4,5%) имеет место на стыке двух участков при а = те/2. Во всех остальных точках она много меньше. Примечательно, что даже при « = 179° погрешность приближенной формулы (9) составляет всего 1,4%.
Таблица 1
а О О сч 40° 60° 90е 120° 150° 170° 179°
?ТРЧа' а) по (9) 1,5782 1,6018 1.6465 1,7725 2,1088 2,7079 3,7576 6,0466
■> по (10) 1,5782 1,6018 1,6719 1,8375 2,1453 2.7548 3,8124 6,1052
К по [2] 1.5828 1,6200 1,6858 1,8541 2,1565 2,7681 3,8317 6,1278
Таблица 2
«); е = = 90° у=/*(в. «); в - 170°
а по (8) /=Ч<К к) по [2] а по (8) /ЧФ, к) по [2]
со о о 1,77245 1,85407 170° 3,75761 3,83174
120° 1,03510 1,0780* 172° 3,28542 3,35887*
140’ 0,92409 0,95776* 174° 3,16664 3,23915*
160° 0,86985 0,89948* 176° 3,10328 3,17955*
180* 0,85329 0,88137 О О 00 3,06016 3,13130
Аналогичная ситуация имеет место и для неполных эллиптических интегралов, вычисленных по формулам (8).
В табл. 2 дано для примера сопоставление интегралов, вычисленных по (8), с табличными значениями. Наибольшая погрешность получается для полных интегралов. Звездочками отмечены цифры, полученные интерполяцией.
Отсюда следует, что уже формулы (8) и (9) вполне подходят для инженерных расчетов. Формулы (10), дающие (в самом худшем случае) погрешность около \% (см. табл. 1), получим, разбивая интервал О<0<тс на четыре равных участка. Ниже приводятся эти формулы для полных эллиптических интегралов;
/2 К-/7*(«, а)
:) + ?(
4 ’ 2 ’ *
4 . 2 ’ а
Здесь
У — 2 сое О £(а— Р) 81П О— ~2~ (<*—Р)а сов а | 4-+ в1п а — (а — р) сов о
4.___
да у 8 агсэШ
---сое а - У—сова | , <*>,
(Ю)
^ да 8 1п
—+ V— 1 — К2 сов а
Так как в этом случае сравнительно невелики участки интегрирования, то формулы (10) можно еще упростить, разложив их правые части в ряд и удерживая подходящее число членов. [Уточним, что речь идет о разложении в ряд не исходного интеграла (5), а его приближенного выражения (7)]. Так, к примеру
<*)
+
3 я —8 - 24
21 *-56 576
t4, 0-<ос<^-
(11)
-f <«<?£. (12)
У 2 1 + 4- («■-1)!
3. Эллиптические интегралы 2-го рода. Применяя прием, указанный в п. 1, имеем
£*(е>«) = 2%»Н1,«), (13)
А=0
где
_ е*+1 ______________________ h~h ________________________
Е (0А, 0А+1 , а) = J У cos 0 — cos а dd « J Yak-j- bk ?+ ckf2 Bk P*~eft+i
(0ft<0*+1<«),
a ak, bk и ck даются (6a).
Отметим, что теперь приближенное значение для Е(Ьк, 0ft+1, а) больше истинного. Так же как и в п. 2, сравнительно точные формулы для интеграла 2-го рода получают, если для 0<>/2 ограничиваются одним участком интегрирования, на всем же интервале— двумя.
Эти формулы имеют вид:
Е(0, 6, а)« [2 (0 cos 0 — sin 6) х
X "[/" ^1--тр j cos 0 -j- 0 sin 0 — cos я -f-
+ 2 sin 0 Vcos0—cosa-f (1 + cos3 0 — 2 cos 0 cos a) X X?(O,0,a)], O<0<-f, a>0,
г(о--ь*Ьт[/(1
Е*(Ъ, «) =
cos
•=4-,
2(0, ^*) + е[^-,Ъ, a)«g( 0,-f, a) -j-
+ 4~cosl [2 ((6--y) C0S 6 ~ Sln 6) X
x/(l--------Y (0-----jcos 0 (0 — ~J sin 0 — cos a +
+ 2 sin 0 Y cos 0 — cos a -j— (1 4- cos2 0 — 2 cos 0 cos a) -f-+ F ^ , 0, ajj , < 0 < n, a > 0,
где F(0, 0, а) и f{-^-, 0, aj даются (8).
80
(14)
Положив в формулах (14) 0 = а, получим формулы для полных эллиптических интегралов Е* (а, а).
Связь между £*(6, а) и эллиптическим интегралом второго рода в форме Лежандра дается формулой (3).
О точности приближенных формул дает представление табл. 3, в которой дано сравнение величин Е, взятых из таблиц [2], с приближенными значениями, вычисленными по формулам (15), (9) и (3). И в данном случае табличные и приближенные значения достаточно близки. Такое же согласие имеет место и для неполных эллиптических интегралов.
При необходимости можно формулы (14) и (15) заменить более точными, увеличив число участков. Ниже приводятся такие формулы для Е*(а, а), если интервал О<0<7г разделить на четыре равных участка:
£■(0, а, а) [(2 а сое а — 2 бШ а) X
X ]/"авШа-----а2 сое а + эШ2 лТ (0, а, , а < ,
-у а2 сое а
(15)
|2 ----^ сов а — вШ а J X
X]/
где
дается (14).
Е{0, а, а), ;
(16)
6—Ученые записки № 4
81
В формулах (16)
£(Р, <*, *)»4^{2[(а—Р)сова —81па]Х
х/ (а — Р) в1п а--(а — {З)2 сов а Р ф, а, а)8Ш2а| ,
ТС 3 ТС
» «>Р-
г(о.т> *) = т[(х- >) /(' + т-й-т? -С05“+
. а>т- .
+ К — сое а + — сое а) Р (о, ,
£({, х» а)~'т[1/^('Г'~с08а) — (— сов а)3 ] ,
«>“Г»
— У—^ — СОЭ» —( + С08а)р(-^- , 5^-, «)] ,
(17)
^ 3 тс
*>~г-
Функции Р(6Й, 6*+ь а) даются (10).
Погрешность формул (16) не превышает 0,9%, как это следует из табл. 3.
Таблица 3
а ьз о е 40° 60° СО О о ГО о о СП о о О О Г- 179°
Е* (а, а) по (15) 0,0676 0,26938 0,6008 1,3125 1,9996 2,6245 2,9029 2,9529
Е по (15), (9) и (3) 1,5545 1,5097 1,4474 1,3503 1,2330 1,1092 1,0549 1,0445
Е*{а, а) по (16) 0,0676 0,26938 0.5814 1.2142 1,9150 2,5376 2,7988 2,8468
Е по (16), (10) и (3) 1,5545 1,5097 1,4594 1,3480 1,2133 1,0817 1,0185 1,0070
Табличное Е по [2] 1,5589 1,5238 1,4675 1,3506 1,2111 1,0764 1,0127 1,0021
4. Примеры. Цель приводимых» ниже примеров — показать
приближенные формулы в „действии11.
Многочисленные примеры приложения полученных формул
могут доставить нелинейные задачи прикладной теории упругости.
Е. П. Попову [4, 5] принадлежит заслуга создания единого
метода решения большого класса нелинейных задач статики упру-
гих тонких стержней постоянного сечения. Для этих задач урав-
нение упругой линии равновесия выражается через эллиптические
интегралы первого и второго рода. Автор отмечает*, что „наибольшие трудности для числовых расчетов во всех частных случаях... представляет... вычисление значений главных эллиптических параметров путем подбора по числовым таблицам эллиптических интегралов (по двум параметрам К и <|>)“.
Эти трудности в большинстве случаев легко устраняются, если: а) отказаться от представления интегралов в форме (1) Лежандра, а применять их в форме (2); б) использовать затем приближенные формулы, дающие приемлемую (и потребную) в инженерных расчетах точность.
Следуя [4] и [5], найдем приближенное решение двух задач.
Продольно-поперечный изгиб консоли. Тонкий, первоначально прямой стержень постоянного сечения жесткости на изгиб Е1 и длины I неподвижно заделан концом О и нагружен на свободном конце Ь силой Р, сохраняющей постоянное направление. Требуется найти координаты и девиацию свободного конца стержня.
Наряду с „неподвижной" системой хОу, где ось Ох направлена по оси недеформированного стержня (фиг. 1, а), вводится „подвижная" система координат хОу. В ней ось Ох направлена по положительному направлению опорной реакции Р'. Таким образом, системы хОу и хОу повернуты друг относительно друга на угол 8, который в нашем случае сохраняет свою величину. Положительное направление отсчета 8 см. на фиг. 1, а.
В системе хОу дифференциальное уравнение упругой линии будет
где 6 — девиация сечения х.
Решение уравнения (18) должно удовлетворять краевым усло-
V
Фиг, 1
ВИЯМ
0(0) = 8,
(19а)
(196)
Координаты л: (з), у («) связаны с 0 уравнениями
(20)
а связь между системами хОу и хОу дается формулами __________ х = хсо$Ь 4-_уз1п8, ^ = ЗГсоз8 —
* См. [5], стр. 90.
Если отказаться от использования интегралов в форме (1), то первый интеграл уравнения (18) примет вид
/ ^ = У 2Р Ycos 6 — cos а, (22)
d0 ds
PI 2
где Р— Е1 .
При этом уже удовлетворено условие (196), а подлежащая определению величина а— девиация свободного конца I стержня в системе хОу. Очевидно, что 8<0О, а<;и.
Интегрируя (22) с учетом условия (19а), получим
-f = -7= а) = —7= f г-—-
1 У 2Р Учр j Уcosd —
COS а
(23)
Девиацию а находят из условия 0(/) = <х; это дает искомую зависимость между силой Р и девиацией свободного конца а
V? = y=F(b, а, а). (24)
Используя для F(8, а, а) приближенные формулы, можно получить эту зависимость в явном виде во всем интересующем нас диапазоне углов 8 и а.
Мы ограничимся наиболее интересными на практике умеренными прогибами, под которыми мы будем понимать такие, что
всегда *г = а — Если при этом остановиться на первом ва-
рианте приведенных в п. 2 формул, то зависимость Р от f для разных углов 8 приложения силы будет1:
-?=^=г[-!■ -arcsin(1 -тctgft + >))]. 0<т + 8<-|-;
(т — 8) — C0S<'‘ + 8) — COS(f + 6) ] + Tocos'
(f +■»)x
■j/"— 2 cos (y + 5)|^7 + 8 — -|-j sin (7 + 8) — -i- (7 + 6 — — j2 cos (7 + 8) j +
+ sin (7 + 8) — ^7 + 8 — cos (7 + 8)
= Xln sin (7 + 8)
8>T-’ x<f + 8<TL:
j/~— 2 cos Cr + B) [7sin U +B) — t2 cos (t + B) +
1 in _+ sin (7 + 5) — 7 cos (7 + 8)________________________
Y — cos (7 — 8) sin (7 + S) ’
1 + 80-
1 Отметим, что 7 — девиация свободного конца £ балки в системе хОу,
Наконец, интегрируя (20) и полагая затем s — l, получаем перемещение свободного конца стержня
*(*) *L 1
—7^- = ~т= cos.a + у== Е(К *Л
^Г- = ^Г= J/^-f-^cos 8 -COS a.
Совокупность формул (25) и (26) дает полное (приближенное) решение поставленной задачи.
Чистый поперечный изгиб получим, положив 8 = я/2. Заметим, что здесь формула (25) дает приемлемую точность до 7 = 80. В
табл. 4 дано сравнение величин Р, вычисленных по формулам (25) и (27), с данными работы [4].
Для умеренных прогибов (Т < я/4) при 8 = те/2 из (25) и (12) получаем, что с точностью 0(?4)
P~2T[l + -f]. (27)
С той же точностью величины Xl/1, Jz// и связанные с ними через (20) xjl и уф даются выражениями
хф = -yjl = - 2/3 у, yjl = xL\l = 1 - 1 /4 f. (28)
Из (28) следует, что при поперечном изгибе свободный конец стержня описывает параболу
хф= 1—9/16 (у JI)*. (29)
Представление о ходе кривых Р — Р(у) при 8 = const и Р = Р(8) при т = const дают графики, приведенные на фиг. 2, а и 2,6. Они вычислены по формулам (25).
Из рассмотрения фиг. 2, а, в частности, следует, что зависимость Р(у, 8) по параметру 8 неравномерна (в окрестности 8 = 0). Нелинейный характер Р(у) наиболее резко проявляется в области малых 8. При 8, близком к 8 = 60°, происходит перестройка характера кривых Р (у) от вогнутых при 8 < 60° к выпуклым при 8 >60°. Этот факт отмечен в [4]. При 60° <8 <405° до у « 20° зависимость Р(у) близка к линейной. Дальнейшее увеличение 8 снова приводит к появлению резкой нелинейности.
На фиг. 2,6 дано семейство кривых Р = Р(8) при у = const, показывающее, какая нужна сосредоточенная сила, чтобы достичь заданной девиации.
Поперечный, изгиб консоли следящей силой. В этой задаче требуется найти деформации тонкого консольного стержня постоянного сечения, к свободному концу которого приложена статически возрастающая от нуля сила Р, составляющая постоянный угол с касательной к упругой линии в точке своего приложения. Для
Т а блица 4
7 Р по [4] Рпо (25) Р по (27)
20° 0,7306 0,7277 0,7265
40° 1.6923 1.6681 1,6231
О О <£> 3,4055 3,3156
«0° 8,6782 8,4110
Фиг. 2
примера возьмем его равным 90° (см. фиг. 1 ,б). Все обозначения оставим теми же, что и в п. 2, а.
Очевидно, что и в данном случае имеют место уравнение (24) и зависимости (23) и (26). Отличие в том, что угол о неизвестен и его требуется найти. Угол же а, напротив, задан: а = я/2=соле!. Тогда из (24) находим
-1-). (30)
Если снова ограничиться умеренными прогибами ? = -|-------------8-С
(см. фиг. 1,6) и для вычисления 8, использо-
вать формулу (7), то (30) примет весьма простой вид
Р»2Т. (31)
Отметим, что выражение совпадает с тем, что давала бы „линейная" теория изгиба. Сравнение (27) и (31) позволяет оценить влияние изменения направления действия силы на деформацию. Перемещение свободного конца балки Ь будет:
**//= 1-1/6 7*,^/ = 2/3 Ъ а траектория точки Ь
х1// = 1-3/8(3;1//)2. (32)
ЛИТЕРАТУРА
1. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.,
,Наука”, 1968.
2. Сикорский Ш. С. Элементы теории эллиптических функций. М., ОНТИ, 1963.
3. Ветчинкин В. П. Новые формулы и таблицы эллиптических интегралов и функций. Издание ВВА РККА, 1935.
4. П о п о в Е. П. Теория и расчет гибких упругих деталей. Издание Ленинградской КВВИА, 1947.
5. П о п о в Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней.
М., Гостехиздат, 1948. ____
Рукопись поступила 91X11 1977 г.
