CC BY
42
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 2 (2013). С. 3-11.
УДК 517.968
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ТИПА СВЕРТКИ НА ОТРЕЗКЕ
С.Н. АСХАБОВ, А.Л. ДЖАБРАИЛОВ
Аннотация. Методом потенциальных монотонных операторов для различных классов интегральных уравнений типа свертки с монотонной нелинейностью доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и способах нахождения решений в вещественных пространствах Лебега. Показано, что решения могут быть найдены в пространстве £2(0,1) методом последовательных приближений пикаровского типа и доказаны оценки скорости их сходимости. Полученные результаты охватывают, в частности, линейные интегральные уравнения типа свертки. В случае степенной нелинейности показано, что решения могут быть найдены градиентным методом в пространствах Lp(0,1) и весовых пространствах Ьр(д).
Ключевые слова: нелинейные интегральные уравнения, оператор типа свертки, потенциальный оператор, монотонный оператор.
Mathematics Subject Classification: 45G10, 47H05.
В работе [1] без ограничений на абсолютную величину параметра А были доказаны теоремы о существовании, единственности и оценках решений в вещественных пространствах Lp(0,1), 1 < p < то, для нелинейных интегральных уравнений типа свертки вида
В данной работе доказано, что в случае пространства L2(0,1) эти решения могут быть найдены методом последовательных приближений пикаровского типа и при этом не требуется, чтобы параметр А был «малым» по модулю. В отличие от [2], где рассматриваются подобные уравнения с ядрами типа потенциала на всей действительной оси, здесь, используя метод потенциальных монотонных операторов, построены новые последовательные приближения и существенно улучшены оценки скорости их сходимости. Более того, градиентным методом (методом наискорейшего спуска) удалось приближенно решить уравнения со степенными нелинейностями, не охватываемые результатами [2], как в Lp(0,1), так и в весовых пространствах Lp(g).
S.N. Askhabov, A.L. Dzhabrailov,Approximate solutions of nonlinear convolution type equations on segment.
© Асхлвов С.Н., Джабраилов А.Л. 2013.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №13-01-00422-а.
Поступила 10 мая 2012 г.
1
(1)
0
1
0
(3)
Для упрощения записей введем следующие обозначения:
Р
Lp(0, 1) Lp , « ■ ||Lp(0,1) II ' lip , p
Р — 1
(u,v) = J u(x) v(x) dx , (P0iu) (x) = J <^(|x — t|) u(t) dt .
00
Определение 1. Скажем, что функция <р G П(0,1], если она непрерывна, не возрас-
i
тает, выпукла вниз в промежутке (0,1] и такова, что J <^(x) dx > 0.
0
Далее нам понадобится следующая лемма, играющая существенную роль при исследовании уравнений (1)-(3) и уравнений со степенной нелинейностью.
Лемма 1. Пусть 1 <р ^ 2 и <р G Ьр//2 П ^(0,1]- Тогда оператор свертки Pq1 действует, непрерывно из Lp в Ьр/, потенциален и положителен, причем Vu(x) G Lp выполняются неравенства
Кu|p « 22/р/|^|р//2Й«||р, (4)
(P0>,u) = J <^(|x — t|) u(t) dt^ u(x) dx > 0 . (5)
Доказательство. Неравенства (4) и (5) доказаны в [1]. Значит, оператор Р01 действует непрерывно из Lp в Ьр/ и положителен. Так как <^(|x —1|) = <^(|t — x|), то оператор Р01 является симметрическим. Следовательно (см., например, [3] или [4], Пример 1.2), оператор Р01 является потенциальным, и его потенциал вычисляется по формуле: p(u) = 1 (P01u, u). □
Следует отметить, что при р = 2 и дополнительных ограничениях (дифференцируемость и неотрицательность) на функцию <^(x) положительность оператора Р01 была ранее доказана А.М. Нахушевым [5].
Приступим теперь к исследованию нелинейных уравнений (1)-(3), содержащих оператор типа свертки Р01. Обозначим через N множество всех натуральных чисел. Всюду далее предполагается, что функция F(x,t), порождающая оператор Немыцкого Fu = F[x,u(x)],
определена при x G [0, 1], t G (—то, то) и удовлетворяет условиям Каратеодори: она изме-
рима по x при каждом фиксированном t и непрерывна по t почти для всех x.
Далее нам понадобится следующая теорема (см. [4], с. 16, где приведено ее доказательство), являющаяся следствием более общих результатов [6].
Теорема 1 [6]. Пусть H - вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (■, ■) и нормой || ■ ||я, оператор A действует из H в H и является потенциальным. Если существуют постоянные m > 0 и M > 0 (M > т) такие, что для любых u, v G H выполняются неравенства:
||Au — Av||H ^ M ■ ||u — v||H , (Au — Av, u — v) > m ■ ||u — v||H ,
то уравнение Au = f имеет единственное решение u* G H при любом f G H. Это решение можно найти методом последовательных приближений по формуле (n G N):
2
un = un-1-(Aun-1 — f) , (6)
M + m
с оценкой погрешности:
2 an
llun— u*i|h ^ mt ■ 1 |Auo — fIIя , (7)
M + m 1 — a
где a = (M — m)/(M + m), u0 G H - начальное приближение.
1
1
Заметим, что оценка (7) обеспечивает более высокую скорость сходимости последовательных приближений по сравнению с оценкой (16) из [2], полученной без предположения
о потенциальности оператора А.
Теорема 2. Пусть ф € П(0,1] и нелинейность ^(х,£) почти при каждом фиксированном х € [0,1] и при любых ^1,^2 € (-то, то) удовлетворяет условиям:
1) |^(х,^^(х,£2)| ^ М ■ |^1 — £21 , где М > 0 ;
2) (х, ^1) — ^(х, £2)^ ■ (^ — £2) > т ■ |^1 — £2|2 , где т > 0 .
Тогда при любых Л > 0 и / (х) € Ь2 уравнение (1) имеет единственное решение и*(х) € Ь2.
Это решение можно найти методом итераций по схеме:
ип = ип-1 — ^1 ■ (Л ■ ^мп-1 + Р01 ип- 1 — /) , (8)
с оценкой погрешности
«п
||мп — м* || 2 ^ ^1 ' ~л ' ||Л ' ^м0 + Р01М0 — / || 2 , (9)
1 — а1
где ^1 = 2/(М + т + 2 ||^11), «1 = (М — т + 2 ||^||1)/(М + т + 2 ||^| 1), ио(х) € £2 —
начальное приближение.
Доказательство. Из условия 1) вытекает, что оператор Немыцкого ^ действует непрерывно из Ь2 в Ь2 и удовлетворяет условию Липшица:
Ц^и — ^и||2 ^ М ■ ||и — г>||2 , Уи,^ € Ь2 , (10)
а из условия 2) вытекает, что он является сильно монотонным:
(^м — ^^,м — V) > т ■ ||и — V12 , Уи,^ € Ь2 . (11)
Кроме того, при выполнении условия 1), оператор Немыцкого ^ является потенциальным, и его потенциал д вычисляется по формуле (см. [3]):
1 г «(ж)
F(x, t) dt
dx
g(u) = go + J
00 где g0 = const.
Пусть u,v G L2 - любые функции. Запишем данное уравнение (1) в операторном виде: Au = f, где A = A ■ F + Р01. Заметим, что оператор A действует, в силу неравенств (4) и (10), непрерывно из L2 в L2 и является потенциальным (как сумма двух потенциальных операторов A ■ F и Р01). Далее, используя сначала неравенство Минковского, а затем неравенства (4) и (10), с одной стороны, имеем ||Au — Av||2 ^ (A ■ M + 2 ||^|1) ■ ||u — v||2 , а с другой стороны, используя неравенства (5) и (11), получаем (Au—Av, u—v) > A-m- ||u—v||2. Следовательно, по теореме 1, уравнение Au = f имеет единственное решение u* G L2, и это решение можно найти по схеме (8), получающейся из формулы (6), с оценкой погрешности (9), вытекающей из неравенства (7). □
Более трудными для исследования методом потенциальных монотонных операторов являются нелинейные уравнения (2) и (3). Для них последовательные приближения удается построить лишь в терминах обратного оператора F-1.
Теорема 3. Пусть tp G П(0,1] и нелинейность F(x,t) удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 2. Тогда при любых A > 0 и f (x) G L2 нелинейное уравнение (2) имеет единственное решение u* G L2. Это решение можно найти методом итераций по схеме:
un = F-1vn, vn = vn-1 — ^2 ■ (F-1vn-1 + A ■ P01vn-1 — f) , (12)
с оценкой погрешности
||мга — м*|І2 ^ ~ • Г.--- • ||м0 + А • Роі^и0 — /1|2 , (13)
т 1 — а2 где п Є N ^2 = 2/(т-1 + тМ-2 + 2 А • |^|1), а2 = (т-1 — тМ-2 + 2 А • Ц^Ц^Дт-1 + тМ-2 + 2 А • ||^|1),
Р-1 оператор обратный к Р, г>0 = Рм0, м0 Є Ь2 - начальное приближение.
Доказательство. Так как оператор Р удовлетворяет неравенствам (10) и (11), то по теореме 1.3 из [4], существует обратный оператор Р-1 такой, что
|Р 1и — Р 1^|2 ^ — ||м — г>||2 , Уи,^ Є Ь2 , (14)
т
(Р 1м — Р \м — V) > -^2||м — V12 , Ум,^ € Ь2 . (15)
Заметим ([6], с. 137), что оператор Р-1 является потенциальным, как оператор, обратный монотонному потенциальному оператору Р. Запишем уравнение (2) в операторном виде:
и + Л ■ Р^Рм = / . (16)
Непосредственно проверяется, что если V* является решением уравнения
= Р-^ + Л ■ Р0> = / , (17)
то и* = Р-1v* является решением уравнения (16).
Докажем, что уравнение (17) имеет единственное решение V* € Ь2. Используя неравенства (4), (5), (14) и (15), имеем
т
||Вм — В>||2 ^ (т-1 + 2 Л - (МИ ||и — v||2 , (Вм — Bv, и — V) > -г-^Ни — V!2 .
М2 2
Кроме того, оператор B является потенциальным, как сумма двух потенциальных операторов Р-1 и Л ■ Р01. Значит, по теореме 1, уравнение Bv = / имеет единственное решение V* € Ь2, и это решение можно найти по схеме
Vn = ^-1 — ^2 ■ (BVn-1 — /) , (18)
с оценкой погрешности
ап
|| Vn — V* ||2 ^ ^2 •"-— IIBVo — /1|2 , (19)
1 — а
где ^2 и а2 определены выше (в формулировке теоремы 3). Но тогда уравнение (16) имеет единственное решение и* = Р-^* € Ь2, и это решение можно найти по схеме (12), получающейся из (18), с оценкой погрешности (13), получающейся из (19), с учетом равенства Bv = Р-^ + Л ■ Р0^ и оценки: ||мп — и*||2 = ||Р-1 ^ — Р-^*||2 ^ т||vn — v*||2. □
Теорема 4. Пусть <^(х) € П(0,1] и нелинейность Р(х,£) удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 2. Тогда при любых Л > 0 и /(х) € Ь2 нелинейное уравнение (3) имеет единственное решение и*(х) € Ь2. Это решение можно найти методом итераций по схеме:
мп = мп— 1 + Л ■ ^2 ■ (Р 1 (Л 1(/ — мп — 1)) — Р01ип—1) , (20)
с оценкой погрешности
ап
||ип — м*||2 ^ Л ■ ^2 ■ “ 2 ■ ||Р 1 (Л 1(/ — и0^ — Ро1и0|2 , (21)
1 — а
где п € N ^2 и а2 определены в формулировке теоремы 3, Р-1 оператор, обратный к Р, и0 € р2 - начальное приближение.
Доказательство. Запишем уравнение (3) в операторном виде:
и + Л ■ РР0> = / . (22)
Положим / — и = Л ■ V. Тогда уравнение (22) примет вид: РР01(/ — Л ■ V) = V. Применив к обеим частям последнего уравнения оператор Р-1, существование которого доказано в теореме 3, приходим к уравнению:
Bv = Р-1v + Л ■ = Р01/ . (23)
Непосредственно проверяется, что если V* является решением уравнения (23), то и* = / — Л ■ V* является решением уравнения (22).
Так как уравнение (23) имеет такой же вид, что и уравнение (17), то, повторяя рассуждения, приведенные в теореме 3, убеждаемся, что уравнение (23) имеет единственное решение V* € Ь2, и его можно найти по схеме вида (18):
^ = ^-1 — ^^^-1 — Р01/) , (24)
с оценкой погрешности вида (19):
ап
К — V! ^ ^ ^ №0 — Ро/1| 2 . (25)
1 — а2
Из (24) и (25), учитывая, что V = Л-1(/ — и), непосредственно получаем, соответственно, итерационную схему (20) и оценку погрешности (21). □
Теоремы 2-4 охватывают, в частности, уравнения с ядрами типа потенциала |х — £|а-1,
0 < а < 1, и логарифмического потенциала — 1п |х — £|, а также соответствующие линейные уравнения и некоторые уравнения с монотонными нелинейностями (например, вида (и(х) + 2м3(х))/(1 + м2(х))). Однако, эти теоремы не охватывают степенные нелинейности, которые выводят за рамки пространства Ь2.
Для приближенного решения уравнений со степенными нелинейностями в более широких пространствах нам понадобится следующая известная теорема. Прежде чем ее сформулировать, приведем необходимые обозначения и определение.
Пусть X - вещественное банахово пространство и X* сопряженное с ним пространство. Обозначим через (у, х) значение линейного непрерывного функционала у € X* на элементе х € X, а через || ■ || и || ■ ||* — нормы в X и X* соответственно.
Определение 2 Пусть м^ € X — произвольные элементы. Оператор А : X ^ X* (т.е. действующий из X в X*) называется:
равномерно монотонным, если (Аи — Av,и — V) > в(||м — VII), где в возрастающая на [0, то) функция такая, что в(0) = 0;
ограниченно липшиц-непрерывным, если ||Аи — Av||* ^ ^(г) ■ ||и — VII, где ^ возрастающая на [0, то) функция, а г = max(||u||, ||V|).
Теорема 5 [6]. Пусть X — вещественное рефлексивное банахово пространство и А : X ^ X* - хеминепрерывный равномерно монотонный коэрцитивный оператор. Тогда уравнение Аи = / имеет единственное решение и* € X при любом / € X*. Кроме того, если X и X* строго выпуклые пространства, а оператор А является потенциальным ограниченно липшиц-непрерывным, то последовательность ип+1 = ип — £п ■ 7*(Аип — /), где ^п = min{1, 2/[е + ^(||ип|| + ||Аип — /1|*)]}, п = 0,1, 2, 3,..., 7* : X* ^ X — дуали-зующее отображение для X*, е > 0 — произвольное число, сходится к и* по норме пространства X.
Существование и единственность решения и* в теореме 5 вытекает из теоремы Браудера-Минти (основной теоремы теории монотонных операторов [6]), а сильная сходимость последовательности {мп} к и* по указанной схеме — из теоремы 4.2 ([6], с. 122) и замечания
4.13 ([6], с. 125), поскольку всякий равномерно монотонный оператор является строго монотонным оператором и обладает (Б)-свойством ([6], с. 80-81). Указанный в теореме 5 способ нахождения решения и* известен [6] как метод наискорейшего спуска (или градиентный метод).
Лемма 2. Пусть 2 < р < то, ^ Є П(0,1] и Ь(х) Є Ь2р/(р-2) • Тогда оператор
1
(В0іи)(х) = 6(ж^У Ь(і) <^(|х — і|) и(і) йі о
действует непрерывно из Ьр в Ьр/, положителен и потенциален, причем Уи(х) Є Ьр выполняются неравенства:
ІІВ0іиІІр ^ 2 11Ь112р/(р-2) ■ ІМІі ■ ІНІР , (В0іи,и)> 0 . (26)
Доказательство. Пусть и(х) Є Ьр - произвольная функция. В силу неравенства Гельдера ||Ь ■ и||2 ^ ||Ь||2р/(р-2)||и|р. Поэтому, используя оценку (4), имеем
1|Ро1(Ь ■ и)І2 ^ 2 ||^||і||Ь ■ и|2 ^ 2 ||6|І2р/(р-2)ІМІіІНІр. Так как В^и = Ь ■ Р0і(Ь ■ и) и, в силу неравенства Гельдера, ||ВЦіи||р/ ^ ||Ь|2р/(р-2) ІРГі(Ь ■ и)|І2 ^ 2 ||Ь|2р/(р-2) ■ ІМІі ■ ІН|р , то оператор В ці действует непрерывно из Ьр в Рр/ и потенциален, как симметрический оператор, причем справедливо первое неравенство из (26). Наконец, используя неравенство (5), имеем (ВЦіи,и) = (В01(Ь■ и), (Ь■ и)) > 0 , что равносильно второму неравенству из (26),
т.е. оператор ВЦі положителен. □
Теорема 6. Пусть р > 4 - четное число, <р Є П(0,1] и Ь(х) Є Р2р/(р-2). Тогда уравнение
і
ир-і(х) + Ь(ж^У Ь(і) <^(|х — і|) и(і) йі = f (х) (27)
о
имеет единственное решение и* Є Ьр при любом f Є Рр/. Это решение может быть найдено методом последовательных приближений по формуле:
ип+і = ип — ' ||Аига — f ||р/ р ' |Аи„ — f |р 2 ' (Аи„ — f) , (28)
где п = 0,1, 2, 3,..., и0(х) Є Ьр - начальное приближение, Аи = ир- + В,
і
и,
= тіп 1 1, р
Є + (р — 1) ■ ^ || ип 11 р + ||Аига — f ||р^ + 2 IIЬII 2р/(р-2)
є > 0 — любое число.
Доказательство. Запишем уравнение (27) в операторном виде: Аи = f, где
Аи = ир- + В^и. Очевидно, что оператор А действует непрерывно из Ьр в Рр/ и коэр-цитивен, так как (Аи,и) = (ир-і,и) + (Вціи,и) > ||и||р и р > 4.
Покажем теперь, что А - равномерно монотонный оператор. Используя лемму 2 и неравенство (ір- — зр-:і) ■ (і — в) > 22-р|і — з|р, справедливое для всех і, в Є (—то, то), имеем
і
(Аи — А^,и — V) > J[ир-іа(х) — ^р-і(ж)] ■ [и(х) — ^(х)] йх >
о
> 22-р ■ ||и — V|рр = в(||и — ^|р), Уи, V Є Ьр ,
где в (в) = 22-р ■ ^р - строго возрастающая на [0, то) функция такая, что в (0) = 0, т.е. А -равномерно монотонный оператор.
і
Значит, по теореме Браудера-Минти, уравнение (27) имеет единственное решение и* е Ьр.
Осталось доказать, что последовательность (28) сходится к и* (ж) по норме пространства Ьр. Воспользуемся теоремой 5. Известно [3], что пространства Ьр, 1 < р < то, являются строго выпуклыми, и дуализующее отображение 3* для пространства Ьр/ имеет вид:
(3*эд)(ж) = |М|рГр ■ Щж)|р/-2 ■ эд(ж) . (29)
Покажем, что оператор А является ограниченно липшиц-непрерывным. Для любых и, V е Ьр, имеем
||Аи - Av|p/ ^ ||ир-1 - vp_1||p/ + ЦВцКи - v)||p/ = /1 + /2 .
Так как |£р-1 - зр-1| ^ ^ ■ |* - в| ■ (£р-2 + зр-2) , УМ е (-то, то) , то
/1 ^ Р - 1 ( J |и(ж) - v(ж)|p/ |ир-2(ж) + vp-2(ж)|p/ dж| ^
(применяем сначала неравенство Гельдера с показателями р/р; и р/(р - р;), а затем ко второму сомножителю применяем неравенство Минковского)
^ 1|и - v||p (|и|р-2 + |М|р-2) ^ (р - 1) ■ гр-2 ■ ||и - v|p ,
где г = тах(||и||р, |^||р). Таким образом, оценивая /2 с помощью первого неравенства из
(26), имеем || Аи - Av||p/ ^ ^(г) ■ ||и - v||p , где ^(г) = (р - 1) ■ гр-2 + 2 ||Ь||р/Ср-2)|1 - воз-
растающая на [0, то) функция. Значит, А — ограниченно липшиц-непрерывный оператор.
Далее, поскольку Ри = ир-1 - потенциальный оператор, то, принимая во внимание лемму 2, получаем, что оператор А также является потенциальным.
Следовательно, на основании теоремы 5, последовательность (28) сходится к и*(ж) по норме пространства Ьр. □
Введем в рассмотрение весовые пространства Ьр(^). Пусть ^(ж) есть неотрицательная почти всюду конечная и почти всюду отличная от нуля измеримая по Лебегу на отрезке [0,1] функция. Обозначим через Ьр(^), 1 < р < то, множество всех измеримых по Лебегу на отрезке [0,1] функций и (ж) с конечной нормой
('[ 11/Р
1|и||рд =1 / е(ж) |и(ж)|^ж
Известно [7], что Ьр(^) есть рефлексивное банахово пространство, и сопряженным с ним является пространство Ьр/(^1-р/) с нормой || ■ ||р/,1-р/, р = р/(р- 1). В случае ^(ж) = 1 будем писать, как обычно, Ьр и || ■ ||р.
Рассмотрим теперь в весовом пространстве Ьр(^) уравнение вида:
1
^(ж) ■ ир-1(ж) + ^ <^(|ж - £|) и(£) d^ = f (ж). (30)
о
На вес ^(ж) накладывается следующее ограничение:
(р-2)/(2р)
ф) = I I [р(ж)]2/(2-р^ж I < то. (31)
Лемма 3. Пусть 2 < p < то, ^ G П(0,1] и выполнено условие (31). Тогда оператор
свертки P0i действует из Lp(p) в Lp/(pi-p ) и является непрерывным потенциальным
положительным оператором, причем
||Р01и||р/,i-p/ ^ 2c2(q) ■ H^Hi ■ ||u||p,i, Vu G Lp(^). (32)
Доказательство. Пусть u(x) G Lp(q) - произвольная функция. Так как, в силу неравенства Гельдера,
(} V/2
||u||2 = I [q(x)] 2/p[Q(x)]2/p|u(x)|2dx I ^ c(q) ■ ||uHp, 1, (33)
то пространство Lp(q) непрерывно вложено в L2.
Аналогично, для любого ^(ж) G L2, имеем
( i \1/p/
IHki-p/ = ( У[Q(x)]i-p^(ж)Кdx I ^ c(^) ■ IMI2 . (34)
Из неравенств (33) и (34) вытекает, что имеют место следующие непрерывные вложения:
Lp(q) С L2 С Lp/ (£i-p/). (35)
Так как, в силу неравенства (4), 11Poiu12 ^ 2 ЦИК ' ||u12, то, используя оценки (33) и (34), получаем
||Poiw||p/, i-p/ ^ Ф) ■ 11 Poi u 12 ^ 2 c(q) ■ ||^| i ■ IHI2 ^ 2 c2(q) ■ ||^| i ■ l|u|p, i.
Значит, оператор Р0^ действует непрерывно из Lp(p) в Lp/ (pi-p ) и справедливо неравенство (32). Потенциальность и положительность оператора Р^ вытекают из леммы 1, поскольку имеют место вложения (35). □
Теорема 7. Пусть p > 4 - четное число, <р G П(0,1] и выполнено условие (31). Тогда уравнение (30) имеет единственное решение u*(x) G Lp(q) при любом f (ж) G Lp/(q1-p). Это решение может быть найдено методом последовательных приближений по формуле:
un+i = u„ - ■ ||Bu„ - f llpT,p-p/ ■ Qi-p/ ■ |Bu„ - f |p/-2 ■ (Bu„ - f), (36)
где u0(ж) G Lp(q) — начальное приближение, Bu = q ■ up i + P0
i
u,
(
= min
p-2
у £ + (p - 1) ■ (J|un ||p, i + || Bun - f |p/, i-p^ +2 c2(q) ’ IMIiy
£ > 0 — любое число.
Доказательство. Поскольку доказательство проводится по той же схеме, что и в теореме
6, то ограничимся приведением лишь основных его моментов. Запишем уравнение (30) в операторном виде: Ви = f , где Ви = р ■ ир-1 + Р^и. Так как д ■ ир-1 е Ьр/(д1-р/), Уи е Ьр(д) , то, используя лемму 3, получаем, что оператор В действует из Ьр(д) в Ьр/(р1-р/). Непосредственно проверяется, что дуализующее отображение 3* для пространства Ьр/(д1-р ) имеет вид:
(3*м)(ж) = |М|р-р-р/ ■ д1-р/(ж) ■ |^(ж)|р/-2 ■ Цж).
Далее, Уи^ е Ьр(д), имеем
||Ви - В^|р/, 1-р/ ^ || д ■ (иР 1 - vP 1 ||р/, 1-р/ + ||ро1(и - v) ||р/, 1-р/ = /1 + /2 .
2
1
Как и при доказательстве теоремы 6, получаем
1/p/
2
u - v|p, 1 (|u||p, l2 + |v
p 2
p, 1
) ^ (p - І) ■ rp-2 ■
uv
p, 1 ,
где г = шах(||и||р,!, |^|р,і). Таким образом, используя для оценки 12 лемму 3, имеем ||Ви — В-уЦр/, 1-р/ ^ ^(г) ■ ||и — г>||р, 1 , где ^(г) = (р — 1) ■ гр-2 + 2с2(^) ||^|1 - возрастающая на [0, то) функция. Значит, В — ограниченно липшиц-непрерывный оператор. Наконец, точно так же, как и при доказательстве теоремы 6, доказывается, что В — равномерно
В заключение отметим, что аналогичные результаты можно получить для нелинейных сингулярных интегральных уравнений и нелинейных уравнений Винера-Хопфа со специальными ядрами, рассмотренных в [4], [8], [9].
1. Асхабов С.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки на отрезке // Известия вузов. Сев-Кав. регион. Естеств. науки. 2007. № 1. C. 3-5.
2. Асхабов С.Н. Приближенное решений нелинейных уравнений с весовыми операторами типа потенциала // Уфимский математический журнал. Т. 3, № 4. 2011. C. 8-13.
3. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. 416 с.
4. Асхабов С.Н. Нелинейные уравнения типа свертки. М.: Физматлит, 2009. 304 с.
5. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
6. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.
7. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения // Труды Тбилис. мат. ин-та АН ГрузССР. Т. 23. 1956. C. 3-158.
8. Асхабов С.Н. Применение метода монотонных операторов к некоторым нелинейным уравнениям типа свертки и сингулярным интегральным уравнениям // Известия вузов. Математика. N9. 1981. C. 64-66.
9. Асхабов С.Н. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения в пространствах Лебега // Современная математика и ее приложения. Т. 67. 2010. C. 33-48.
Султан Нажмудинович Асхабов,
Чеченский государственный университет, ул. Шерипова, 32,
364907, г. Грозный, Россия E-mail: [email protected]
Ахмед Лечаевич Джабраилов,
Чеченский государственный университет, ул. Шерипова, 32,
364907, г. Грозный, Россия E-mail: [email protected]
монотонный (с e(s) = 22 p ■ sp) потенциальный оператор.
□
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
