CC BY
22
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 4 (2011). С. 8-13.
УДК 517.968
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЕСОВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА
доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и способах нахождения решений. Показано, что решения могут быть найдены методом последовательных приближений пикаровского типа и доказаны оценки скорости их сходимости. Полученные результаты охватывают, в частности, случай линейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала специального вида.
Ключевые слова: нелинейные интегральные уравнения, оператор типа потенциала, монотонный оператор.
В вещественном пространстве Ь2(К1) = Ь2(-<Х), то) рассматриваются нелинейные интегральные уравнения вида
для которых комбинированием метода монотонных (по Браудеру-Минти) операторов (см., например, [1]) и принципа сжимающих отображений доказываются глобальные теоремы
S.N. Askhabov, Approximate solution of nonlinear equations with weighted potential type operators.
© Асхлвов С.Н. 2011.
Поступила 4 июля 2011 г.
С.Н. АСХАБОВ
Аннотация. В вещественном пространстве Ь2(-<Х), те), комбинированием основного принципа теории монотонных операторов Брудера-Минти и принципа сжимающих отображений Банаха, для различных классов нелинейных интегральных уравнений с весовыми операторами типа потенциала
(1)
(3)
о существовании, единственности и способах нахождения решений. Показано, что решения могут быть найдены методом последовательных приближений пикаровского типа и получены оценки скорости их сходимости.
Интерес к нелинейным уравнениям с ядрами типа потенциала вызван их многочисленными и разнообразными приложениями (см. [1], глава 2, и [2], глава 7).
Для упрощения записей введем следующие обозначения:
СЮ
ЬР(П1) = Ьр , || ■ ||ьр(д1) = || ■ ||Р , (и,у) = и(х) ь(х) dx ,
V “*■>« = / ^—^ ■ ^)(*) = 1Щ^^ *•
В силу известной теоремы Харди-Литтлвуда (см., например, [1]), оператор типа потенциала Iа действует непрерывно из в Ьр/(1—ар), если 0 < а < 1 и 1 < р < 1/а, причем
11^ ^Нр/(1—&р) ^ 11^ 11р^р/(1—&р) Е ^р, (4)
где \\1а1р^р/(1—ар) есть норма оператора 1а : Ьр ^ Ьр/(1—ар), т.е действующего из Ьр в
^р/(1—ар).
В этой связи представляет интерес следующая лемма, играющая существенную роль при исследовании уравнений (1)-(3).
Лемма 1. Пусть 0 < а < 1/2 и а Е Ь1/а. Тогда оператор Аа действует непрерывно из Ь2 в Ь2 и положителен, причем
||А“И|2 ^ 2 ||^“||2^-2/(1 —2a:)|H|l^:|HІ2, (5)
(Ааи,и) = 0 Уи(х) Е Ь2 , (6)
где (■, ■) означает скалярное произведение в Ь2.
Доказательство. Пусть и Е Ь2. Тогда, применяя неравенство Гельдера с показателями 1 + 2а и (1 + 2а) / (2а), имеем
||я ■ и^2/(1+2а) ^ ||а|1/а|И|2 • (7)
Итак, а ■ и Е Ь2/(1+2а). Так как 1 < 2/(1 + 2а) < 1/а (первое неравенство равносильно
условию, что а < 1/2, а выполнение второго — очевидно), то согласно теореме Харди-
2
Литтлвуда 1а(аи) Е Ь2, поскольку -—= 2, причем Ц1а(а ■ и)Ц2 ^ Ц^Ъ/^а^Ца ■
1 — 1+2а
иЦ2/(1+2а). Воспользовавшись оценкой (7), из последнего неравенства получаем:
||/"(а ■ и)^2 ^ |^а|2/(1+2«)^2|^|1/а ||^ Н 2 • (8)
Так как и Е Ь2 и 0 < а < 1/2, то согласно теореме Харди-Литтлвуда 1аи Е Ь2/(1—2а), причем, в силу неравенства (4),
||Iau||2/(1—2a) ^ ||^а||2^-2/(1—2а) |МЬ • (9)
Далее, применяя неравенство Гельдера с показателями 1/(1 — 2а) и 1/(2а), имеем ||а ■
1аиЦ2 ^ ||а|1/а|/"м|2/(1—2а). Поэтому, из последнего неравенства, с учетом оценки (9), сразу получаем
||а ■ 1аи¡2 ^ ||^а|2^2/(1—2а)|Я|1/а|^|2. (10)
Так как, в силу неравенств (8) и (10), Ааи = а ■ Iаи — Iа(а ■ и) Е Ь2 и
||Л“иЬ ^ ||а ■ IаиЦ2 + ||/“(а ■ и)Ц2 ^
^ (||Ia||2^2/(1—2a) + ||Ia||2/(1+2a)^2) |Н|1/а|М|2 ,
то из последнего неравенства, с учетом очевидного (см., например, [3], с. 247) равенства Ц1аЦ2^2/(1—2а) = \\1а'[\2/(1+2о1)^2 (поскольку 1а самосопряженный оператор), легко получаем неравенство (5).
Осталось доказать равенство (6). Так как оператор Iа является симметрическим, то
(Ааи, и) = (а I аи, и) — (1а(аи),и) = {1аи, а и) — {а и, Iа и) = 0,
что и требовалось доказать. □
Приступим теперь к исследованию нелинейных уравнений (1)-(3), содержащих весовой оператор типа потенциала Аа. Обозначим через N множество всех натуральных чисел. Всюду далее предполагается, что функция Р(х,Ь), порождающая оператор Немыцкого Ри = Р[х,и(х)], определена при х,Ь Е (—то, то) и удовлетворяет условиям Каратеодори: она измерима по х при каждом фиксированном Ь и непрерывна по Ь почти для всех х.
Для применимости к уравнениям (1)-(3) метода монотонных операторов и принципа сжимающих отображений необходимо потребовать, соответственно, чтобы функция Р(х,Ь), определяющая нелинейность в уравнениях (1)-(3), обладала свойством монотонности и удовлетворяла условию Липшица. В связи с этим всюду в данной работе предполагается, что нелинейность Р(х,Ь) почти при каждом фиксированном х Е (—то, то) и при любых 11,12 Е (—то, то) удовлетворяет условиям:
1) \Р(х^1) — Р(х^2)\ ^ м ■ ^1 — ¿2| , где М> 0 ;
2) ^(х^1) — Р(х^2)^ ■ (Ь1 — Ь2) > т ■ ^1 — Ь2\2 , где т> 0 .
Из условия 1 вытекает, что оператор Немыцкого Р действует непрерывно из Ь2 в Ь2 и удовлетворяет условию Липшица:
НЬи — РьЦ2 ^ М ■ Ни — ьЦ2 , Уи,ь Е Ь2 , (11)
а из условия 2 вытекает, что он является сильно монотонным:
(Ри — Ри, и — у) > т ■ Ци — ьЦ2 , Уи, V Е Ь2 . (12)
Очевидно, что условиям 1 и 2 удовлетворяет, например, любая линейная функция Р(х, Ь) = а■ Ь + Ь, а > 0, для которой т = М = а. Простейшим примером нелинейной функции, удовлетворяющей условиям 1 и 2, может служить функция Р(х, Ь) = (Ь + 213)/(1 + ^), для которой т = 1, М = 17/8.
В дальнейшем нам понадобится следующая известная теорема (см. [1], с. 13, где приведено подробное ее доказательство), являющаяся следствием более общих результатов Ф. Браудера и В. Петришина.
Теорема 1. Пусть Н есть вещественное гильбертово пространство, и оператор А
действует из Н в Н. Если существуют постоянные т > 0 и М > 0 (М > т), такие,
что для любых и,ь Е Н выполняются неравенства:
ЦАи — АьЦн ^ М ■ Ци — ьЦн , (13)
(Аи — Аь,и — ь) > т ■ Ци — ьЦ2н , (14)
то уравнение Аи = / имеет единственное решение и* Е Н при любом f Е Н. Это решение можно найти методом последовательных приближений по формуле (п Е N):
ип = ип—1 — -^2 (Аип—1 — f) , (15)
с оценкой погрешности:
™ ап
1К — и*Цн ^ -ш-2 ■ — ЦАщ> — IНн , (16)
где а = л/1 — т2М—2, и0 Е Н — произвольный элемент (начальное приближение).
Рассмотрим сначала наиболее простое для исследования используемым методом нелинейное уравнение (1).
Теорема 2. Пусть 0 < а < 1/2, а Е Ь1/а и нелинейность Р(х,Ь) удовлетворяет, условиям 1) и 2). Тогда при любом f Е Ь2 уравнение (1) имеет единственное решение и* Е Ь2. Это решение можно найти методом итераций по схеме:
ип = ип-1 — ^1 ■ (Ьип-1 + Ааип-1 — f) , (17)
с оценкой погрешности
а1
||ип — и*Ь ^ ^1~-------НРЩ + АаЩ — f 112 , (18)
1 - а1
где ^1 = т/(М + 2Н1аН2^2/(1—2а)НаН1/о)‘2, а1 = у/1 — т ■ ^-]_, и0 Е Ь2 — начальное приближение (произвольная функция).
Доказательство. Пусть и,и Е Ь2 - любые функции. Запишем данное уравнение (1) в операторном виде: Аи = /, где А = Р + Аа. Используя сначала неравенство Минковского, а затем неравенства (5) и (11), с одной стороны имеем:
НАи — АиН2 ^ (М + 2Н\1а || 2^-2/(1—2а) || ^ || 1/а) ■ ||^ — ^||2 .
С другой стороны, используя равенство (6) и неравенство (12), получаем:
(Аи — Аи, и — и) = (Ааи — Ааи, и — и) + (Ьи — Ьи, и — и) > т ■ Ни — иЦ2 .
Следовательно, по теореме 1, уравнение Аи = /, т.е. данное уравнение (1) имеет единственное решение и* Е Ь2, и это решение можно найти по схеме (17), получающейся из формулы (15), с оценкой погрешности (18), вытекающей из неравенства (16). □
Рассмотрим теперь более трудные для исследования используемым методом нелинейные уравнения (2) и (3). К таким классам уравнений применить непосредственно общую теорему 1 нельзя, так как произведение нелинейных монотонных операторов не является, вообще говоря, монотонным оператором.
Теорема 3. Пусть 0 < а < 1/2, а Е Ь1/а и нелинейность Р(х,Ь) удовлетворяет, условиям 1) и 2). Тогда при любом f Е Ь2 нелинейное уравнение (2) имеет единственное решение и* Е Ь2. Это решение можно найти методом итераций по схеме:
ип = Ь — 1ип, ип = ьп-1 — ¡12 ■ (Ь —1ьп-1 + Ааип-1 — f) , (19)
с оценкой погрешности
Нип — и*Н2 ^ — ■ --- Цио + АаРщ — f Н2 , (20)
т 1 — а2
где п Е N ^2 = т/[М(т~1 + 2Ц1аН2^2/(1—2а) (Нк/а)]2, а2 = у/1 — ш ■ М—2 ■ ^2, Р—1 оператор обратный к Р, и0 = Ри0, и0 Е Ь2 — начальное приближение (произвольная функция).
Доказательство. Пусть и,и Е Ь2 - любые функции. Так как оператор Немыцкого Р удовлетворяет неравенствам (11) и (12), то по теореме 1.3 из [1], существует обратный оператор Р—1 такой, что
НЬ—1и — Р—1иЦ2 ^ — Ни — ьЦ2 , (21)
т
(Р—1и — Р—1и,и — и) > — Ни — уЦ2 . (22)
Запишем уравнение (2) в операторном виде:
и + АаРи = / . (23)
Непосредственно проверяется, что если у* является решением уравнения
Ву = Ь—1у + Аау = ! , (24)
то и* = Р—1у* является решением уравнения (23), причем эти решения единственны в Ь2, так как операторы Р и Р—1 строго монотонны, а оператор Аа положителен.
Докажем, что уравнение (24) имеет единственное решение у* Е Ь2. Так как уравнение (24) имеет такой же вид, что и уравнение (1), причем свойства (21) и (22) оператора Р—1 подобны свойствам (11) и (12) оператора Р, то, используя равенство (6), неравенства (21) и (22), точно так же как и при доказательстве теоремы 2 получим, что
НВи — ВуН2 ^ ^ — + 2Н1аН2^2/(1+2а) ||а||1/а^ ||и — У^ ,
(Ви — Ву,и — у) = (Р —1и — Р —1у,и — у) + (Ааи — Аау,и — у) > —¡^Ни — уЦ22 .
М 2
Значит, по теореме 1, уравнение Ву = /, т.е. уравнение (24) имеет единственное решение у* Е Ь2, и это решение можно найти по схеме
уп = уп—1 — V2 ■ (Вуп_ 1 — /) , (25)
с оценкой погрешности
Н^п — У*Н2 ^ — ■ 1-----НВУо — f Н2 , (26)
т 1 — а2
где ^2 = т/[М(т~1 + 2Ц1а Ц2^2/(1—2а) |М|1/«)]2, а2 = у/1 — т ■ М—2 ■ ^. Но тогда уравнение (23), т.е. данное уравнение (2) имеет единственное решение и* = Р —1у* Е Ь2, и это решение можно найти по схеме (19), получающейся из (25), с оценкой погрешности (20), получающейся из (26), с учетом того, что Ву = Р—1у + Аау и, в силу оценки (21), справедливо неравенство:
Нип — и*Н2 = ||^ 1уп — Р 1у* ||2 ^ НУП — У*Н2 .
т
Теорема 3 полностью доказана. □
Докажем, наконец, следующую теорему.
Теорема 4. Пусть 0 < а < 1/2, а Е Ь1/а, и нелинейность Р(х,£) удовлетворяет,
условиям 1) и 2). Тогда при любом f Е Ь2 нелинейное уравнение (3) имеет единственное
решение и* Е Ь2. Это решение можно найти методом итераций по схеме:
ип = ип— 1 + ^2 ■ 1(f — ип— ^ — Ааип_ 1) , (27)
с оценкой погрешности
К — «Ъ ^ - ■-Т^ НР—1(! — ио) — АаиоЦ2 , (28)
т 1 — а2
где п Е N ^2 = т/[М(т~1 + 2Ц1аН2^2/(1—2а) (НК/«)]2, а2 = у/1 — т ■ М—2 ■ ^2, Р—1 оператор обратный к Р, и0 Е Ь2 — начальное приближение (произвольная функция).
Доказательство. Пусть и Е Ь2 — любая функция. Запишем уравнение (3) в операторном виде:
и + РАаи = f . (29)
Положим £ — и = (р. Тогда уравнение (24) примет вид: РАа(/ — р) = р. Применив к обеим частям последнего уравнения оператор Р—1, существование которого доказано в теореме 3, приходим к уравнению:
Вр = Р—1р + Аар = Аа! . (30)
Непосредственно проверяется, что если <р* является решением уравнения (30), то и* = f — р* является решением уравнения (29), причем эти решения единственны в L2, так как операторы F и F-1 строго монотонны, а оператор Аа положителен.
Докажем, что уравнение (30) имеет единственное решение р* Е L2. Так как уравнение (30) имеет такой же вид, что и уравнение (24), то, повторяя рассуждения, приведенные в теореме 3, убеждаемся, что уравнение (30) имеет единственное решение р* Е L2, и его можно найти по схеме вида (25):
Рп = Рп-1 — ß2(Bpn-1 — Ааf) , (31)
с оценкой погрешности вида (26):
\\рп — Р*\\ ^ — ■ -—-— \\Bpo — Ааf Ц2 . (32)
т 1 — а2
Из (31) и (32), учитывая, что р = f — и, непосредственно получаем, соответственно, итерационную схему (27) и оценку погрешности (28) — что и требовалось доказать. □
В заключение отметим, что теоремы 2-4 охватывают, в частности, случай соответствующих линейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала специального вида.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Асхабов С.Н. Нелинейные уравнения типа свертки. М.: Физматлит, 2009. 304 с.
2. R. Gorenflo, S. Vesella Abel integral equations. Analysis and applications. Berlin: Springer-Verlag, 1991. 215 p.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2004. 570 с.
Султан Нажмудинович Асхабов,
Чеченский государственный университет, ул. Шерипова, 32,
364907, г. Грозный, Россия E-mail: askhabov@yandex.ru
