CC BY
23
МАТЕМАТИКА
УДК 517.968
НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ НА ОТРЕЗКЕ
© 2007 г. С.Н. Асхабов
By methods of monotone operators theory, existence and uniqueness theorems are proved for some classes of nonlinear integral equations with convolution type kernels in real Lebesgue spaces. There are obtained estimates for the norm of the solution.
В [1] изучены нелинейные интегральные уравнения типа свертки на отрезке [-п, п] (периодический случай) в предположении неотрицательности дискретного косинус-преобразования Фурье их ядер. В рассматриваемом здесь случае отрезка [0,1] при исследовании таких уравнений возникают дополнительные трудности, связанные по сути дела с тем, что для положительности оператора свертки в Lp (0,1) выпуклости его ядра уже недостаточно. При дополнительных ограничениях на ядра в данной работе методом монотонных по Браудеру-Минти операторов для различных классов нелинейных интегральных уравнений получены нелокальные теоремы существования и единственности решений в вещественных пространствах Лебега Lp (0,1).
Известно [2, с. 46], что если функция f (x) выпукла в интервале (0,2п), то ее коэффициенты Фурье an > 0 Vn е N . Если же рассматривать функции в интервале (0,1) , то для неотрицательности соответст-
1
вующих коэффициентов Фурье an = 2J f (x) cos mxdx
0
выпуклости функции f (x) уже недостаточно (напри-
2
мер, an < 0 для f (x) = x при нечетных n). Справедлива следующая
Лемма 1. Если f (x) е C[0,1] - невозрастающая выпуклая функция, то Vn е N 1
an = 2J f (x)cosrnnxdx > 0, (1)
0
причем an > 0 , если f (x) строго выпуклая убывающая функция.
Доказательство. В случае нечетных n неравенство (1) вытекает непосредственно из [3, ф-ла (1.4.7)]. Кроме того, из указанного равенства (1.4.7) следует, что a2n-1 > 0 , если f (x) строго выпуклая убывающая функция. В случае четных n для выполнения неравенства (1) достаточно выпуклости функции f (x), т.е. условие невозрастания функции f (x) из-
2п
лишне. В самом деле, так как й2„ =— | А(г)со8 пгйг,
п о
где И(х) = /(х /2п) есть выпуклая на [0,2п] функция,
то а2п > 0 по [2, теорем. 35]. Кроме того, а2п > 0, если /(х) строго выпуклая функция, так как такая функция не может быть линейной ни в каком интервале. Лемма 1 доказана.
Следует отметить, что при дополнительных ограничениях (неотрицательность и непрерывная диффе-ренцируемость функции /(х)) лемма 1 в связи с приложениями в дробном (интегральном и дифференциальном) исчислении была доказана другим путем А.М. Нахушевым в [3], где также доказано,
(р0(ы)(х) = |р(| х - г |)ы(г)А
что оператор
с ядром,
удовлетворяющим условию монотонности М, т.е. 1 1 р(х) е С (0,1], р(х) > 0, | р(х)ёх < ж , р(х1) > р(х2)
0
и р' (х1) <р' (х2) Ух1 < х2 , является строго положительным в пространстве Ь2 (0,1). Ниже доказывается
положительность оператора рр с ядром р(х), удовлетворяющим условиям леммы 1 (т.е. без предположения о неотрицательности и непрерывной диффе-ренцируемости функции р(х)) в пространствах,
Ьр (0,1) 1 < р < 2.
Определение 1. Скажем, что р(х) е 0(0,1], если р(х) - непрерывная невозрастающая выпуклая в
1
промежутке (0,1] функция такая, что | р(х)йх > 0 .
0
Лемма 2. Пусть 1 < р < 2, р' = р /(р -1) и р(х) е Ьр'/ 2 (0,1) 10(0,1]. Тогда оператор Р0( действует непрерывно из Ьр (0,1) в Ьр' (0,1) и положителен, т.е. Уы( х) е Ьр (0,1) выполняется неравенство
1 (1
(p^u, u\ = J j>(\ x -1 \)u(t)dt
^ ' 0 U
u(x)dx > 0. (2)
Доказательство. Применяя неравенство Гельдера и обобщенное неравенство Минковского [1, с. 33],
< 22/p|[......
получаем
p01u
lip'/21 Hip ,
т. е. оператор
Pq1 действует из Lp (0,1) в Lp' (0,1) и ограничен. Докажем его положительность (ср.: [3]). Положим
0
J>(x + в) при 0 < x < 1 -в
fs(x) = 1 (1) , <, , где ве (0,1) -
[ф(1) при 1 - в < x < 1 достаточно малое число. Очевидно, что функция fs (x) удовлетворяет всем требованиям леммы 1 и lim fs(x) = ф(x). Продолжим функцию fE (x) на
отрезок [-1,0] четным образом. По теореме Дирихле
имеем fs (x) = a00 / 2 + 2 aS cos rnx , 0 < x < 1, n=1
1
где as = 2 J fs (x)cos mxdx . Ясно, что
0
0 s 1
a0 = lim a0 = J (p(x)dx > 0 и в силу леммы 1 Vn е N
s^0 0
a° = lim a W > 0. Поэтому Vu (x) е Lp (0,1) имеем
s ^0 F
£ (1
1 (1
s ^00 V 0 Л 2
/ \ 1 (1
(P*u,u) = lim J J fs (| x -1 |)u(t)dt
\ ' sn
u( x)dx =
J u ( x ) dx
V0
+ 2 a\
n=1
(1
Л 2
J u(x) cos mxdx
V 0
(1
J u( x) sin mxdx
\2
V 0
> 0, т.е выполняется (2).
f (x) =
р(х) е Ьр /2 (0,1) I ^(0,1], а Е(х, ^ удовлетворяет
условиям 1) - 3). Тогда при любых Л>0 и
/(х) е Ьр (0,1) уравнение 1
2 • Е[ х, и( х)] + | р(| х - t |)и(0^ = / (х) (3)
0
имеет решение и * (х) е Ьр (0,1). Это решение единственно, если Е(х, Г) строго возрастает по ?. Кроме того, если в условии 3) Б(х) = 0, то справедлива
оценка:
^d -11| fÜ
/(p-1)
Доказательство. Запишем уравнение (3) в операторном виде: Аи = /, где Аи = 2 • Еи + Рри . В силу леммы 2 и условий 1) - 3) получаем, что оператор А действует непрерывно из Ьр (0,1) в Ьр (0,1) и является монотонным и коэрцитивным. При этом А является строго монотонным оператором, если Е(х, t) строго возрастает по t. Поэтому утверждения о существовании и единственности решения вытекают из теоремы Браудера - Минти (см., например, [4] или [1]). Наконец, используя условие 3) при Б(х) = 0,
положительность
удовлетворяет
Заметим, что функция
[1-2х при 0 < х < 1/2 |1/2-х при 1/2 < х < 1
условиям лемм 1 и 2, но не удовлетворяет условию монотонности М (она меняет знак и не дифференцируема в точке х = 1/ 2).
Приступим к изложению основных результатов данной работы. Пусть функция Е (х, t) определена при х е [0,1], t е (-да, да) и удовлетворяет условиям Кара-теодори: она измерима по х при каждом фиксированном t и непрерывна по t почти для всех х. Обозначим через Е порожденный ею оператор суперпозиции (Еи)(х) = Е[х,и(х)]. В зависимости от рассматриваемого класса уравнений будем предполагать, что нелинейность Е(х, t) для почти всех х е [0,1] и всех t е (-да, да) удовлетворяет либо условиям:
1) |Е(х, 0| < с(х) + ё1 111р-1;
2) Е(х, t1) < Е(х, 12), если t1 < 12 ;
3) Е(х, ^ > ё2 111р -Б(х), либо условиям:
4) |Е(х, t)| < я(х) + ёэИ1/(р-1);
5) Е(х, tl) < Е(х, 12), если tl < 12 ;
6) Е(х, tу > ё4 111р /(р-1) -Б(х),
где с(х) е Ь+ (0,1), Б(х) е Ь+ (0,1), я(х) е Ь+ (0,1),
й?1 >0, ..., ё4 >0 (Ь+р(0,1) означает множество всех неотрицательных функций из Ьр (0,1)). Теорема 1. Пусть 1 < р < 2 ,
Au = f , имеем Л-d2 •
оператора
p
^01
и равенство
u
<
(Au*, u
откуда непосредственно вытекает доказываемая оценка.
Теорема 2. Пусть р е [2,да),
р(х) е Ьр/2(0,1) I ^(0,1], а Е(х, 0 удовлетворяет
условиям 1) и 2). Тогда при любых 2 > 0 и
/ (х) е Ьр (0,1) уравнение
1
u(x) + Цф(\ x -11)F[t,u(t)]dt = f (x) 0
(4)
имеет единственное решение и (х) е Ьр (0,1). Кроме того, если выполнены условия 1) и 3) при с(х) = Б(х) = 0 , то справедлива оценка:
< ё1ё 2-111 А\р .
Доказательство. Запишем уравнение (4) в виде: и + АРрЕи = /. Из условий 1) и 2) вытекает, что оператор Е действует непрерывно из Ьр (0,1) в Ьр (0,1) и является монотонным, из условия
р(х) е Ьр /2(0,1) I ^(0,1] вытекает, что оператор Р0Р действует непрерывно из Ьр (0,1) обратно в Ьр (0,1) и положителен. Но тогда [5, теорем. 3] данное уравнение имеет единственное решение и * (х) е Ьр (0,1). Далее, используя условия 1) и 3), положительность оператора РР и равенство и * +2Р,РЕи * = / , имеем
< (u *, Fu f, Fu d^l
p-1
p
u
да
+
+
u
p
*
*
d
u
u
2
откуда непосредственно вытекает доказываемая оценка.
Теорема 3. Пусть 1 < р < 2 ,
р(х) е Ьр' /2(0,1) 10(0,1], а Е (х, г) удовлетворяет условиям 4) - 6). Тогда при любых Л > 0 и / (х) е Ьр (0,1) уравнение
u( x) + Л- F
1
x, ]И(| x -1 \)u(t)dt 0
= f ( x) (5)
имеет единственное решение ы (х) е Ьр (0,1). Кроме того, если в условиях 4) и 6) g (х) = Б( х) = 0, то справедлива оценка
u * - f * 22/pЛ-
p
d з d—
1/( p-1)
(6)
р' /21К 11р.
Доказательство. Из условий 4) - 6) вытекает, что оператор Е действует непрерывно из Ьр' (0,1) в
Ьр (0,1), строго монотонен и коэрцитивен. Значит, из [1, лемма 2.1], оператор Е имеет обратный Е_1, ко-
торый действует из Lp (0,1) в Lp' (0,1), хеминепре-монот
lim (F_1v, vy • J /
рывен, строго монотонен и коэрцитивен, причем
-1
= х. Полагая в (5) f - u = Л • v,
Il vil ^х \ .......
p
(Фv, v) > (F 1 v, v)
венное решение V (х) е Ьр (0,1). Но тогда уравнение
(5) имеет решение ы * = / -Л- V * е Ьр (0,1). Это решение единственно в силу условия 5). Осталось доказать оценку (6). Положим ц = Е~1v* . Тогда Ец = V* . Так как Е~1v* + Л - Рр* = рр/ , то с учетом леммы 2 и равенств g (х) = Б( х) = 0, имеем
й41Ир< {Еци) = (V*,Е*)<
4*,рр/) < 22/р '||еи мр ""
* 22/p'dз|Иp/2||
Следовательно,
pli' lip '/211 p И pp'_1.
2/ p
d з d—
И p* 2
Так как
v* = Л-1 • ( f - u * ), то
p /2
(8)
=1 NI p *d3
*
f - u
lip'-1
*Л • d
з
1p/ (p-1),
получим уравнение
^ = Ррр /, где Фv = Е "1v + Л- Р( . (7) В силу леммы 2 и указанных свойств оператора Е_1, Ф действует из Ьр (0,1) в Ьр (0,1), хемине-прерывен, строго монотонен и
^ ж при v ^ ж. Значит, по
INI ||vi| p
и lip II lip
теореме Браудера - Минти, уравнение (7) имеет единст-
откуда с учетом неравенства (8) получаем доказываемую оценку (6).
Литература
1. Асхабов С.Н. Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью. Майкоп, 2004.
2. Харди ГХ., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. М., 1959.
3. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М., 2003.
4. Гаевский Х, Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М., 1978.
5. Brezis H., Browder F.E. // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 80. № 3. P. 567-572.
Чеченский государственный радиотехнический университет, г. Грозный
21 апреля 2006 г.
и
p
