CC BY
43
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 8. № 1 (2016). С. 22-37.
УДК 517.968
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ С МОНОТОННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Аннотация. Методом монотонных операторов устанавливаются глобальные теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решений для различных классов нелинейных интегральных уравнений типа свертки в вещественных пространствах 2^-периодических функций Lp(-ж,ж).
Ключевые слова: нелинейное уравнение типа свертки, монотонный оператор, потенциальный оператор.
Mathematics Subject Classification: 45G10, 47H05
Многие задачи современной математики, физики, механики и биологии приводят к нелинейным интегральным уравнениям типа свертки. Например, общий класс нелинейных сервомеханизмов (следящих систем) описывается [1] нелинейным интегральным уравнением типа свертки вида
где /(ж) есть входной сигнал, а h(x) — ответный импульс системы. Уравнение (1) возникает также [2] в теории электрических сетей (сигнальной трансмиссии через общую электрическую сеть), содержащих нелинейные элементы (нелинейный резистр). При /(ж) = 0 уравнение вида (1) описывает [3], [4] детерменистические модели пространственного распространения эпидемии или благоприятного гена среди популяции вдоль линии с различными нелинейностями в эпидемической и генетической моделях, а также используется как математическая модель некоторых инфекционных заболеваний или как уравнение роста некоторых видов популяции.
Интегральные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью возникают [5], [6] в теории инфильтрации жидкости из цилиндрического резервуара в изотропную однородную пористую среду, при описании процесса распространения ударных волн в трубах, наполненных газом [7], а также при описании динамики открытой р-адической струны для скалярного поля тахионов [8]-[10].
Информацию о других приложениях нелинейных интегральных уравнений типа свертки можно найти в монографии [11].
В данной работе, используя новый подход, методом монотонных операторов [12]-[14] устанавливаются глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решений для различных классов нелинейных уравнений типа свертки в вещественных пространствах 2 ^-периодических функций Lp(-/k,'k) при любых значениях р G (1, œ) (см.
S.N. ASKHABOV, PERIODIC SOLUTIONS OF CONVOLUTION TYPE EQUATIONS WITH MONOTONE NONLINEARITY.
© АСХАБОВ С.Н. 2016.
Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00422-а).
Поступила 5 июля 2015 г.
С.Н. АСХАБОВ
1. Введение
(1)
-X
[16]). Ранее подобные результаты в случае пространств Ьр(—ж, <) были доказаны в [11], в зависимости от рассматриваемого класса уравнений, либо только при р Е (1, 2], либо только при р Е [2, <) (по сути дела, это было связано с тем, что согласно неравенству Юнга [11, с. 30], оператор свертки действует из пространства Ьр(—ж, <) в сопряженное с ним пространство Ьр/ (—<, <), р' = р/(р — 1), лишь при р Е (1, 2]). В рассматриваемом здесь случае пространств Ьр(—ж,,п), используя неравенство Юнга при р Е (1, 2] и вложения Ьр(—ж,ж) С Ь2(—ж,ж) С Ьр/(—п,,к) при р Е [2, <), показано, что оператор свертки действует непрерывно из пространства Ьр(—ж,,п) в сопряженное с ним пространство Ьр/ (—ж, ж) при любых значениях р Е (1, <) и положителен, что позволило доказать теоремы существования и единственности решения для всех рассматриваемых уравнений без дополнительных ограничений на р. Кроме того, в случае монотонных (не степенных) нелинейностей общего вида, комбинированием принципов Банаха-Каччиополи и Браудера-Минти, показано, что решения этих уравнений в рамках пространства Ь2(—%,%) могут быть найдены методом последовательных приближений пикаровского типа (ср. [17]), а в случае степенных нелинейностей вида ир-1, используя теорию потенциальных монотонных операторов, доказано, что решения могут быть найдены методом наискорейшего спуска (градиентным методом) в пространствах Ьр(—ж,'п) при любом четном р > 2 (ср. [18]).
Для удобства ссылок, приведем основные определения и вспомогательные утверждения, используемые в данной работе, придерживаясь терминологии и обозначений, принятых в монографии [14].
Пусть X — вещественное банахово пространство и X* сопряженное с ним пространство. Обозначим через {у, х) значение линейного непрерывного функционала у Е X* на элементе х Е X, а через || • || и || • ||* нормы в X и X*, соответственно.
Определение 1. Пусть и,ь Е X — произвольные элементы. Оператор А : X ^ X* (т.е. действующий из X в X*) называется: монотонным, если {Аи — Аи, и — ь) > 0; строго монотонным, если {Аи — Аи, и — и) > 0 при и = и; сильно монотонным, если {Аи — Аи, и — и) > т • Ци — иЦ2, т > 0;
равномерно монотонным, если {Аи — Аи,и — и) > ¡3(||и — ^||), где ¡3 — возрастающая на [0, <) функция такая, что 0(0) = 0;
коэрцитивным, если {Аи,и) > 7(||и||) • ||и||, где 7(3) — вещественная функция неотрицательного аргумента такая, что 7(в) ^ < при в ^ <;
липшиц-непрерывным, если ЦАи — АиЦ* ^ М • Ци — г>||, М > 0;
ограниченно липшиц-непрерывным, если ЦАи — АиЦ* ^ у (г) • Ци — г>||, где ^ — возрастающая на [0, <) функция, а г = шах(||и||, ||г>||);
хеминепрерывным, если функция в ^ {А(и + 5 • ь),т) непрерывна на [0,1] при любых фиксированных и,ь,т Е X.
Основная теорема теории монотонных операторов (см, например, [14]) - теорема (принцип) Браудера-Минти - сохраняется, если вместо условия коэрцитивности предположить,
О' {Аи,и)
что оператор А : X ^ X* удовлетворяет условию: И'Ш —п—п—=<.
||и||^< || ||
Если А — линейный оператор, то определение монотонного, строго монотонного и сильно монотонного оператора совпадает, соответственно, с определением положительного, строго положительного и сильно положительного (положительно определенного) оператора [14].
Пусть f : X ^ К, где К = (—<, <), — произвольный (не обязательно линейный) функционал.
Определение 2. Функционал / : X ^ К называется дифференцируемым по Гато, если существует оператор А : X ^ X* такой, что для всех и,ь Е X выполняется
равенство Ит — -г-=(Аи,ь). При этом оператор А называют градиентом
^о 1
функционала f и пишут А = grad f.
Определение 3. Оператор А : X ^ X* называется потенциальным, если существует функционал f : X ^ К такой, что оператор А является его градиентом. При этом функционал f называют потенциалом оператора А.
Пример 1 [14]. Пусть X — вещественное рефлексивное банахово пространство и А : X ^ X* — линейный ограниченный симметрический оператор, т. е. (Аи,у) = (и,Ау), У и, V Е X. Тогда А является потенциальным оператором, и его потенциал f (и) = 1 (Аи, и).
2. О положительности и потенциальности оператора свертки
Рассмотрим в пространстве Лебега Ьр(-ж,ж), 1 < р < то, состоящем из вещественных 2-^-периодических функций, интегральный оператор свертки
(Ни)(х)= h(x — t) u(t) dt,
где ядро к(х) Е Ьх(-ж, ж) есть 2 ^-периодически продолженная на отрезок [-2 ж, 2 ж] функция.
Для выяснения вопроса о том, при каких условиях на ядро к(х) оператор свертки Н является положительным в пространстве Ьр(-ж,ж), введем дискретное преобразование Фурье (изображение) последовательности комплексных чисел а = {ак:
^ 1 }
а(х) = У^ ак • егкх, где ак = — а(х) е"гkxdx.
и 2 к 3
Нам понадобятся следующие два равенства формула свертки изображений [21, с. 233]:
^ ^ „ U „гкх к=—оо
J а(х — t) b(t) dt = 2 ж У е
—ж
обобщенное равенство Парсеваля [22, с. 158]:
ж
г. <х
а(х) Ъ(х) dx = 2 ж ^^ Ък
к=—оо
оо
где b(x) = егкх , Ьк = Ь(х) е lkxdx.
к=—х
—ж
ж
ж
Лемма 1. Пусть 1 < р < < и выполнены условия:
{
к(х) Е Ьр/[2(р_ 1)](—ж,ж), если 1 <р ^ 2, к(х) Е Ьх(—ж, ж), если 2 < р < <.
Кс( к) = ] Ь(г)соз( к • ¿)сИ> 0 при к = 0,1, 2, 3,.... (3)
—ж
Тогда оператор свертки Н действует непрерывно из пространства Ьр(—ж,ж) в сопряженное с ним пространство Ьр/(—ж, ж), р' = р/(р — 1), и положителен, причем Уи(х) Е Ьр(—ж,ж) выполняются неравенства:
ЦНиЬ ^ Ср,н •ЦиЦр , (4)
Ж / ж \
{Ни, и) = ! | J И(х — Ь) и(Ь) сИ I и(х) Ах > 0,
—ж ^—ж /
где
= ( 2ж •ЦЦр*^, если 1 <р ^ 2, (5)
Ср,н =\ (2ж)2/р' ЦЦи если 2 <р< <. (5)
Доказательство. Пусть 1 < р ^ 2 и и(х) Е Ьр(—ж,ж) - произвольная функция. Так как к(х) Е Ьр/[2(р—1)](—ж,ж), то из неравенства Юнга [23, с. 67] непосредственно вытекает, что
ЦНи\\р/ ^ 2ж ЦЩр,/2Ци\\р , Уи(х) ЕЬр(—ж,ж), 1 <р ^ 2 . (6)
Пусть теперь 2 < < < . Тогда имеют место непрерывные вложения
Ьр(—ж,ж) С Ь2(—ж,ж) С Ьр/(—ж,ж), причем, в силу неравенства Гельдера, выполняются неравенства
Ци\\? ^ (2ж)(р—2)/(2р)Ци\\2 , Уи(х) Е Ь2(—ж,ж),
Н12 ^ ^Ж^^ЦиЦр , Уи(х) Е Ьр(—ж,ж). Используя последние два неравенства, а также неравенство (6) при р = р' = 2, имеем
ЦНи\\„ ^ (2ж)(р—2)/(2р)ЦНи\\2 ^ (2ж)(р—2)/(2р)2ж • ЦЩг • И2 ^ ^ (2ж)(р—2)/(2р)2ж • (2ж)(р—2)/(2р)ЦкЦ1 • Ир = (2ж)2(р—1)/рЦкЦ1 • Ир ,
т.е.
ЦНи\\Р' ^ (2ж)2/р' ЦЦг • ||и||р , Уи(х) Е Ьр( —ж,ж), 2 <р< < . (7)
Из неравенств (6) и (7) непосредственно вытекает, что оператор Н действует непрерывно из Ьр(—ж,ж) в Ьр/(—ж, ж) при любом р Е (1, <), причем справедливо неравенство (4). Докажем положительность оператора Н. В силу формулы свертки изображений, имеем
те
(Ни)(х) = 2ж £ Нк •щ • е1кх,где
к=—<х
ж ж 1 I ' - „, _ 1 I „.(„Л „—гкх.
Кк = — Н(х) • е с1х , ик = — и(х) • е с1х . 2 ж I 2 ж I
Значит,
—ж —ж
ж
2 ж • кк •ик = — (Ни)(х) • е~гкх(1х .
2ъ _
—ж
ж
Поэтому, используя обобщенное равенство Парсеваля, с учетом, что рассматриваются вещественные функции и(х), имеем
(Ни, и) = I (Ни)(х) • и(х) Ах = 2 ж ^^ 2 к • кк • ик • ик =
„ к=—оо
-тг
= (2 тг)2 • (ко •¡щ \2 + Л кк • \ик\2 + кк • \ик |2] =
\ к=-<х к=1 /
= (2 ж)2 • •¡щ\2 + [к-к Ли—к\2 + кк •\ик|2] ^
Замечая теперь, что
\и-к\ = и-к • и-к =
■к
и(1) • егЫМ I • I ^ I Ф) • е-гЫМ | = й~к • ик = \ик\2 ,
■к -К
кк + к_к = — [ к(г) \егЫ + е-гы 1 сИ = 1 [ к(г) соъ(Ы)(И = 1 кс(к), 2 п I ж I -к
из равенства (8) получаем
( Ни,и) = (2ж)Ч • кс(0) • \щ\2 + V 1 кс(к) • \ик\2 |
<х
= 2ж • кс(0) • \щ\2 + ^ кс(к) • \ик\2 . (9)
к=1
Из формулы (2) видно, что оператор свертки Н является положительным, если кс(к) > 0, т.е. если выполнено условие (3). □
Аналогично доказывается следующая лемма, двойственная лемме 1. Лемма 2. Пусть 1 < р < то,
{
к(х) еЬ\(-'к,'к), если 1 <р ^ 2, ( )
к(х) Е Ьр/2(-п,п), если 2 <р< то ^ '
и выполнено условие (3). Тогда оператор свертки Н действует непрерывно из Ьр' (—-к,-к) в Ьр(—тт,'к), р' = р/(р — 1), и положителен, причем
\\Ни\\р ^ \\и\\р? , Уи(х) Е ЬР'(—п,п) ,
где
с„
{
(2тт)2/р • \\к\\и если 1 <р ^ 2, 'р'н = \ 2ж\\к\\р/2, если 2 <р< то.
Замечание 1. Если в леммах 1 и 2 дополнительно предположить, что ядро к(х) есть четная функция, то оператор свертки Н будет потенциальным. В самом деле, в случае четного ядра к(х) оператор Н является симметрическим и, следовательно, на основании примера 1, потенциален.
п
3. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
Всюду далее предполагается, что заданная функция F(х,и), порождающая нелинейность рассматриваемых уравнений, определена при х Е [-ж, ж], и Е R, имеет период 2ж по х и удовлетворяет условиям Каратеодори [15, с. 15]: она измерима по х при каждом фиксированном и и непрерывна по и почти для всех х. Обозначим через Ь++(-ж, ж) множество всех неотрицательных функций из Ьр(-ж,ж), а через F оператор суперпозиции (оператор Немыцкого), порождаемый функцией F(х,и).
Теорема 1. Пусть 1 < р < ж, ядро к(х) удовлетворяет условиям (2) и (3), а нелинейность F(х,и) для почти всех х Е [-ж,ж] и всех и Е R удовлетворяет условиям:
3.1) IF (х, и) I ^ с(х) + d\ •И?-1, где с(х) Е L+ (-ж,ж), > 0;
3.2) F(х,и) не убывает по и почти при каждом х;
3.3) F (х, и) •и > d2 -Б(х), где Б(х) Е L^-ж, ж), d2 > 0. Тогда при любых Х> 0 и f(х) Е Lpt(-ж, ж) уравнение
ж
X •F [х,и(х)] + j Н(х - t) u(t) dt = ¡(х) (11)
—ж
имеет решение и*(х) Е Lp(—ж,ж). Это решение единственно, если в условии 3.2) функция F(х,и) строго возрастает по и. Кроме того, если условие 3.3) выполнено при Б(х) = 0,
то \\и*\\р ^ (X-1 • d—1 \\f\\p, У/{р—1).
Доказательство. Запишем данное уравнение (11) в операторном виде: Аи = /, где Аи = X • Fu + Ни. В силу леммы 1 и условий 3.1)-3.3) получаем, что оператор А действует непрерывно из Lp(—ж,ж) в Lpt(-ж, ж) и является монотонным и коэрцитивным. При этом оператор А является строго монотонным, если функция F( х, и) строго возрастает по и. Поэтому утверждения о существовании и единственности решения вытекают из теоремы (принципа) Браудера-Минти (см., например, [14]) - основной теоремы теории монотонных операторов. Наконец, используя условие 3.3) при И(х) = 0, положительность оператора Н и равенство А и* = , имеем
X • d2 • \\и*\\рр ^ X • (Fu*,u*) ^ X •(Fu*,u*) + (Ни*,и*) =
= (Аи*,и*) = (f,u*) ^ \\f\\p,||и||р, откуда непосредственно вытекает доказываемая оценка для нормы решения. □
Следствие 1. Пусть р > 2 - любое четное число, ядро к(х) Е L\(-ж, ж) и удовлетворяет условию (3). Тогда уравнение
ж
ир- 1(х) + j Н(х - t)u(t)dt = ¡(х)
—ж
имеет единственное решение и*(х) Е Lp(—ж,ж) при любом f(х) Е Lpt(-ж,ж), причем
\\и*\\Р ^ \\ftj{p-1).
В следующей теореме существование и единственность решения рассматриваемого уравнения типа Гаммерштейна устанавливаются без требования коэрцитивности нелинейности.
Теорема 2. Пусть 1 < р < ж, к(х) Е L1(—ж,ж) при 1 < р ^ 2 и к(х) Е Lp/^-ж^) при 2 < р < ж. Если ядро к(х) удовлетворяет условию (3), а нелинейность F(х,и) удовлетворяет условиям 3.1) и 3.2) теоремы 1, то уравнение
ж
и(х) + X К(х - t) F[t, u(t)] dt = ¡(х) (12)
имеет единственное решение и*(х) Е Ьр(-ж,ж) при любом Л > 0 и любом ¡(х) Е Ьр(-ж,ж). Кроме того, если выполнены условия 3.1) и 3.3) при с(х) = Б(х) = 0, то ||и*\\р ^ ¿г • в—1 • \\Ц\Р.
Доказательство. При Л = 0 утверждения теоремы очевидны, поэтому считаем далее, что Л > 0. Запишем уравнение (12) в операторном виде: и + Л • НЬи = f. Из условий 3.1) и 3.2) вытекает, что оператор Ь действует непрерывно из Ьр(-ж,ж) в Ьр'(-ж,ж) и является монотонным, а из леммы 2 вытекает, что оператор Н действует непрерывно из Ьр/(-ж,ж) обратно в Ьр(-ж,ж) и положителен. Но тогда, по теореме 3 из [19] (см. ниже замечание 2), данное уравнение имеет единственное решение и*(х) Е Ьр(-ж,ж).
Осталось доказать оценку нормы решения и*(х). Используя условия 3.1) и 3.3) при с(х) = И(х) = 0, положительность оператора свертки Н и равенство и* + Л • НЬи* = f , имеем
й2Ни*Щ ^ {и*,Ьи*) + Л{НРи*,Ьи*) =
= () ^ тшии, ^ ^ЦДрЦи\\р—1,
откуда непосредственно вытекает доказываемая оценка. □
Следствие 2. Пусть р > 2 - любое четное число, ядро к(х) Е Ь1(-ж, ж) и удовлетворяет условию (3). Тогда уравнение
ж
и(х)+ к(х - г)ир—1(г)М = ¡(х)
—ж
имеет единственное решение и*(х) е Ьр(-ж,ж) при любом ¡(х) Е Ьр(-ж,ж), причем
К\\р ^ \\п\р.
Замечание 2. Доказательство теоремы 2 в части существования и единственности решения основано на теореме 3 из [19]. Важно отметить, что в этой теореме 3, относящейся к уравнениям Гаммерштейна вида
ь
Ф) + !к (Х, ,)Р м>)]ь = т,
а
нелинейность Ь(х,и) должна не убывать по и (в [19] предполагается, что нелинейность Ь(х,и) не возрастает по и). Это следует из работы [20] этих же авторов, в которой приведено доказательство теоремы 3 из [19]. Более того, пример уравнения
а
с убывающей нелинейностью Ь(в, и) = -и1/3 и вырожденным ядром К(х, в) = т(х) • т(в) с 'ю(х) Е Ь4/3(а, Ъ), имеющего два различных решения и1(х) = 0 и / ь \3/2
о единственности решения в теореме 3 из [19] не выполняется.
Рассмотрим теперь интегральное уравнение, в которое оператор свертки Н входит нелинейно. В этом случае, в отличие от теорем 1 и 2, на нелинейность Ь(х,и) накладываются условия, обеспечивающие действие оператора Немыцкого Ь из сопряженного пространства Ьр (-ж, ж) в исходное пространство Ьр(-ж,ж), в котором ищутся решения, а также
его непрерывность, строгую монотонность и коэрцитивность. Важную роль при исследовании такого уравнения играют существование, строгая монотонность и коэрцитивность обратного оператора F-1.
Теорема 3. Пусть 1 < р < ж, ядро h(x) удовлетворяет условиям (2) и (3), а нелинейность F(x,u) для почти всех x Е [-ж, ж] и всех и Е R удовлетворяет условиям:
3.4) IF (x, и) I ^ g(x) + d3lul1/(p-1), где g(x) Е Ь+(-ж,ж), d3 > 0;
3.5) F(x,u) строго возрастает по и почти при каждом x;
3.6) F (x, и) • и > d4IuIp/(p-1) - D(x), где D(x) Е L++ (-ж,ж), d4 > 0. Тогда при любых X > 0 и f(x) Е L^-ж^) уравнение
u(x) + X •F
h( x - ) и( )
f(x) (13)
имеет единственное решение и*(х) Е Ьр(-ж,ж). Кроме того, если в условиях 3.4) и 3.6) g(x) = D(x) = 0, то справедлива оценка
г п 1/(р-1)
\W* -f\\p О • [d? •d-1 • Cp,h •УЦ , где константа cp>h определена в (5).
Доказательство. При X = 0 утверждения теоремы очевидны, поэтому считаем далее, что X > 0. В силу леммы 1, оператор H действует из Ьр(-ж,ж) в Lp/(-ж,ж), непрерывен и положителен. Из условий 3.4)-3.6) вытекает, что оператор F действует обратно из Lpr (-ж, ж) в Lp(—ж, ж), непрерывен, строго монотонен и коэрцитивен. Следовательно, по лемме 2.1 из [11], оператор F имеет обратный F-1, который действует из Lp(—ж,ж) в Lpi(-ж,ж), хеми-
непрерывен и строго монотонен, причем lim ( F-1v, v) • \\f\\-1 = x>. Запишем уравнение
H ^ H p —^^o
(13) в операторном виде: и + X • FHu = f. Полагая в нем f — и = X • v и применяя затем к обеим частям получившегося уравнения обратный оператор F-1, приходим к уравнению
Фь = Hf, где Фь = F-1v + X •Hv. (14)
В силу указанных свойств операторов F-1 и H, оператор Ф действует из Lp(—ж,ж) в Lpr(—ж, ж), хеминепрерывен и строго монотонен, причем
(Фу, v) (F-1v, v) ,, ,,
> Il II-- ^ ж при \\v\\p ^ ж.
\v\\p \\v\\p
Значит, по теореме Браудера-Минти, уравнение (14) имеет единственное решение у*(х) Е Ьр(—ж,ж). Но тогда уравнение (13) имеет решение и* = / — X • V* Е Ьр(—ж,ж). Покажем, что это решение и* единственно. Предположим противное, т.е. что уравнение (13) имеет два различных решения иг,и2 Е Ьр(—ж,ж). Тогда справедливы равенства:
иг + Х • РНиг = / и и2 + Х • РНи2 = / . (15)
Из (15), путем вычитания первого равенства из второго, имеем:
и2 — иг + X • РНи2 — X • РНщ = 0
(и2 — иг + X • РНи2 — X • РНиг, Ни2 — Ниг) = 0
или
(и2 — иг, Ни2 — Ниг) + X • (РНи2 — РНиг, Ни2 — Ниг) = 0. Но последнее равенство невозможно, так как первое слагаемое в левой части неотрицательно, в силу положительности оператора Н, а второе слагаемое строго положительно, в силу строгой монотонности оператора Р и того, что Ниг = Ни2. Покажем, что Ниг = Ни2.
ж
В самом деле, если предположить противное, что Ни1 = Ни2 , то из (15) следует, что и1 + Л • ЬНи2 = / и и2 + Л • ЬНи2 = /, откуда, путем вычитания левых и правых частей, получаем и1 - и2 = 0 — что противоречит тому, что и1 и и2 различны.
Осталось доказать оценку нормы решения. Положим ф = Ь—1ь*. Тогда Ьф = V*. Так как Ь—1у * + Л • Ну * = Нf, то в силу леммы 1 и равенств д(х) = И(х) = 0, имеем
4||ФIНÍ < {Ьф,ф) = {V*,Ь —1У*) ^ {у*,Ь—1У*) + Л{у*, НV*)
{Ьф, Н/) ^ ||Fф||р||Нf ^ срДРф\\р\тр ^ СрМфГ',— ^ \\р.
Следовательно,
р ^ 4Ср,Н Щр. (16)
Поскольку ||ь*\\р = НFфНр •Ь^—1 и V* = Л—1 • -и*), то
\\ ¡-и*\\р ||ф||1р//{р—1),
откуда с учетом неравенства (16) получаем доказываемую оценку нормы решения. □
Следствие 3. Пусть ядро к(х) Е Ь2(-ж,ж) и удовлетворяет условию (3). Тогда уравнение
3
и(х) + \ к(х - Ь) и(Ь) I = ¡(х)
\—ж
имеет единственное решение и* Е Ь4/3(-ж,ж) при любом ¡(х) Е Ь4/3(-ж,ж), причем
Мр ^ тытр)3.
Заметим, что из оценок для норм решений, доказанных в теоремах 1-3, непосредственно вытекает, что при условиях этих теорем однородные (т.е. при ( х) = 0) уравнения, соответствующие уравнениям (11)—(13), имеют лишь нулевое решение и*(х) = 0.
4. Приближенное решение. Метод последовательных приближений
Теоремы 1—3 не содержат информации о том, как можно найти решения уравнений (11)—(13). В этом пункте при р = 2 и более жестких, чем п. 3, ограничениях на нелинейность доказывается не только существование и единственность решений рассматриваемых нелинейных интегральных уравнений типа свертки, но и обосновывается возможность нахождения этих решений методом последовательных приближений пикаровского типа без ограничений на величину числового параметра Л. Всюду ниже, как обычно, предполагается, что нелинейность Ь(х,и) удовлетворяет условиям Каратеодори (см. п. 3).
Далее нам понадобится следующая теорема, являющаяся следствием известных результатов, доказанных в монографии [14].
Теорема 4. Пусть Н — вещественное гильбертово пространство, и оператор А действует из Н в Н. Если существуют постоянные т> 0 и М > 0 (М > т) такие, что для любых и,ь Е Н выполняются неравенства:
\\Аи - Ау\\н <М -ю\\н, (Аи - Аь,и - у) >т • \\и - у\\2н, (17)
то операторное уравнение А и = имеет единственное решение и* Е Н при любом ! Е Н. Это решение можно найти методом последовательных приближений, которые определяются по формуле:
т
ип = ип—1 - М2 • (Аип—1 - I), п Е Н, (18)
и для которых имеет место следующая оценка погрешности:
т п/П
\\ип -и*\\н ^ т • — • \\Аио -Шн, (19)
где а = л/1 — т2 • М-2, и0 Е Н — произвольный элемент.
Если, дополнительно, А является потенциальным оператором, то это решение можно найти методом последовательных приближений, которые определяются по формуле:
2
ип = ип-г — --(Аип-г — ¡), п Е N (20)
М + т
и для которых имеет место следующая оценка погрешности:
2 ап
К — и*\\н ^ М— • .--\\Ащ — Пн , (21)
М + т 1 — а
где а = (М — т)/(М + т).
Доказательство. Так как оператор А удовлетворяет двусторонним оценкам (17), то из теоремы 1.4 [11] вытекает, что уравнение Аи = / имеет единственное решение и* Е Н и его можно найти по итерационной формуле (18) с оценкой погрешности (19). Если оператор А является еще и потенциальным, то по теореме 1.7 [11] это решение можно найти по итерационной формуле (20) с оценкой погрешности (21). □
Замечание 3. В силу неравенства Коши-Буняковского, одновременное выполнение неравенств из (17) возможно лишь при условии, что т ^ М. Поэтому, так как при т < М
М-т IM -т М + т lM -т _ I т2 М + т < V М + т < М V М + т = V - М2 '
последовательные приближения (20) сходятся к решению и* значительно быстрее, чем (18), т.е. при п ^ <х правая часть в (21) стремится к нулю быстрее, чем в (19).
Теорема 4 непосредственно применима к уравнениям вида (11). Справедлива следующая
Теорема 5. Пусть ядро h(x) Е Ь1(-тГ''к) и удовлетворяет условию (3). Если для почти всех x Е [—Ж'Ж] и всех U1'U2 Е R нелинейность F(х,и) удовлетворяет условиям:
4.1) существует постоянная М > 0 такая, что выполняется неравенство:
\F(X'Ui) - F(X'U2)\ ^ М • \ui - щ\;
4.2) существует постоянная т > 0 такая, что выполняется неравенство:
[F(X' и1) - F(X' и2)\ • [и1 - и2] > т • \и1 - и2\2 '
то при любом Х> 0 и любом f(x) Е Ь2(-Ж'Ж) уравнение (11) имеет единственное решение и*(х) Е Ь2(-Ж'Ж). Это решение можно найти методом последовательных приближений, которые определяются по формуле:
ип = un-i (X • Fun-i + Hun-i - f)' п Е N ' (22)
где ^ = X • т • ^Х • М + [[h))^ , с оценкой погрешности:
\\ип — и*\\2 ^ • ---IX • Рио + Нио — 1\\2 , (23)
1 — а
где а = \/T—X2т?JX•М+\Щl)г2, и0(х) Е Ь2(—ж,ж) — начальное приближение (произвольная функция). Если, дополнительно, ядро к(х) является четной функцией, то решение и*(х) можно найти по формуле (22), где ^ = 2/[X • (М + т) + \\Л,\\г 1, с оценкой погрешности (23), где а = [X • (М — т) + \\^\ 1]/[X • (М + т) + \\^\\г].
Доказательство. Запишем уравнение (11) в операторном виде: Аи = /, где Аи = Л • Ьи + Ни. Из условий 4.1) и 4.2) вытекает, соответственно, что Уи(х), ь(х) Е Ь2(-ж,ж) выполняются неравенства:
\\Ьи - Ьь\\2 ^М -у\\2 , (Ьи -Ьь,и - V) >т • \\и - у\\2 , (24)
т.е. оператор Ь : Ь2(-ж,ж) ^ Ь2(-ж,ж) является липшиц-непрерывным и сильно монотонным.
Используя оценки (24), условие (3) и неравенство (4), имеем:
\\Аи - Ау\\2 ^Л • \\Ьи -Ьу\\2 + \\Н(и - у)\\2 ^ (л •М + ||й||1) • \\и - ,
(Аи - Ау, и - у) = Л • (Ьи - Ьу,и - у) + (Н(и - у), и - у) > Л • т • \\и - у^ . Так как оператор А удовлетворяет всем требованиям теоремы 4, то уравнение А и = , а значит, и данное уравнение (11) имеет единственное решение и*(х) Е Ь2(-ж,ж), и это решение можно найти по итерационной формуле (22) с оценкой погрешности (23).
Если, дополнительно, предположить, что ядро к(х) является четной функцией, то оператор свертки Н является потенциальным оператором. Из условия 4.1) вытекает [15, с. 89 и 214], что оператор суперпозиции Ь также является потенциальным оператором. Значит, оператор А = Л • Ь + Н удовлетворяет всем требованиям теоремы 4, из которой, согласно формуле (20) и оценке (21), вытекает, что в (22) и (23) можно взять р = 2/[Л • (М + т) + \\Щ1], а = [Л • (М - т) + Щ^/^ • (М + т) + Щ^. □
Важно отметить (см. замечание 3), что последовательные приближения (22), соответствующие четному ядру к(х), сходятся значительно быстрее к решению и*(х).
Рассмотрим теперь нелинейные интегральные уравнения типа свертки (12) и (13). К уравнениям такого вида применить непосредственно теорему 4 нельзя, так как произведение монотонных операторов не является, вообще говоря, монотонным оператором. Поэтому в случае уравнений (12) и (13) удается построить последовательные приближения и получить оценки скорости их сходимости к точному решению лишь в терминах обратного оператора Ь—1 к оператору суперпозиции Ь.
Теорема 6. Пусть ядро к(х) Е Ь1(-ж,ж) и удовлетворяет условию (3), а нелинейность Ь(х,и) — условиям 4.1) и 4.2) теоремы 5. Тогда при любом Л > 0 и любом ¡(х) Е Ь2(-ж,ж) уравнение (12) имеет единственное решение и*(х) Е Ь2(-ж,ж). Это
решение можно найти по формуле: ип = Ь—1 уп, п Е Н, где Ь—1 — оператор, обратный Ь,
у,п = V п—1 - р • (Ь—1 ь,п—1 + Л • Нуп—1 - /) , (25)
с оценкой погрешности:
а п
\\ип -и*\\2 ----\\Ь —1уО + Л •нуО - Л\2 , (26)
1 - а
где р = т/[М2(т—1 + ЛЩ^2], а = -т4М—4(1 + Лт\Щ1)—2, Уо(х) Е Ь2(-ж,ж) — начальное приближение (произвольная функция). Если, дополнительно, ядро к(х) является четной функцией, то решение и*(х) можно найти по итерационной формуле (25), где р = 2/[т—1 + Л • ^^ + т • М—2] с оценкой погрешности (26), где а = [1 + Л • \\Щ1 - т2 • М—2]/[1 + Л • \\Щ1 + т2 • М—2] .
Доказательство. Из условий 4.1) и 4.2) следует, что оператор Немыцкого Ь действует непрерывно из Ь2(-ж,ж) в Ь2(-ж,ж) и сильно монотонен, причем выполняются неравенства (24). Поэтому, в силу теорем 1.3 и 1.5 [11], существует обратный оператор Ь—1, который так же, как и Ь, является потенциальным, причем Уи(х), у(х) Е Ь2(-ж, ж) выполняются неравенства:
\\Ь—1 и - Ь—1 и\\2 ^ т—1 • \\и - у\\2 , (27)
( Р-1и - Р-1У, и - V) >т• М-2 • \\и -у\\1 . (28)
Рассмотрим теперь уравнение (12). Запишем его в операторном виде:
и + X • Н Ри = / . (29)
Легко видеть, что если V* Е Ь2(-я,я) является решением уравнения
Аь = ¡, где Аь = Р-1ь + Нь, (30)
то и* = Р-1 V* Е Ь2(-Т1,я) является решением уравнения (29), причем эти решения являются единственными в Ь2(-Т1,я), так как Р и Р-1 являются строго монотонными операторами. Далее, так как в силу неравенств (27), (28), условия (3) и оценки (4), Уи(х), ь(х) Е Ь2(-я,я) выполняются неравенства:
\\Аи - Аи\\2 ^ \\Р-1и - Р-1ь\\2 + X • \\Н(и - ь)\\2 ^
^(т-1 + X • н^к) •\\и -у\\2 , (31)
(Аи - Ау,и - у) = (Р-1и - Р-1у, и - + (Н (и - у),и - у) >
> т • М-2 • \\и -ь\\2 , (32)
то оператор А удовлетворяет всем требованиям теоремы 4. Следовательно, уравнение (30) имеет единственное решение у*(х) Е Ь2(-я, я), и это решение можно найти по итерационной формуле (25) с оценкой погрешности
т ■ М-2 аа
\\^ - ЛЬ ^ ( Ш| ^ • Т^ • \\Р Ъ + X • НУо -П\2 , (33)
(т 1 + X • \\д\\1)2 1 -а
где а = . Поскольку, в силу неравенства (27),
1 1 1
\\ип - и \\2 = \\Р - Р V \\2 ^ т • \\Уп - V \\2 ,
то из (33) легко получаем оценку (26) — что и требовалось.
Если, дополнительно, ядро ^х) является четной функцией, то оператор свертки Н является потенциальным. Значит, оператор А удовлетворяет всем требованиям теоремы 4, из которой согласно формуле (20) и оценке (21) вытекает, что в (25) и (26) можно взять V = 2/[т-1 + X• \\Щ1 + т^М-2] и а = [1 + X• \\Щ1 - т2 • М-2]/[1 + X• \\Щ1 + т2^М-2]. □
Докажем, наконец, следующую теорему.
Теорема 7. Пусть ядро ^х) Е Ь1(-тт,'к) и удовлетворяет условию (3), а нелинейность Р(х,и) — условиям 4-1) и 4-2) теоремы 5. Тогда при любом X > 0 и любом ¡(х) Е Ь2(-ж,ж) уравнение (13) имеет единственное решение и*(х) е Ь2(-ж,ж). Это решение можно найти по итерационной формуле:
ип = ип-1 + X• ^ (^Р - ип-1)) - Нип-1^ , (34)
где V = т • М-2/(т-1 + X • \\^\1)2, с оценкой погрешности:
ап
\\ип -и* \\ 2 ^ X • V • ~Л--\\Р-1 - ио)) - Нио\\2 , (35)
1- а
где а = и0(х) Е Ь2(-ж,ж) — начальное приближение
(произвольная функция). Если, дополнительно, ядро ^х) является четной функцией, то решениеи*(х) можно найти по итерационной формуле (34), где V = 2/[т-1 + X• ^^ + т• М-2] с оценкой погрешности (35), где а = [1 + X • ^^ - т2 • М-2]/[1 + X • ^^ +т2 • М-2].
Доказательство. Из условий 4.1) и 4.2) следует (см. доказательство теоремы 6), что оператор суперпозиции Ь имеет обратный оператор Ь-1, причем оба оператора являются потенциальными и выполняются неравенства (24), (27) и (28). Рассмотрим уравнение (13). Запишем его в операторном виде:
и + \ •ЬНи = / . (36)
Легко видеть, что если V* Е Ь2(—%,%) является решением уравнения
Ь —1и + Х •Ни = Н! , (37)
то и* = / — X • V* Е Ь2(—%,%) является решением уравнения (36), т.е. данного уравнения (13).
Замечая, что уравнение (37) имеет такой же вид, что и уравнение (30) (с Н/ вместо /), получаем (см. доказательство теоремы 6), что уравнение (37) имеет единственное решение V* Е Ь2(—п,п), и это решение можно найти по итерационной формуле вида (25):
т • М-2
ьп = ьп-1 — --——— • ( Ь-1 ьп-1 + X • Ньп-1 — Н/) , (38)
(т-1 + X • \\hW1)2
с оценкой погрешности вида (33):
т ■ М-2 ап
^ — ^< (т-+х.\м,)2• т^• ^ *+х• т,0— щ^• (39)
где а = ^т—т^^м^^ттутщ!)-2.
Из (38) и (39), умножая на X и учитывая затем, что X • V* = / — и* и X • ьп-1 = / — ип-1, легко получаем формулу (34) и оценку (35).
Далее, если ядро ^х) является четной функцией, то, в силу указанной связи между уравнениями (37) и (30), из доказательства теоремы 6 очевидным образом вытекает, что в (34) и (35) можно взять
2 l + X —т2 •М
V =____1 , Л 11111 , ■„ Л,-2 и а
2
т-1 + X • \\h\1 + т • М-2 1 + X • \\h\1 + т2 • М-2 '
□
5. Приближенное решение. Градиентный метод
В п. 4 были рассмотрены вопросы, касающиеся приближенного решения уравнений типа свертки (11)-(13) с нелинейностями общего вида в пространствах Лебега при р = 2. Методы, использованные при этом, оказываются не пригодными при р = 2, так как в этом случае не удается комбинировать принцип сжимающих отображений, в котором требуется, чтобы оператор отображал данное пространство в себя, с принципом Браудера-Минти, в котором требуется, чтобы оператор отображал данное пространство в сопряженное с ним пространство. В этом пункте будет показано, что если ограничиться рассмотрением уравнений типа свертки с нечетностепенной нелинейностью вида ир-1, то такие уравнения можно приближенно решать в пространствах Лебега Ьр(—ж,,п) при четных р > 2. При этом, в отличие от п. 4, используется один из методов теории потенциальных монотонных операторов, известный как метод наискорейшего спуска или градиентный метод.
Определение 4. Банахово пространство X называется строго выпуклым, если Уи, V Е X из того, что и = V, \\и\\ ^ 1, ||г>\\ ^ 1 следует, что \\и + г>\\ < 2.
Определение 5. Оператор 3 : X ^ X*, где X* строго выпуклое пространство, называется дуализующим отображением, если для любого и Е X выполняются равенства
(Зи, и) = \\и\\2 = цмц.
Заметим, что условие строгой выпуклости сопряженного пространства X* в определении 5 обеспечивает [13, с. 312-313] единственность дуализующего отображения 3 : X ^ X*, причем 3 является [14, с. 115] потенциальным оператором с потенциалом ¡(и) = 1 ||и||2.
Далее нам понадобится следующая теорема, являющаяся следствием известных результатов, доказанных в монографии [14].
Теорема 8. Пусть X — вещественное рефлексивное банахово пространство и А : X ^ X* — хеминепрерывный равномерно монотонный коэрцитивный оператор. Тогда уравнение Аи = / имеет единственное решение и* Е X при любом f Е X*. Кроме того, если X и X* строго выпуклые пространства, а оператор А является потенциальным ограниченно липшиц-непрерывным, то последовательность ип+1 = ип — 5п ■ 3*(Аип — ¡), где 5п = шт{1, 2/[е + ^(ЦипЦ + ЦАип — /||*)]}, п = 0,1, 2, 3,..., 3* : X* ^ X — дуали-зующее отображение для X*, £ > 0 — произвольное число, сходится к и* по норме пространства X.
Доказательство. Существование и единственность решения и* вытекает из теоремы Браудера-Минти, а сильная сходимость последовательности {ип} к и* по указанной схеме — из теоремы 4.2 [14, с. 122] и замечания 4.13 [14, с. 125], поскольку всякий равномерно монотонный оператор является строго монотонным оператором и обладает (В)-свойством [14, с. 80-81]. □
Указанный в теореме 8 способ приближенного нахождения решения и* известен [14] как метод наискорейшего спуска (или градиентный метод, так как 3*у = ||г>||* ■ grad ||г>||*, Уу Е X*).
Теорема 8, в отличие от теоремы 4, применима к интегральным уравнениям типа свертки со степенными нелинейностями. А именно, справедлива следующая теорема, согласующаяся со следствием 1.
Теорема 9. Пусть а = г/в Е [1, то), где г, в = 1,3,5),... — нечетные числа, ¡(х) Е ^+1/о(—ж,ж), к(х) Е Ь(—ж, ж) и выполнено условие (3). Тогда уравнение
ж
иа(х) + ! П(х — г) и(Ь) дЗ = ¡(х) (40)
—ж
имеет единственное решение и*(х) Е Ь+о(—ж,ж). Если, дополнительно, ядро к(х) является четной функцией и а > 1 — нечетное число, то это решение может быть найдено методом последовательных приближений по формуле:
ип+1 = ип — 5п ■ ЦАип — Д1—//" ■ \Аип — П—1+1/а ■ [Аип — Л, (41)
где п = 0,1, 2, 3,..., и0(х) Е Ь+о (—ж, ж) — произвольная функция (начальное приближение), Аи = и" + Ни,
( \
8п = шт
1,
(42)
у £ + а ■ {\|ипЦ 1+о + Ыш — fЦ 1+1 /о) +1 ■Щ^ £ > 0 — любое число, 7 = (2ж)2о/(о+1).
Доказательство. Запишем уравнение (40) в операторном виде:
Аи = ¡, где Аи = ио + Ни. (43)
Существование и единственность решения и*(х) Е Ь1+о(—ж,ж) уравнения (43) вытекает из теоремы 1, в которой следует взять р = 1 + а, А = 1, Ь(х,и) = ио и а = г/в.
2
Осталось доказать основное утверждение теоремы о том, что последовательность (41) сходится к и*(х) по норме пространства Ь1+а(-к, к). Для этого воспользуемся теоремой 8.
По лемме 1 при р = а + 1 > 2 получаем, что оператор свертки Н действует непрерывно из Ь1+а(-тг,'к) в Ь1+1/а(-тг,'к), причем
\\Ни\\1+1/а \\h\l!• ||и||1+а , где 7 = (2к)2а/(а+(44)
Поскольку иа(х) Е Ь1+1/а(-к,к), то оператор А также действует из Ь1+а(—к,к) в Р1+1/а(-к, к). Покажем, что оператор А является ограниченно липшиц-непрерывным. Для любых и,ь Е Ь1+а(—к,к) имеем
\\Аи - Аь¡1+1/« ^ \\иа - ьа\\1+1/а + \\Н(и - у)\\1+1/а = Ь + Ь .
Так как |Г - за1 ^ (а/2) • ^ - з\ • (Г-1 + в«-1), уЕ К и нечетном а > 3, то
ж \ а/(а+1)
ь ^ а I I 1и(х) - у(х)\1+1/а\иа-1(х) + уа-1(х)\1+1/айх I ^
ж
(а-1)/(а+1)
< 1 \\и-г;\1+а II \иа-1(х) + ьа-1(х)1(а+1)/(а-1)дх] ^
а
^ а \\и - ьЦи« (\\и\\а+а + \М\«+«) ^ а • г«-1 • \\и - ьЬ+а ,
где г = тах (\и\1+а, \\г'\1+а). Таким образом, оценив 12 с помощью неравенства (44), имеем
\\Аи - Ау\\ 1+1/а ^ ^(г) • \\и - У\\1+а ,
где ^(г) = а • га-1 + 7 • \\ Щ1 — возрастающая на [0, то) функция. Значит, А — ограниченно липшиц-непрерывный оператор.
Покажем теперь, что А — равномерно монотонный оператор. Используя лемму 1 и неравенство (Ьа - ва) • (Ь - в) > 21-а\Ъ - з^1, справедливое для всех Е К и нечетных а 3, имеем
{Аи - Аь,и - ь) > / [иа(х) - ьа(х)] • [и(х) - ь(х)] <!х >
> 21-а • \\и - и\\1+аа = 0(\\и - ь\1+а) , Уи, V Е Ь1+а(-п,п) ,
где 0(в) = 21-а • ^а+1 — строго возрастающая на [0, то) функция такая, что 0(0) = 0, т.е. А — равномерно монотонный оператор.
Далее, поскольку Ри = иа и Н — потенциальные операторы (см. [13, с. 62] и замечание 1), то оператор А также является потенциальным. Заметим, наконец, что пространства Ь1+а(-к,к) и Ь1+1/а(-к,к) являются строго выпуклыми, и дуализующее отображение 3* для пространства Ь1+1/а(-к,к) имеет вид [15]:
з*™(<) = И\1;1^ К)\1/а-кО-
Следовательно, на основании теоремы 8, последовательность (41) сходится к и*(х) по норме пространства Ь1+а(-к, к). □
ж
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. V.E. Benes A nonlinear integral equation from the theory of servo-mechanisms // Bell. System. Techn. J. 1961. V. 40, №5. P. 1309-1321.
2. V.E. Benes A nonlinear integral equation in the Marcinkiewicz space M2 //J. Math. Phys. 1965. V. 44, №1. P. 24-35.
3. O. Diekman Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection //J. Math. Biol. 1978. V. 6, № 2. P. 109-130.
4. O.Diekman, H.G. Kaper On the bounded solutions of nonlinear convolutions equation // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. 1978. V. 2, № 6. P. 721-737.
5. J. Goncerzevicz, H. Marcinkowska, W. Okrasinski, K. Tabisz On the percolation of water from a cylindrical reservoir into the surrounding soil // Zast. Mat. 1978. V. 16, № 2. P. 249-261.
6. W. Okrasinski Nonlinear Volterra equations and physical applications // Extracta Math. 1989. V. 4, №2. P. 51-74.
7. J.J. Keller Propagation of simple nonlinear waves in gas filled tubes with friction // Z. Angew. Math. Phys. 1981. V. 32, № 2. P. 170-181.
8. Владимиров В.С., Волович Я.И. О нелинейном уравнении динамики в теории 'р-адической струны // Теорет. и матем. физика. 2004. Т. 138, №3. С. 355-368.
9. Владимиров В.С. Об уравнении р-адической открытой струны для скалярного поля тахионов // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. Т. 69, №. С. 55-80.
10. Владимиров В.С. Об уравнении р-адической открытой струны для скалярного поля тахионов // Успехи матем. наук. 2005. Т. 60, вып. 6. С. 73-88.
11. Асхабов С.Н. Нелинейные уравнения типа свертки. М.: Физматлит, 2009. 304 с.
12. Качуровский Р.И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах // Успехи матем. наук. 1968. Т. 23, №2. С. 121-168.
13. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1972. 416 с.
14. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1978. 336 с.
15. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. - М.: Гостехиз-дат, 1956. 344 с.
16. Асхабов С.Н. Нелинейные уравнения типа свертки в пространствах Лебега // Матем. заметки. 2015. Т. 97, №5. С. 643-654.
17. Асхабов С. Н. Приближенное 'решение нелинейных уравнений типа свертки на отрезке // Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5, №2. С. 3-11.
18. Асхабов С.Н., Джабраилов А.Л. Приближенное решение нелинейных уравнений с весовыми операторами типа потенциала // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, №4. С. 8-13.
19. H. Brezis, F.E. Browder Some new results about Hammerstein equations // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. V. 80(3). P. 567-572.
20. H. Brezis, F.E. Browder Nonlinear integral equations and systems of Hammerstein type // Advances in Math. 1975. V. 18. P. 115-147.
21. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 296 с.
22. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. Том 1. М.: Мир, 1985. 264 с.
23. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 1. М.: Мир, 1965. 616 с.
Султан Нажмудинович Асхабов, Чеченский государственный университет, ул. Шерипова, 32, 364907, г. Грозный, Россия E-mail: [email protected]
