CC BY
67
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том III
1972
№ 4
УДК 629.782.015
ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ УГЛОМ КРЕНА В ЗАДАЧЕ ВОЗВРАЩЕНИЯ ГИПЕРЗВУКОВЫХ АППАРАТОВ
Рассматривается задача возвращения в заданный район гипер-звукового летательного аппарата на пассивном участке движения в атмосфере. Приводится удобная форма записи условий для выбора оптимального угла крена, минимизирующего функционал в задачах пространственного маневра в атмосфере, позволяющая представить в явном виде некоторые характерные свойства оптимального управления. На основании приближенного качественного анализа оптимального управления строится упрощенная программа управления углом крена, описываемая функцией от текущих значений фазовых координат и единственного варьируемого параметра.
Задача возвращения в заданный район гиперзвуковых летательных аппаратов рассматривается на пассивном участке движения в атмосфере. Предполагается, что возвращаемый аппарат обладает аэродинамическим качеством, а осуществление пространственного маневра достигается за счет управления углом крена. В предположении квазистационарности движения задача возвращения гиперзвуковых аппаратов в заданную точку земной поверхности рассматривалась ранее в работе [1], где были получены основные качественные результаты. В настоящей работе на основе приближенного качественного анализа ■оптимального управления строится упрощенная программа управления углом крена, являющаяся приемлемой для начальных условий движения, существенно ■отличных от условий квазистационарного планирования.
Автор благодарит В. Ф. Илларионова, просмотревшего рукопись и сделавшего важные замечания.
Постановка задачи. В предположении изотермичности атмосферы, а также без учета вращения Земли уравнения движения аппарата запишем в следующем виде:
В. Т. Пашинцев
ЛУ
сИ
= - £о -Цг — £ 0;
(1а)
di\ 1 / iy K2cos20
-rfT= Kcos0'^o^-P^sm7-------------------cos nr, tg <
d<f Vcosflsinv)
dt ~~ r ’ dX V cos 0 cos rj
dt ~ r cos ф ’
■);
(16)
cxS CyS _ R3
где ax*=—Q—; gy = -q— ; p = p0e , r = R + h; g = g0-pr'> г = const;
r) — курсовой угол (между проекцией вектора скорости на плоскость местного горизонта и местной параллелью); tp, X— географические широта и долгота;
7— угол крена (положительное значение 7 увеличивает т));
R — средний радиус Земли.
Остальные обозначения общепринятые.
Пусть Заданы координаты точки возврата <ра и Ха, а также величина конечной скорости полета VK:
? = ?., Х = Ха> К(Г)=Ук. (2)
Примем в качестве функционала, характеризующего недолет аппарата до точки возврата на пассивном участке возвращения, величину (см. [1])
I (ерк, Хк) = COS ш = COS <рк COS сра COS (Хк — Ха) 4- sin tpK sin <ра, (3)
где о> — угловое расстояние на земной сфере от конечной точки траектории
ГС
(9к> ^-к) ДО точки возврата (<ра, Ха); предполагается, что 0 <; ш ^ -у.
Задача состоит в построении достаточно простой программы управления углом крена ч(^), близкой по функционалу (3) к оптимальной программе fopt(0. максимизирующей /(<рк, Хк) при ограничении на функцию 7 (t) вида
17(01<1т1ш.х<"Г (те^)- (4)
Конечное время полета Т не ограничено.
Условия оптимальности. Воспользуемся принципом максимума Л. С. Понт-рягина [2, 3], согласно которому управление 7opt (t), максимизирующее I (?к, Хк), определяется из условия минимума по у функции Гамильтона
Н(/>, х, i)=pf(x, 7) (5)
при краевых условиях
Р(Т) = —цоgrad*K [F(xK)],
Н(Г) = 0; [A0 = const>0,
(6)
где F(xK) — I (<рк, Хк) 4- (J.KK; fi = const;
jc={V, 0, h, 7], tp, X}—вектор фазовых координат;
/= {/,} —вектор правых частей уравнений системы (1); p={pj) —сопряженный вектор, определяемый из условия
ip, *<<**•1).. ,_,.2.................6;,-И,., (7)
dt dxi
После подстановки (1) в (5) условие оптимальности управления сводится к минимизации по 7 функции
Q (Р, 9. Т) *=Рь cos 7 + -~j- sin 7. (8)
Представляя (8) в виде скалярного произведения
где
cos 7*
Р 6 N
sin у
®(Р, 9. т) — JV cos (7 —7*), pnlcos 6
; JV= Vpl+ip-r,/cos 6)2 > О,
(9a)
(9б>
/*
Фиг. 1
приходим к следующему условию оптимальности:
cos (lopt — 1*) = inf cos (7 — 7*). (10>
76 U
Из (10) следует (фиг. 1), что если величина 7 не ограничена, то
7opt (0 = Tf* (0 + *.
(11)
Из (96) и (11) следует, что если величина 7рр1(0 определена в пределах
П TZ
~ ~2~ ^ ^°Р‘ ^ ~2~
(12>
то при этом всегда имеет место
Р0<О. (13>
Следовательно, при любом значении | 7 |щах <;~2- условие (13) является необходимым для существования неграничного оптимального управления
lYoptl<iTln,ax<_2_ при/70<О. Согласно (96) и (11) имеем также
sign 7opt = - sign Oycos в).
(14a>
(146)
Условие оптимальности, вытекающее из (4), (96), (10), (14а) и (146), окончательно может быть представлено в следующем виде*:
tg Yopt
/’rj/cos I
при —
I pJcos 9 I
і T Irnax siSn (Pi)/COS fl) при
>Ръ>
їх .
1 pJcos 8 I
(15)
lg І ї I
<Pe.
■ Как показано в [1], функция р^) в (15) может быть выражена через текущие значения фазовых координат и некоторые константы интегрирования. Для окончательного установления свойств оптимального управления 7ор1(0 воспользуемся приближенным представлением функции Рд(0-
* Сходная с (15) запись была впервые использована g работе [1] применительно к оптимальному управлению 7nnopt(0 в условиях квазистационарного’
( Л ■
планирования ( ~ 0).
качественный анализ оптимального управления (приближенный закон).
В [1] показано, что в результате использования в системе (1) допущений, принятых в [5],
, g sin 8 < £о 4г~ р К3; sin б — 6; cos0~l; r~R (16)
из сопряженной системы (?) выделяется линейное уравнение вида
р$ “Ь RzSpq + Rz ^ у2 1^/7о = ^г9> 0^)
где
> , COS Y)
: Я = - Р-ч cos т) tg ср + рх -f Pv sin Ч
' • dPt J V ...
Rz = const; pe = ; as = -g- dt.
В диапазоне докруговых скоростей полета — 1>о) уравнение (17)
(18)
!
описывает процесс вынужденных колебаний.
Подобно тому, как это сделано в [4], используем вместо рн (в) некоторое
осредненное значение />е(«), определяемое из условия р6(х)~0:
Рв = ’ РнК = сопв!. (19)
' у 2 ~~ 1
Подстановка (19) в (15) приводит к приближенному закону управления по х
Ь | Ь |
— даи —~ТдТТ1—>с;
*К7ор*— •! щ (2°)
■*П1ш„-8П*при-
где
: b=p^Щ--\']j, c = q+phRд. (21)
Из (20) видно, что Тор^ОО подобно 70р1 (^) в (15) всегда гранично при с>0
(Рв>°)’- „ '
7оР1(0 = —Ь!тах518п&> с>°> (22)
при рь = 0 (с = у) управление 7^ (7) совпадает с оптимальным управлением определяемым в условиях квазистационарного планирования [1]. Обратимся теперь к численным результатам, получаемым при использований ТорН^) в точной системе уравнений движения (1). Воспользуемся первыми интегралами систем (1) и (7), полученными в [1]:
= МГ) ^Х_(7~)$!П?К- sin (X - Хк) +р9 (Т) cos (X - Хк),
’Л
9 COS <рк
Рп(Т)—Рх(Т) sin <рк
cos (X — Хк) — pv(T) sin (X — Хк)
COS !fK v rt
Подставляя в (23) краевые условия
cos?+рх(Г) sin<р.
(23)
P<f (T) = Но [sin <Рк сое <ра cos (Хк — Ха) — COS <рк sin 9а];
Р\(Т) = fi0cos <рк cos «раsin (Хк — Ха); I (24)
Л, СП* о,
вытекающие из (3) и (6), а затем подставляя (23) в (18) и (21), выражения для функций 6(0 и с (0 в (20) приведем к виду
где
6(0
— 11 с05 £ 81п р + В сое 5 сое Р);
1
с (0 = -ду (й сое £ вт р Е сое 5 сое р + вт £0),
)
А = сое <р вШ (X — Ха);
В = сое <р сое (X — Ха) — вш <р;
Д = в1п ср сое т| з!п (X — Ха) + в1п 7] сое (X — Ха);
Е = сое 9 сое г) -{- *2 <ра [вш 9 сое т) сое (X — Ха) — вт т] вт (X — Ха)];
(25)
(26)
сое £ р 1 = М
сое £совр
вт 5
сое 9а б1п 9к — БШ 9а СОБ 9к сое (Хк — Ха) сое 9а СОЗ 9к бш (Хк — ха)
(27)
м
[С08 9а8т9к — вт 9а сое 9К сое (Хк — >.а)]2+/>х(7’)-(-(— рпЩ >°- (28)
Итак, имеем двухпараметрическую программу приближенного управления (20) с параметрами р и 5. При этом необходимость в интегрировании сопряженной системы уравнений (7) отпадает подобно тому, как это имело место в работе [1],
На практике установлено, что параметр р в (25) удобно подбирать из условия выполнения на правом конце траектории (V — Кк) равенства
СОБ 9а БШ 9к — 81п 9а СОЭ 9к соб (Хк — Ха)
1 = сое сра СОБ 9к вШ (Хк — ха)
(29)
следующего из соотношения (27), а параметр 5 — из условия максимума функционала (3).
Численные расчеты с использованием в (1) условий (20) и (25) при исходных данных 7)0 = 0; 9а = 9о = 0; ^а = ^о = 0; Кк = 300 м/сек, <3^ = 0,0005 м/кг',
Л=^- = 2,5; р0 = 0,125 кг-се/с2/и«4; = 7000 Л?' = 9,81 м/сек2’ Л = 637Ы03л<
V
1'„=300м/се/с, 0{г3°'} А - 70ям-, II *
*—
Л
[нм]
50
-х—4= о 1 4=50° 1 ^ О
%огГ70
\ 1 4
\ А
V
0,05 6 [рад]
Фиг. 2
показывают, что:
1) оптимизация в (20) параметра £ в общем случае может оказаться существенной (фиг. 2);
2) при использовании в (25) ^ор^О (РьорхФ®) по сравнению со случаем £ = 0(р/, = 0) реализуется несколько более ранний сход с ограничения по углу крена, хотя в обоих случаях большая часть полета аппарата происходит на
режиме |71 = I Т 1Шах (Фиг- 3):
3) в широком диапазоне начальных скоростей полета при максимальных значениях угла крена порядка 17|шах>'^° реализуются малые удаления аппарата от точки входа в плотные слои атмосферы. Максимальные значения координат ер и X при этом составляют всего лишь несколько градусов. Это обстоятельство позволяет принять в (1)
в!п ср — <р; сое ср -—■ 1. (30)
Простейшая программа управления углом крена. Воспользуемся следующими свойствами управления 70р1 (0> вытекающими из предыдущих аналитических и численных результатов:
а) начальный участок траектории возвращения характеризуется максимальным по модулю углом крена [ | ? (А) + е) I > Ра(^о + г)> так как ? (*о + 0 >0]‘>
б) сход с ограничения |7(0| = |7|щах происходит не ранее момента выполнения условия с (0 г ц (0 -)- рн Яд (0 = 0;
в) моменты выполнения условий с (0 = 0 и ц (0 = 0 при достаточно больших
I 7 1шах являются близкими (поправка р^Я® на режиме [7 (0 I = I 7 1Шах мала)-
Используем также следующие выводы, сделанные в работе [1]:
г) на траектории возвращения знак угла крена остается неизменным:
д) конец траектории (<рк, Ак) на плоскости <рХ принадлежит вектору
Р = — ^га<1 /(?к, Ак).
Согласно пунктам „г“ и „д“ траектория возвращения в плоскости срХ расположена по одну сторону от вектора р. Следовательно, момент максимального удаления аппарата от точки возврата заведомо предшествует моменту достижения максимальной проекции радиус-вектора >-={<р; X} на вектор р (когда V ± р и 9=0). В то же время из приведенной в приложении геометрической интерпретации условия (14а) следует, что при ри = 0 угол крена -у(0 равен граничному значению (? = ± I 7 |шах) на всем начальном участке траектории вплоть до точки максимальной проекции г на р.
Согласно пунктам *а“ и „в“ ненулевое значение параметра £0рх(Рн) в (25) способствует (хотя и несущественно) лишь более раннему сходу с ограничения
V
2о
1°
°2° 3° 5° А.
Фиг. 3
V 70лм-, к= О-Х =
—х—4 = О (о-моменгл схада с ^та^) 4 " * * )
X-
N
ч У0= 4-000м/секз Утазг85°
-У- г < /
X N
X ,, 3000м/се/с. N
■ч V ;
на угол крена, т. е. способствует приближению точки схода к точке максимального удаления. , , . ,
На основании сказанного выше, в качестве приближенного момента схчда с ограничения по у в дальнейшем целесообразно принять момент максимального
удаления аппарата от точки возврата [»_Ьг: ш (ср, X) = “>шах]• , ;
Введем в рассмотрение на плоскости угол Дт) — угол между направлением на точку возврата (—г) и текущим направлением движения (г<):
Дтг) (0 = г* (*) — г, (().
(31)
С учетом того, что начиная с момента, когда вектор скорости V направлен в точку возврата [т)(0 = г]*]> угол крена должен быть нулевым, в дальнейшем в качестве простейшей программы управления углом крена может быть предложена следующая:
К(Дт)) ■ =
± I Т 1шах при
— . тс
7 = СОПв! при 0 < — Дтг) < у ;
О при Дт) = 0.
(32)
Параметр у в (32) следует выбирать из условия тах/(<рк, лк), а момент
перехода к управлению 7 (Дт]) = 0 ^ из условия (—г X V) =0, которое с учётом соотношений (346) и (36) (см. приложение) преобразуется к виду ;
[— у сое -Г) + (X — Ха)81П1Г1]11=ч« = 0,
Из (33) следует, что при Д-^ = 0
*1 (0 = V (0 — аг^ + Я.
(33)
Н>
ва= 3 • Ь0= 70 км; кд= 0-,7< = 2,5
2°
программа дада (20)-,^щд/г^ (•-момент схода с '$тах')
\ > N
простейшая ляогра . (о -момент схооа с 1/ мл тал Г-)
1 II'
V,- ШОм/сек-, 35°
- /,= 3000м/сек-, у -70° { 777ШГ
к
й !л У= 3000м/сек\ О 7
Фиг. 4
На фиг. 4 показано, что использование простейшего кусочно-постоянного управления углом крена (32) приводит к незначительным погрешностям в величине функционала по сравнению с использованием в (1) непрерывного управления вида (20). Различие по функционалу становится заметным лишь с уменьшением величины |7|шах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шкадов Л. М., Буханова Р. С., Илларионов В. Ф., Плохих В. П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М., „Машиностроение*,
2. Понтрягин Л. С., Болтянский В, Г., Г ам к р е л и д-з е Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Физматгиз, 1961.
3. Розо но эр Л. И. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории оптимальных систем. „Автоматика и телемеханика”, том XX, № 10—12, 1959.
4. Пашинцев В. Т. К вопросу об оптимизации пространственного маневра орбитального аппарата в атмосфере. Труды ЦАГИ, вып. 1243, 1970.
5. Ярошевскйй В. А. Приближенный расчет траекторий входа в атмосферу. .Космические исследования", т. 2, № 4 (VII-VIII), 1964.
С учетом допущений , (16) и (30) система уравнений пространственного движения (1) обычно записывается в следующем виде:
Записывая для системы (34) функцию Гамильтона (5), а также сопряженную систему (7), в (17) будем иметь
С учетом (35) и (36) функцию с(() в (21) можно записать в виде
1972.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Геометрическая интерпретация условий (14а) и (22)
V=-ax PV;
(34а)
h = №;
(346)
где
ax = go-%-R', ay = go^-R',
q(t)=p • v = p • v cos e; e = t) — p,
(35)
где
pf = const; px = const; p = Vp% + p{ > 0; .
(36)
P<9
sin p = ——; cos p
p '
с (t) = ПК,
(37)
где
п= {/у Рх< PhRY X, h}\ h =
h
~R
П
РІ+РХ + (PhW> 0; V
cos ? sin Р Рч
cos £ cos p = Px
sin £ PhR
j/"<p2 + X2 + W > 0; П '
С помощью нормирующего множителя ;л0 в (6) величины р и П в (35) и (37) при цо ф 0 всегда могут быть сведены к единице (анормальный случай, соответствующий (л0 = 0, из рассмотрения исключается). В результате приходим к тому, что функция с (і) физически характеризует скорость движения изображающей точки вдоль некоторого постоянного направления, определяемого вектором
п = —I^o grad/(<рк, Хк) + Др(рй),
(39)
где АР (Рй) — произвольный постоянный вектор, линейно независимый по отношению к gгad/(<fк. *к).
В частном случае, когда Д/^ (Рь) = 0, функция с (() характеризует скорость движения изображающей точки в проекции на плоскость :рХ и при этом с (0 = Я (0*- _
Следовательно, если Д/)(рй)^0 (что, как показано выше, имеет место в случае существенного отличия условий движения от условий квазистационар-ного планирования), то величина
£^д(і) = Aph{t) =phRb(t)
(40)
характеризует собой необходимую поправку в q (<) на случай, когда допущение
іт
----0 оказывается несправедливым. Очевидно, что при движении аппарата
на режиме ограничения по 7 (I 7 (О I = | 7 |Шах) поправка (40) влияет на момент схода с ограничения, определяемый условием
c(t) =
tg I 7 I
так что при 0(i)<O [т. е. Л(*)<0] положительные значения /?/, (sin £ > 0) способст-
~ „ 16 (О I
вуют более раннему сходу по сравнению со случаем р^ = 0 т. e.q(t) = —-7—г-j------- .
'Snlmax.
Из сказанного выше следует также, что выполнение условия q(t)~ 0 соответствует достижению на плоскости <рХ максимальной (минимальной) проекции
ридиус-вектора r={cp, X} на постоянный вектор
Р = - Но grad / (<рк, Хк),
поскольку в этом случае v X р. В связи с этим приближенная геометрическая интерпретация условия (14а) сводится к тому, что на начальном участке движения вплоть до точки, в которой проекция г на р максимальна, управление 7n/iopt(0 заведомо должно быть граничным.
Видно, что условие (22) уточняет указанную геометрическую интерпретацию за счет поправки Aq (t).
* В работе [1] впервые дана геометрическая интерпретация функции (О как косинуса угла между мгновенной плоскостью движения и плоскостью большого круга, проведенного через начальную (<у0, Х0) и конечную (<рк, Хк) точки траектории.
Рукопись поступила 6VIII 1971 г.
