CC BY
6
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 21. Выпуск 3.
УДК 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-3-215-222
Приближение квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками — II1
А. Н. Кормачева (г. Тула)
Антонина Николаевна Кормачева — аспирант кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула).
e-mail: juska789@mail.ru
Аннотация
Данная работа посвящена вопросам приближения квадратичной алгебраической решётки целочисленной решёткой. В ней вычисляются расстояния между квадратичной алгебраической решёткой и целочисленной решёткой, когда они заданы числителем и знаменателем подходящей дроби к корню квадратному из дискриминанта d — свободного от квадратов натурального числа.
Результаты данной работы позволяют изучать вопросы о наилучших приближениях квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками.
Ключевые слова: квадратичные поля, приближение алгебраических сеток, функция качества, обобщённая параллелепипедальная сетка.
Библиография: 9 названий. Для цитирования:
А. Н. Кормачева. Приближение квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками — II // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 3, с. 215-222.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 3.
UDC 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-3-215-222
Approximation of quadratic algebraic lattices by integer lattices2
A. N. Kormacheva (Tula)
Antonina Nikolaevna Kormacheva^ Postgraduate Student, Department of Algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: juska789@mail.ru
_ Abstract
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004^р^а.
2 Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710004_r_a.
TThis paper is devoted to the approximation of a quadratic algebraic lattice by an integer lattice. It calculates the distances between a quadratic algebraic lattice and an integer lattice when they are given by the numerator and denominator of a suitable fraction to the square root of the discriminant d — of a square-free natural number.
The results of this work allow us to study questions about the best approximations of quadratic algebraic lattices by integer lattices.
Keywords: quadratic fields, approximation of algebraic grids, quality function, generalized parallelepipedal grid.
Bibliography: 9 titles.
For citation:
A. N. Kormacheva, 2020, "Approximation of quadratic algebraic lattices by integer lattices — II" ,
Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 215-222.
Посвящается Николаю Михайловичу Добровольскому по случаю его семидесятилетия
1. Введение
В работе [6] рассматривалось квадратичное поле F = Q(t/p), где р — простое число и р = 2 или р = 3 (mod 4). Для него кольцо целых алгебраических чисел Ър имеет вид: Ър = {п + k^pln, к £ Ъ}.
В случае произвольного радикала d > 1, т. е. числа свободного от квадрата, для кольца целых алгебраических чисел Ър квадратичного поля F = Q(\/d) имеется два различных случая (см. [10], гл. 4, стр. 309):
первый случай, когда дискриминант d = 2 или d = 3 (mod 4), в этом случае
Ър = {п + k^id\n, к £ Ъ};
второй случай, когда дискриминант d = 1 (mod 4), в этом случае
Ър = {п + кш1п, к £ Ъ},
где целое алгебраическое число ш = 1+2^.
Через Л(^) обозначается алгебраическая решётка поля F:
Л(^ ) = {(в(1), в(2))|в = в(1) £ Ър }
и в(1), в(2) — целые алгебраически сопряжённые числа.
В работе [5] рассматривался вопрос о вычислении расстояния между решётками: алгебраической Лт(Р) и целочисленной Лт(р) для случая простого р гада р = 2и р = 4к + 3.
В работах [1], [4]-[7] двумерные решётки изучались с точки зрения построения двумерных парраллелепипедальных сеток для квадратурных формул. В данной работе нас будет интересовать вопрос о приближении квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками в метрическом пространстве решёток. Целью данной работы будет рассмотрение случая произвольного квадратичного поля F = Q(\/d), где d > 0 — радикал, то есть произвольное натуральное число свободное от квадратов.
Кроме этого в работе будут установлены два общих свойства метрики на пространстве решёток, согласно которым расстояние между решётками не меняется, если их умножить на одно и тоже ненулевое число и расстояние от решётки до фундаментальной решётки равно расстоянию взаимной решётки до фундаментальной решётки.
Необходимо сразу отметить, что придётся разбирать два случая дискриминанта й: первый случай дискриминанта й = 2 или й = 4к + 3;
второй случай дискриминанта й = 4к + 1. Этот второй случай дискриминанта будет разбиваться на два под случая:
первый подслучай, когда числитель и знаменатель Рт и Qm подходящей дроби к квадратичной иррациональности \[й имеют разную четность;
второй подслучай, когда числитель и знаменатель оба нечетные натуральные числа. На протяжении всей работы будут сохраняться обозначения и использоваться сведения из работы [5].
Таким образом, в первом случае в(1) = п + к^М, в(2) = п — к^М п,к е ^ и в(1), в(2) — корни уравнения х2 — 2пх + п2 — йк2 = 0 Базис решётки Л(Р) имеет вид: А1 = (1,1), А2 = (^М, —^М), а детерминант решётки Л(Р) = 2у/И.
Рассмотрим разложение у/й в цепную периодическую дробь:
Vd = qo + [(qi,... ,Яп, 2qo)\ = qo +
1
qi +
1
■ +-
1
2qo +-
1
qi + —
с периодом (qi,..., qn, 2q0). Через ^ обозначается m-ая подходящая дробь к y/d. Таким об-
Q
разом,
^ = Рш + ( V™ 0т, QmV-d = Рт + ( 1™вт, 0 <вт < 1 (т = 0,(1)
Через Am(F) обозначается алгебраическая решётка заданная равенствами: Am(F) = ^(Qm(n + kVd), Qm(n — kVd))\n, к e z} , а через Am(d) — целочисленная решётка заданная равенствами:
Am(d) = {(Qmn + kPm,Qmn — кРт)\п,к e Z} .
Базис решётки Am(F) имеет вид Xm,i = (Qm,Qm), \т,2 = (QmVd, —QmVd), а детерминант решётки det Am(F) = 2Q^Vd.
Для целочисленной решётки Am(d) базис имеет вид Xm,i,z = (Qm,Qm), А
m,2,Z — (Pm,
—Рт), а детерминант решётки det Am(p) = 2QmPm.
Во втором случае, когда d = 1 (mod 4), мы имеем в(1) = п + кш, в(2) = п + к(1 — ш) п,к e Z и 0(i), 0(2) — корни уравнения х2 — (2п — к)х + п2 + пк + к2 = 0. Базис решётки A(F) имеет вид: Ai = (1,1) А2 = (ш, 1 — ш), а детерминант решётки det A(F) = Vd.
Через Am(F) обозначается алгебраическая решётка заданная равенствами в зависимости от двух случаев:
если Рт и Qm — разной четности, то
Am(F) = {(Qm(2n + k(1 + Vd)), Qm(2n + k(1 — Vd)))\n, к e Z} , а через Am(d) — целочисленная решётка заданная равенствами:
Am(d) = {(2Qmn + k(Pm + Qm), 2Qmn + k(Pm — Qm))\n,k e Z} .
1
Базис решётки Лт(Е) имеет вид Атд = (2(^т, 2Qm), Хт,2 = (Ят(1 + л/й), Ят(1 - лД,)), а детерминант решётки ) = 40^^/71-
Для целочисленной решётки Лт(^) базис имеет вид \тд,^ = (2(^т, 2Qm), Хт,2,г = (Рт+ т, ^т Рт), & детерминант решётки detЛm,
(р) = 4д т Рт]
если Рт и Qm — оба нечетные числа, то
1 + ^ ( ,1 - ^
Am(F) = j + к,Qm(n + к-
п,к Е Z
2 / ' ^ \ 2
а через Am(d) — целочисленная решётка заданная равенствами:
п,к Е Z
Am(d) = j п + , + кРт 2 ^^ п,к Е Z j
Базис решётки Am(F) имеет вид Атд = (Qm, Qm), Хт,2 = ,Qm , а ДетеР~
минант решётки detAm(F) = Q^^/d.
Для целочисленной решётки Am(d) базис имеет вид Xm,1,z = (Qm, Qm), Xm,2,z = ,
Qm-, a детерМИнант peшётки detAm(p) = QmPm-
2. Два общих свойства метрики на пространстве решёток
Как известно (см. [3], стр.165) множество всех s-мерных решёток образуют полное метрическое пространство относительно метрики р(Л, Г), которая задана равенствами
р(А, Г) = max(ln(l + р), ln(l + и)), р = inf \\A - Es\\, и = Inf \\B - Es\\,
a=A-г В-л=г
= (hj)1<i i<s, = i n ПРИ 1 = ^ 1И1 = s ' max laij|.
J'1<t,j<s J у 0, ПрИ г = J, 1<i,j<s
/1 ... 0 \ Е8 = : : 0 ... 1
Для произвольной решётки Л рассмотрим её взаимную решётку Л* = {ж| (х, у) Е Z, Уу Е Л}. Если А — её базисная матрица
/ а\,1 ... \
А = : : , = (а\^,..., ) (] = вектора,
\ а3,\ ... а3,3 )
то для базисной матрицы А* имеем равенство А* = 1)т.
Теорема 1. Для любой решётки Л справедливо равен ство р(Л, Zíi) = р(Л*, ).
Доказательство. Так как для любой решётки Л = А-Ж^ = А~1 -Л, то Л* = (А~ 1)т•ZS, Zs = Ат ■ Л*. Поэтому
р(Л, Ж5) = шах(1п(1 + р), 1п(1 + и)), р = М \\А - Е8\\, и = М \\А~1 - Е3\\,
Л=АЖ А-1Л=ЖВ
р(Л*, Ж3) = шах(1п(1 + р*), 1п(1 + V*)),
р* = 1п! У^-У - Е3\\, и* = - Е3\\.
а* = (А-1)Т •Ж3 АТЛ*=ЖВ
Отсюда следует, что р = V% V = р\ ^^о ^таерждение теоремы. □
Теорема 2. Для любого Ь > 0 и любых решёток Л и Г справедливы, равенства р(*Л,*Г) = р(Л,Г) р((Щ*, (¿Г)*) = р(Л*,Г*).
Доказательство. Действительно, если Л = А ■ Г, Г = В ■ Л, то ¿Л = А ■ £Г, ¿Г = В ■ ¿Л,
□
3. Вычисление расстояния для первого случая дискриминанта поля
Обозначим через Ат базисную матрицу решётки Am(F):
^rn. = ( ^-V/ ^ А-1 = ( 2Q,.
V Qm -QmVd J т ^ 2QmVd - 2QmVd
а через Вт — базисную матрицу решётки Am(d):
и = ( Qm Рт \ и-1 = ( 2Qm 2Qm \
Пт = \ П — Р ' Пт = I 1__L_
\ Чт Гт J \ 2Рт 2Рт /
ПуСТЬ Ст = ВтАт\ От = С-1 = А-В-1, 1т = Ъо(Лт(Р)' Ат(р)) И J- = Ъо(Лт(р)' Arn(F)). Тогда Ст G 1т, Dт G Jrn- положим ит = \\Ст - Vт = \\Dт - ^2 || •
Лемма 1. Справедливы равенства
ит = (—Л)та + р П ' ^т = Р (1 ' ( 1) ит + 1 т^т 1 т^т
Доказательство. Дословно повторяются рассуждения из доказательства леммы 1 работы [5] с заменой ^/р та Vd. □
Лемма 2. Если решётки Л = AZ2 и Г = ВZ2 с базисными матрицами А и В, соответственно:
А = ( % Рр+ q ) ' А-1 = (
-р - Q ) \2{р+i) <р+1)
в = ( ^ В-1 =( ф 2\_ У 0 < Щ < 1' P'Q е N' PQ> 1
2Р 2Р
связаны соотношениями
1+ в в Л = В *Г' В* = АВ-1 = I в
(1+j[Q —2р± )'
\ 2PQ 1 + 2PQ )
( 1__в_ _в_ \
Г = А*Л' А* = В А-1 = 1 2(H+PQ) 2(e+PQ)
V 2(e+PQ) 1 2(e+PQ) )
= II А* -Д2|| = , № = \\в* —Е2\\ = ^, ее = тах(ио,^а) < 1,
то для расстояния между этими решётками справедливо равенство
р(Л, Г) = 1п(1 + ее).
Доказательство. См. [5]. □
Теорема 3. При Рт ^ 2, Qm ^ 2 справедливо равенство
От_ _д.
1)т$т + Вт^т Вт^
р(Лт(Р)' Лт^)) =1п(1+ т \ р Q '
\ V ( 1) ит + 1 т^т 1 т^т /
Доказательство. Положим в лемме 2 Л = Лт(Р), Г = Лт(й), А = Ат, В = Вт, тогда
□
4. Вычисление расстояния для второго случая дискриминанта поля, первый подслучай
Пусть теперь d = 1 (mod 4) и числитель и знаменатель Рт и Qm подходящей дроби к квадратичной иррациональности \fd имеют разную четность.
Обозначим в этом случае через Ат базисную матрицу решётки Am(F):
Vd-1 Vd+1
А = ( 2Qm Qm(1 + Vd) \ i = / 4QmVd iQrnVd
Am V 2Qm Qm(1 -Vd) ' ^ = I --4=
\ чт, v j / ^ 2QmVd 2QmVd а через Bm — базисную матрицу pешётки Am(d):
(О/О /О I TD \ ( Prn Qm Prn +Q m \
2Чт Чт + Гm \ , B_i I 4PmQm 4PmQm .
2Qm, Qm, - Ртп J m ^ -J
m \ on n _ p I ' \ i_ __l
' 2 P
m 2P m
ПуСТЬ Cm = BmAm\ Dm = С-1 = A-B-1 , Im = Iso(Am(F), Am(p)) Ш Jm = Iso(Am(p), Am(F)). Тогда Cm G /m, Dm G ПОЛОЖИМ ^m = \\Cm - E2\\, Pm = \\Dm - E2\\.
Лемма 3. Справедливы равенства
Vm = (_1)m# I p (Л ' = pr>'
( 1) ^m + 1 m^m 1 m^m
Доказательство. Непосредственные вычисления дают для vm и рт теже значения и что и в лемме 1. □
Теорема 4. Для d = 1 (mod 4); если числитель и знаменатель Рт и Qm подходящей дроби к квадратичной иррациональности \fd имеют разную четность, то при Рт ^ 2, Qm ^ 2 справедливо равенство
p(Am(F), Am(d)) = In Л + max Л *™ р Q > jr^A
\ \ ( 1) ит + 1 т^т 1 т^т /
Доказательство. В силу леммы 3 применима лемма 2. Поэтому, положив Л = Am(F), Г = Am(d), А = Ат, В = Вт, получим утверждение теоремы. □
5. Вычисление расстояния для второго случая дискриминанта поля, второй подслучай
Пусть теперь d = 1 (mod 4) и числитель и знаменатель Рт и Qm подходящей дроби к квадратичной иррациональности \fd оба нечетные.
Обозначим в этом случае через Ат базисную матрицу решётки Am(F):
А =
^т. —
Qm Qm
Q
1+Vd m 2
n 1-^d
Щт 2
)
Vd-1 Vd+1
4-1 =
m
а через Bn
базисную матрицу решётки Am(d):
Qm +Pm
Вm —
Q Q
Qm Prr
^ > Вт1 = ^
2Qm\fd 2QmVd
QmVd QmVd
Pm Qrn Pm +Qm
Pm
2Pm Q rn Pm
ПуСТЬ Cm = BmAm\ D,
= cm1 = AmBm1, Im = Iso(Am(F), Am(p)) и Jm = Iso(Am(p), Am(F)).
m m m m m m m
Тогда Cm e Im, Dm G Jm- ПОЛОЖИМ Um = \\Cm - ^2 \ l^m = \\Dm - ^2\\•
m m
(
Лемма 4. Справедливы, равенства
__@т _ @т
Um = (--\)тв + Р П ' = Р (1 '
( 1) ит + 1 т^т 1 т^т
Доказательство. Непосредственные вычисления дают для ут и ут теже значения и что и в леммах 1 и 3. □
Теорема 5. Для d = 1 (mod 4), если числитель и знаменатель Рт и Qni подходящей дроби к квадратичной иррациональности Vd оба нечетные, то при Рт ^ 2, Qт ^ 2 справедливо равенство
р(Ат(Р)' Arn(d)) = ln(1 + maJ т9вт+ р Q ' jrk-)
\ \ ( 1) ит + 1 т^т 1 т^т /
Доказательство. В силу леммы 4 применима лемма 2. Поэтому, положив Л = Am(F), Г = Лт(й), А = Ат, В = Вт, получим утверждение теоремы. □
6. Заключение
Из теорем 3, 4, 5 следует, что построенные целочисленные приближения алгебраических решёток Лт (Р) с растущим детерминантом приближаются целочисленными решётками со скоростью О ^е^1 Лт(ф).
Теорема 2 позволяет утверждать, что с такой-же скоростью квадратичная решётка Л(Р)
приближается рациональной решёткой со знаменателем Q = О ^у^Зё^А^^)^.
В работах А. В. Михляевой [7]-[8] изучаются эти приближения с точки зрения построения квадратурных формул. Качество сответствующих сеток можно рассчитать с помощью быстрого алгоритма из работы [1].
В работе А. В. Родионова [9] показано, что для данных целочисленных приближений алгебраических квадратичных решёток можно построить эффективные алгоритмы вычисления гиперболического параметра решётки и явно описать минимальное множество Быковского.
Выражаю свою благодарность научному руководителю профессору Н. М. Добровольскому за постановку задачи, полезное обсуждение и постоянное внимание к работе.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вронская Г. Т., Добровольский Н. Н. Отклонения плоских сеток, монография / под редакцией Н. М. Добровольского. Тула, 2012.
2. Г. Дэвенпорт. Высшая арифметика. — М.: Наука. 1965 г. — 176 с.
3. Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. 422 с.
4. А. Н. Кормачева. О неполных частных одной цепной дроби // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1, с. 293-301.
5. А. Н. Кормачева. Приближение квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 2, с. 366-373.
6. А. В. Михляева. Приближение квадратичных алгебраических решёток и сеток целочисленными решётками и рациональными сетками // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3. С. 241-256.
7. А. В. Михляева. Функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1. С. 302-307.
8. А. В. Михляева. Функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток — II // Чебышевский сборник, 2019, т. 21, вып. 3, с. 223-231.
9. А. А. Родионов. Гиперболический параметр приближения квадратичных алгебраических решёток целочисленными // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 3. С. 241-249.
10. Г. Хассе. Лекции по теории чисел. — М. И*Л. 1953 г. — 528 с. REFERENCES
1. Vronskava, G. Т., Dobrovol'skii, N. N. 2012, "Deviations of flat grids, monograph" , edited by N. M. Dobrovol'skii. Tula.
2. H. Davenport, 1965, "The higher arithmetic" , Moscow, Nauka — pp. 176.
3. Kassels, D. 1965, Vvedenie v geometrivu chisel, [Introduction to the geometry of numbers], Mir, Moscow, Russia.
4. A. N. Kormacheva, 2019, "About the partial quotients of one of the continued fractions" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 293-301.
5. A. N. Kormacheva, 2019, "Approximation of quadratic algebraic lattices by integer lattices" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 366-373.
6. A. V. Mikhlvaeva, 2018, "Approximation of quadratic algebraic lattices and nets by integer lattices and rational nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 241-256.
7. A. V. Mikhlvaeva, 2019, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 302-307.
8. A. V. Mikhlvaeva, 2020, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets — II" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 223-231.
9. A. V. Rodionov, 2020, "Hyperbolic parameter of approximation of quadratic algebraic lattices by integers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 241-249.
10. H. Hasse, 1953, "Lectures on number theory" , Moscow, Foreign literature — pp. 528.
Получено 21.05.2020 г.
Принято в печать 22.10.2020 г.
