CC BY
4
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 21. Выпуск 3.
УДК 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-3-223-231
Функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток — II 1
А. В. Михляева
Анна Владимировна Михляева — аспирант кафедры алгебры и дискретной математики, Оренбургский государственный университет (г. Оренбург). e-mail: white.background.invisible@mail.ru
Аннотация
Данная работа посвящена вопросам построения быстрых алгоритмов вычисления функции качества рациональных сеток, приближающих квадратичные алгебраические сетки в общем случае максимальной решётки целых алгебраических чисел.
Показано, что обобщённая параллелепипедальная сетка, приближающая квадратичную алгебраическую сетку, является параллелепипедальной. Как следствие построен алгоритм вычисления функции качества за О (ln N) арифметических операций.
Ключевые слова: квадратичные поля, приближение алгебраических сеток, функция качества, обобщённая параллелепипедальная сетка.
Библиография: 3 названия. Для цитирования:
А. В. Михляева. Функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток — II // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 3, с. 223-231.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 3.
UDC 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-3-223-231
Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets2
A. V. Mikhlyaeva
Anna Vladimirovna Mikhlyaeva — Postgraduate Student, Department of Algebra and discrete mathematics, Orenburg state University (Orenburg). e-mail: white.background.invisible@mail.ru
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004^р^а.
2 Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710004_r_a.
Abstract
This paper is devoted to the construction of fast algorithms for calculating the quality function of rational grids that approximate quadratic algebraic grids in the General case of the maximum lattice of integer algebraic numbers.
It is shown that the generalized parallelepipedal net approximating the quadratic algebraic net is parallelepiped.As a consequence, an algorithm for calculating the quality function for О (ln N) arithmetic operations is constructed.
Keywords: quadratic fields, approximation of algebraic grids, quality function, generalized parallelepipedal grid.
Bibliography: 3 titles.
For citation:
A. V. Mikhlyaeva, 2020, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets — II" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 223-231.
Посвящается Николаю Михайловичу Добровольскому по случаю его семидесятилетия
1. Введение
В работе [2] рассматривалось квадратичное поле F = Q(^p), где р — простое число и р = 2 или р = 3 (mod 4). Для него кольцо целых алгебраических чисел Ър имеет вид: Ър = {п + k^p\n,k £ Ъ}. В работе [3] эти исследования были продолжены и была найдена форма функции качества Н(М(Лт(р))), которая позволяет её вычислять за 0(ln N(Рт, Qm)) арифметических операций. В данной работе будет рассмотрен общий случай квадратичного поля F = Q(\/d), где дискриминант поля d — произвольное бесквадратное натуральное число больше 1, или как иногда говорят d — радикал.
Через Л(^) обозначается алгебраическая решётка поля F:
Л(^) = {(в(1), в(2))\в = в(1) £Ър}
и в(1), в(2) — целые алгебраически сопряжённые числа. Теория показывает, что здесь имеются два принципиально различных случая: d = 2 или d = 3 (mod 4) и другой случай, когда d = 1 (mod 4).
2. Основная лемма о целочисленных двумерных решётках
Рассмотрим произвольную двумерную целочисленную решётку Л С Z2. Пусть она имеет базис Ai = (a,b) и \2 = (с, d) с детерминантом N = de^ = lad — bel > 1. Следующая
Л
Л(п, N) = {(y,x)lx + пу = 0 (mod N)}.
Лемма 1. Пусть а > с > 0, (а, с) = 1 и N = ad — bc > 1, тогда Л = Л(п,М) где п = (—1) (Qi-1b — Pi-1d) и Pi-1 — числитель, Qi-1 — знаменит ель I — 1-ой подходящей дроби для разложения дроби ^ в цепную дробь:
а 1 Pi
- = ао +----.
с 1 Qi
ö1 +--1
'•• + —
ai
Доказательство. Рассмотрим базисную матрицу А решётки Л:
a b
( a b \ \ с d )
^ ^ с d
и унимодулярную матрицу В:
в = ( (-i)l-1Qi-i (-i)lPi-i )
у —с a J '
|Б| = (—l)l-lQi-ia + (—l) Pi-ic = (—!)l-1(Pi Qi-г — Q1P1-1) = 1.
Для базисной матрицы С = В ■ А имеем:
с = ( (—1)l-1Qi-i (—1)lPi-i \( a b \ = ( 1 (—1)-i (Qi-ib — Pi-id) \ = ( 1 — п \ V —С a J \ с d J ad —bc /V0 N ) .
Следовательно, решётка Л = {(x, —nx + Ny)lx,y £ Z} = {(x,y)ly + nx = 0 (mod N)}, что и доказывает утверждение леммы. □
3. Первый случай для дискриминанта
Рассмотрим первый случай, тогда = п + ky/d' е(2) = п — k\fd П'к £ Z и целые алгебраические числа e(i), е(2) — корни уравнения х2 — 2пх + п2 — dk2 = 0.
Базис решётки Л(^) имеет вид: Ai = (1,1) Л2 = (лid, —Vd), а детерминант решётки det^(F) = 2^d.
Базис взаимной решётки Л*(Р) имеет вид: А1 = (1,1), Л* = , — "2т) и ДетеРминант
взаимной решётки de^*(F) = -^j.
Рассмотрим разложение \fd в цепную периодическую дробь:
^d = qo + [(qi, ...,дП' 2qo)} = qo +----
qi +
1
•• +-
1
2qo +-
1
qi + —
с периодом (qi,..., qU' 2q0). Через ^ обозначается m-ая подходящая дробь к yfd. Таким об-
Q
разом
^ = +( 'Г", 0 <вт < 1 (т = 0'
Ут Ут
Через Лт(Р) обозначается алгебраическая решётка, заданная равенствами:
Лт(Р) = [(Яш(п + к^д), Ят(п - к^))\п, к £ z} ,
а через Лт^) — целочисленная решётка, заданная равенствами:
Лт№) = {(ЯтП + кРт,Ятп - кРт)\п,к £ Z} .
Базис решётки Лт(Р) имеет вид Атд = (Ят,Ят), = (Ят^М, -Ят^М), а детерми-
нант решётки detЛm(F) = 2Я2т\Т^-
Базис взаимной решётки Лт( Р) имеет вид:
1 1
\ * — Лт,1 —
т т
л/й л/й
2й((т 2й(т
и детерминант взаимной решётки ёе^т( Р) — 2Щ1
Для целочисленной решётки Лт( й) базис имеет вид \т>1>г — ((т,(т) Лт>2,г —Рт), а детерминант решётки detЛm(d) — 2 ((тРт. Базис взаимной решётки Лт(й) имеет вид:
— (Рт
Л *
— м м Л* м___ц
т 2(т) , , \2Рт 2Рт)
и детерминант взаимной решётки detЛm( й) — 2р~о~' Рассматриваются следующие две сетки:
М1(Лт(Р)) — Лт(Р) п [—1; 1)2, М(Лт(й)) — лт(й) п [0; 1)2.
Нетрудно видеть, что
М1(Лт(Р)) —
у/йк
2(т 2й((т 2(т 2 й(т
п у/йк П
к е А(п), |п| < 2(т — 1
А(п) — < к
М (Лт(й)) —
—2Рт < к < 2Рт, при п — 0,
—2Рт + <к< 2Рт — ^ .При п — 1,... 2(т — 1,
—2Рт — < к < 2Рт — ^ .При п — —1,... — 2(т + 1;
к п к
{О
п
+
В (п) — { к
2 ( т 2 Рт 2 ( т
к = 0,
Ртп < к < ртп Qm ^ ^ Qrm '
2 Рт
к е В(п), 0 < п < 2(т — 1 п = 0,
п = 1 , . . . ( т — 1 ,
—2Рт + < к < 2Рт — ^рип — Ят,... 2(т — 1;
Хорошо известно, что граничной функцией класса Е23 ^г-у для иараллелепипедальных
сеток является функция Н(х, у) — 9(1 — 2{х})2(1 — 2{у})2, поэтому для оценки качества сетки М(Л т( ))
Н (М (Лт (й))) —
9
2 Рт ( т
¿0 —С1—2(
п
п=о кев(п)
2 ( т 2 Рт
которую, для краткости, будем называть функцией качества. Положим «т — 2Рт(т и целое ат зададим равенством
при т— нечетном
а = 2 Рт ( т- 1 — 1 ,
т \ 2Рт(Ят — (т-1) — 1, при т— чётном.
Теорема 1. Справедливо равенство М(Лт(й)) — М(ат,«т), где параллелепипедальная сетка М(ат,«т) задаётся равенством
м <-«"'4 {ь ш
п — 0,...,Мт — 1
2
Доказательство. Дословно повторяя рассуждения из работы [3], получаем утверждение теоремы. □
Рассмотрим разложение Цр- в цепную дробь:
nZ,
Qi,m +
1
•• + -
1
Ql-1,m +
11,т
длины I = 1(т).
Для дальнейшего нам потребуются скобки Эйлера [Ь\,..., Ьп](п), которые определяются рекуррентно
[](-1) =0, [](0) = 1 [Ь1,...,Ьп\{п) = Ьп[Ь1,...,Ьп-1\{п-1) + [Ъ1,...,Ъп-2](п-2) (п ^ 1). В работе [1] для величин Н^, заданных равенствами
9. V Л-2Л. V2 I ГЦГ2
Чк-1/ П \ 2 (
Нк = V — 2w V — ^^
доказана теорема
Теорема 2. Справедливо равенство
и 11 4 (т , Г.1 I ^ 2 + <^к-1) ,
нк = 1 + + ^ + £ ^--Щ-+
+ ^ ^2 £ ^л(^лТй,л+1 + Ял-2Тк,л+1 + Ял-2Тк,л-1) - 10 £ ®л-1 Тк,л+?! ^
Здесь через обозначены вели чины = [^+1,..., Цк ](к-и)-Теорема 3. Для функции качества Н(М(Лт(ё))) справедливо равенство
4 (____, 2 3(р*т + 42-1^+
т Q2
1
+
Qi,
4 / 1
Н (М (Лт(0))) = 1 + 1° + 51 + Е ^
m V л=1
Х1 9Л,т(^Л,т?)*Л+1 + Ял-2,ГПТ1*Л+1 + ^Л-2,т^*Л-1) — 10 Х1 ^Л-1,1 ^ '
— \-ая подходящая дробь к числу (Л = 0' 1'...' 0; ^FV = +1,т'...' Qi,m}(i-u)-
Доказательство. Дословно повторяя рассуждения из работы [3], получаем утверждение □
4. Второй случай для дискриминанта
Рассмотрим второй случай, тогда число ш = является целым алгебраическим чис-
лом, так как числа ш и 1 — ш — корни квадратного уравнения х2 — х + 1—г = 0 с целыми коэффициентами в силу сравнения d = 1 (mod 4). Решётка
Л(^ )={(е(1)' е(2))|е = е(1) е zf }
1
1
имеет другой целый базис X' 1 — (1,1) X'2 — (ш, 1 — ш) и является максимальной решёткой
Р det Л(Р) — у/й. Таким образом,
решётка Л1(Р) с базисом Л1 — (1,1) Л2 — (у/~й, — л/й) является её иодрешёткой индекса 2.
Базис взаимной решётки Л*(Р) имеет вид: X' 1 — {^^^Г, Л2 — ^^, — и детер-
минант взаимной решётки detЛ*(Р) —
Л т( Р) ми двумя способами: Рт ( т
Лт(Р) — {(Ят(2п + к(1 + у/й)), (т(2п + к(1 — ^й)))|п, к е ъ} ,
Л т( й)
Лт(й) — {(2 (тп + к((т + Рт), 2(тП + к((т — Рт))|п,к е Ъ} ;
Рт ( т
Лт(Р) — { [(т ^П + к ^ + к^
Л т( й)
п,к е Ъ
Лт(й) — | ^(тП + к(т + Рт , (тП + к(т Рп
2
^ п,к е .
Л т( Р)
в первом случае Лт,1 — (2(т, 2(т), Лт,2 — (Ят(1 + У/й),(т(1 — л/й)), а детерминант решётки detЛm( Р) — 4
а ВО втором случае Лт,1 — ((т, (т), Лт,2 — ((т11^, ки det Лт (Р) — дт^й.
а детерминант решет-
Базис взаимной решётки Лт( Р) имеет вид: в первом случае
С
> * I й — у[й й + у[й
Л т, 1 —
4й(т' 4й(т
^ , Лт,2 — ^
у[й у[й
и детерминант взаимной решётки detЛm(Р) — ; а во втором случае
^ * I й — у[й й + у[й
Л т, 1 —
2й(т 2й (т
Л'т,2 —
2й (т 2й (т
( /й Vй \
)
т т
и детерминант взаимной решётки detЛm(Р) —
Отметим, что третий случай, когда числитель и знаменатель оба четные числа, невозможен, так как они взаимно простые числа.
Л т( й)
в первом случае
Лт,1, И — (2 Qm, 2Qm), Лт,2, Z — ( (т + Рm, (т Рm),
а детерминант решётки det Лт(й) = 4QmPm■, а во втором случае
Ат,1,г = (Qm,Qm), Ат,2,г = ^ а детерминант решётки detЛm(d) = ЯтРт-
Ят + Рт Ят Рт
) ■
Теорема 4. Пусть для, разложения дроби "2+дт в цепную дробь
Рт + Я т
2Яп
ао +
1
а1 +
_= Р[
1 .
1
• + — щ
Для второго случая дискриминанта, для, решётки Лт(й) справедливы следующие равенства
в первом случае, когда, Рт и Ят — числа, разной четности,
= 4ЯтРт, Лт(й) = Л(пт, Мт),
знаменатель I — 1-ой
где пт = (-1)1 (Я'1-1(Ят - Рт) - Р—^Ят) и Р— — числитель, Я[—1 подходящей дроби;
а во втором случае, когда, Рт и Ят — оба нечетные числа,
= ЯтРт, Лт(й) = Л(пт, Ит),
где пт = (- 1)1(Я[_ 1 Рт - Р{_]_Ят) и Р{_ 1 — числитель, Я[- 1 — знаменатель I - 1-ой подходящей дроби.
Доказательство. В первом случае положим в основной лемме а = Рт+Ят, Ь = Ят-Р? с = с! = 2Ят получим первое утверждение теоремы.
Во втором случае положим в основной лемме а = Рт+дт , Ь — ®т-Рт " — л —
□
Базис взаимной решётки Л^п(г1) имеет вид: в первом случае
2 Ь = дт 2 1 т ) с = й = Ят получим
А,
Рт Ят Рт + Я
т,1,г
4РтЯт 4Рт Яп
и детерминант взаимной решётки detЛ¡lre(d) = 4р д ; а во втором случае
А,
Рт Ят Рт + Я
■т,1,г
2РтЯт 2РтЯг,
] А* М
/ \Гт Гт/
и детерминант взаимной решётки detЛ¡lre( й) = р-д-Нетрудно видеть, что в первом случае
М(Лт(с1)) = | ( В(п) = <( к
^(Рт Ят ) + п(Рт + Ят) 4 РтЯт 2Рт 4РтЯг, к = 0,
- (Рт-Ят)п ^ ^ ^ (Рт+дт)'П
2 Р 2± п
к £ В(п), 0 ^ 4Ят - 1 при п = 0,
при п = 1, . . . , 2Ят - 1,
-2Рт + (Рт+д™)п < к < 2Рт - (Рт-дм )п, при п = 2Ят,..., 4Ят - 1
Гт—дм )п
2дт
2
т
к
а во втором случае М (Лт(()) =
{(
В(п) = < к
п(Рт (т ) , к п(Рт + (т)
т
т Ят)" ^ ],, (гт +Ят)"
+ Рт,
Рт
2Рт(т
2 Рт^т к = 0,
(Рш-Я т )" ^ к (Рт +Ят)" 2Я„ ^ к ^ 2ЯГГ ,
Рт
Рт +
(Рт+Ям )" 2Ят
к е В(п), 0 < п < 2(т - 1
п = 0, при п = 1,... (т - 1,
},
<к<Рт — (Рт2"ЯЯМ)", прип = (т,... 2(т — 1
Для функции качества сетки М(Лт(()) имеем: в первом случае
Н (М (Лт(())) =
4 Рт(т
"¿т / /
^ £ 1 -2
п(Рт (т) + к
"=о кев(")
4 Рт(т
Ш (1 - 2(
п(Рт + ( ) к 4 Рт ( т 2 Рт
а во втором случае
Н (М (Лт(())) =
2 Рт ( т
1 / / £ Е 1 - 2
"=о кев(")
п(Рт (т) + к
2 Рт ( т Рт
1-2
'п(Рт + ( ) к 2 Рт ( т Рт
Доказанная теорема 4 позволяет как и в первом случае дискриминанта вычислять функцию качества для второго случая за 0(Ит) арифметических операций.
2
9
2
9
5. Заключение
Доказанные теоремы 3 и 4 позволяют это сделать за
0(1пЖ(Рт, (т))
арифметических операций.
Основным моментом в нашей работе было доказательство, что обобщённая параллелепи-педальная сетка, приближающая алгебраическую квадратичную сетку, является параллеле-пипедальной сеткой.
На тот факт, что сетка М(Лт(()) является параллелепипедальной, и что во втором случае дискриминанта надо рассматривать два случая для числителя и знаменателя подходящей дроби обратил внимание А. В. Родионов, за что выражаю ему свою благодарность.
Также выражаю свою благодарность научному руководителю профессору Н. М. Добровольскому за постановку задачи, полезное обсуждение и постоянное внимание к работе.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вронская Г. Т., Добровольский Н. Н. Отклонения плоских сеток, монография под редакцией Н. М. Добровольского. — Тула, 2012, 193 с.
2. А. В. Михляева. Приближение квадратичных алгебраических решёток и сеток целочисленными решётками и рациональными сетками // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3. С. 241-256.
3. А. В. Михляева. Функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1, с. 307-312.
REFERENCES
1. Vronskava, G. T., Dobrovol'skii, N. N. 2012, "Deviations of flat grids.", monograph edited by N. M. Dobrovol'skii. Tula, 193 p.
2. A. V. Mikhlyaeva, 2018, "Approximation of quadratic algebraic lattices and nets by integer lattices and rational nets", Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 241-256.
3. A. V. Mikhlyaeva, 2019, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets", Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 307-312.
Получено 11.06.2020 г. Принято в печать 22.10.2020 г.
