Преобразования Эйлера-Дарбу для уравнения Фоккера-Планка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

отрезке. Радиус кривизны трека в исходной точке определяется как расстояние между исходной точкой и точкой пересечения нормалей (аналогично и для самой траектории). Необходимо задать безопасный коридор. Для этого укоротим отрезок с каждого конца на половину ширины автомобиля. Далее делим отрезок на равные части так, чтобы каждую точку, в которой может находиться машина на данном отрезке [2], можно было закодировать целым числом бит (стандартная двоичная кодировка). Таким образом, потенциальное решение задачи представляет собой набор точек (битовую строку), по которым будет проходить траектория движения. Получили условие задачи для генетического алгоритма [3]. Под целевой функцией можно понимать радиус кривизны. В этом случае решаем задачу максимизации, «выпрямляем» траекторию настолько, насколько это возможно, для увеличения максимально допустимой скорости прохождения поворота без потери сцепления колес с покрытием. Другой способ - рассмотреть время как целевую функцию, непосредственно рассчитать время, затраченное на прохождение каждой траектории. Решается задача минимизации по времени [3]. Динамика ускорения и замедления рассчитывается следующим образом: для каждой точки траектории определяется согласно радиусу кривизны максимально допустимая скорость, выбирается точка, в которой эта скорость минимальна. Эта скорость будет гарантировать безопасное прохождение трека по данной траектории. Но ведь не исключено, что некоторые повороты можно

пройти быстрее. Для этого повторяем процедуру поиска точки с минимальной скоростью, но при этом исключаем уже найденную. Далее анализируем согласно указанным динамическим характеристикам автомобиля, возможно ли изменить скоростной режим для данной точки траектории, при этом учитываем, что скорость в предыдущих рассмотренных точках должна остаться неизменной. Если да, то увеличиваем максимально допустимую скорость для рассматриваемого участка траектории. Повторяем описанную процедуру для всех точек.

Размерность задачи увеличивается с увеличением протяженности трассы. Проблему высокой размерности можно решить, разбивая трек на участки между точками, в которых радиус кривизны достаточно большой, и решать аналогичную задачу на каждом из них. В этом случае последняя точка текущего участка будет началом следующего.

В результате получаем программу, решающую поставленную задачу и в дальнейшем годную для практического применения.

Библиографические ссылки

1. Шилдт Г. Теория и практика С++. СПб. : БИУ-Санкт-Петербург, 1996.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие. М. : Высшее образование, 2006.

3. Рубан А. И. Методы оптимизации : учеб. пособие. Красноярск : НИИ ИПУ, 2001.

O. V. Ahtyamov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

THE PROBLEM OF SEARCHING FOR THE FASTEST WAY AND DYNAMICS OF A CAR ON THE RACEWAY USING A GENETIC ALGORITHM

Review of the physical processes is provided. Formulation of the optimization task and proposed method of solution using a genetic algorithm are given. Examples of existing control systems, solving this problem, and their brief analysis are shown.

© AXTAMOB O.B., 2012

УДК 517.956.4

И. В. Веревкин

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА-ПЛАНКА

Построено преобразование Эйлера-Дарбу для уравнения Фоккера-Планка. В качестве примера построены решения уравнения Фоккера-Планка с заданными начально-краевыми условиями.

Одним из эффективных способов построения решений заданного дифференциального уравнения является сведение его к изученному уравнению. Групповой анализ дифференциальных уравнений исполь-

зует для этих целей понятие точечного преобразования, переводящего одно уравнение в другое.

Иной подход использует известное преобразование Дарбу [1], которое позволяет строить решения

Решетневскце чтения

уравнений, стартуя с известных уравнений. В монографии [2] описан класс линейных дифференциальных уравнений с частными производными и преобразования Эйлера-Дарбу (ЭД), переводящие решения одного уравнения в решения преобразованного уравнения того же типа.

В настоящей работе мы строим преобразования ЭД для уравнения Фоккера-Планка (ФП), которое в одномерном случае имеет следующий вид [3]:

Ut = (FU)„ + (GU)х .

(1)

Коэффициенты G и F есть функции от x и дифференцируемые нужное число раз с физическим ограничением F(x) > 0. Здесь и далее выражение типа их обозначает соответствующую частную производную функции, а верхний штрих обыкновенную производную.

Справедлива следующая теорема. Преобразование ЭД, заданное соотношением

w w

V (х, t) = (G + F' + )(Ux--^), (2)

w w

переводит решения уравнения (1) в решения уравнения

V = (т хх + (G1V) х, (3)

где

G1 = G + F' + 2F (1П P)x (4)

и

P = -

w

Поясним сказанное. Противоположным преобразованием ЭД назовем преобразование, переводящее решения уравнения (3) в решения уравнения (1). Вид его подобен прямому преобразованию ЭД (2) со специальным выбором функции w. Отметим, что композиция прямого преобразования ЭД и противоположного в общем случае не является тождественным преобразованием (что и объясняет применение нестандартной терминологии). Вместе с тем, наличие противоположного преобразования ЭД позволяет разбить множество уравнений ФП на классы эквивалентности относительно преобразований ЭД.

Вышеупомянутое обобщение позволяет строить решения многомерных уравнений ФП, имеющих вид

ut =Х(рг]щ+ (GU)*,.,

и ]

где Fi] - матрица; а х = (х1,...,хи) - вектор независимых переменных. При этом коэффициент Fi] должен

быть диагональной матрицей, а диагональные элементы Fii и соответствующие функции Gi должны зависеть только от переменной xi.

Кроме этого, преобразование ЭД позволяет строить решения ФП с заданными краевыми условиями. В работе [4] построены такие решения (ввиду их громоздкости здесь не приводятся) для следующих коэффициентов:

—, (5)

Fwx + (F ' + G) w

а функция w(x) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

(Fw) хх + х + cw = 0 (6),

где с е Я1.

Если известно к решений w1,...,wk уравнения (6) для различных с1,..., ск , то можно построить преобразование ЭД порядка к (высшее преобразование ЭД), переводящее уравнение (1) в уравнение и \ = (FUk)хх + ^кик)х .

Помимо прямого преобразования ЭД и высших преобразований ЭД можно построить противоположное преобразование ЭД и обобщить преобразование на более общий вид уравнений, позволяющий использовать преобразование ЭД для построения многомер -ных уравнений ФП некоторого частного вида.

F = a2, G1 =

2a 2cn

8a nc1c2

Gi = —^ 2 , c1 exp(2nx) - c2 exp(-2nx)

где a, c1, c2, n - константы.

Библиографические ссылки

1. Matveev V. B., Salle M. A. Darboux Transformation and Solitons. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1991.

2. Капцов О. В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2009.

3. Ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. М. : Высш. шк., 1990.

4. Веревкин И. В. Теоретическая и математическая физика. Т. 166, № 1. 2011.

I. V. Verevkin

Institute of Computational Modelling, Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk

EULER-DARBOUX TRANSFORMATION FOR THE FOKKER-PLANCK EQUATION

An Euler-Darboux transformation for the Fokker-Planck equation is constructed. As an example, the solutions of the Fokker-Planck equation with given initial and boundary conditions are presented.

© Веревкин И. В., 2012

и