Особенности диффузии броуновской частицы в потоке фонового газа с заданным профилем скорости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Статистическая радиофизика Вестник Нижегородск ого универ ситета им. Н. И. /Лобачевского, 2011, № 5 (3 ), с. 189-195

УДК 530.162

ОСОБЕННОСТИ ДИФФУЗИИ БРОУНОВСКОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОТОКЕ ФОНОВОГО ГАЗА С ЗАДАННЫМ ПРОФИЛЕМ СКОРОСТИ

© 2011 г. Н.С. Павлычев, Е.З. Грибова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

егуш7рап@дш1. ги

Поступила в редакцию 10.05.2011

Рассматривается задача диффузии броуновской частицы в потоке фонового газа с заданным профилем скорости. На основе стохастических уравнений Ланжевена выведено уравнение Фоккера-Планка. С помощью численного моделирования получены гистограммы эйлеровых характеристик частиц примеси: времени достижения и скорости на детекторе. Численно-аналитическим методом найдено решение уравнения Фоккера-Планка с учетом граничных условий.

Ключевые слова: броуновская диффузия, уравнения Ланжевена, уравнение Фоккера-Планка, эйлерова статистика, лагранжева статистика.

Введение

При теоретическом и экспериментальном изучении движения частиц примеси под действием случайных сил применяются два взаимно дополняющих подхода. Лагранжев подход описывает статистические

характеристики координаты и скорости фиксированной частицы, эйлеров -статистические характеристики частиц примеси в заданной области пространства. В работе рассматривается задача описания

статистических характеристик броуновской частицы в потоке фонового газа в заданной области пространства. Прямое вычисление эйлеровых характеристик затруднительно ввиду того, что случайная функция скорости в заданной точке пространства зависит от случайного аргумента - времени прибытия частицы в данную точку. Вычисление

лагранжевых характеристик обладает преимуществом, ибо они находятся через хорошо известные решения стохастических уравнений Ланжевена и с помощью

интегральных соотношений между двумя подходами в случае однопотокового движения позволяют найти эйлеровы характеристики.

Актуальность задачи обусловлена широкой экологической проблематикой антропогенного воздействия на атмосферу и водную среду. В частности, реальной ситуацией, которую моделирует поставленная задача, является распространение и перенос на поверхность

водоемов аэрозоля от удаленного источника.

Постановка задачи

Рассмотрим следующую постановку задачи. Пусть имеется точка на плоскости (ху), которую назовем источником. Прямую х = Ь в дальнейшем будем называть детектором (считаем, что он поглощает попавшие на него частицы), а х = -Ь - отражателем, на котором частицы испытывают абсолютно упругое отражение. Пусть частицы примеси покидают источник, который поместим в начало

координат, с начальной скоростью У0 и

попадают в поток фонового газа, профиль скорости которого зададим в виде

и

и0(х) = т2ах (Ь2 - х2) (парабола на рис. 1).

Ь

Примесь взаимодействует с потоком силой вязкого трения, пропорциональной

относительной скорости частицы.

Межмолекулярное взаимодействие с частицами среды описывается случайной силой (в расчете

на единицу массы) А (і), при этом А (і) -

гауссов процесс с нулевым средним и с корреляционным тензором

(Д (і)Д (і + о) = 2£5У. 5(0, (1)

где Б - коэффициент молекулярной диффузии, 5у - символ Кронекера, знак «тильда» означает

здесь и далее случайную величину, а угловые скобки - усреднение по ансамблю реализаций случайной силы.

Нас будет интересовать статистика скорости частиц на детекторе и времени достижения детектора (эйлерова статистика). Заметим, что поскольку время достижения детектора случайно, вычислить

вероятностные характеристики скорости и

времени достижения достаточно сложно. В то же время известен другой подход, состоящий в исследовании статистики в заданный момент времени (лагранжева статистика).

№(х, у, V х, V у; О = (8(х - ~())5(у - ~(0) х

Х§(У х -~х (0)5^ у -~у (/)))

удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка

ЭШ

эш

------+ V х-------+ V у-----------В

ді Эх у Эу

ЭШ _ Э(пхШ)

Э((п у -и0(х))Ш) = ^ Эп у

ґд 2Ш Э ------- +

Эп

Эп

2

у

с начальными условиями

№ (х, у, V х, V у; I = 0) =

= 5( х)5( у)5(п х -V о х )5(п у -V о у)

и граничными условиями

(3)

(4)

Рис. 1. Модель системы

Часто он оказывается проще, т.к. основан на анализе хорошо изученных уравнений Ланжевена, которые описывают динамику диффундирующей частицы. В

рассматриваемом случае указанные уравнения имеют вид

ИЯ

Иі

= п,

— = -Р(п - и>0 (х)) + А (і)с(х - Ь),

х = -Ь =-" х(,)-

Ш(Ь, у, , п у; і) = 0;

' х у \п х <0

Эх

=0.

(2)

Щ = 0) = о, v(t = 0) = Vо,

где Я - случайный вектор перемещения броуновской частицы, Р - коэффициент трения в расчете на единицу массы,

[1, х > 0

Х( х) = •

Коэффициент с(х - Ь) при случайной силе и условие упругого отражения в системе (2) заменены граничными условиями, в итоге поставленная задача сводится к краевой для функции (3).

Из (1) следует, что проекции движения во взаимно перпендикулярных направлениях статистически независимы, поэтому

совместную плотность вероятностей координат и скорости частицы представим в виде

№ (х, у, V х, V у; 0 = №х (х, V х; t)Wy (у, V у; 0. (5)

Уравнения для введенных равенством (5) плотностей вероятностей получим, интегрируя (4) по х,Vх и у,Vу соответственно:

ЭШх +п Щ ВЭ(пхШ) = Б ЭШ Эі х Эх Р '

Эп

2

(6)

[0, х < 0

- единичная функция, использование которой позволяет исключить участие частицы в броуновском движении после достижения правой границы системы.

Уравнение Фоккера-Планка

Из условия (1) следует, что совместная плотность вероятностей координат и проекций скорости частицы

ЭЩ ЭЩ

■ + п

Эt

Э((п у - У)Щу) Э 2Щ

у і*. у р у ' у' = Б- у

эу

Эп

у

>(7)

+¥ +¥

J = | |и0(х)ЩхИхИпх .

Начальные условия:

№х (х, V х; t = 0) = 5( х)5(v х-V 0 х),

№у (у, Vу ^ = 0) = 5(y)5(vу - Vоу).

Граничные условия:

(8)

(9)

х=-Ь

Wx (L V x ; Z )| V x <0 = °;

11 = 0.

x’ 'Ivx<0 dWx ( x, V x ; t)

dx

(10)

Используя определение лагранжевой плотности вероятностей (3) и свойство дельтафункции

5[ф(х)] = ,1 ,5(х - Xi),

X Ф(хг )

где х1 - вещественные корни уравнения

ф(х) = 0 и суммирование ведется по всем корням, а также выкалывающее свойство

J j(x)8(x - x0 )dx = ф( x0 ),

Jdt J dy Jdvy |vx|Wx(x,Vx;t)Wy (y,vy ;t).

Для нахождения искомой плотности

вероятностей (11) необходимо решение

дифференциального уравнения (4) с

начальными и граничными условиями.

Аналитическое решение такой задачи неизвестно. Поэтому перейдем к анализу

исходных стохастических уравнений (2) с помощью численного моделирования.

Численное моделирование уравнений Ланжевена

Пользуясь соображениями размерности, введем безразмерные скорости, время и координаты

~х=Л^х; ~у = Л~у; V=Ли0(х);

3/2

~ В32~ ~ В3 ~

т=р?; х=ТБх; 7 =7оу.

Система (2) преобразуется в безразмерную, которая решается численно с помощью метода Рунге-Кутта четвертого порядка.

В результате численного моделирования стохастических уравнений были получены гистограммы скорости частиц на детекторе

нетрудно показать, что эйлерова плотность вероятностей проекции скорости частицы х (пх; Ь, Т) на детекторе при учете условия

однократности пересечения детектора и

времени его работы і =Т связана с

лагранжевой плотностью вероятностей

интегральным соотношением [1]:

^. (V х;Ь,т) =

(11)

Рис. 2. Траектории отдельных частиц (Umax = 100 см/с)

Tvx (vx ; L, T), Gy (vy ; L, T) и времени

достижения детектора rt (t;L) при различных

соотношениях параметров.

На рис. 2 приведены траектории отдельных частиц. На рис. 3-5 представлены результаты моделирования при значениях параметров

D = 1.2 104 см2/с3, ß = 1.2 с-1, L = 100 см,

u max = 100 см/с; начальные условия: u0x = 10

см/м, u0y = 1 см/с; общее число реализаций в

численном эксперименте N = 104. Эти параметры соответствуют задаче диффузии частиц сажи в приземном слое атмосферы [3].

На рис. 3 и 4 наблюдается отчетливый статистический максимум времени достижения детектора частицами примеси и компоненты нормальной к детектору скорости vx .

На рис. 6, У приведены результаты для случая, когда изменились направление и сила сноса: umax = -500 см/с. Профиль гистограммы rv (vy ; L, T) зеркально отражается относительно

нуля по оси v , смещается максимум, и более

выраженной становится асимметрия в сторону больших относительно максимума скоростей.

Дальнейшим продвижением в анализе статистики примесных частиц были попытка решения задачи (6)—( 10) вспомогательным численно-аналитическим методом и

соотнесение полученных численно эйлеровых статистических свойств с решениями нового подхода.

Численно-аналитическое решение уравнений Фоккера-Планка

x=-L

350

сососососососососэсосососососэ оосооэоосоч-соч-<о

СЭкПСИкПСЭкПСЭкПСИкПСЭкПСЭиПСИ Ю О кП CD ц~) д ^ •

ООч— ■^CNCNCr5Cr5^r’TkOkOC¿cdr— NCDODOJOIt-t-t-t-

т

Рис. 3. Гистограмма Г,(Г, L) времени достижения частицами детектора

Vx[cm/c]

Рис. 4. Гистограмма rv (vx; L, T) скорости vx частиц на детекторе

Аналитическое решение граничной задачи (6)—(10) неизвестно, поэтому применим

следующий вспомогательный метод: исходную задачу заменим задачей Коши - откажемся от условия однократности пересечения частицами детектора, в результате чего граница x = L станет прозрачной для частиц, а отражатель на границе x = —L заменим мнимым источником, расположенным по другую сторону от этой границы, симметрично реальному источнику.

Сформулируем задачу для мнимого

источника: Gjx (x,vx 'Л Giy (y,vy; t) -

совместные плотности вероятностей

координаты и скорости являются решениями системы (6), (7) (где Wj (j, v j; t) заменяются на

Gij(j,vj;t), j = x,y) с начальными условиями:

Gix(x,vx;t = 0) = 5(x + 2L)5(vx +vox), (12) Giy (y, v y ;t = 0) = 8(y)5(v y —voy). (13)

Сформулируем задачу для реального

источника: G2 x(x, v x; ^ G2 y(y, v y;t) -

совместные плотности вероятностей координаты и скорости являются решением системы (6), (7) (где (у, V; ?) заменяются на

02 у (у, V у; ?), ] = X, у) с начальными

условиями (8), (9).

Решение системы (6), (7) с начальными условиями (12), (13) и (8), (9) - совместное гауссово распределение координаты и скорости частицы ~(?), ~х (?) и ~(?), ~у (?) в

текущий момент времени. Характеристики этого распределения для мнимого источника имеют вид

X) = -:и -^ (1 - е'Р),

&) = у 2,+П0^

(1 - е"Р‘),

V х =-У 0хе

Пу2 ) = У2 + (П0у У2)е Ь ,

Ы = -Л'-

(1 - е ^),

~ 2 _ „ 2 2 _ ^ 2 _______________ 2

°2х = °2у = °1х = °1у = °х ,

(~й) = + (П 0у - ,

о1я2 =01у2 = ^т(2& + 4е^ -е“2Р‘ -3), (14)

1у

Р

~ 2 _ „ 2 _ В п ,,-2Р^ ч

°1пх =°1п у = о (1 е ),

х у Р Р = Рх! = Р у =

'____________(1 - е~Р‘ )3____________'

(2Р? + 4е“Р‘ - е-2Р' - 3)(1 + е~Р)

Характеристики этого распределения для

_ 2 _ 2 _ 2 _ 2 ____ 2 /■* гч

°2п х = °2п у = °1п х = °1п у =°п х , (15)

РХ2 = Р У2 = Р'

Угловыми скобками обозначены средние значения, оіх, огу, огПх, ОіЛ,у (і = 1, 2) - дисперсии

координат и скоростей, Р - коэффициент взаимной корреляции координаты и скорости.

Функция совместной плотности

вероятностей координаты и скорости

ооооооооооооооооооооооооо осм-чг(оооос'4'э-соаоосч-э,1ос'0ч-а>г--и'>сг)ч-о>г-1лсгэ Оа)аЭГ^<ОЮЮ^СОС\1СЧч- • ^-tNNnnlfl(DЮ^(DO)

Уу[см/с]

Рис. 5. Гистограмма Гпу (Vу; Ь, Т) скорости vy частиц на детекторе (и'тах = 100 см/с)

Рис. 6. Траектории отдельных частиц

(и'тах = -500 см/с)

реального источника имеют вид Пп

(~2 ) = -.^ (1 - ^ ), (~х^ = VхЄ_Р' ,

Р

1 1 1

°у(}>п , ;г) = о—]=7—ехР у у 2^1 _ р2 о,о,

1

2(1 _Р2)

(і' _ (л))2 2р(і' _ (л))пі _ (у,,)) + (пі _ ())2

(16)

3г = I |и°(Х)6,х^Л,

X

2

2

ОхОП

О

О

V

X

г = 1, 2; і = х, у.

Тогда интегралы 3І532 с учетом найденного решения 0,х (х, V х; і) равны

31 = иш;

21 + У°х|

(1 _е-р-)

2

(17)

Б

(2Рі + 4е_Рі _ е~2Ь‘ _ з)

3 2 =<

2

Б

Р3

(2Р? + 4е~Р‘ _ е~2Р‘ _з)

(18)

Общее решение поставленной задачи

0(х, у, пх, пу; і) представим в виде

суперпозиции решений задачи для мнимого источника (6), (7), (12), (13) и задачи для реального источника (6)-(9), а в качестве весовых коэффициентов при них будут выступать вероятность р достижения

частицами реального источника границы

х = _Ь и вероятность 1 _ р недостижения данной границы. Тогда с учетом (16)—(18) оно имеет вид:

+

Ь

+

з

Р

+

Ь

ооооооооооооооооооооооооо

СЭСЧ*'ГСООООСЧ^-<'.ОСООС'Ч*Г1ЛСг)т— ШГ^-іОСОт— ОЇГ^-ІЛСО ОСПООГ^СОШкП^-ПОІГЧт- ■ т-(N(Nn^r^n(D(D^C001

\/у[см/с]

Рис. 7. Гистограмма Гпу = (Vу; Ь, Т) скорости V,, частиц на детекторе (и'тах = -5°° см/с)

Рис. 8. Вероятности однократного (синяя кривая) и двукратного (красная кривая) пересечения частицами детектора

0.35

0 0.5 1 1.5 2 г5 3 3.5

\Гх

Рис. 9. Соотнесение функции Оу = (Vх; Ь, Т), показанной синей кривой, и гистограммы распределения скорости Гп = (Vх;Ь,Т) (красная кривая)

в(х, у, V х, V у; г) = рв1х (х, V х; №1у (у, V у; г) +

+ (1 - р^2х(х,V х; г)02 у(у,V у; 0,

где р находится численным моделированием уравнений (2).

Введем функцию:

х (V х; Ь,Т) =

Т +¥ +¥ (20)

= |Ж | Жу |Жуу|Vх|С(Ь,у,Vх,Vу;г).

Между исходной системой (6)—(10) краевой задачи и задачей Коши имеется связь, которая определяется так называемой гипотезой однократного пересечения детектора [2]. Она формулируется следующим образом: если в

течение заданного времени работы детектора Т

частица один и только один раз пересекает

поверхность детектора (причем так, что і • .

(V,п) < °, где п - внутренняя нормаль к детектору, направленная против оси Ох), тогда эйлерова плотность вероятностей проекции скорости частицы на детекторе (11) равна

^ х (V х; Ь, Т) = Оп х (V х; Ь, Т).

Численное моделирование уравнений (2) при выбранных соотношениях (при численном моделировании уравнений Ланжевена)

параметров показало, что вероятность однократного пересечения Р(1, Т) на порядок превышает вероятность двукратного пересечения

P(2,T), а вероятности многократных пересечений практически равны нулю, т.е. выполняются следующие неравенства:

P(1,T) >> P(2,T); P(2,T) >> P(N,T), (21)

где N - число пересечений детектора. А это и есть приближенное условие выполнения обозначенной выше гипотезы.

Чтобы проверить выполнение условия однократности пересечения для решения задачи Коши (19), были приближенно получены значения вероятностей однократного и

двукратного пересечения:

T +¥ +¥ +¥

Р(1,Т) = |Ж | | ^Ж| Жув(Ь, у, Vx, Vy;/),

00 -¥ -¥ (22)

Т 0 +¥ + ¥

Р(2,Т) = | Ж | | ЖшЖу IVх | ЖуС(Ь, у, Vх, Vу;/).

0 --¥ -¥ --------¥

Приближенное условие нормировки:

Р(0,Т) + Р(1,Т) + Р(2,Т)»1.

Данные вероятности (рис. 8) найдены

численно с помощью схемы Симпсона при

детекторе с гистограммой рис. 4. Гистограмма скоростей частиц на детекторе соответствует «точному» решению граничной задачи.

Функция Оух (Vх;Ь,Т), показанная синей

кривой на рис. 9, и гистограмма распределения скорости (красная кривая на том же рисунке) рассчитывались при тех же параметрах, что и вероятности Р(1,Т) и Р(2,Т), но с учетом

фиксированного Т =5 , по оси Ох отложена безразмерная скорость ¥х на детекторе.

Уровень расхождения графиков позволяет оценить степень точности вспомогательного метода, соотнести аналитические выражения решения задачи Коши и гистограммы краевой задачи.

Список литературы

1. Грибова Е.З., Саичев А.И. О детектировании броуновских частиц // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1997. Т. 33. № 5. С. 654-661.

2. Грибова Е.З., Саичев А.И. О связи эйлеровой и лагранжевой статистик броуновской частицы // Журн. технической физики. 2°°°. Т. 7°. Вып. 9. С. 1-6.

THE FEATURES OF BROWNIAN PARTICLE DIFFUSION IN THE BACKGROUND GAS FLOW

WITH A GIVEN VELOCITY PROFILE

N.S. Pavlychev, E.Z. Gribova

The problem of Brownian particle diffusion in the background gas flow with a given velocity profile is considered. The Fokker-Plank equation is derived on the basis of Langevin stochastic equations. The histograms of Euler characteristics (time required to reach and velocity at the detector) of impurity particles are obtained by numerical simulation. The solution for the Fokker-Plank equation is found by a numerical-analytical method taking into account boundary conditions.

Keywords: Brownian diffusion, Langevin equations, Fokker-Plank equation, Euler’s statistics, Lagrange’s statistics.

следующих значениях параметров О = 1.2 104 см2/с3, Р= 1.2 с-1, Ь = 100 см, и^ах = 100 см/с, начальные условия: и0х = 10 см/с, и0 у = 1 см/с; Т = Р? - безразмерное время работы детектора.

Вычисление вероятностей (22) для

различных значений времени работы детектора и принятых значений параметров доказывает выполнение условия

однократности пересечения (21).

Дополнительной проверкой

обоснованности (20), а также средством

оценки точности решения (19) для системы

(6)-(10) является соотнесение функции плотности вероятности скорости V х на

3. Csanady G.T. Turbulent diffusion in the environment. D. Reidel Publ. Comp., 1980.