Исследование эйлеровойстатистики диффузии броуновской частицы в потоке фонового газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 481-489

УДК 530.162

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЙЛЕРОВОЙ СТАТИСТИКИ ДИФФУЗИИ БРОУНОВСКОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОТОКЕ ФОНОВОГО ГАЗА

© 2014 г. Н.С. Павлычев, Е.З. Грибова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 01.06.2014

Численным моделированием стохастических уравнений Ланжевена решается задача отыскания статистических характеристик броуновской частицы в потоке фонового газа в заданной области пространства (эйлерова статистика). В качестве таких характеристик рассматриваются распределения продольной и поперечной скорости частиц на детекторе и времени достижения детектора.

Ключевые слова: броуновская диффузия, уравнения Ланжевена, уравнение Фоккера-Планка, эйлерова статистика, лагранжева статистика.

Введение

В крупных промышленных городах имеют место аэрозольные загрязнения от различных источников. Частицы аэрозоля в зависимости от размеров и плотности, а также от состояния атмосферы могут как оседать вблизи источников их образования, загрязняя городскую среду, так и распространяться на значительные расстояния [1].

В связи с этим возникает задача контроля и диагностики выбросов аэрозоля в атмосферу. Для контроля выбросов используются различные количественные и качественные критерии. Основным параметром, характеризующим состояние выбросов, является концентрация веществ, загрязняющих атмосферу, и для ее определения применяются различные методы [2].

В частности, реальной ситуацией, которую моделирует поставленная задача, является распространение аэрозоля от удаленного источника в потоке фонового газа и его оседание на поверхность водоемов.

Постановка задачи

Рассмотрим постановку задачи движения броуновской частицы в двумерной модели. Пусть имеется точка на плоскости (ху), которую назовем источником. Прямую х = Ь в дальнейшем будем называть детектором (считаем, что он поглощает попавшие на него частицы), ах = - Ь - отражателем, на котором частицы испытывают абсолютно упругое отражение. Пусть частицы примеси покидают источник, который поместим в начало координат, с начальной скоростью у0 и попадают в поток фонового газа с заданным профилем скорости.

Примесь взаимодействует с потоком силой вязкого трения, пропорциональной относительной скорости частицы. Межмолекулярное взаимодействие с частицами среды описывается случайной силой (в расчете на единицу массы)

А(?), при этом А(?) - гауссов процесс с нулевым средним и с корреляционным тензором

(А(?) А (?+О) = (1)

где Б - коэффициент молекулярной диффузии, - символ Кронекера, знак «тильда» означает

здесь и далее случайную величину, а угловые скобки - усреднение по ансамблю реализаций случайной силы.

Тогда модифицированные уравнения Ланжевена имеют вид [3]

dR dt

■ = v,

dv ~ ' ~ — = -ß(V - б0 (х)) + A(t)х(х - L), dt

(2)

V х (t)

= -V х (t),

Я(? = 0) = 0, у(? = 0) = У0,

где Я - случайный вектор перемещения броуновской частицы, Р - коэффициент трения в

г

расчете на единицу массы, и0 (х) - профиль скорости фонового газа,

IX х > 0

х( х) = Г

[0, х < 0

- единичная функция, использование которой позволяет исключить участие частицы в броуновском движении после достижения правой границы системы.

х=- L

Из условия (1) и уравнений (2) следует, что совместная плотность вероятностей координат и проекций скорости частицы

W (х, у, V ^, V у; г) = = (8(х - ~(г))8(у - у (г)) X

х х (г))8^у - Vу (г)))

удовлетворяет уравнению Фоккера—Планка дW дW дW д^ хW)

-+ Vх-+ V у--Р^^—- -

дг дх ду дv х

Рд(^у -и0'(хШ) _Гд2W д^ -Р---= О -- + •

дv у дv

дv,

у у

с начальными условиями

W (х, у, V х, V у; г = 0) =

= 8(х)8( у)8^ х-V о х )8(v у-V о у) и граничными условиями

W (Ь y, V х, V у;г i ^ =0;

дW (х, у, V х, V у; г)

дх

= 0.

дЖу дЖу у - ) ^д2Жу

■ + V у

дг у ду

-Р

дv у

= О-

дv у

3 = Ц«0'( х)Wx

aXdv х

ч1 ^ дW (х, V ; г) W (I,V ;г) = 0; -хЧ ' х ;

хУ ' х' /^х<0 ' дх

= 0.(12)

(3)

(4)

В [4] показано, что при условии однократности пересечения частицей поверхности детектора за время его работы Т эйлеровы плотности вероятностей Fvx ^; Ь, Т), РУу (V у; Ь, Т), р (г; Ь) проекций скорости частиц на детекторе и времени достижения частицами детектора связаны с ла-гранжевой плотностью вероятностей:

^ К; ь,т) =

т +да +да

Л | йу | (V у Vх (х, Vx; г ^ (у, V у; г),

0 -да -да

Р у (V у;Ь,т) =

Т +да +да

йг | йу | ^х^х № (х, Vx; г ^у (у, V у; г),

р (г; Ь) =

0 -да -да

+ да +да +да

| йу | dVxj (IV у V ^х (х, Vx; г ^у (у, V у; г).

(13)

(14)

(15)

Коэффициент %(х - Ь) при случайной силе и

условие упругого отражения в системе (2) заменены граничными условиями, в итоге поставленная задача сводится к краевой для функции (3).

Из (1) следует, что проекции движения во взаимно перпендикулярных направлениях статистически независимы, поэтому совместную плотность вероятностей координат и скорости частицы представим в виде

W (х, у, Vx, V у; г) = Wx (х, Vx; г )Wy (у, V у; г), (5) где совместная плотность вероятностей координаты х и проекции скорости vx частицы

Wx (х, Vx; г) = (8(х - х(г ))8К-~х(0)> (6) и совместная плотность вероятностей координаты у и проекции скорости V частицы

Wy (у, Vу; г) = (8(у - у (г))8^ у - ~у (г))) (7) удовлетворяют уравнениям

дWx дW Qд(v ^) д ^ —- + Vх—--Р х х = О-х, (8)

дг дх дv х дv

-да -да

(9)

с начальными условиями

Wx (х, Vх; г = 0) = 8(х)8^х -V 0х), (10) Wy (у, Vу; г = 0) = 8(у)8^ у -V 0у) (11) и граничными условиями

Для нахождения искомых плотностей вероятностей (13)—(15) необходимо решение задач (8)-(12).

Аналитическое решение таких задач неизвестно. Поэтому перейдем к анализу исходных стохастических уравнений (2) с помощью численного моделирования.

Численное моделирование уравнений Ланжевена

Стохастические уравнения (2) решаются численно с помощью метода Рунге—Кутты четвертого порядка и моделирования случайной силы (1).

Пользуясь соображениями размерности, введем безразмерные скорости, время и координаты

~х = ; ~у у; ^'=^0' (х);

~ Р3/2 ~ ~ Р3/2 ~

В результате численного моделирования стохастических уравнений получаем гистограммы проекций скорости частиц на детекторе Г^х;Ь,Т), Г2(v ;Ь,Т) и времени достижения детектора частицами Г(?; Ь) при различном соотношении параметров задачи.

Гистограммы рассчитываются следующим образом:

х=-Ь

х=-Ь

2

да—да

Таблица 1

г, 2/3 D, см /с Р, с-1 L, см

1.2-104 1.2 100

Г>L,T) = ^(у, <у 11+Ду,)/N, Г2(уу,;L,Т) = N1(v,<уу <уу,+Ду,)/N1, Г(Х,;L) = N(X, < t < + Дт)/N, где N^((4 ) - количество частиц, достигших детектора и имеющих поперечную скорость в интервале V< Vх < V+ Дух; N2(v^) - количество частиц, достигших детектора и имеющих продольную скорость в интервале V у1 <у у < <у, + Ду ; N(X,) - количество частиц, имеющих время достижения детектора в интервале < X < + Дт; Ns - общее количество частиц, достигших детектора; Дт - точность детектирования по безразмерному времени; Дух - точность детектирования по поперечной скорости; Ду - точность детектирования по продольной скорости.

В ходе численного моделирования Ду х/100 = 0.1, см/с, Ду„ /100 = 0.1, см/с, Дт =

X 7 7 у 7 7

= 0.1.

Параметры среды постоянных для всех моделируемых случаев (см. табл. 1) и соответствуют характерным значениям при диффузии частиц сажи в приземном слое атмосферы [5]. Начальная поперечная скорость частиц и0х = 10 см/с , начальная продольная скорость и0у =1 см/с, количество частиц N = 1-104; 2 -104, время работы детектора Т =р-^ = 7.5, где ^ - время работы детектора, измеренное в секундах. Данные значения постоянны для всех моделируемых случаев.

Численное моделирование последовательно используется для исследования:

1. Статистических характеристик броуновской частицы в зависимости от соотношения между сносом и диффузией. В качестве харак-

I

терного параметра используется а = ^ ^ ) ,

г

где ии - максимальная скорость сноса в про-

I

филе и0 (х). Рассматриваются случаи: преобладания диффузии над сносом - а = 0.01, равного действия диффузии и сноса - а = 1, преобладания сноса над диффузией - а = 25 ;

2. Статистических характеристик броуновской частицы в зависимости от формы профиля

скорости фонового газа. Используются профиль

t

' и

течения Пуазейля - и0 (x) = ""^(L2 -x2), где t

ип - скорость сноса при x = 0 ; линейный воз-

t

' и '

растающий профиль и0 (x) = (x + L), где ип

- скорость сноса при x = L ; постоянный профиль с поверхностью тангенциального разрыва скорости вблизи границ системы

■( k,xе [-L + S;L-8] [0, x e[-L + 8;L -8],

где величина слоя 8 определяется из параметров среды;

3. Статистических характеристик броуновской частицы при отсутствии отражателя в системе и различных профилях скорости фонового газа.

В качестве параметров распределений поперечной скорости частиц на детекторе r^v x; L, T), продольной скорости частиц на детекторе T2(v ;L,T) и времени достижения частицами детектора Г(?;L) используются: M - математическое ожидание распределения Г(?; L), T(max)

- статистический максимум времени достижения детектора, Г(Т(max);L) - статистический максимум распределения Г(?; L); Mx - математическое ожидание р аспределения Ц( v x; L,T), v x (max) - статистический максимум поперечной скорости на детекторе, r^vx (max); L, T) - статистический максимум распределения r^vx;L,T); M2 - математическое ожидание распределения r2(v ;L,T), v (max) - статистический максимум продольной скорости на детекторе, r2(v (max);L,T) - статистический максимум

распределения T2(v ;L,T); ст - среднее квадратичное отклонение распределения T2(v ;L,T).

Результаты моделирования

1. Исследование статистических характеристик броуновской частицы в зависимости от соотношения между сносом фоновым газом и диффузией при наличии отражателя и бесконечном детекторе. Рассмотрим результаты для ли-

t

' и

нейного прямого профиля и0 (x) = (x + L).

На рис. 1, 2 при значении а = 1 представлены гистограмма времени достижения частицами детектора и гистограмма распределения поперечной скорости частиц на детекторе.

Рис. 1. Гистограмма Г(Г;Ь) при значении а = 1

|) 1 234 5 6 7 3

-0.01 -I

Ух/ 100 см/с

Рис. 2. Гистограмма Г1(у х; Ь, Т) при значении а = 1

Гистограммы времени достижения детектора Г(г; Ь) и распределения поперечной скорости

частиц на детекторе Г^х;Ь,Т) не зависят от

параметра а, что обусловлено неизменной геометрией системы и статистической независимостью проекций движения во взаимно перпендикулярных направлениях.

На рис. 3 приведены гистограммы распределения продольной скорости частиц на детекторе при различных соотношениях между сносом и диффузией (а = 0.01, а = 1 и а = 25). Распределение продольной скорости частиц на детекторе имеет колоколообразный вид. Увеличение сноса при неизменном коэффициенте диффузии приводит к смещению гистограммы по оси продольной скорости вправо, увеличению математического ожидания М2. Данные изменения в распределении Г2^ ; Ь,Т) объясняются усилившимся действием сноса фоновым газом. Изменяется также внутренняя структура распределения — дисперсия увеличивается.

Параметры гистограммы Г2^у;Ь,Т) приведены в таблице 2.

2. Исследование статистических характеристик броуновской частицы в зависимости от профиля скорости фонового газа при наличии отражателя и бесконечном детекторе. Рассмотрим случай постоянного профиля скорости с поверхностью тангенциального разрыва вблизи границ системы для а = 1.

Гистограмма времени достижения детектора Г(г; Ь ) и гистограмма распределения поперечной

скорости частиц на детекторе Г^ х; Ь,Т) имеют одинаковые значения параметров и форму для всех видов профилей скорости фонового газа. Данные значения совпадают с результатами исследования распределения времени достижения детектора Г(?; Ь) и распределения поперечной скорости частиц на детекторе Г^ х; Ь, Т) в зависимости от соотношения между сносом и диффузией при наличии отражателя и бесконечном детекторе.

Данный результат обусловлен неизменной геометрией системы и статистической независимостью проекций движения во взаимно перпендикулярных направлениях.

Рис. 3. Гистограмма Г2(у ;Ь,Т) при а = 0.01 (зеленый цвет), при а = 1 (синий цвет),

при а = 25 (красный цвет)

Таблица 2

а М 2/100, см/с V (тах)/100, см/с Г2 (V у (тах); Ь, Т) ст /100, см/с

0.01 0.02 0.1 0.03 1.4

1 0.52 0.2 0.03 1.4

25 2.75 2.7 0.03 1.54

На рис. 4 представлены гистограммы распределения продольной скорости частиц на детекторе при различных формах профиля скорости фонового газа.

Гистограмма Г2(у у; Ь, Т) характеризуется системой параметров, указанной в таблице 3.

Гистограмма Г2(уу;Ь,Т) смещается по оси скорости вправо, увеличивается математическое ожидание М2 в зависимости от формы профиля скорости фонового газа. Данные изменения в распределении Г2(уу;Ь,Т) объясняются действием сноса при движении в потоке фонового газа, который зависит от формы профиля скорости.

3. Исследование статистических характеристик броуновской частицы при отсутствии отражателя и бесконечном детекторе. Для объяснения результатов предыдущих исследований была проведена серия численных экспериментов для системы без отражателя.

Рассмотрим результаты для профиля течения Пуазейля при соотношении сноса и диффузии а = 1.

На рис. 5 представлены гистограммы времени достижения детектора Г(?; Ь) для систем с отражателем и без него.

Параметры гистограмм Г(?; Ь) приведены в таблице 4.

Гистограмма времени достижения частицами детектора Г(?; Ь) существенно изменилась -

уменьшилось математическое ожидание, изменилась внутренняя структура - уменьшилась доля частиц с поздним временем прихода на детектор, статистический максимум распределения Г(?; Ь) стал больше.

Физически данным изменениям гистограммы распределения времени достижения частицами детектора Г(?; Ь) соответствует отсутствие отраженных частиц в ансамбле на детекторе. Отраженные частицы имеют большие времена прихода на детектор, поэтому их отсутствие приводит к уменьшению математического ожидания и к изменению внутренней структуры гистограммы Г(?; Ь).

Гистограмма распределения поперечной скорости частиц на детекторе Г1(у х; Ь,Т) имеет одинаковые значения параметров и форму по сравнению с системой, где присутствовал отражатель. Данный результат обусловлен статистической независимостью проекций движения во взаимно перпендикулярных направлениях.

На рис. 6 представлена гистограмма распределения продольной скорости частиц на детекторе.

Параметры гистограммы Г2(у ; Ь,Т) приведены в таблице 5.

Полученная гистограмма распределения продольной скорости частиц на детекторе для системы без отражателя имеет нормальный вид. Таким образом, сложная форма гистограмм распределения продольной скорости Г2(у ; Ь, Т) для опи-

санных случаев диффузии с отражателем обу- поперечной скорости частиц на детекторе

0.035'

0.03 ■

0.025/

Ж

Мот'

[¡р 0.005-

| ■ - /л""" 1 0 1

-0.005 и Уу!Ш см/с

Рис. 4. Гистограмма Г2 (V ;Ь,Т) при линейном профиле скорости сноса (зеленый цвет), при профиле течения Пуазейля (синий цвет), при профиле скорости с поверхностью тангенциального разрыва (красный цвет)

Таблица 3

Профиль скорости М2 /100, см/с V (тах)/100, см/с Г2 (V у (тах); Ь, Т) ст /100, см/с

Линейный 0.52 0.2 0.03 1.4

Течение Пуазейля 0.53 0.4 0.03 1.4

Течение с поверхностью тангенциального разрыва 0.82 0.6 0.03 1.4

-0.05 -0.005

Рис. 5. Гистограмма Г(г;Ь) для системы без отражателя (синий цвет), для системы с отражателем (красный цвет)

Таблица 4

Отражатель в системе М Т (тах) Г(Т (тах); Ь)

Отсутствует 2.64 1 0.045

Присутствует 3 1 0.03

словлена приходом отраженных частиц.

Также были проведены аналогичные численные эксперименты для линейного профиля скорости фонового газа и профиля скорости фонового газа с поверхностью тангенциального разрыва. Гистограмма времени достижения детектора Г(г; Ь) и гистограмма распределения

Г^х;Ь,Т) имеют одинаковые значения параметров и форму для всех видов профилей скорости фонового газа. Гистограммы распределения продольной скорости частиц на детекторе Г2^у;Ь,Т) для всех профилей скорости сноса

фонового газа в системе без отражателя имеют нормальный вид с одинаковыми дисперсиями.

Данный вывод подтверждается теоретически В качестве параметров для вычисления рас-сложением двух нормальных распределений с пределения 0(\ ) были использованы значе-одинаковыми дисперсиями, смещенных относи- ния, полученные"^ в ходе численного моделиро-

0.035

0.03 ■

0.02^ ! 0й2

Ч-гч ген; /001 Г 0.005

-10 -8 -б 1 0 -4 -2 1 -0.005 1 1 2 4 б 8 10

^ /100 см/с

Рис. 6. Гистограмма Г2 (V ;Ь,Т) (синий цвет) и аппроксимирующее нормальное распределение (красный цвет)

Таблица 5

М 2/100, см/с V (тах)/100, см/с Г2 (V у (тах); Ь, Т) ст /100, см/с

0.46 0.4 0.03 1.4

О 2

Уу1Ш см/с

Рис. 7. Распределение О^ у)

Таблица 6

М2 /100, см/с ст /100, см/с Р

0.46 1.4 0.4

тельно друг друга

О (Vу) = рв^у) + (1 -р)О2(уу),

где у) - распределение продольной скорости частиц на детекторе для отраженных частиц, О2^ у)- распределение продольной скорости на детекторе для «прямых» частиц, р -вероятность достижения отраженными частицами поверхности детектора.

вания для системы без отражателя, а также рассчитана вероятность достижения отраженными частицами поверхности детектора. Параметры распределения О^ у) приведены в таблице 6.

Распределение О(уу) имеет колоколообраз-

ный вид (рис. 7), что соответствует полученному виду гистограммы распределения продольной скорости частиц на детекторе Г2^у;Ь,Т).

Зависимость Mу) — математического газа при наличии отражателя и бесконечного

детектора. Растет значение математического ожидания распределения „) как функции «11

у ожидания для линейного профиля, профиля те-

смещения Дvу распределения G1(vу) — пред- чения Пуазейля, профиля скорости с поверхно-

ставляет собой линейную возрастающую функ- стью тангенциального разрыва при а =1 по

сравнению со значениями для системы без от-

[Vy2-Vy 1^100 (

Рис. 8. Зависимость ct(Av ) как функции смещения Av распределения Gj(v ) (на этом рисунке (Vy2 - Vy1)/100 = Avy/100, Sigma/100 - среднее квадратичное отклонение распределения G(v ))

Рис. 9. Гистограмма ri(v x; L, T) и аппроксимирующее распределение U (v x)

цию, зависимость ст(Дvу) — среднего квадратичного отклонения распределения О^ ) как функции смещения Ду распределения G1(v ) —

представлена на рис. 8.

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия распределения О^у) увеличиваются по мере роста смещения Дvу распределения О1(vу).

Данные зависимости наблюдаются при исследовании статистических характеристик броуновской частицы в зависимости от соотношения между сносом фонового газа и диффузией и в зависимости от профиля скорости фонового

ражателя. Физически это соответствует появлению отраженных частиц в ансамбле, которые влияют на увеличение математического ожидания Г2^у; Ь,Т). При увеличении параметра а

растет дисперсия распределения Г2^ ;Ь,Т).

Физически это соответствует увеличению продольной скорости отраженных частиц относительно продольной скорости «прямых» частиц за счет роста сноса фоновым газом. Действительно, чем больше снос в левой части системы - Ь < X < 0 , который испытывают отраженные частицы, тем больше происходит смещение распределения отраженных частиц по поперечной скорости V относительно распределения

«прямых» частиц. В итоге растет дисперсия гистограммы распределения продольной скорости частиц на детекторе Г2 (Vу; Ь, T).

Гистограмма распределения поперечной скорости частиц на детекторе Г^х;Ь,Т) имеет одинаковые значения параметров и форму для всех исследованных случаев. Данный результат обусловлен статистической независимостью проекций движения во взаимно перпендикулярных направлениях. Полученные гистограммы Г^х;Ь,Т) аппроксимируются зависимостью

и (V,) = v

1 ,expJ (V- -Mi'^

б2ст^2я" 1 [ 2ст2 где М1 = 1.87 - значение математического ожидания распределения Г^х;Ь,Т), ст = 1.4 - среднее квадратичное отклонение распределения Г2(v у; Ь,Т) для системы без отражателя, Ц, ф2 -аппроксимирующие постоянные (рис. 9).

Заключение

References

1. Himicheskaya ehnciklopediya / Pod red. I.L. Knunyanca. M.: Sovetskaya ehnciklopediya, 1988.

С помощью численного моделирования уравнений Ланжевена исследовано влияние соотношения между сносом фоновым газом и диффузией, профиля скорости фонового газа, наличия отражателя в системе на статистические характеристики броуновской частицы в заданной области пространства. Численные эксперименты для системы без отражателя позволили объяснить полученные результаты.

Работа выполнена при поддержке гранта «Ведущие научные школы» НШ-329.2014.2.

Список литературы

1. Химическая энциклопедия / Под ред. И. Л. Кнунянца. М.: Советская энциклопедия, 1988.

2. Бретшнайдер Б., Курфюрст И. Охрана воздушного бассейна от загрязнений: технология и контроль / Пер. с англ. Под ред. А.Ф. Туболкина. Л.: Химия, 1989. С. 288.

3. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. М.: Иностранная литература, 1947.

4. Грибова Е.З., Саичев А.И. О связи эйлеровой и лагранжевой статистик броуновской частицы // Журн. технической физики. 2000. Т. 70. Вып. 9. С. 1-6.

5. Csanady G.T. Turbulent diffusion in the environment. D. Reidel Publ. Comp., 1980. angl. Pod red. A.F. Tubolkina. L.: Himiya, 1989. S. 288.

3. Chandrasekar S. Stohasticheskie problemy v fizike i astronomii. M.: Inostrannaya literatura, 1947.

4. Gribova E.Z., Saichev A.I. O svyazi ehjlerovoj i

STUDYING THE EULERIAN STATISTICS OF BROWNIAN PARTICLE DIFFUSION IN A STREAM OF BACKGROUND GAS

N.S. Pavlychev, E.Z. Gribova

The statistical characteristics of a Brownian particle in the stream of background gas in a predetermined region of space (Eulerian statistics) are obtained by numerical modeling of the Langevin stochastic equations. Such characteristics include the longitudinal and transverse distribution of the particle velocity at the detector and the time to reach the detector.

Keywords: Brownian diffusion, Langevin equations, Fokker-Planсk equation, Eulerian statistics, Lagrangian statistics.

2. Bretshnajder B., Kurfyurst I. Ohrana vozdushnogo lagranzhevoj statistik brounovskoj chasticy // Zhurn. bassejna ot zagryaznenij: tekhnologiya i kontrol' / Per. s tekhnicheskoj fiziki. 2000. T. 70. Vyp. 9. S. 1-6.

5. Csanady G.T. Turbulent diffusion in the environment. D. Reidel Publ. Comp., 1980.