Динамика пристеночной плазмы вблизи плоского зонда в переходном режиме Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.9:51-7

ДИНАМИКА ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЫ ВБЛИЗИ ПЛОСКОГО ЗОНДА В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ

© 2008 И.А. Кудрявцева, А.В. Пантелеев1

Рассмотрена математическая модель, описывающая поведение двухкомпонентной плазмы вблизи плоского заряженного зонда с учетом столкновений между заряженными частицами. В случае, когда отношение длины свободного пробега частиц к радиусу кривизны зонда становятся порядка 1, говорят о переходном режиме работы зонда.

При описании данного режима в силу того, что столкновения между заряженными частицами начинают играть существенную роль, в модели использовались уравнение Фоккера—Планка, а также уравнение Пуассона для моделирования динамики внешнего электрического поля. Для решения поставленной задачи разработаны метод, базирующийся на методе Монте—Карло, а также алгоритм и программное обеспечение. Получены и проанализированы результаты численного моделирования.

Ключевые слова: плазма, зонд, метод Монте—Карло, алгоритм, уравнение Фоккера—Планка.

Введение

Одними из методов диагностики плазмы являются зондовые методы. В качестве зонда можно рассматривать часть любой обтекаемой плазмой поверхности или целиком обтекаемое плазмой тело. В связи с этим разработанные методы и полученные на их основе решения зондовых задач можно использовать для расчета ряда приборов и устройств, использующих плазму как рабочее тело или предназначенных для работы в ионизованной окружающей среде. В работах [1, 2] подробно исследовалось поведение плазмы в пристеночной области зонда в двух случаях. Первый случай

1 Пантелеев Андрей Владимирович (avpanteleev@inbox.ru), Кудрявцева Ирина Анатольевна (irina.home.mail@mail.ru), кафедра математической кибернетики Московского авиационного института, 125993, Россия, г. Москва, A-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4.

имеет место, когда отношение длины свободного пробега частицы к радиусу кривизны зонда (число Кнудсена) стремится к бесконечности (молекулярный режим), второй случай — когда число Кнудсена стремится к нулю (режим сплошной среды). Данные режимы осуществляются, например, при выведении ракетой-носителем спутника на орбиту или при возвращении спускаемого аппарата на Землю, поскольку на орбите вблизи спутника реализуется молекулярный режим, а на высотах 30-50 км вблизи ракеты-носителя или спускаемого аппарата — режим сплошной среды. Между молекулярным режимом и режимом сплошной среды неизбежно существование переходного режима. В этом режиме пробег заряженных частиц сравним с характерными геометрическими размерами зонда, число Кнудсена становится равным 1. В данной работе предложен метод расчета нестационарной зондовой задачи в переходном режиме.

1. Постановка задачи

Рассматривается следующая физическая постановка зондовой задачи согласно [2]. В невозмущенную бесконечно протяженную плазму, состоящую из электронов и однозарядных ионов, внесена большая заряженная до потенциала фр плоскость. Плоскость, расположенная поперек потока плазмы, является идеально поглощающей для электронов, ионы при ударе о плоскость нейтрализуются. Предполагается, что частицы в плазме движутся под действием внешнего электрического поля, магнитное поле отсутствует. Концентрации ионов и электронов пеж, причем Щж = пеж = пж, а также температуры данных частиц Тж, Теж в невозмущенной плазме заданы. За начальные функции распределения обоих типов частиц принимаются максвелловские функции распределния.

Требуется с учетом столкновений между заряженными частицами найти напряженность самосогласованного электрического поля Е (г, г), функции распределения электронов /е (г, V, г) и однозарядных ионов / (г, V, г), а также их моменты (плотности токов ионов и электронов

(г, г) = q ■ ^ /-(г, V, ]е (г, г) = е ■ ^ /(г, V, г^ ^,

где q — заряд иона, е — заряд электрона; концентрации ионов и электронов

п1 (г, г) = ^ /г(г, ^, г) dv, пе (г, г) = I /е(г, V, г) dv). Поведение частиц во времени г характеризуется радиус-вектором г и вектором скорости V.

Математическая модель, соответствующая данной физической постанов-

ке задачи, имеет вид [2, 3]:

д/а (г, V, о д/а (г, V, г) Еа (г, О д/а (г, V, О

----------------1-V -----------------1-------------- ---------------

дг дг та дv

''д/а (г, V, О

дг

+ S а (г, V, І) , (1.1)

е

Дф (г, о =---(щ (г, о - пе (г, г)), Е (г, о = -Уф (г, о,

е0

где первое уравнение системы (1)—уравнение Фоккера—Планка для частиц сорта а (а = 1, е), второе — уравнение Пуассона для самосогласованного электрического поля; /а (г, V, г) —функция распределения частиц сорта а;

— оператор столкновений Фоккера—Планка; функция 5а(г, V, 0

с

описывает источники или стоки частиц; Еа (г, г) = qа Е (г, г), где Е (г, г) — напряженность самосогласованного электрического поля,

( -е, а = е,

qа = Л

^ е, а = г;

ф (г, г) — потенциал самосогласованного электрического поля; па (г, г), а = = г, е — концентрация частиц сорта а; та — масса частицы сорта а; ео — электрическая постоянная.

Оператор столкновений Фоккера—Планка имеет вид [3]:

(^) = 5: ^^ ^ ~ Уу/г“^

где УуУу^а (г, V, г) — ковариантная тензорная производная второго ранга, символ двоеточия (:) обозначает операцию двойного суммирования,

2АавА 12лєо&Гает / ЕокТет\1/2

Г«= ^ 21п Ва, Ва = ~ --- —11^1^1 , га = 1, а = І,Є,

4 лє2та Z2e2 \ пете2

ga (г, V, о = ^ (|ч Г /ъ (г, V', і) \у — у'\ йу', а = і, е,

Ь=і,е ' а '

у , . Vі та + тъ (^\ Г

На (Г, V, 0 = >--------------ЬН

6?е тЪ

та + тъ I Zъ\ /ъ (г, V', г)

ау , а = і,е.

и . -и \^аЫ IV - V'!

0=1,е ' '

К системе уравнений (1) необходимо добавить начальные и краевые условия

г = 0 : /а (г, V, 0) = /™аЬу, а = 1, е,

г е Пр : /а (г, V, г)|гепр = 0, а = 1, е,

ф(г, г)1геПр = Фр, (1.2)

г е Пж : /а (г, V, г)|гепж = /™ак8у, а = г, е,

ф(г, г)1геПж = 0,

С

где /ГЬУ = Паж

т

\2knJ'а

а = 1, е; Пр, Пж — множе-

ство радиус-векторов частиц, концы которых принадлежат плоскости зонда и границе возмущенной зоны соответственно.

В прямоугольной декартовой системе координат поведение частицы будет характеризоваться изменением по времени г координат радиус-вектора г = (х, у, £) и вектора скорости V = (ух, Уу, у^. Пусть, кроме того, расположение заряженной плоскости совпадает с плоскостью Охг. В силу того, что, согласно постановке задачи, плоскость является большой в сравнении с характерным размером задачи, функции распределения частиц будут зависеть только от переменных у, Уу, г. Тогда модель (1)—(2) будет выглядеть следующим образом:

д/а д/а

+ V, —----------1-

дг

ду

р_1д_и =

та дуу 1 д2

2

д ы

/

д28а

Ф'Т

дУу

/

дК

дух

(1.3)

= г, е,

д2(р

ду2

= — (щ - пе), е0

дф

Еу ~

(1.4)

г = 0: /а (у, Уу, 0) = /ГЬу, а = 1, е,

у = 0: /а (0, Уу, г} = 0, а = г, е,

ф (0, г) = фр, у = уж : /а(yж, ^ г) = Л

ф (уж, г) = 0.

(1.5)

■такБУ а ’

а = г, е,

д

2. Решение задачи методом статистических испытаний Монте—Карло

Для решения задачи необходимо применить безразмерные масштабы. В результате получится следующая система дифференциальных уравнений:

д/а д/а £ д/а

+ Аа— + ВаЕ„

д( а ду '^уду

у

1 д2 ( ) д

-у2 ^ (Яа/а) , а - 1,е,

у

д [Уу] ^у

д2ф дф

---г- — — (П; — > Еу —--------,

ду у ду

г = 0 : /а (у, Уу, 0) = 1/0пак8¥, а = г, е,

у = 0 : /а (0, Ъу, ° = 0, а = і, е, ф (0,° = ф ,

(2.1)

У = Уж : /а (уж, Ъу, Г) = /Гк-, а = і, е,

ф(Уж, О = 0,

Та

/-» 7 7 ''и лт-г 7 Г"»-'-

2^а М'а Т іж ті

а = і,е, а коэффициенты Оа, 5а представлены в [4].

Для решения задачи (6) применим метод Монте—Карло [5]. Для этого перепишем уравнение Фоккера—Планка в форме:

где коэффициенты Аа = л[Куу, В а = ба = —, £а = =

д/а 1 д2

д М2 л (2.2)

ді "2 л. 12 (°а&)'

1 а + Ва.Еу

Уу

Тогда, стохастическое дифференциальное уравнение Ито, соответствующее уравнению Фоккера—Планка (7), будет иметь вид:

d®а (Г) = аа (?, 0а (Г)) + Оа (Г, ©а (Г)) dW (г), а = г, е; ©а (г~ = 0) = ©а, (2.3)

где

©а (Г) =

У (Г) ^ (°

, Оа (Г, ©а (Г)) оа (Г, ©а (Г)) = ( Ц (0 ) , «а (Г, ©а (Г)) =

^а + Ва Еу

а = і, е, ©а —значение вектора состояния ©а (Г), а = і, е в момент времени Г = 0, ©а имеет Максвелловское распределение /так8¥ ^©а ~ /так8¥); ^ (Г) — стандартный Винеровский случайный процесс.

В результате вместо системы уравнений (6) рассматривается следующая система:

й©а. (Г) = «а (Г, ©а (°) + Оа (Г, ©а (°) dW (° , а = і, е,

Ч2х

д2ф дф

----Т = — (72; — 7?^) , =------>

Г = 0: ©а(Г) = ©а, ©а - /ГЬу, а = I, е,

у = 0: ©а (Г) = 0, а = г, е, (2.4)

ф (° Г) = фp, у = уж : ©а(Г) - /^, а = г, е,

ф (уж, 0 = 0.

Для решения стохастического дифференциального уравнения Ито (8) необходимо использовать стохастический метод Эйлера [6], согласно которому значения вектора состояния ©а (Г) ищутся в дискретные моменты времени Гп = п • Нх, п = 0,..., N, где Нх —достаточно малый шаг интегрирования.

^•а

Явная разностная схема данного метода применительно к уравнению (8) имеет вид

©а+1 = ©а + Л • аа (Гп, ©а) + Оа (Гп, ©а) ДЖп, п = 0,..., N а = г, е, (2.5)

где ©а, п = 0,..., N — приближенное значение вектора состояния ©а (Г), а = = г, е в момент времени Г = Гп; ДЖп = Ж(Гп+1) - W (Гп), п = 0,..., N — величина приращения винеровского процесса Ж (Г) на отрезке [Гп, Гп+^, по определению независимая от ©а, ДЖю,..., ДЖп-1: ДЖп - N (0, Лт), т.е. приращения винеровского процесса ДЖп представляют собой гауссовские случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями, равными шагу интегрирования.

Для нахождения входящих в уравнения Ито коэффициентов необходимо применить метод Монте—Карло вычисления интегралов, входящих в выражения для S а, Оа. Оценка значений интегралов строится по полученным из серии экспериментов значениям скоростной компоненты вектора состояния ©а (Г), а = г, е. Аналогично, методом Монте—Карло вычисляются концентрации и плотности токов частиц в каждый момент времени в фиксированной точке пространства. Значения напряженности электрического поля Еу находятся методом численного дифференцирования по значениям потенциала ф, полученным ранее из решения уравнения Пуассона методом сеток [4].

3. Результаты численного моделирования

Программное обеспечение, разработанное в среде Ма^аЬ 7.0 согласно алгоритму на основе метода Монте—Карло, по значениям концентраций и температур частиц в невозмущенной плазме, а также по потенциалу, подаваемому на зонд, выдает динамику изменений во времени и пространстве напряженности внешнего электрического поля, концентраций частиц и плотности токов частиц на зонд.

Ниже приведены результаты моделирования для двух случаев. В первом случае столкновениями между заряженными частицами можно пренебречь, в результате система уравнений Фоккера—Планка и Пуассона превращается в систему уравнений Власова и Пуассона. Данный случай относится к молекулярному режиму работы зонда, детально разработанному в работе [2]. Этот факт позволил сравнить и выявить, что результаты работы программы совпадают с результатами, представленными в [2]. Второй случай характеризует переходный режим работы зонда. В этих условиях решается система уравнений, состоящая из уравнения Фоккера—Планка с ненулевой правой частью, отвечающей за столкновения, и уравнения Пуассона.

Для первого случая значения концентраций частиц в невозмущенной плазме были выбраны следующие п.ж = пеж = 1012 : 1016 м-3, для второго случая — п.ж = пеж = 1020 : 1022 м-3. Температуры частиц и потенциал зонда в обоих случаях равны Т.ж = Теж = 3000°К, фр = 2.6 В.

Проанализировав полученные при отсутствии столкновений между заряженными частицами зависимости от времени напряженности самосогласованного электрического поля и плотности тока ионов, можно отметить, что данные кривые, представленные на рис. 1-2 сначала резко убывают, затем начинают возрастать, выходя в некоторый момент времени г' (момент установления) на стационарные значения. Одинаковое поведение напряженности и плотности тока можно объяснить из следующих соображений: плотность тока ионов в данной области пространства равна произведению концентрации ионов на их направленную скорость и на заряд иона. Скорость ионов, в свою очередь, зависит от заряда массы и напряженности электрического поля. Такой же эффект наблюдается и в случае учета столкновений, что видно на рис. 3-4.

Рис. 1. Эволюция напряженности самосогласованного электрического поля во времени без учета столкновений

Рис. 2. Эволюция плотности тока ионов во времени без учета столкновений

Рис. 3. Эволюция напряженности самосогласованного электрического поля во времени с учетом столкновений

Рис. 4. Эволюция плотности тока ионов во времени с учетом столкновений

Учет столкновений влияет на величину тока ионов на зонд и на время установления. При наличии столкновений плотность тока меньше, а про-

цесс установления идет быстрее, чем при отсутствии столкновений. Кроме того, учет столкновений ведет к более быстрому изменению во времени концентрации ионов в сравнении с бесстолкновительным случаем. Следствием этого является сокращение времени установления г', что наглядно видно на рис. 5-6.

расстояние от зонда (в радиусах Дебая) расстояние от зонда (в радиусах Дебая)

Рис. 5. Динамика изменения концентра- Рис. 6. Динамика изменений концентрации частиц в пространстве без учета ции частиц во времени с учетом столк-столкновений: а) концентрация ионов; новений: а) концентрация ионов; б) кон-б) концентрация электронов центрация электронов

В данной работе предложена математическая модель, описывающая кинетику пристеночной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами. Данная модель содержит уравнение Фоккера—Планка и уравнение Пуассона. Из анализа полученных результатов вытекает, что учет столкновений по сравнению с бесстолкновительным случаем ведет к уменьшению тока ионов на зонд при условии подачи на него отрицательного потенциала. Кроме того, столкновения способствуют более быстрому изменению концентрации ионов, что приводит к уменьшению времени установления.

Литература

[1] Чан, П. Электрические зонды в неподвижной и движущейся плазме / П. Чан, Л.Тэлбот, К.Турян. - М.: Мир, 1978. - 202 с.

[2] Алексеев, Б.В. Зондовый метод диагностики плазмы / Б.В. Алексеев, В.А. Котельников. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 240 с.

[3] Олдер, Б. Вычислительные методы в физике плазмы / Б. Олдер. - М.: Мир, 1974. - 111 с.

[4] Пантелеев, А.В. Формирование математической модели двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений заряженных частиц в случае плоского зонда / А.В. Пантелеев, И.А. Кудрявцева // Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения: межвуз. сб. научн. тр. - М.: МИРЭА, 2006. - С. 11-21.

[5] Соболь, И.М. Численные методы Монте—Карло / И.М. Соболь. - М.: Наука, 1973. - 311 с.

[6] Семенов В.В. Методы описания, анализа и синтеза нелинейных систем управления / В.В. Семенов [и др.]. - М.: Изд-во МАИ, 1993. - 312 с.

Поступила в редакцию 06////2008;

в окончательном варианте — 06////2008.

PLASMA DYNAMICS WITH CHARGED PARTICLES COLLISIONS NEAR A FLAT PROBE IN TRANSITIONAL MODE

© 2008 I.A. Kudryavtseva, A.V. Panteleev2

In the paper a mathematical model describing the behavior of two-component plasma near the flat charged probe with charged particles collisions is considered. The transitional mode case when the ratio of free length to probe radius of curvature is close to 1 is discussed. Charged particles collisions are taken into account by the application of the Fokker--Planck equation. Besides the Poisson equation is used for modeling of the external electric field dynamics. Based on the Monte-Carlo Method the problem solution method is produced. The algorithm is constructed and the results of modeling are analyzed.

Keywords and phrases: plasma, probe, the Monte-Carlo method, algorithm,

the Fokker-Planck equation.

Paper received 06////2008.

Paper accepted 06////2008.

2Panteleev Andrey Vladimirovich (avpanteleev@inbox.ru), Kudryavtseva Irina Anatolievna (irina.home.mail@mail.ru), Dept. of Mathematical Cybernetics, Moscow Aviation Institute, Moscow, 125993, Russia.