CC BY
21Решетневскце чтения
Т. К. Юлдашев
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
Ж. А. Артыкова Ошский государственный университет, Кыргызстан, Ош
О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНОГО СУММАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО РОДА
Рассматриваются вопросы однозначной разрешимости для суммарного уравнения третьего рода с нелинейной правой частью. При доказательстве теоремы используется метод последовательных приближений совместно с методом сжимающих отображений.
© Юлдашев Т.К., Артыкова Ж.А., 2012
УДК 004.021
О. В. Ахтямов
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
ЗАДАЧА НАХОЖДЕНИЯ БЫСТРЕЙШЕЙ ТРАЕКТОРИИ И ДИНАМИКИ АВТОМОБИЛЯ В УСЛОВИЯХ ГОНОЧНОГО ТРЕКА С ПОМОЩЬЮ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА
Приводится обзор физических процессов, рассматривается постановка задачи оптимизации, а также предполагаемый метод ее решения с помощью генетического алгоритма. Приводятся примеры существующих систем автоматического управления, решающих данную задачу, и их краткий анализ.
Целью данной работы является написание программы, решающей задачу отыскания быстрейшей траектории и соответствующего скоростного режима для автомобиля в условиях произвольной гоночной трассы (на первом этапе разработки коэффициент трения на всех участках постоянный). Автомобиль не должен сорваться в занос. Управляемый занос на асфальтовом покрытии не обеспечивает минимальное время прохождения дистанции. Причина в том, что во время управляемого заноса центробежной силе противодействует не только сила трения (плюс ко всему составляющая силы трения, направленная перпендикулярно автомобилю, во время прохождения поворота в боковом скольжении уменьшается), но и значительная часть силы тяги двигателя, которая могла бы расходоваться на придание автомобилю тангенциального ускорения.
Модель автомобиля упрощена до материальной точки. В повороте ключевым фактором является сила давления, которую оказывает на трек переднее внешнее колесо, а его уже можно принять за материальную точку. Такое упрощение допустимо, так как отражает самый «плохой» случай: если сила давления колеса на трек, а следовательно, и сила трения оказываются недостаточными для такой скорости и радиуса кривизны поворота, то начнется неконтролируемый снос передней оси. С прочими возможными заносами задней оси борется штатная система TRC (traction control). После решения задачи на упрощенной модели будет произведена детализация физической модели автомобиля: габариты, распределение массы и имитация работы подвески.
Разработки в этом направлении вели многие крупные автопроизводители, но реальных результатов добились лишь Audi и BMW. Система автоматического управления BMW практически лишена интерактивности: она в точности воспроизводит ту траекторию и скоростной режим, которую «показал» ей пилот на конкретном треке. У Audi дела обстоят чуть лучше: программа хорошо просчитывает траекторию отдельного поворота, но при преодолении связок поворотов траектория далека от идеальной.
Основные методы, использованные в работе -изучение, анализ, эксперимент, сопоставление.
В рамках данной работы на первом этапе будет создана программа [1], принимающая следующие данные: коэффициент трения, максимальную и минимальную ширину трека, ширину, длину, массу и динамические характеристики (максимальное ускорение и максимальное замедление) автомобиля.
Программа ищет быстрейшую траекторию. Производится линейная интерполяция одной из границ трека (точки на границе трека берутся на одинаковом расстоянии друг от друга, равном максимальной ширине трека). Далее для каждой такой точки из середин двух соседних отрезков проводятся нормали к этим же отрезкам. Возьмем одну такую точку (далее - исходная точка). Через точку пересечения нормалей и исходную точку проходит прямая, пересекающая обе границы трека. Длина отрезка на этой прямой, ограниченного исходной точкой и другой границей трека, которая не подвергалась интерполяции, есть ширина трека в исходной точке. Таким образом, точка, принадлежащая траектории, будет находиться на этом
Прикладная математика
отрезке. Радиус кривизны трека в исходной точке определяется как расстояние между исходной точкой и точкой пересечения нормалей (аналогично и для самой траектории). Необходимо задать безопасный коридор. Для этого укоротим отрезок с каждого конца на половину ширины автомобиля. Далее делим отрезок на равные части так, чтобы каждую точку, в которой может находиться машина на данном отрезке [2], можно было закодировать целым числом бит (стандартная двоичная кодировка). Таким образом, потенциальное решение задачи представляет собой набор точек (битовую строку), по которым будет проходить траектория движения. Получили условие задачи для генетического алгоритма [3]. Под целевой функцией можно понимать радиус кривизны. В этом случае решаем задачу максимизации, «выпрямляем» траекторию настолько, насколько это возможно, для увеличения максимально допустимой скорости прохождения поворота без потери сцепления колес с покрытием. Другой способ - рассмотреть время как целевую функцию, непосредственно рассчитать время, затраченное на прохождение каждой траектории. Решается задача минимизации по времени [3]. Динамика ускорения и замедления рассчитывается следующим образом: для каждой точки траектории определяется согласно радиусу кривизны максимально допустимая скорость, выбирается точка, в которой эта скорость минимальна. Эта скорость будет гарантировать безопасное прохождение трека по данной траектории. Но ведь не исключено, что некоторые повороты можно
пройти быстрее. Для этого повторяем процедуру поиска точки с минимальной скоростью, но при этом исключаем уже найденную. Далее анализируем согласно указанным динамическим характеристикам автомобиля, возможно ли изменить скоростной режим для данной точки траектории, при этом учитываем, что скорость в предыдущих рассмотренных точках должна остаться неизменной. Если да, то увеличиваем максимально допустимую скорость для рассматриваемого участка траектории. Повторяем описанную процедуру для всех точек.
Размерность задачи увеличивается с увеличением протяженности трассы. Проблему высокой размерности можно решить, разбивая трек на участки между точками, в которых радиус кривизны достаточно большой, и решать аналогичную задачу на каждом из них. В этом случае последняя точка текущего участка будет началом следующего.
В результате получаем программу, решающую поставленную задачу и в дальнейшем годную для практического применения.
Библиографические ссылки
1. Шилдт Г. Теория и практика С++. СПб. : БИУ-Санкт-Петербург, 1996.
2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие. М. : Высшее образование, 2006.
3. Рубан А. И. Методы оптимизации : учеб. пособие. Красноярск : НИИ ИПУ, 2001.
O. V. Ahtyamov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
THE PROBLEM OF SEARCHING FOR THE FASTEST WAY AND DYNAMICS OF A CAR ON THE RACEWAY USING A GENETIC ALGORITHM
Review of the physical processes is provided. Formulation of the optimization task and proposed method of solution using a genetic algorithm are given. Examples of existing control systems, solving this problem, and their brief analysis are shown.
© AXTAMOB O.B., 2012
УДК 517.956.4
И. В. Веревкин
Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА-ПЛАНКА
Построено преобразование Эйлера-Дарбу для уравнения Фоккера-Планка. В качестве примера построены решения уравнения Фоккера-Планка с заданными начально-краевыми условиями.
Одним из эффективных способов построения решений заданного дифференциального уравнения является сведение его к изученному уравнению. Групповой анализ дифференциальных уравнений исполь-
зует для этих целей понятие точечного преобразования, переводящего одно уравнение в другое.
Иной подход использует известное преобразование Дарбу [1], которое позволяет строить решения
