To a solution of nonlinear summary equation of the third kind Текст научной статьи по специальности «Математика»

UDC 517.91

T. K. Yuldashev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

Zh. A. Artykova Osh State University, Kyrgyzstan, Osh

TO A SOLUTION OF NONLINEAR SUMMARY EQUATION OF THE THIRD KIND

The problems of one-value solution for summary equation of the third kind with weak nonlinear right-hand side are considered. The method of successive approximations together with the method of compressing mapping is proposed.

We consider the following summary equation of the third kind:

Appling analogies of Direchlet's formulation for summary equations to (2), yields

a (n) u (n) + E Q 1(n,m) u(m) =

= P

m=n0 n-1

(i)

n—1

i(n) = E H (n, m) u (m) + ( (1 -a (n)) u (n) + p i(n) )>

m=n0

x ft (Qi (m) + i)-1 + E Qi (m) jf ( Qi (s) + i)-1 x

=n0

m=no

< [ (i - a (n)) u (n) - (i - a (m)) u (m) + p i(n) - p i(m) J.

n e Nn

(3)

where

n, u (n), E Q 2 (n, m) u (m)

v m=n0 0

where Qi (n ,m), i = 1,2 are defined in domain {n e N0, m e N0}, 0 < Q1 (n) ° Q 1(n, n), p (n, u (n), J(n)) is defined for all n > n0,

N0 n 0 < n < N } , 0 <n0 < N <¥.

In this paper we do not suppose that a (n) ^ 0 for any n > n 0. So we do not divide the both sides of the equation (1) to a (n) and we could not directly receive from (1) the summary equation of the second kind. In equation of the third kind (1) we have reduced to studying order to receive from (1) the summary equation of the the one-value solvability for the summary equation of the

H (n, m) ° - [ Qi (n, m) - Qi(m)] f ( Qi (s) + i)-1

n-i

- E Q (s) f ( Qi(n) +1) -1 [ Qi(n, m) - Qi(s, m) ] .

s=m v=s

The question of one-value solvability for summary

second kind we make some transformation. We rewrite the equation (1) as follow

'(n) + E Q i (m) u (m) =

m=n0

n-1

= -E [ Q 1(n, m) - Q1 (m) ] u (m) +

m=n0

+ (1 -a(n))u (n) + p1(n) ,

( n-1 ^

where p1(n) ° p n, u (n), E Q 2(n, m) u (m)

V m=n0 0

Hence, using the rezolvent method for the kernel [ - Q\ (m)] , we obtain

n-1

u (n) = -E [ Q1 (n, m) - Q1 (m) ]x

m=n0

x u (m) + (1 -a(n)) u (n) + p1 (n) +

+ E Q1 (m) ft (Q1 (s) +1)-1 x

m=n0 s= m

x{ -(1 -a(m)) u (m) -p1 (m) +

m-1 I

+ E [ Q1(m, s) - Q1(s) ] u (s)l, n e N0 . (2)

s = n0 I

second kind (3).

Theorem. Assume that the following conditions are satisfied:

1.| Q,(n, m) - Q1(s, m)| < L^s) E Q1(v), 0 < L^s) ;

v=s

2. p (n,u, J) e Bnd(M) n Lip{l 2 (n) |u ;L 3 (n) j} , 0 < L 1+i(n), i = 1,2, 0 <M = const;

3.For all n e N0 there holds p(n) < 1, where

n-1

p (n) ° max E L^m) • M(n, m) +

nîN

=n0

n-1

1 + a («) J L 2 (n) 11 L 3 (n) || • E 11 Q2 (n . m)

m=no

f ( Qi(m) +1)-1 + 2 E Qi(m)f ( Qi(s) + i)-1

m=no m=no s=m

M (n, m) ° EE Qi(s) • ff ( Qi(s) +1)-1 +

s=m s= m

n-1 m-1 n-1 -i

+ E Qi(s)•E Qi(v)n(Qi(v)+1)- .

s=m v=s v=s

Then the equation (1) has unique solution on the set N0.

Решетневскце чтения

Т. К. Юлдашев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

Ж. А. Артыкова Ошский государственный университет, Кыргызстан, Ош

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНОГО СУММАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО РОДА

Рассматриваются вопросы однозначной разрешимости для суммарного уравнения третьего рода с нелинейной правой частью. При доказательстве теоремы используется метод последовательных приближений совместно с методом сжимающих отображений.

© Юлдашев Т.К., Артыкова Ж.А., 2012

УДК 004.021

О. В. Ахтямов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ЗАДАЧА НАХОЖДЕНИЯ БЫСТРЕЙШЕЙ ТРАЕКТОРИИ И ДИНАМИКИ АВТОМОБИЛЯ В УСЛОВИЯХ ГОНОЧНОГО ТРЕКА С ПОМОЩЬЮ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА

Приводится обзор физических процессов, рассматривается постановка задачи оптимизации, а также предполагаемый метод ее решения с помощью генетического алгоритма. Приводятся примеры существующих систем автоматического управления, решающих данную задачу, и их краткий анализ.

Целью данной работы является написание программы, решающей задачу отыскания быстрейшей траектории и соответствующего скоростного режима для автомобиля в условиях произвольной гоночной трассы (на первом этапе разработки коэффициент трения на всех участках постоянный). Автомобиль не должен сорваться в занос. Управляемый занос на асфальтовом покрытии не обеспечивает минимальное время прохождения дистанции. Причина в том, что во время управляемого заноса центробежной силе противодействует не только сила трения (плюс ко всему составляющая силы трения, направленная перпендикулярно автомобилю, во время прохождения поворота в боковом скольжении уменьшается), но и значительная часть силы тяги двигателя, которая могла бы расходоваться на придание автомобилю тангенциального ускорения.

Модель автомобиля упрощена до материальной точки. В повороте ключевым фактором является сила давления, которую оказывает на трек переднее внешнее колесо, а его уже можно принять за материальную точку. Такое упрощение допустимо, так как отражает самый «плохой» случай: если сила давления колеса на трек, а следовательно, и сила трения оказываются недостаточными для такой скорости и радиуса кривизны поворота, то начнется неконтролируемый снос передней оси. С прочими возможными заносами задней оси борется штатная система TRC (traction control). После решения задачи на упрощенной модели будет произведена детализация физической модели автомобиля: габариты, распределение массы и имитация работы подвески.

Разработки в этом направлении вели многие крупные автопроизводители, но реальных результатов добились лишь Audi и BMW. Система автоматического управления BMW практически лишена интерактивности: она в точности воспроизводит ту траекторию и скоростной режим, которую «показал» ей пилот на конкретном треке. У Audi дела обстоят чуть лучше: программа хорошо просчитывает траекторию отдельного поворота, но при преодолении связок поворотов траектория далека от идеальной.

Основные методы, использованные в работе -изучение, анализ, эксперимент, сопоставление.

В рамках данной работы на первом этапе будет создана программа [1], принимающая следующие данные: коэффициент трения, максимальную и минимальную ширину трека, ширину, длину, массу и динамические характеристики (максимальное ускорение и максимальное замедление) автомобиля.

Программа ищет быстрейшую траекторию. Производится линейная интерполяция одной из границ трека (точки на границе трека берутся на одинаковом расстоянии друг от друга, равном максимальной ширине трека). Далее для каждой такой точки из середин двух соседних отрезков проводятся нормали к этим же отрезкам. Возьмем одну такую точку (далее - исходная точка). Через точку пересечения нормалей и исходную точку проходит прямая, пересекающая обе границы трека. Длина отрезка на этой прямой, ограниченного исходной точкой и другой границей трека, которая не подвергалась интерполяции, есть ширина трека в исходной точке. Таким образом, точка, принадлежащая траектории, будет находиться на этом