ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЛИУВИЛЛЯ С ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.957

DOI 10.21685/2072-3040-2020-3-4

Т. В. Редькина, О. В. Новикова

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЛИУВИЛЛЯ С ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Аннотация.

Актуальность и цели. Изучение преобразований Бэклунда является одной из актуальных тем в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Такие преобразования применяются для нахождения решений нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и солитонных. Вместе с этим они представляют собой пример дифференциально-геометрической структуры, порожденной дифференциальными уравнениями. Преобразования Бэклунда дают возможность получить не только пары уравнений, но и решение одного из них, если решение другого известно. Данные преобразования играют важную роль в интегрируемых системах, так как выявляют внутренние связи между различными интегрируемыми свойствами, такими как определение симметрий, наличие гамильтоновой структуры. В последнее время в этой области было проведено много исследований. Цель работы - получение новых преобразований и автопреобразований Бэклунда для обобщенных уравнений Лиувилля с показательно-степенной нелинейностью, имеющей множитель, зависящий от первых производных.

Материалы и методы. Рассматривается построение преобразований Бэк-лунда для нелинейных уравнений в частных производных второго порядка со-литонного типа с логарифмической нелинейностью и гиперболической линейной частью. Построение преобразований базируется на методе, предложенном Клэрэном, для уравнений второго порядка типа Монжа - Ампера.

Результаты. Для исследуемых уравнений с помощью преобразований Бэклунда найдены новые уравнения, которые дают возможность отыскать решения исходных нелинейных уравнений, а также выявить внутренние связи между различными интегрируемыми уравнениями.

Выводы. Результаты представляют интерес для изучения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, в частности солитонных уравнений. Полученные с помощью дифференциальных связей новые уравнения могут использоваться для дальнейших исследований уравнений данного типа, а также при решении множества прикладных задач в физике и технике.

Ключевые слова: нелинейные уравнения в частных производных, гиперболические уравнения, преобразования Бэклунда, метод Клэрэна, дифференциальные связи, уравнение Лиувилля.

T. V. Red'kina, O. V. Novikova

BACKLUND TRANSFORMATIONS FOR LIOUVILLE'S EQUATIONS WITH EXPONENTIAL NONLINEARITY

© Редькина Т. В., Новикова О. В., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

Abstract.

Background. The study of Backlund 's transformations is one of the current topics in the theory of differential equations in partial derivatives. Such transformations are used to find solutions to nonlinear differential equations, including solitonic equations. At the same time, they represent an example of the differential-geometric structure generated by differential equations. Backlund transformations made it possible to obtain not only pairs of equations, but also the solution of one if the solution of the other was known. Transformation data played an important role in integrable systems, as it revealed internal relationships between different integrable properties, such as the definition of symmetry, the presence of a Hamiltonian structure. In recent years, many studies have been carried out in this area. The aim of the work is to obtain new Backlund transformations and auto-transformations for generalized Li-ouville's equations with indicative-degree nonlinearity having a multiplier dependent on the first derivatives.

Materials and methods. This paper examines the construction of Backlund transformations for nonlinear equations in second-order partial derivatives of salt-ton type with logarithmic nonlinearity and hyperbolic lie-neon part. The construction of transformations is based on the method suggested by Clairen for second-order equations of the Monge-Ampere type.

Results. For the equations examined in the article, new equations have been found by means of the Backlund transformations, which make it possible to find solutions to the original nonlinear equations, as well as to identify internal connections between different integrable equations.

Conclusions. The results are of interest in the study of nonlinear differential equations in partial derivatives, particularly soliton equations. The new equations obtained by differential linkages can be used for further research of equations of this type, as well as in solving many applications in physics and engineering.

Keywords: nonlinear equations in partial derivatives, hyperbolic equations, Backlund transformations, the Clairan method, differential bonds, the Liouville's equation.

Введение

Изучение преобразований Бэклунда является одной из актуальных тем в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Такие преобразования применяются для нахождения решений нелинейных дифференциальных уравнений. В силу сложности различных нелинейных уравнений не существует единого метода их решения. Для интегрируемых систем разработаны эффективные методы, такие как метод обратной задачи рассеяния [1, 2], метод Хироты [3], метод Пенлеве [4], преобразование Бэклунда [5-7], метод отображения и деформации [2] и др.

Преобразования Бэклунда представляют собой пример дифференциально-геометрических структур, порожденных дифференциальными уравнениями. Они дают возможность получить не только пары уравнений, но и решение одного из них, если решение другого известно. Данные преобразования играют важную роль в интегрируемых системах, так как выявляют внутренние связи между различными свойствами, такими как определение сим-метрий [8, 9], наличие гамильтоновой структуры [10-12]. В последнее время в этой области было проведено множество исследований [13-18].

Настоящая статья представляет собой изложение новых результатов по преобразованиям и автопреобразованиям Бэклунда для обобщенных уравне-

ний Лиувилля. В работе рассматриваются частные случаи уравнения Лиувил-ля с показательно-степенной нелинейностью, имеющей множитель, зависящий от первых производных. Построение преобразований базируется на методе Клэрэна [19] и имеет в таком подходе ясный геометрический смысл.

1. Материал и методика

Рассмотрим нелинейное уравнение гиперболического вида

/ (V ^' ^). (1)

Применим разработанный Клэрэном метод построения преобразований Бэклунда более общего вида, когда функции г и V удовлетворяют различным дифференциальным уравнениям в частных производных. Техника построения преобразований Беклунда носит общий характер, относящийся к любому уравнению гиперболического вида, и полностью повторяет изложение для уравнения Лиувилля.

Дифференциальные уравнения второго порядка вида

Л ( п г ^, г^ +/2 ( п г г%, гп)) +

+/з ((пгг£,,гп) ) + /4 (пгг£,,гп) = 0

называются уравнениями Монжа - Ампера [20]. Преобразование Бэклунда, связывающее два таких уравнения второго порядка для функций V и г, задается парой дифференциальных уравнений первого порядка:

dz f dv dv ^ — = F z, v,—,—

d^ 1Г Э^дл

dz

V

f dv dv ^

— = F2

dn ^ ' 'd^'dn

(2a)

(2b)

Для задания явного вида преобразования необходимо найти функции и ^2 . Условие интегрируемости (равенство смешанных вторых производных) требует, чтобы функции (2) удовлетворяли соотношению

d 2 z d 2 z

= 0.

ЭпЭ£, Э^Эп

Каждая из переменных г, г^, гп соответственно V, , ^ зависит от ^ и п . Учитывая равенства (2), получим

Э2 г = Э^ = Э^ ^ + Э^ v + Э^ и + Э^ v

-=-=-гп +--V?, +--Vzr, +--Vn.n , (30)

ЭпЭ^ Эп Эг п Эv п Э^ Эvn пп ^ 7

Э2г = Э^2 = ЭР2 г + Э^2 „ + Э^2 „ + Э^2 „ (3А)

-=-=-гк +--Vк +--vzp■ +--vn% . (3Ь)

Э^Эп Э^ Эг ^ Эv ^ Э^ ^ Эvn ' '

Используя формулы (2) для исключения , Zn, окончательно получим условие совместности в виде

dv? dF2

vpp +

f 3Fj dF> ^ dv? dvny

dfi v?n+-— v

dv

dF1 dF1 dF2

v? + vn + F2^L-Fj^ = 0 .

dv

dz

dz

(4)

Функцию z считаем известной. Тогда, пока хотя бы один из коэффициентов

dFj dF> dv^ ' dv?

или

f dFj dF> ^ dv? dvny

не равен нулю, уравнение (4) является дифференциальным уравнением в частных производных для функции v.

Так как уравнение (1) содержит ^, но не ^ или , из условия

совместности (4) мы ожидаем, что

дЕк=0 3!=0 31ф 0

Тогда надо предположить, что

3у ^

дz

dz F f — = F\

Э? 1

= F2

dn

Поэтому уравнение (4) примет вид

3v Эп

(5a) (56)

f dF\ dF> ^

dv? dv.

n

dF2 , dF1 dF1 dF2

v?n-^7 vn+ F2 "ЭТ - F1 2

dv

dz

dz

= 0.

Производная по n от (5 a) равна

2

д z

dnd? dz

dF\ dF\ dF

1 zn + —1 vn + v?n .

n

df

n

dv?

(6)

Дальнейшие рассуждения зависят от вида рассматриваемого уравнения. Рассмотрим полученные в работе [21] следующие уравнения:

vn? =

vn? = (a + bv)evv? -v?^, a32a21 v г

8a

11

[1 + 2v]v? - v?v

(7)

(8)

гот ^ К- V? ^ (9)

оИц

^? = е\- е~\? . (10)

Данные уравнения имеют гиперболическую линейную часть и нелинейную часть, зависящую от функции и первых производных по переменным П и ?, причем производные ^, V? входят в равенства только в первой степени, поэтому общий вид этих уравнений перепишем в виде

Уп? =П(у, V?, ^),

где единица в показателе обозначает, что эти переменные входят в равенство только в первой степени.

Будем считать, что преобразования Беклунда дают возможность перейти к самому простому гиперболическому уравнению z?n = 0.

Используя равенства (56), (6) и (7), получим

dFj dFj dFj / 1 1 \ 1Ч

z?n=izL F2 +ivrvn+dvrn(v'v?' vn) =0. (11)

дп(, V?, Уп

Возьмем от (11) производную по vп , тогда -- не зависит от

дуп

Уп , так как ^ входит в равенство только в первой степени:

32 дЕ1 3Е2 32дЕ1 д2 _/ 1 п 3Е1 4, уп)

--Е2 +—1—2 +--vп +—1+-— V?,уП ) + —1---- = 0 .

дzдvn дz дvn дvдv^ дv дv?дvn ^ ' дv? д^

дЕ дЕ2 д2Е

С учетом равенств (5) имеем -= 0 , -= 0, тогда-= 0 , и оста-

д^ дv? дzдvn

ется равенство

дЕ1 дЕ2 дЕ1 дЕ1 v?, ^п)

—1—2 + —1 + —1---- = 0.

дz дvп дv дv? дvп

Выполнив повторное дифференцирование по ^ , получим

^, V

Э Q(v,v?,vn

dvn2

= 0;

Э2 F1 dF2 dF1 Э2 F2 Э2 F1 Э2 F1 vn) -1--2 +-1-2L +-L +-1--i-- = 0 .

ЭzЭvn Э^ Эz ЭvЭvn Эv?Эvn Э^

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион С 0

С учетом —- = 0 получим Эvn

щ = 0

Эг Эvп '

Аналогичные действия проведем и с равенством (26). Выполнив дифференцирование по дважды, получим

Э^ = 0.

Эv Эv2

Следовательно, функции ^ , имеют линейный вид относительно ^ и соответственно, тогда

Ц = /1( г, V) + Р1(г, V) IV, (12а)

^ = /2(г, V) + Р2(г, V) . (126)

Эп Эп

Запишем условие совместности уравнения (4) с новыми условиями (12):

( ) 1 П Э( Л2 + Р2^'п) + + (( - Р2 ^ ^, vп)-----ЭV-^ +

ЧЭ (Л1 + Р1^) .. ,Э( Л2 + Р2^) п

+(/2+Р2 vп)—э^ ~(/1+рV)—эг—= (13)

После дифференцирования этого выражение по ^ и переходим к анализу равенства

э2п(, ^, Эр2 Эр1 Эр1 Эр2 п

(Р1 - Р2)—^-+1Т + Р21Т - Р1-ЭТ = 0 (14)

Э^Э^ Эv Эv Эг Эг

Э2п(, ^, vп)

Дальнейшие исследования существенно завися от -, по-

Э^Э^

этому перейдем к детальному анализу равенства (14) для каждого исследуемого уравнения в отдельности.

2. Результаты

Выполним преобразования Бэклунда для нелинейного уравнения (7).

Э 2П(, VI, vп)

Равенство (14) для (3) с учетом, что-= —1, примет вид

Э^Э^

dP1 + p dP1 p = p dP2 + dP2 p

+ p2--p1 = p1^T~ + ^--p2 •

dv dz dz dv

(15)

Можно предположить, что Р2 Ф Р1, и определим связь между функциями Р1 (г,V), Р2 (г,V). Преобразуем (15) к виду

Э(Р1 — Р2) (р р )= р2 Э Р2

dv

-(p1 - p2 ) = p2

dz p1

тогда, если положить Р1 — Р2 = еу ф( г), то Р1 = Р2 + ^ф( г), и на функцию Р2 имеем уравнение

2 Э Р2

[ p2 + e" ф( z)]'

dz

p2 + e>( z)

= 0.

Очевидно, что, если Р2 + ^ф(г) = 0, то Р1 = 0 . Этот вариант можно рассмотреть, но при этом останется только одна неопределенная функция ф( г), что уменьшает возможности варьировать неизвестными в дальнейших

рассуждениях, поэтому положим Р2 + ^ф(г) Ф 0, тогда

Э Р2

=0.

ЭгР2 + е>( г) Р2

Это приводит к зависимости ---= и определению функ-

Р2 + г)

ций p2 в виде

V(v) v , ч

p2 = , ч е Ф(z), p1 =

1

1 —

Теперь равенство (13) примет вид

1 -V(v)

ev Ф( z).

(a + bv )e2v ф( z) +

1

+/2 / " /1 / +

dz dz

dv 1 - y(v)

V(v)

e"l /2

dф( z)

. d/2

dz ф( ) dz

e"l ф( z - /1

d/1 ^ф(z) ^ ,d/1

+

vk +

vn= 0.

1 — у(V) ^ т 4 ' Эг Эг ) Эv

Продифференцируем последнее равенство по ^ и это же выражение по , в результате получим систему

(a + bv)e2vф(z) -^ + —ev f /2 - ф(z) SH. | = 0 V ' dv 1 -w(v) I2 dz ' dz )

1

dф( z)

. d/2

■V(v)

/2 / - /1 /=

dz dz

¥(v) ev fф(z)f - /1 + f = 0. (16)

1 - у^) ^ дz дz ) дv Будем искать функции /1(z,V), /2(z,V) в следующем виде:

/1 (Z, V) = (V)я (z), /2 (z, V) = у2 (V)Я2 (z).

Подставим эти равенства в систему (16) и выделим логарифмические производные 1п Я2 , 1п £1, 1п ф:

(a + bv)e2vф(z) -g2(z)+ z)ф(z)-!fl^-SizL'

j ^ 2 Эv 1 -V(v) ^ m }bz [ g2(z).

g1( z)

= 0,

¥ 2(v)V1(v) g2( z) g1( z )—

Эz

Э f

ln-

g 2( z)

= 0,

/

Э¥1 ¥(v)¥1(v) evф( ) g ( ) Э f ln ф(z) ^

g1( z --:-e ф( z) g1( z ) —

ln-

= 0. (17)

Эv 1 -¥(v) Эz ^ g1( z)

Можно выбрать специальный вид функций gj (z), ф( z) так, чтобы система приняла более простой вид, тогда дифференциальные уравнения можно будет проинтегрировать в явном виде, положим

g1 (z) = g2 (z) = %, ф(z) = k2z, kb k2 - const, и система (17) примет вид

k2 (a + bv)e2vz -k1 = 0,

k1z = 0.

1 Эv

В результате получены простые дифференциальные уравнения относительно функций ¥2 (v), ¥1 (v), определим их:

¥2 = — f [a + bv]e2vJv = -^(2a - b + 2bv)e2v + Q, ¥1 = k - const. k^ 4k1

Теперь преобразования (2) примут вид

^ = Щг +--—— еу z—, (18а)

д? 1 1 -у^) д?' ' }

^ = z(—(2а -6 + + С,1 + (186)

дп ^ 4 ) 1 - у^) дп

Получено преобразование Бэклунда в виде (18). Система (18) совместна при любой функции у^). Рассмотрим следующий вариант: у^) = 2, С = 0, - = -1 = 1, -2 = -2, тогда соотношения (18) примут вид

Эz . v Эv Эz „ v Эv f 1, | 2v

— = z + 2evz—, — = 4evz--la — b + bv | ze2v.

Э? Э? ЭП ЭП I 2 1

(19)

Проверим, действительно ли из системы (19) можно получить уравнение (7).

Если продифференцировать первое равенство системы (19) по п, а второе - по ?, тогда получим

z?n = Zп + 2eVzVпV? + 2eVZпV? + 2eVzVп?, z?п = 4evzv?vп + 4eVz?Vп + 4eVzv?п - 2(а + 6v)ze2vv? -(а -16 + 6v)z?e2v.

Вычтем из нижнего равенства верхнее и приведем подобные слагае-

мые:

(1 + 2 evv?) zn = 2 evzv?n + 2 evzv?vn

-2 (a + bv) ze2vv? +

4vn -1 a - -2 b + bv I ev

v

e z? .

Избавимся от производных Zn, z?, используя соотношения (19) и сокращая на функции, отличные от нуля, получим уравнение (7).

Посмотрим, в какое уравнение переходит исходное равенство (7) с помощью преобразований (19). Для этого преобразуем равенства (19) к виду

Э ln z л ,Эev Э ln z ,Эev f 1, , ) 2v

-= 1 + 2-, -= 2--1 a — b + bv I e .

Э? Э? ЭП ЭП I 2

(20)

Попробуем выявить, как связаны функции z(?, п) и v(?,n), учитывая, что функции удовлетворяет равенству (7). Выполним дифференцирование второго равенства (20) по переменной ?:

(1п z )п?= 4^ )п?- 2 (а + 6v )%?, заменим выражение (а + 6v )evv? членами из уравнения (7), тогда

(1п z)п? = 4(ev )п? - 2[Vп? + v?Vп ]ev = 2^ )п? .

С учетом первой дифференциальной связи (20) производные можно опустить с точностью до постоянной

1п z = 2ev +?, тогда функция v(?, п) выражается через z(?, п):

1

v = ln

-(ln z -?)

(21)

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Обозначим 1п г = w(^, п) и подставим (21) в (7), получим:

f

a + b ln

2(»<-k)

Л

(w -K)(wk- 1). (22)

Утверждение 1. Преобразования Бэклунда

Эw 1 + 2 V Эv Эw V Эv ( 1 ^ 2v — = 1 + 2е —, — = 2е--1 а —Ь + ^ I е

Э^ Э^ Эп Эп I 2 )

связывают уравнение (7) с уравнением (22).

Уравнение (8) является частным случаем (7), поэтому для этого уравнения можно сформулировать

Следствие 1. Преобразования Бэклунда

— = 1 + — — = 4ev * а32а21 Ve2v

Э£, Э^' Эп Эп 4а11

связывают уравнение (8) с уравнением

а32а 21 1

(w^- 1)(w-К)I - + ln

8а11 s I 2

2( w-К)

Л

- =

Утверждение 2. Для уравнения (8) существует автопреобразование Бэклунда вида

е& Э% = еу е^ ^ = 2eV ^ — а32а21 ve2v. (23)

Э£, Э£, Эп Эп 8а11

Доказательство. Запишем равенства (23) в виде

Эeg V Эv Эeg V Эv а32а21 2v

-= е —, -= 2е--- ve

Э£, Э£, Эп Эп 8а11

и выполним перекрестное дифференцирование. Приравнивание левых частей дает

2

V Эv Эv V Э V а32а21 Эv 2v а32а21 Эv 2v п

е---+ е---—е-- —ve = 0

Э^Эп Э^Эп 8а11 Э£, 4а11 Э£,

или уравнение (8).

Теперь перепишем второе равенство (23) в виде

М. = 2 Эе^ а32а21 ve2v

Эп Эп 8а11 и продифференцируем по ^ :

aV = 2 aV -оз^e2v[1 -2v]^. dndK dndK 8а11 dK,

Заменим член а*32 а21 v?eV [1 + 2V] в последнем равенстве оставшимися

4а

11

членами из (8), тогда

д V = 2

дпд? дпд? что приводит к равенству

л

Э v Эv Эv • + •

ЭпЭ? Э? Эп

Э2eg Э2ev

дпд? дпд?

Это означает, что функции e8 и ^ могут отличаться только произвольными членами вида ф(?) + у(п), поэтому

eg +Ф(?) + у(п) = ev . (24)

Если ф(?) = у(п) = 0 , то при замене в (8), очевидно, получаем, уравнение (8).

Выясним, что получится, если ф(?) ^ 0, у(п) ^ 0 . Выполним подстановку (24) в уравнение (8), тогда получим

eg п? = ^р^21 (И + ф(?) + у(п)]2 + ф(?) + у(п)])?.

8ац

Выполним дифференцирование

eg +ф(?) + у(п) 1п +ф(?) + у(п)

eg (gn? + g? gn) = а32а212

x(egg? + ф'(?)) +

8а11

а32а21

X

8а

11

eg +ф(?) + ¥(П) (egg? + ф'(?))

и сгруппируем члены с общей производной, получим:

eg (gn? + g? gn):

а32а 21

8а

11

eg +ф(?) + ¥(П)

X

x(2ln[eg + ф(?) + ¥(П)] + 1)(egg? + ф (?)),

где ф(?), у(п) - произвольные функции.

Следствие 2. Преобразования Беклунда

да V дv

— + ф (?) = ^ —,

д? д?

дч , V ч IV дv а32а21 2v — + у (п) = 2^---32 21 ve

дп дп 8а11

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион связывают уравнение (8) с уравнением

?п% = ОГ^? + Ф® + ¥(п)] ([? + ф© + ^(п)] +1)) + Ф'(О),

8аП

где ф(^), ^(п) - произвольные функции.

Аналогичным образом, начиная преобразования с детального анализа равенства (14), в каждом конкретном случае для оставшихся исследуемых уравнений (9) и (10) доказаны следующие утверждения. Утверждение 3. Преобразования Бэклунда вида

dv а21 v wK dv а21 v wkk = wk---^j— e wk , = ---Ц— e wk

KdK 1ба21 K 2 dn 1ба21 K

связывают уравнение (9) с уравнением

(w2)Kn = 4w|. Утверждение 4. Преобразования Бэклунда вида dw = dv v dw = -v

эК=эК-e' эП=e

связывают уравнение (10) с уравнением

wnK + wKwn =-1. Заключение

В работе доказаны теоремы о преобразованиях Бэклунда нелинейных гиперболических уравнений в частных производных второго порядка класса Клейна - Гордона, представляющие собой частные случаи уравнения Ли-увилля с показательной нелинейностью, имеющей множитель, зависящий от функции и ее первых производных. Построение преобразований проведено с помощью метода Клэрэна. Полученные с помощью дифференциальных связей новые уравнения могут использоваться для дальнейших исследований уравнений данного типа, а также для решения множества прикладных задач в различных областях естествознания.

Библиографический список

1. Method for solving the Korteweg - de Vries equation / C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura // Physical Review Letters. - 1967. - № 19. - P. 10951097.

2. The Korteweg - de Vries equation and generalizations. VI. Method for exact solutions / C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1974. - № 27. - P. 97-133.

3. Hirota, R. Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons / R. Hirota // Physical Review Letters. - 1971 - № 27. - P. 1192-1194.

4. Ablowitz, M. J. Solitons, nonlinear equations and inverse scattering / M. J. Ablowitz, P. A. Clarkson. - Cambridge : Cambridge University Press, 1991. - 516 p.

5. Барбашов, Б. М. Преобразование Бэклунда для уравнения Лиувилля и калибровочные условия в теории релятивистской струны / Б. М. Барбашов, В. В. Несте-

ренко // Теоретическая и математическая физика. - 1983. - Т. 56, № 2. -С. 180-191.

6. Кривонос, С. О. Суперполевые расширения уравнения Лиувилля : дис. ... канд. физ.-матем. наук : 01.04.02 / Кривонос С. О. - Дубна, 1984. - 109 с.

7. Иванов, Е. А. Преобразования Бэклунда для суперрасширений уравнения Лиувилля / Е. А. Иванов, С. О. Кривонос // Теоретическая и математическая физика. -1986. - Т. 66, № 1. - С. 90-101.

8. Inelastic interactions of the multiple-front waves for the modified Kadomtsev-Petviashvili equation in fluid dynamics, plasma physics and electrodynamics / Z. Y. Sun, Y. T. Gao, X. Yu, X. H. Meng, Y. Liu // Wave Motion. - 2009. - Vol. 46, № 8. - P. 511-521

9. Veerakumar, V. Modified Kadomtsev-Petviashvili (MKP) equation and electromagnetic soliton / V. Veerakumar, M. Daniel // Math. Comput. Simul. - 2003. -Vol. 62, № 1. - P. 163-169.

10. Song, J. F. Backlund transformation and CRE solvability for the negative-order modified KdV equation / J. F. Song, Y. H. Hu, Z. Y. Ma // Nonlinear Dynamics. -2017. - Vol. 90. - P. 575-580.

11. Захаров, В. Е. Гамильтоновской формализм для нелинейных волн / В. Е. Захаров, В. А. Кузнецов // Успехи физических наук. - 1997. - Т. 167, № 11. -С. 1137-1168.

12. Гуленко, В. В. Гамильтонова формулировка нелинейных динамических уравнений / В. В. Гуленко, В. В. Гущин // Доклады Академии наук Украины. - 1994. -№ 3. - С. 73-77.

13. Cheng, J. Miura and auto-Backlund transformations for the q-deformed KP and q-deformed modified KP hierarchies / J. Cheng // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2017. - Vol. 24, № 1. - P. 7-19.

14. Zabrodin, A. V. Backlund transformations for the difference Hirota equation and the supersymmetric Bethe ansatz / A. V. Zabrodin // Theoretical and Mathematical Physics. - 2008. - Vol. 155, № 1. - P. 74-93.

15. Tsiganov, A. V. Backlund transformations and divisor doubling / A. V. Tsiganov // Journal of Geometry and Physics. - 2018. - Vol. 126. - P. 148-158.

16. Редькина, Т. В. Преобразования Бэклунда для системы уравнений в частных производных третьего порядка / Т. В. Редькина // Наука. Инновации. Технологии. -2017. - № 4. - С. 23-42.

17. Construction of Backlund transformations by the Clearance method for solving the generalized Liouville equation / R. G. Zakinyan, A. R. Zakinyan, T. V. Redkina, O. B. Surneva, O. S. Yanovskaya // Axioms. - 2019. - Vol. 8, № 45. - P. 1-17.

18. Закинян, Р. Г. Преобразования Бэклунда для нелинейных уравнений с гиперболической линейной частью / Р. Г. Закинян, Т. В. Редькина // Перспективные направления науки и техники : материалы VIII Междунар. науч.-практ. конф. (7-15 сентября 2012 г.). - Вып. 18. - Пшемысль : Наука и студия, 2012. - С. 24-28.

19. Лэм, Д. Л. Введение в теорию солитонов / Д. Л. Лэм. - Москва : Мир, 1983. -294 с.

20. Погорелов, А. В. Многомерное уравнение Монжа - Ампера / А. В. Погоре-лов. - Москва : Наука, 1988. - 96 с.

21. Сурнева, О. Б. Нелинейное уравнение, обладающее оператором рассеяния третьего порядка / О. Б. Сурнева, О. С. Яновская // Наука. Инновации. Технологии. - 2018. - № 3. - С. 37-52.

References

1. Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Physical Review Letters. 1967, no. 19, pp. 1095-1097.

2. Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1974, no. 27, pp. 97-133.

3. Hirota R. Physical Review Letters. 1971, no. 27, pp. 1192-1194.

4. Ablowitz M. J., Clarkson P. A. Solitons, nonlinear equations and inverse scattering. Cambridge: Cambridge University Press, 1991, 516 p.

5. Barbashov B. M., Nesterenko V. V. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika. [Theoretical and mathematical physics] 1983, vol. 56, no. 2, pp. 180-191. [In Russian]

6. Krivonos S. O. Superpolevye rasshireniya uravneniya Liuvillya: dis. kand. fiz.-matem. nauk: 01.04.02 [Superfield extensions of the Liouville equation: dissertation to apply for the degree of the candidate of physical and mathematical sciences: 01.04.02]. Dub-na, 1984, 109. [In Russian]

7. Ivanov E. A., Krivonos S. O. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and mathematical physics]. 1986, vol. 66, no. 1, pp. 90-101. [In Russian]

8. Sun Z. Y., Gao Y. T., Yu X., Meng X. H., Liu Y. Wave Motion. 2009, vol. 46, no. 8, pp.511-521

9. Veerakumar V., Daniel M. Math. Comput. Simul. 2003, vol. 62, no. 1, pp. 163-169.

10. Song J. F., Hu Y. H., Ma Z. Y. Nonlinear Dynamics. 2017, vol. 90, pp. 575-580.

11. Zakharov V. E., Kuznetsov V. A. Uspekhi fizicheskikh nauk [Advances in physical sciences]. 1997, vol. 167, no. 11, pp. 1137-1168. [In Russian]

12. Gulenko V. V., Gushchin V. V. Doklady Akademii nauk Ukrainy [Reports of the Academy of Sciences of Ukraine]. 1994, no. 3, pp. 73-77. [In Russian]

13. Cheng J. Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2017, vol. 24, no. 1, pp. 7-19.

14. Zabrodin A. V. Theoretical and Mathematical Physics. 2008, vol. 155, no. 1, pp. 7493.

15. Tsiganov A. V. Journal of Geometry and Physics. 2018, vol. 126, pp. 148-158.

16. Red'kina T. V. Nauka. Innovatsii. Tekhnologii [Science. Innovation. Technology]. 2017, no. 4, pp. 23-42. [In Russian]

17. Zakinyan R. G., Zakinyan A. R., Redkina T. V., Surneva O. B., Yanovskaya O. S. Axioms. 2019, vol. 8, no. 45, pp. 1-17.

18. Zakinyan R. G., Red'kina T. V. Perspektivnye napravleniya nauki i tekhniki: materialy VIIIMezhdunar. nauch.-prakt. konf. (7-15 sentyabrya 2012 g.) [Promising areas of science and technology: proceedings of the 8th International scientific and practical conference (7-15 of September, 2012)]. Issue 18. Pshemysl: Nauka i studiya, 2012, pp. 24-28. [In Russian]

19. Lem D. L. Vvedenie v teoriyu solitonov [Introduction to the theory of solitons]. Moscow: Mir, 1983, 294 p. [In Russian]

20. Pogorelov A. V. Mnogomernoe uravnenie Monzha - Ampera [Multidimensional Monge-Ampere equation]. Moscow: Nauka, 1988, 96 p. [In Russian]

21. Surneva O. B., Yanovskaya O. S. Nauka. Innovatsii. Tekhnologii [Science. Innovation. Technology]. 2018, no. 3, pp. 37-52. [In Russian]

Редькина Татьяна Валентиновна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики и математического моделирования, Северо-Кавказский федеральный университет (Россия, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1)

E-mail: tvr59@mail.ru

Red'kina Tat'jana Valentinovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of applied mathematics and mathematical modeling, North Caucasian Federal University (1 Pushkina street, Stavropol, Russia)

Новикова Ольга Викторовна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информационной безопасности автоматизированных систем, Северо-Кавказский федеральный университет (Россия, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1)

E-mail: oly-novikova@yandex.ru

Novikova Ol'ga Viktorovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of information security of automated systems, North Caucasian Federal University (1 Pushkina street, Stavropol, Russia)

Образец цитирования:

Редькина, Т. В. Преобразования Бэклунда для уравнений Лиувилля с показательной нелинейностью / Т. В. Редькина, О. В. Новикова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 3 (55). - С. 39-53. - DOI 10.21685/2072-3040-2020-3-4.