CC BY
21
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 3 (2015). С. 39-49.
УДК 517.95
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
_____ к» _ _________
(2 + 1)-МЕРНЫХ ЛИНЕИНЫХ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА-ФОККЕРА-ПЛАНКА
В.Б. ДАВИДОВИЧ
Аннотация. Выполнена предварительная групповая классификация класса (2 + 1)-мерных линейных ультрапараболических уравнений относительно разрешимых алгебр Ли. Показано, что существует одно, шесть и четыре неэквивалентных ультрапараболических уравнений, которые допускают соответственно двух-, трех- и четырехмерные разрешимые алгебри Ли.
Ключевые слова: ультрапараболическое уравнение, преобразование эквивалентности, групповая классификация, максимальная алгебра инвариантности, разрешимая алгебра Ли.
Mathematics Subject Classification: 35K70, 76M60
1. Введение
Рассмотрим класс (2 + 1)-мерных линейных ультрапараболических уравнений Колмогорова-Фоккера-Планка:
ut = A(t, x, y) uxx + B(t, x, y) ux + C(t, x, y) Uy + D(t, x, y) u, (1)
где A, B, C и D — произвольные гладкие функции своих переменных в некоторой области пространства R3, AC = 0.
Уравнения из класса (1) широко используют для описания разнообразных процессов в физике и при математических расчетах в экономике [1, 2, 3, 4, 5]. В частности, среди известных уравнений из класса (1) стоит упомянуть такие: уравнение Крамерса [1]
ut = (xu)y + (V'(y)u)x + j(xu + ux)x, (2)
которое описывает движение частицы в флуктуирующей среде (функция u = u(t,x,y) — плотность вероятности, функция V(y) — внешний потенциал, y — постоянная); для вычисления значения азиатского опциона [5] используют уравнение
1
или
ut = — -a2x2 uxx — rxux + log xuy + ru, (3)
1 2 2 Х { л \
щ = — -а х пхх — тхпх + --— Пу + г и, (4)
2 ¿о — 1
где п(Ь, х, у) — значение азиатского опциона, которое зависит от курса акций (переменная х) в момент времени Ь, у — среднее значение курса акций, Т — срок действия контракта, ¿о — начало контракта (обычно кладут Ь0 = 0), г — процентная ставка, а — волатильность.
V.V. Davydovych, Preliminary group classification of (2 + 1)-dimensional linear ULTRAPARABOLIC KOLMOGOROV-FOKKER-PLANCK EQUATIONS.
© Давидович В.В. 2015. Поступила 24 ноября 2014 г.
На сегодняшний день симметрийные свойства некоторых подклассов класса (1) исследовались в работах [6]-[9]. В частности, в работе [7] проведена групповая классификация класса уравнений (2). В статье [10] показано, что (3) и (4) сводятся соответственно к уравнениям
Щ = ихх — хиу (5)
и
Щ = Пхх + ехЩу. (6)
Отметим, что для уравнения (5), которое было получено Колмогоровым в 1934 г. для описания неизотропних диффузионных процессов, известно фундаментальное решение [2]. Кроме этого, также найдены максимальные алгебры инвариантности (МАИ) уравнений (5) и (6) [8, 9].
Поскольку каждое уравнение из класса (1) является линейным, то при фиксированных значениях функций А, В, С и О его МАИ является бесконечномерной с оператором рди, где функция р (Ь,х,у) — произвольное гладкое решение уравнения (1). Таким образом, при проведении предварительной групповой классификации мы будем исключать из рассмотрения операторы вида рди, то есть будем искать только конечномерные части МАИ уравнений из класса (1). В частности, целью работы является нахождение таких уравнений вида (1), МАИ которых разрешимы и имеют размерность не более 4-х.
При изучении симметрийных свойств класса (1) невозможно применить классический метод Ли-Овсянникова. Это обусловлено тем, что произвольные элементы А, В, С и О исследуемого класса зависят от переменных Ь, х и у. Следовательно, при проведении предварительной групповой классификации будем использовать метод Жданова-Лагно, предложенный в работе [11] (см. подробнее [12]). На сегодняшний день указанный метод используется при рассмотрении широких классов дифференциальных уравнений [13]-[17].
2. Преобразование эквивалентности и оператор инвариантности
класса уравнений (1)
Важную роль в процессе исследования симметрийных свойств класса дифференциальных уравнений методом Жданова-Лагно играют преобразования эквивалентности (точечные преобразования, которые сводят произвольно выбранное уравнение из заданного класса к некоторому другому уравнению из этого же класса). В частности, метод Жданова-Лагно эффективен при изучении классов дифференциальных уравнений, допускающих широкую группу преобразований эквивалентности.
Теорема 1. Преобразования эквивалентности класса уравнений (1) имеют вид
Ь = Т(t,y), х = X(t,x,y), у = у(t,y), V = р(Ь,х,у)и (7)
(Т,Х, У и р — произвольные гладкие функции, рХх(ТгУу — ТуУг) = 0) и приводят произвольно выбранное уравнение из класса (1) в некоторое другое уравнение вида
VI: = А(г,х,у^хх + В(г,х,у^ц. + С(г,х,у^у + 0(1,х,у(8) где функции А, В, С и О находятся из следующих соотношений:
(Т — СТу) А = Х2хА, (9)
(Т — СТу) В = ХуС — Х + [Ххх — 2^ Х^ А + ХхВ, (10)
(Т — СТу) С = УуС — У, (11)
(Т — СТу) 0 = О — Ру С + р +(2— ^ А — РхВ. (12)
у р р V р р ) р
Доказательство теоремы основывается на прямом методе построения группы преобразований эквивалентности (см., например, [11]).
Замечание 1. Преобразования эквивалентности (7) позволяют упростить класс (1) (например, положить В = Б = 0). Однако при проведении предварительной групповой классификации исследуемого класса мы будем рассматривать именно уравнения вида (1). Это обусловлено особенностями метода, который использован в работе.
Замечание 2. В случае Сх = 0 существует преобразование, которое сводит уравнение (1) к уравнению с функцией С = 0 (следует из соотношения (11)). Таким образом, будем рассматривать только случай Сх = 0.
Перед тем, как перейти к применению метода Жданова-Лагно, найдем общий вид оператора симметрии Ли, который допускается классом уравнений (1).
Теорема 2. Оператор инвариантности класса уравнений (1) имеет следующий вид:
X = Ту) д + £l(t, x, у) дх + £2(t, у) ду + (т(t, х,у) и + p(t, x, у)) (13)
где т, £1, £2, т и р — неизвестные гладкие функции, которые находятся из системы определяющих уравнений (СОУ)
Ах £1 + Ау £2 + Аг т + А (тг — 2 — Сту) = 0, (14)
Вх £1 + Ву £2 + В< Т + В (п — ех — Сту) + А (2тх — £1х) — С£1у + £1 = 0, (15)
Сх £у + Су £2 + С т + С (п — £2 — Сту) + £2 = 0, (16)
Бх £1 + Бу £2 + Б Т + Б (п — Сту) + Атхх + Втх + Сту — п = 0, (17)
рг = Архх + Врх + Сру + Бр. (18)
Доказательство теоремы основывается на применении критерия инвариантности дифференциальных уравнений (см., например, монографии [12, 18, 19, 20, 21]).
Учитывая тот факт, что мы исключаем из рассмотрения операторы вида р ди (которые отвечают за бесконечномерную часть МАИ уравнения (1)), искомый оператор симметрии Ли (13) приобретает вид
X = т(Ь, у) дг + £ 1(Ь, х, у) дх + £2(Ь, у) ду + т(Ь, х, у)и д.а. (19)
3. Низкоразмерные разрешимые алгебры Ли класса уравнений (1)
Из СОУ (14)-(17) следует, что при произвольных значениях функций А, В, С и Б алгебра инвариантности уравнения (1) является одномерной с базисным оператором пди. Поскольку указанный оператор коммутирует с операторами вида (19), то среди двумерных только абелева алгебра [22]
2д1 : [61,62] = 0 может быть алгеброй Ли уравнения (1).
Для построения всех возможных неэквивалентных реализаций алгебры 2g1 применим преобразования (7) к оператору (19):
X = {rTt + £2Ty) ду + (rXt + ?Xx + £2Ty) дx +
(TYt + £2Yy) ду + (rvt + £1 Vx + £2Vy + <pr) udt. (20)
Из (20) следует, что в случае (r)2 + (£2)2 = 0 существуют преобразования, которые произвольно выбранный оператор (19) сводят к оператору ду. В частности, указанные преобразования можно найти, решив следующие уравнения:
rTt + £2Ty =1, rXt + £1Xx + £2Ty = 0,
rYt + £2Yy = 0, rvt + £ 1Vx + £2Vy + Vr = 0.
В случае r = £2 = 0, £1 = 0 получаем оператор dx. Если r = £2 = £1 = 0, то оператор (20) имеет вид rvdv и сводится к одному из операторов:
xvdv (rx = 0), tvdv ((rt)2 + (ry)2 = 0) , avdv (r = a = const). Следовательно, имеет место теорема.
Теорема 3. С точностью до преобразований (7) и постоянного ненулевого множителя, произвольно выбранный оператор вида (19) можно свести к одному из операторов
dt, dx, пди, tudu, xudu. (21)
Среди операторов (21) только операторы д^ дx и иди удовлетворяют СОУ (14)-(17). Однако оператор д.^ приводит к условию Cx = 0 и исключается из рассмотрения. Таким образом, мы получили одну двумерную алгебру Ли, которую допускает уравнение (1).
Теорема 4. С точностью до преобразований эквивалентности (7) существует единственный класс уравнений
Ut = A(x, y)uxx + B(x, y)ux + C(x, y)uy + D(x, y)u, (22)
который допускает двумерную алгебру Ли операторов симметрии вида (19), а именно:
2g11 = < дt, ^и > .
При произвольных значениях функций A, B, C и D эта алгебра является МАИ класса уравнений (22).
При построении трехмерных разрешимых алгебр инвариантности класса уравнений (1) достаточно к операторам алгебры 2gJ добавить один оператор вида (19) и найти все возможные неэквивалентные реализации, удовлетворяющие соответствующим коммутационным соотношениям и СОУ (14)-(17). При этом будем использовать преобразование
t = t + T(y), x = X(x,y), y = Y(y), v = V(x,У)u, (23)
которые не изменяют вид оператора дt.
Согласно классификации Мубаракзянова [22] существует 7 неизоморфных трехмерных разрешимых алгебр Ли. Однако нам необходимо рассмотреть только те из них, которые могут содержать оператор uдu, а именно:
3g1 : [ei,ej } = 0(i,j = 1, 2, 3); g2 Ф g1 : [e1,e2] = e2;
g3.1 : [e2,es] = eb
Поскольку процесс построения реализаций для каждой из указанных алгебр является практически аналогичным, то рассмотрим только алгебру 3д1 с базисными операторами:
61 = дг, 62 = иди, 63 = X,
где X — произвольный оператор вида (19). Из условия ^^] = 0 получаем:
X = т(у) дг + £1 (х, у) дх + £2(у) ду + т(x, у)п ди.
Применив преобразования (23) к оператору X, имеем
X = (т + £2Ту) д, + (£^х + £2Ту) д-х + £2Уу ду + (£ Vх + £2Ру + рт) ид,. (24)
Проведя аналогичные приведенным в теореме 3 вычисления, получаем операторы:
дх, ду, удг, удг + дх, хиди, уида, удг + хиди, удг + т(у)ида (т' = 0). (25)
Подставив каждый из операторов (25) в СОУ (14)-(17) (с функциями А, В, С и Б, которые зависят только от переменных х и у), установили, что только две реализации трехмерной разрешимой алгебры 3д1 удовлетворяют условию задачи, а именно:
3д11 = < дг, иди, ду >, иг = А(х)ихх + В(х)их + С(х)иу + Б(х)и;
3д12 = < дг, иди, удг + дх >, иг = х-1 (А(у)ихх + В(у)их — Щ + Б (у) и).
При рассмотрении алгебры д2 ф д1 мы получили следующие четыре неэквивалентные (с точностью до преобразований (23)) реализации:
д2 Ф д11 = < дг, 6гду, иди, >,
д2 ф д12 = < —ьдг + дх, дг, иди >, д2 ф д13 = < —Ьдг + ду, дг, иди >,
д2 ф д14 = < дг, 6*(удг + дх), иди, >,
которые удовлетворяют условию задачи.
Однако среди указанных реализаций есть эквивалентные с точностью до преобразований (7). Действительно, замены
Ь = у, у = Ь6у и Ь = —у-16-г, х = Ь — ху
сводят соответственно д2 Ф д13 в д2 ф д/ и д2 ф д14 в д2 ф д12.
Таким образом, получаем две неэквивалентные (с точностью до преобразований (7)) реализации алгебры д2 ф д1 и соответствующие им классы уравнений
д2 ф д11 = < дг, 6гду, иди, >, иг = А(х)ихх + В(х)щ + (С(х) — у) щ + Б(х)и; д2 ф д12 = < —Ьдг + дх, дг, иди >, и = 6х (А(у)ихх + В(у)их + С(у)щ + Б(у)и).
При рассмотрении алгебры $3.1 мы также получили две неэквивалентные (с точностью до преобразований (7)) реализации и соответствующие им классы уравнений
$3.11 = < иди, дг, ду + Ыди >, иг = Л(х)пхх + Б(х)их + С(х)пу + (Б(х) + у) и;
$3.12 = < иди, дг, удг + дх + Ыд,а >,
х
иг = х ^А(у)ихх + Б(у)их - иу + \^0(у) + и^ . Объединив полученные результаты, сформулируем теорему.
Теорема 5. С точностью до преобразований эквивалентности (7) существует, шесть классов уравнений вида (1), которые допускают трехмерные разрешимые алгебры Ли операторов симметрии вида (19), а именно:
3$11 = < дг, иди, ду >,
иг = А(х)ихх + Б (х)их + С (х)иу + Б(х)и; (26)
3$12 = < дг, иди, удг + дх >,
иг = х-1 (А(у)ихх + Б(у)их - иу + Б (у) и); (27)
$2 Ф $11 = < дг, ¿"ду, иди >,
иг = А(х)ихх + Б(х)их + (С(х) - у) иу + Б(х)и; (28)
92 Ф $12 = < -дг + дх, дг, иди >,
иг = ех (А(у)ихх + Б(у)щ + С(у)щ + Б(у)и); (29)
93.11 = <иди, дг, ду + Ыди >,
иг = А(х)ихх + Б(х)их + С(х)иу + (Б(х) + у) и; (30)
93.12 = < иди, дг, удг + дх + Ыди >,
иг = х 1 ^А(у)ихх + Б(у)их - иу + уО(у) + у^ и^ . (31)
При произвольных значениях функций А, Б, С и Б каждая из полученных алгебр является МАИ соответствующего ей класса уравнений.
4. 4-МЕРНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ Ли ОПЕРАТОРОВ СИММЕТРИИ ВИДА (19)
КЛАССА УРАВНЕНИЙ (1)
Перед тем, как перейти к построению 4-мерных разрешимых алгебр Ли класса уравнений (1), заметим, что при некоторых фиксированных значениях функций А, Б и Б уравнения (27) и (31) допускают алгебры Ли размерности 5 и выше. Таким образом, мы исключаем указанные уравнения из дальнейшего рассмотрения. Отметим также, что для класса уравнений (29) эффективным является применение прямого метода построения МАИ вместо метода Жданова-Лагно. В частности, применив к (29) преобразования
^= - J ехр( с сйу) у= х = -х + ^ в^у, ^ = ^ у. 2^
получаем
иг = А(г)ихх + ехиу. (32)
Теорема 6. При произвольном значении функции А(£) класс уравнений (32) допускает, 3-мерную МАИ операторов симметрии вида (19):
< ду, дх + уду, иди > . (33)
С точностью до преобразований эквивалентности (7) класс уравнений (32) допускает, расширение алгебры Ли (33) только в следующих двух случаях:
1) функция Л^) является решением уравнения
A'\ '
- = : (34)
1 A' а
< Adt + A дх - 2 xudu, dy, дх + Уду, иди >,
где а = 0 — произвольная постоянная;
2) A{t) = 1: <dt, ду, дх + уду, udu, 2ydx + y2dy + (ex — y) ди >.
Замечание 3. Уравнение (32) с функцией A(t), которая является решением уравнения (34), преобразованием
t = a f Adt, x = x — ln A, y = a y, а
_ 2
2У ^ а,
/42
V = ехр (X - а I Л 1п ЛСЬ - 1 / сИ^ и
сводится к уравнению
щ = аихх + ехиу + хи
с МАИ вида
< дь, ду, дх + уду + Ыди, иди > .
Таким образом, при исследовании симметрийных свойств класса уравнений (32) мы получили только одно уравнение с 4-мерной МАИ.
Перейдем к построению 4-мерных разрешимых алгебр Ли для классов уравнений (26), (28) и (30). В частности, согласно классификации Мубаракзянова [22] и условию задачи, нам необходимо рассмотреть следующие алгебры:
4#1 : [ег,е]} = 0(г,3 = 1, 2, 3,4); д2 0 2д1 : [в1,в2] = е2;
03.1 © д1 : [е2,е3] = вь дз.2 © д1 : [в1,вз] = в1, [е2,е3] = в1 + е2; дз.з © 01 : [в1,вз] = в1, [в2,вз] = е2;
дз.4 © д1 : [в1,ез] = в1, [в2, вз] = кв2, -1 ^ к < 1, к = 0; дз.5 © д1 : [в1,вз] = рв1 - в2, [в2, вз] = в1 + рв2, р > 0; д4.1 : [в2, в4] = в1, [вз,в4] = в2; 04.з : [в1, в4] = в1, [вз,в4] = в2.
В результате вычислений мы получили следующие неэквивалентные 4-мерные реализации разрешимых алгебр Ли и соответствующие им уравнения:
92 Ф 2911 = < дг, еьду, дх + ду, иди >,
иг = аихх + Ьих + (х - у)иу + йи; (35)
92 Ф 2$12 = <дх - уду, ду, дг, иди >,
иг = аихх + Ьих + е-хиу + йи; (36)
93.1 Ф 911 = < ду, дг, дх + Ьду, иди >,
иг = аихх + Ьих - хиу + йи; (37)
93.2 Ф 911 = < ду, дг, гдг + дх + (г + у)ду, иди >,
иг = е-х (аихх + Ьих - хехиу + йи); (38)
93.2 Ф 912 = < еьду, ег(дх + гду), -дг, иди >,
иг = аихх + (Ь - х)их - (х + у)иу + йи; (39)
93.4 Ф 911 = <егду, еы(дх + ду), -дг, иди >, ¡г = 0, к =1,
иг = аихх + (Ь - кх)их + ((1 - к)х - у)иу + йи; (40)
93.4 Ф 912 = < дг, ду, гдг + дх + куду, иди >, к = 0, к =1,
иг = е-х (аихх + Ьих + еНхиу + йи) ; (41)
93.5 Ф 911 = < дг, ду, (у + рЬ)дг + дх + (ру - г)ду, иди >, Р > 0,
е-рх
иг =-(аихх + Ьих + херхиу + йи); (42)
сое х
94.11 = < иди, ду, дг, дх + Ьду + уиди >,
иг = аихх + Ьих - хиу + ( й + ) и; (43)
94.12 = < иди, дг, -удг + дх - -у2иди, ду + Ьиди >,
иг = х (аихх + Ьих + иу + (й + ху)и); (44)
94.31 = < ду, иди, дг, дх + уду + Ыди >,
иг = аихх + Ьих + ехиу + хи; (45)
94.32 = < егду, иди, дх + ду + Ыди, -дг >,
иг = аихх + Ьих + (х - у)иу + хи. (46)
В уравнениях (35)-(46) а = 0, Ь и й — произвольные постоянные.
К каждому из уравнений (35)-(46) применим преобразования эквивалентности (7). Результат представим в виде табл. 1.
Замечание 4. В табл. 1 в первом столбце рядом с номерами случаев приведены номера уравнений, к которым применяется преобразование эквивалентности.
Поскольку уравнения из случаев 1, 3, 5, 6, 9, 10 и 12 относятся к классам уравнений (27) и (31) (которые исключены из рассмотрения), то остается исследовать только уравнения из случаев 4, 7 и 8. В итоге, получаем следующую теорему.
Таблица 1
Упрощение уравнений (35)—(46) преобразованиями эквивалентности (7)
№ Замена переменных Уравнения после замены
1. (35) 1 = е-*, х = —х — ЬЬ, у = —е-г(у + ЬЬ + Ь), V = е-ми, а ^ —а Ut Uxx XUy
2. 1 = аЬ, х = —х, у = ау, Ut Uxx + e Uy
(36) v = ехр( 2ах + (4а — д)Ь)и
3. 1 = аЬ, у = ау, Ut uxx Xuy
(37) V = ех!р(Та Х + (Ё — Ь) П
4. (38) Ь = а ь, х = ехр (X), у= — а у, V = ехр (2ах + 4х) п Ut — uxx + ln X Uy + + d u
5. (39) 1 = —2Ь, х = (х — Ь)е-*, у = —2(у + Ь)в V = е-ми, а ^ —2а Ut — aetUxx - XUy
6. (40) г = е(1-1)*, х = (х — 1)в-ы, у = (у + 1-1Ь)в, V = е-ми, (к — 1)к = 1 — 3к, к = —1, —3 'Ut — at 'Uxx XUy
7. (41) ( = 4 Ь, х = ехр (X) , у = а у, V = ехр (2ах + |х) и, 2(к — 1) = к, к = 0, —2 Ut Uxx + X Uy+ + d U
8. (42) ~Ъ = аЬ, у = ау, V = ехр (2а х) и e-px { | Ut cos x \Uxx + + sin XepxUy + du)
9. v = ехр( 2ах + (4а — д)Ь)и Ut = aUxx — XUy +
(43) +í U
10. г= —ау, х = х + а33 — Ьу, у = аЬ — ^ + ^, Ut - Uxx XUy
(44) V = ехр (+ ду — ^ + 25) и
11. Ь2 - ( Ь2\ х = х — 4а, у = у ехр 4а) , Ut — aUxx + exUy+
(45) V = ехр (2а х) и +XU
12. (46) г = е-*, х = х + аЬ2 + ЬЬ, у = уе/ а*2+ЫдЬ, а ^ а V = ехр {—Ьх — |ЬЬ2 — 3Ь3) и, Ut t Uxx XUy
Теорема 7. С точностью до преобразований эквивалентности (7) существует четыре класса уравнений вида (1), МАИ которых являются 4-мерными разрешимыми алгебрами Ли операторов симметрии вида (19), а именно:
ut = auxx + exuy + xu,
< dt, dy, dx + ydy + tudu, udu >,
d
ut = uxx + Ь xuy + — u,
X2
< dt, dy, 2tdt + xdx + (2y - t)dy, udu >,
d
ut = uxx + xk uy + — u, (k - 1)2 + d2 = 0, k = -2, 0, x2
< dt, dy, 2tdt + xdx + (2 + k)ydy, udu >,
e-px
ut =-(uxx + sinxepxuy + du), p > 0,
cos x
< dt, dy, (y + pt)dt + dx + (py - t)py, udu > .
5. Выводы
Используя метод Жданова-Лагно и известные факты из группового анализа дифференциальных уравнений, проведена предварительная групповая классификация широкого класса (2 + 1)-мерных линейных ультрапараболических уравнений вида (1) относительно разрешимых алгебр Ли до размерности 4 включительно. В частности, было установлено, что класс уравнений (1) (с точностью до преобразований эквивалентности (7)) допускает одну двухмерную, шесть трехмерных и четыре 4-мерных разрешимых МАИ операторов симметрии вида (19). Для завершения классификационной задачи относительно конечномерных алгебр Ли необходимо исследовать уравнения (27) и (31) прямым методом, а также найти все простые алгебры (методом Жданова-Лагно), которые допускаются классом уравнений (1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. C.W. Gardiner Handbook of stochastic methods. Berlin: Springer. 1985.
2. A.N. Kolmogoroff Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung) // Ann. Math. 1934. V 35, № 1. P. 116-117.
3. P. Wilmott, S. Howison, J. Dewynne Option pricing: mathematical models and computation Oxford financial press. 1993.
4. A. Pascucci Kolmogorov equations in physics and in finance // Prog. Nonlinear Differential Equations Appl. 2005. V 63. P. 353-364.
5. H. Geman, M. Yor Bessel processes, Asian options, and perpetuities // Math. Fin. 1993. V 3, № 4. P. 349-375.
6. W.M. Shtelen, V.I. Stogny Symmetry properties of one- and two-dimensional Fokker-Planck equations // J. Phys. A: Math. Gen. 1989. V 22, № 13. L539.
7. S. Spichak, V. Stogny Symmetry analysis of the Kramers equation // Rep. Math. Phys. 1997. V 40, № 1, P. 125-130.
8. S.V. Spichak, V.I. Stogniy, I.M. Kopas Symmetry properties and exact solutions of the linear Kolmogorov equation // Research Bulletin of NTUU "Kyiv Polytechnic Institute", 4, (2011), 93-97. (in Ukrainian)
9. S.S. Kovalenko, I.M. Kopas, V.I. Stogniy Preliminary group classification of a class of generalized linear Kolmogorov equations // Research Bulletin of NTUU "Kyiv Polytechnic Institute", 4, (2013), 67-72. (in Ukrainian)
10. E. Barucci, S. Polidoro, V. Vespri Some results on partial differential equations and Asian options // Math. Models Methods Appl. Sci. 2001. V 11, № 3. P. 475-497.
11. R.Z. Zhdanov, V.I. Lahno Group classification of heat conductivity equations with a nonlinear source //J. Phys. A: Math. Gen. 1999. V 32, № 42. 7405.
12. Лагно В.И., Спичак С.В., Стогний В.И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа. Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2004. 392 с.
13. P. Basarab-Horwath, V. Lahno, R. Zhdanov The structure of Lie algebras and the classification problem for partial differential equations // Acta Applicandae Mathematica. 2001. V 69, N 1. P. 43-94.
14. V. Lahno, R. Zhdanov Group classification of nonlinear wave equations //J. Math. Phys. 2005. V 46, № 5. 053301.
15. R. Zhdanov, V. Lahno Group classification of the general second-order evolution equation: semisimple invariance groups //J. Phys. A: Math. Theor. 2007. V 40, № 19. 5083.
16. Q. Huang, V. Lahno, C. Z. Qu, R. Zhdanov Preliminary group classification of a class of fourth-order evolution equations //J. Math. Phys. 2009. V 50, № 2. 023503.
17. D.-j. Huang, H.-q. Zhang Preliminary group classification of quasilinear third-order evolution equations // Appl. Math. Mech. 2009. V 30. P. 275-292.
18. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983.
19. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.
20. G.W. Bluman, S. Kumei,Symmetries and Differential Equations. New York: Springer-Verlag. 1989.
21. P.J. Olver Applications of Lie groups to differential equations. Berlin: Springer. 1986.
22. Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв. высш. учебн. завед. Математика. 1963. № 1. P. 114-123.
Василий Васильевич Давидович, Институт математики НАН Украины, ул. Терещенковская, 3, 01004, г. Киев, Украина E-mail: [email protected]
