Об одной нелокальной задаче для уравнения четвертогопорядка с доминирующей смешанной производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.999

С.В. Кириченко1

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ДОМИНИРУЮЩЕЙ СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

В статье рассмотрена нелокальная задача для модельного уравнения с доминирующей смешанной производной четвертого порядка. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи, в которой два из четырех условий являются нелокальными и представляют собой интегралы как по пространственной переменной, так и по переменной времени. Для доказательства предложен новый метод, основанный на эквивалентности поставленной задачи и системы уравнений второго порядка.

Ключевые слова: псевдогиперболическое уравнение, нелокальная задача, интегральные условия, доминирующая производная.

Введение

В статье изучается уравнение

игл - ихх - пххц = 0, которое представляет собой частный случай уравнения

д2

(и - (Ьих)х) - аихх = I(М)

Уравнение принято называть в современной литературе псевдогиперболическим уравнением. Однако его также часто называют уравнением с доминирующей производной. Для уравнения (^ рассматриваются как начально-краевые задачи, так и задачи типа задачи Гурса [1, 2]. В последнее время для уравнения (^ ставятся и изучаются также и нелокальные задачи [3-6], в которых нелокальные условия представлены интегральными либо по пространственной переменной, либо по переменной времени, которые заменяют собой краевые или начальные условия соответственно.

В предлагаемой работе рассмотрена задача с двумя интегральными условиями, причем одно из них — интеграл по пространственной переменной, а другое - интеграл по переменной времени. Заметим, что оба эти условия суть условия I рода, что всегда вызывает трудности при доказательстве разрешимости. В статье предложен метод, позволяющий преодолеть эти трудности.

1. Постановка задачи и основной результат

Рассмотрим в области QT = {(x, t) : 0 < x < l, 0 <t <T} уравнение

Utt - Uxx - Uxxtt = 0 (1)

и поставим для него задачу: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

u(x, 0) = ф(х), (2)

u(0, t) = 0, (3)

T

¡K (tUxt)* = *{x)' (4)

0

x© Кириченко С.В., 2017

Кириченко Светлана Викторовна (svkirichenko@mail.ru), кафедра прикладной математики, информатики и информационных систем, Самарский государственный университет путей сообщения, 443066, Российская Федерация, г. Самара, 1-й Безымянный пер., 18.

I

1Н =Е{,)- (5)

0

Функции К(,),Е(,) заданы на [0, Т], ф(х),ф(х),Н(х) на [0,/] и удовлетворяют следующим условиям:

к е с [0, Т ], Е е с 2(0,Т) п с [0,т],ф е с2[0,/],^ е с 2[0,/],н е с [о,/], (6)

а также условиям согласования

I I т

т = 0 т = о,Е т = / Н мы/ Н = / К (,)Е т. т

0 0 0

Обозначим

с^т) = [и : и е с2(Ят), иххгг е с(Ят)}

Теорема. Если функции К(,), Е(,), ф(х),ф(х), Н(х) удовлетворяют в Ят условиям (6), (7), то найдутся такие числа /0,Т0, что при / < /0, Т <Т0 существует единственное решение задачи (1-5) и(х,€) е с(Ят). Доказательство.

Сведем поставленную задачу к двум задачам для уравнений второго порядка. Для этого введем новые неизвестные функции иа = ихх = м(х,,).

Пусть и(х— решение поставленной задачи. Так как иххи = иа — ихх, то нетрудно видеть, что пара функций будет решением системы уравнений

ми + м = V,

ъхх — V = —м,

удовлетворяющим условиям

м(х, 0) = ф''(х),

т

I к <,М*,>* = ГМ,

0

v(0,t) = 0,

I

¡Н ы^* = Е'■ V,

0

которую для дальнейшего нам будет удобно представить в виде двух задач.

Задача 1. Найти функцию м(х,,), удовлетворяющую в области Ят уравнению

ми + м = V (8)

и условиям

м(х, 0) = ф'(х), (9)

т

Iк {,)МхЛ)Л = (10)

0

Задача 2. Найти функцию v(x,t), удовлетворяющую в области Ят уравнению

Vxx — V = —М (11)

и условиям

v(0,t)=0, (12)

I

!Н (хУ(х,г)*х = Е'' (,). (13)

0

Каждую из этих задач можно рассматривать как нелокальную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения с параметром.

Решив систему уравнений второго порядка (8) и (11) с условиями (9, 10, 12, 13), мы тем самым решим поставленную задачу (1-5). Для этого сначала покажем их эквивалентность.

Запишем уравнение (11) в виде V — м — гихх = 0. Так как v(x,t) = ии, м(х,,) = ихх, то vxx(x,t) = иххЫ. Подставляя в последнее уравнение, приходим к уравнению (1).

г т

и(х,Ь - и(х 0 - ы(х 0)=Л *(х,т' )'т'

Теперь равенство игг = у(х,Ь) проинтегрируем дважды по Ь, тогда получаем

г т

0 0

Подставим х = 0:

г т

и(0,Ь) - и(0,0) - Ьи(0,0) = ! J у(0,т')йт'¿т.

00

Так как у(0,Ь) = 0, и(0,0) = 0, то и(0,Ь) = 0. Далее из условия (13) имеем:

I I 2 I

J Н(х)юйх = J Н(х)иггйх = дд^ Н(х)иё,х) = Е''(Ь). 0 0 0

Тогда,

I I

(! Н(х)ийх - Е(Ь)) =0 ^У Н(х)ийх - Е(Ь) = АЬ + В.

0

Подставим Ь = 0, получим

I I

J Н(х)и(х, 0)йх - Е(0) = В ^ J Н(х)ф(х)йх - Е(0) = В. 00 В силу условий согласования следует, что В = 0.

I

Умножим равенство / Н(х)ийх - Е(Ь) = АЬ на функцию К(Ь) и проинтегрируем по Ь

0

Т I т т

К(Ь) ! Н(х)ихЬ - ! К(Ь)Е(Ь)А = А^ К(Ь)ЬА.

0 0 0 0 Поменяем пределы интегрирования в первом слагаемом, а ко второму слагаемому применим условия (7):

I т I т

Н и/К ^_/Н = А]К тш.

0 0 0 0 Если выполняются условия (4), то левая часть последнего равенства обращается в нуль. Следовательно,

I

А = 0. В результате приходим к равенству § Н(х)ивх = Е(Ь)).

0

Перейдем к решению задач 1 и 2.

Решая уравнение (8) методом вариации постоянной, получим:

г

0

Применяя условия (8), (9), находим

г

,(х,Ь)= А(х)совг + ВД™* + I .(х,т^ - т^

А(х) = ф'(х),

т т т

ф''(х) - ф'(х)! К(Ь)соэЬйЬ - / ю(х, т)/ К(Ь)вт(Ь - т)йЬйт

В(х) =-0--0

т

/ К (Ь)вгпЬА

0

Введем обозначения:

т

К 1Ь>ап1Ь - т ),1Ь•

T

чx,) = МО)Г'„,ф ' 'W - ф 'И / к w«**] + ф

0

Тогда

T

/sint /

v(x,T )sin(t — т )dr--—- —(t )v(x,T )dr + b(x,t). (14)

—(0) J

(О)

00 Решая аналогично задачу 2, получаем

x l

E'' (t)shx f shx

E'' (t)shx { shx {

'(x, t) = —--J w(Z, t)sh(x — Z)dZ + Щ J h(Z)w(Z, t)dZ, (15)

00 где

l

h(Z) = j H(x)sh(x — Z)dx.

e

Введем обозначения:

t T

/Sint I

v(Z, T)sin(t — т)dT — —OyjJ -(T)v(Z, T)dT,

(О)

00

l

shx

(x ■ -■■■■-■■■-■

Gv = J sh(x — Z)V(Z, t)dZ + щ / h(Z)V(Z, t)dZ, (16)

00

x l

F (x, t) = ^hOT —J b(Z, t)sh(x — Z)dZ + щ J h(Z)b(Z, t)dZ.

00

Подставляя (14) в (15), получим:

v(x,t) = Gv + F (x,t). (17)

Рассмотрим полученное уравнение (17) и докажем, что оно однозначно разрешимо. Для этого покажем, что оператор z(v) = Gv + F сжимающий.

Расстояние зададим формулой p(vi,v2) = max \vi — v2\.

Qt

Рассмотрим теперь \z(vi) — z(v2)\ = \Gvi — Gv2\.

x l

_WT r T ^ s i shx

(x '

\Gvi — Gv2\ < \j sh(x — Z)(Vi — V2)dZ\ + \щI \j h(Z)(Vi — V2)dZ\ <

00 x l

< \Vi — V2\(\J sh(x — Z)dZ\ + \ щ [\j h(Z)dZ\).

Оценим теперь \Vi — V2\:

t T

/sint /

(vi — v2)sin(t — T)dT\ + \-щI \J -(T)(vi — v2)dT\ <

0

T

/sint /

sin(t — T )dT \ + \ ну -(T )dT\).

0

Преобразуем следующие интегралы

l l l l x l

j h(Z)dZ = J j H(x)sh(x — Z)dxdZ = J H(x) j sh(x — Z)dZdx = j H(x)(chx — 1)dx;

0 0 e 0 0 0

T T T T t T

J -(T)dT = j J к(t)sin(t — T)dtdT = J К(t) J sin(t — T)dTdt = J К(t)(1 — cost)dt.

0 T 0 0

t

Окончательно получаем:

\shx\ J \H(x)|- \chx — l\dx \Gv- — Gv2 \ < \vi — v2\- [\chx — 1\ +--]•

\ / Н(х)8Нхйх\

0

т

¡\К(Ь)\(1 - со8Ь)Л ■ [\1 - сояЬ\ + ^-].

\! К(Ь)8тЬЛ\

0

Найдем такие значения переменных х и Ь, чтобы неотрицательная постоянная

I т

\вНх\ ! \Н(х)\ ^ \сНх - 1\йх /\К(Ь)\(1 - со8Ь)йЬ

С = [\сНх - 1\ +--]■ [\1 - созЬ\ + ^-] < 1.

\ I Н(х)8Ьхё,х\ \ / К(Ь)згпЬА\

00

Неравенство С ^ 1 будет верным, если положим:

I

\зИ,х\ / \Н(х)\^ \сНх - 1\с1х \сНх - 1\ +-—- < 1

\ / H(x)shxdx\

о

и

T

J\K (t)\(1 — cost)dt \1 — cost\ + ^- < 1.

\ j K(t)sintdt\

о

Решая эти два неравенства, получаем, что они верны, если x < 0, 95, t < 57.

В результате получаем, что оператор Gv, определяемый формулой (16), является сжимающим, поэтому

функция v(x,t) однозначно определяется из уравнения (17). В силу условий теоремы и эквивалентности

задач следует существование единственного решения поставленной задачи (1-5).

Литература

[1] Уткина Е.А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка // Дифференциальные уравнения. Минск. 1999. 13с. Деп. в ВИНИТИ. 28.06.99 № 2059-В99.

[2] Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское матем. о-во, 2001. 226 с.

[3] Пулькина Л.С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений. Самара: Самарский университет, 2012. 196 с.

[4] Бейлина Н.В. Нелокальная задача с интегральными условиями для псевдогиперболического уравнения // Вестник СамГУ. 2008. № 2. С. 22-28.

[5] Кириченко С.В. Задача с нелокальным интегральным условием для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка // Вестник СамГУ. 2014. № 3. С. 42-51.

[6] Юлдашев Т.К. Об одном смешанном дифференциальном уравнении четвертого порядка // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2016. Вып. 1(47). С. 119-127.

References

[1] Utkina Е.А. Ob odnom uravnenii v chastnykh proizvodnykh chetvertogo poriadka [About one partial equation of the fourth order]. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], Minsk, 1999, 13 p. VINITI. 28.06.99 № 2059-В99 [in Russian].

[2] Zеgalov V.I., Mironov A.N. Differentsial'nye uravneniia so starshimi chastnymi proizvodnymi [Differential equations with the senior partial derivatives]. Kazan: Kazanskoe matem. o-vo, 2001, 226 p. [in Russian].

[3] Pulkina L.S. Zadachi s neklassicheskimi usloviiami dlia giperbolicheskikh uravnenii [Problems with nonclassical conditions for the hyperbolic equations]. Samara: Samarskii universitet, 2012, 196 p. [in Russian].

[4] Beylina N.V. Nelokal'naia zadacha s integral'nymi usloviiami dlia psevdogiperbolicheskogo uravneniia [Nonlocal task with integral conditions for the pseudo-hyperbolic equation]. Vestnik SamGU [Vestnik of Samara State University], 2008, no. 2, pp. 22-28 [in Russian].

[5] Kirichenko S.V. Zadacha s nelokal'nym integral'nym usloviem dlia psevdogiperbolicheskogo uravneniia chetvertogo poriadka [Task with a nonlocal integral condition for the pseudo-hyperbolic equation of the fourth order]. Vestnik SamGU [Vestnik of Samara State University], 2014, no. 3, pp. 42-51 [in Russian].

[6] Uldashev Т.К. Ob odnom smeshannom differentsial'nom uravnenii chetvertogo poriadka [About one mixed differential equation of the fourth order]. Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta [Proceedings of the Institute of Mathematics and Informatics at Udmurt State University], 2016, Issue 1(47), pp. 119-127 [in Russian].

S.V. Kirichenko2

ABOUT ONE NONLOCAL TASK FOR THE EQUATION OF THE FOURTH ORDER WITH THE DOMINATING MIXED DERIVATIVE

In the article the nonlocal task for the model equation from the dominating mixed derivative of the fourth order is considered. The unique solubility of an objective in which two of four conditions are nonlocal is proved and represent integrals both on a space variable, and on time variable. For the proof the new method based on equivalence of an objective and set of equations of the second order is offered.

Key words: pseudo-hyperbolic equation, nonlocal task, integral conditions, dominating derivative.

Статья поступила в редакцию 10/ V/7/2017. The article received 10/V///2017.

2Kirichenko Svetlana Viktorovna (svkirichenko@mail.ru), Department of Applied Mathematics, Informatics and Information Systems, Samara State University of Railway Transport, 18, 1-st Besymanniy per., Samara, 443066, Russian Federation.