CC BY
31
Обычно эволюция таких моделей исследуется с помощью дифференциальных уравнений, которые, как известно, описывают детерминированные системы (см. например [1, 2]). Для анализа можно использовать также стохастические модели, при этом требуются вероятностные характеристики изучаемой системы. Удобным и общим средством описания недетерминированных систем (систем с неточно заданной или неполной информацией) являются дифференциальные включения (см., например, [3, 4]). Так, для построения модели в предлагаемом примере достаточно ограничиться самыми общими предположениями о динамике системы и классе функций К Используя теорему о построении точного сверху дифференциального включения для задач с непрерывной правой частью [5], строится точное сверху [4] аппроксимирующее дифференциальное включение для задачи (1):
£*£/<Й ё а^о(£), £(0) = х0, (2)
где отображение Ро : Р —> Ку(Л+т). Заметим, что точное дифференциальное включение является "наилучшим" в некотором смысле среди всех аппроксимирующих сверху включений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Булинский В.А. К вопросу математического прогнозирования результатов экономического соревнования // Экономико-математические модели: Сб. 4. М., 1972. С. 3-14.
2. Кобринский Н.Е., Майминас Е.З., Смирнов А.Д. Экономическая кибернетика. М., 1982. 480 с.
3. Плотников В.А., Плотников А.В., Витюк А.Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью. Асимптотические методы. Одесса: Астропринт, 1999. 355 с.
4. Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение систем дифференциальных включений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. 160 с.
5. Зайчикова Н.А. Построение точного сверху дифференциального включения для задач с непрерывной правой частью // Вестн. СамГУ. Самара: Изд-во СамГУ, 2002. №2(24). С. 24-30.
ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ И ПРОБЛЕМА СПЕКТРАЛЬНОГО СИНТЕЗА
В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
© П.А. Золожук (Лесосибирск)
Пусть Я - полное, отделимое линейное топологическое пространство над полем комплексных чисел, топология тн которого задается бесконечной системой полунорм {|| • Нр}^,? € V. Н* -пространство, сопряженное к Я и наделенное сильной топологией, кроме того рассматриваются пространства полученные из Н и Я* преобразованием Бореля-Лапласа. Последовательность х = = {х*}^1 назовем представляющей в Я, если любой элемент из Я можно представить в виде сходящегося в Я ряда х = °ьХк- И, конечно, представляющей, если ярап = Я. Пусть
{хк}к^-\,хк ф 0, к = 0,оо - представляющая система в Я с условием НтА;э >/||ж*||р = 7Р, где /? >
> 0,7Р < 7р+1,7р -> 7,Р “> °°-
Введем функцию е(А) = хк\к, являющуюся решением уравнения Ах = Хх, х £ Я, А £ С.
уР р ____
Здесь оператор А имеет порядок /3 ф 0, оо и тип а, ар = ^ = а,р — 1, оо.
В свете изложенного имеют место следующие предложения:
Теорема 1. Система {хк}'^1 конечно представляющая в Я система тогда и только тогда, когда она полна в Я. Иначе говоря, когда интерполяционная задача 1{хк) = 0, к = 1, оо, I £ 6 Н*,Хк £ Я имеет только нулевое решение в Я*.
Т еорема2. Необходимым условием полноты представляющей системы в Н является полнота системы корневых векторов оператора А в Н.
ТеоремаЗ. Каждое нетривиальное замкнутое в топологии Н инвариантное подпространство W из Н совпадает с замыканием линейной оболочки системы содержащихся в Н корневых векторов оператора А, а значит допускает спектральный синтез:
span{e(\k)}%L0 = W,A(W)cW.
Т еорема4 [Аппроксимационная]. В каждом подпространстве W С Н, инвариантном относительно оператора А, существует элемент F £W такой, что span {AnF(z)} = W.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ И СТРУКТУРА АТТРАКТОРА В МОДЕЛИ Э. ЛОРЕНЦА
© И.В. Зубов (Санкт-Петербург)
Через сто лет после "Математические проблемы" Д. Гильберта один из известнейших американских математиков С. Смейл по инициативе Международного математического общества сформулировал 18 проблем для математиков XXI века, одной из которых (проблема 14) является проблема, связанная со странным аттрактором Э. Лоренца, являющимся флагманским примером хаотической динамики и наиболее упоминаемым математическим объектом последних двух десятилетий.
Следует отметить, что задолго до появления модели Э. Лоренца и других примеров, вытекающих из физических задач, В.В. Немыцкий (1900-1967) неоднократно обращал внимание математической общественности на необходимость изучения таких движений, которые имеют предельное поведение при неограниченном возрастании времени, но при этом предельные множества не являются интегральными многообразиями исходных дифференциальных уравнений.
Многолетние исследования системы Лоренца показали, что методы качественной теория дифференциальных уравнений, основанные на локальном изучении поведения решений в окрестности особой точки, не смогли дать исчерпывающего объяснения этого феномена. Основным математическим инструментом исследования этой системы стало численное интегрирование с использованием компьютера, и именно проблема соответствия поведения решений системы Лоренца геометрическим представлениям, получаемым на основе численного интегрирования системы, и составляет содержание 14-й проблемы Смейла, который отмечает, что математическое доказательство существования глобально притягивающего компактного инвариантного множества для системы Лоренца отсутствовало. В докладе впервые дается математическое доказательство существования аттрактора в модели Э. Лоренца. Открыта его структура. Показано, что любая устойчивая по Лагранжу система в полном пространстве имеет аттрактор. Доказано, что все движения, принадлежащие аттрактору, являются рекуррентными. Доказательство осуществлено с использованием аппарата функций Ляпунова и классических методов теории динамических систем. Получены уравнения двумерного и трехмерного инвариантного для полупотока множества для модели Э. Лоренца. Доказательство основано на следующей теореме:
Теорема. Для того чтобы динамическая система /(р,Ь) имела аттрактор А, необходимо и достаточно, чтобы существовала компактная область М пространства И, являющаяся инвариантным для полупотока множеством динамической системы /(р, £).
Функции Ляпунова для системы Лоренца
х = —ах + ау, у = гх — у — хг, г = ху — Ъг
