CC BY
7
2023
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics
№ 83
Научная статья
УДК 512.545 MSC: 06F15; 08B15
doi: 10.17223/19988621/83/2
Представления и декартовы произведения т-групп Алексей Владимирович Зенков
Алтайский государственный аграрный университет, Барнаул, Россия, alexey_zenkov@yahoo. com
Аннотация. Показано, что всякая выпуклая m-подгруппа декартова произведения m-групп, допускающая точное m-транзитивное представление, есть выпуклая m-под-группа подходящей проекции декартова произведения m-групп. Отсюда следует, что декартово произведение m-групп не допускает точного m-транзитивного представления.
Ключевые слова: m-группа, декартово произведение m-групп, m-транзитивное представление
Для цитирования: Зенков А.В. Представления и декартовы произведения m-групп // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 83. С. 17-23. doi: 10.17223/19988621/83/2
Original article
Presentations and Cartesian product of m-groups
Alexey V. Zenkov
Altai State Agricultural University, Barnaul, Russian Federation, [email protected]
Abstract. An m-group is an algebraic system G of a signature m = (e,4, - , a , v, 9 ^ , where ^G;e,4, -, a , v ^ is a lattice-ordered group (an l-group for short) and the unary operation 9 can be interpreted as a second-order automorphism of the group ^G; e,4, and the anti-isomorphism of the lattice (G; a , v), i.e., for any x, y g G the following relations are true:
(xy)9 = (x)9(y)^ ((x)9)9 = (x)92 = x (xv y)9 = (x)9 a (У)9, (x a y)9 = (x)9 v (y)9 We denote an m-group G with the marked automorphism 9 as a pair (G, 9).
The concept of an m-group as an algebraic system was explicitly formulated by M. Giraudet and J. Rachunek. The introduction of the concept of an m-group as an algebraic system allows us to apply the methods of universal algebra to the study of mono-
© А.В. Зенков, 2023
tonic permutations groups of ordered sets. In particular, it has become possible to write down the properties of such groups in the language of identities, which necessarily leads to the creation of a theory of varieties of m-groups.
We recall the basic concepts of the representation theory of m-groups by order-preserving permutations of ordered sets. Let Q be a chain and a be a reversible second-order automorphism of Q. That is, ((w)a)a = w and w<w'« (w)a> (w')a for all w, w' e Q. Denote by Aut(Q) the group (under composition) of all order-preserving permutations of Q. It is well known that with respect to the pointwise order Aut(Q) is an l-group. The l-group Aut(Q) can be turned into an m-group if the operation 9 is defined on it by the rule (g)^ = aga. By a faithful representation of an m-group (G, 9) by order-preserving permutations of Q we mean the m-isomorphism r|:G ^ Aut(Q). We write this as (G, Q,a).
The representation (G, Q,a) of an m-group (G, 9) is m-transitive if for all w,w'eQ there is an element geG such that (w)gae =w', where s = 0 or s = 1. Importance of m-transitive representations of m-groups in the study of varieties m-groups is explained by the fact that every subdirect m-indecomposable m-group has a faithful m-transitive representation. Therefore, every variety of m-groups is generated by its groups that admit an m-transitive representation.
On the other hand, if a variety of m-groups is generated by a certain class of m-groups, then every m-group of this variety according to Birkhoffs theorem is a m-homomorphic image of an m-subgroup of the Cartesian product of m-groups of this class. Therefore, it is necessary to know the description of Cartesian product subgroups that admit a faithful m-transitive representation.
We prove that every convex m-subgroup of a Cartesian product of m-groups that admits a faithful m-transitive representation is an m-subgroup of a suitable projection. As a consequence, we obtain that the Cartesian product of m-groups does not admit a faithful m-transitive representation.
Keywords: m-group, Cartesian product, m-transitive representation of an m-group
For citation: Zenkov, A.V. (2023) Presentations and Cartesian product of m-groups. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 83. pp. 17-23. doi: 10.17223/19988621/83/2
Введение
Напомним, что решеточно упорядоченная группа (£ -группа) - это алгебраическая система G сигнатуры £ = (в, , •, Л ^ , совмещающая в себе структуру
группы и решеточного порядка, связанные естественными соотношениями: х(и V V)у = хиу V XVy, х(и Л V)у = хиу Л хуу. Замечание. В дальнейшем во всех решетках для обозначения операций объединения и пересечения используем символы V, л соответственно. Из контекста будет понятно, о какой решетке идет речь.
Пусть G - произвольная £ -группа. Подгруппа A £ -группы G будет ее выпуклой £ -подгруппой, если: 1) A замкнута относительно объединений и пересечений
(Л - £ -подгруппа); 2) A есть выпуклое множество, т.е. неравенство а1 <g < а2, где а1,а2 еА,gеО, влечет gеА. Так как теоретико-множественное пересечение любого множества выпуклых £ -подгрупп £ -группы О есть ее выпуклая £ -подгруппа, то на множестве Ь(О) всех выпуклых £ -подгрупп £ -группы О естественным образом можно определить структуру решетки, полагая для А, Ве ДО) их (решеточное) пересечение А л В равным их теоретико-множественному пересечению, а объединение А V В как теоретико-множественное пересечение всех выпуклых £ -подгрупп £ -группы О, содержащих Л и В. Отметим, что решетка Ь(О) дистрибутивна (см., напр.: [1. Гл. 3, § 1, т. 2]).
Согласно [2], т-группой называется алгебраическая система О сигнатуры т = (в, , •, л , V, ф ^ такая, что (О; е,4, •, л , V ^ является £ -группой, а одноместная операция ф есть автоморфизм 2-го порядка группы ^О; е,, ^ и антиизоморфизм решетки (О; л , V), т.е. ф отображает взаимно однозначно О на себя, причем верны соотношения
(ху)ф = (х)ф(у)ф, ((х)ф)ф = (х)ф2 = X, (X V у)ф = (х)ф л (у)ф, (X л у)ф = (х)ф V (у)ф.
В дальнейшем т-группу О с отмеченным автоморфизмом ф записываем как пару (О, ф). Пусть (О, ф) есть т-группа и Н - ее £ -подгруппа. Тогда Н называется т-подгруппой т-группы (О, ф), если она замкнута относительно действия ф. Выпуклая нормальная т-подгруппа К т-группы (О, ф) называется ее т-идеалом. Именно т-идеалы и только они являются ядрами т-гомоморфизмов т-групп.
Пусть Ф - некоторое множество тождеств сигнатуры т = ^е,-1, •, л , V, ф ^.
Стандартно многообразием т-групп (т-многообразием) с базисом тождеств Ф будем называть всякий класс т-групп X, состоящий только из тех т-групп, на которых истинны все тождества Ф. Множество М всех многообразий т-групп является частично упорядоченным относительно теоретико-множественного включения; более того, М можно рассматривать как решетку, если для т-мно-гообразий X и У определить их пересечение X л У как теоретико-множественное
пересечение, а объединение X V У - как наименьшее т-многообразие, содержащее как X, так и У.
Изучение свойств т-многообразий, в частности изучение строения решетки М, базируется на следующей хорошо известной теореме Биркгофа (см., напр.: [3. Гл. 6, § 13, т. 1]):
Теорема 1.1. Для того чтобы непустой класс X алгебраических систем сигнатуры ст был многообразием, необходимо и достаточно выполнения следующих условий: 1) декартово произведение систем из X принадлежит X; 2) всякая подсистема системы из X принадлежит X; 3) любой гомоморфный образ системы из X принадлежит X.
Таким образом желательно иметь «хорошее» описание т-декартовых произведений, например на языке теории групп монотонных подстановок линейно упорядоченных множеств.
Более подробно. Пусть О - некоторое (бесконечное) линейно упорядоченное множество. Взаимно однозначное отображение f (подстановка/) множества О на себя называется порядковой подстановкой, если для любых точек а, Ре О неравенство а< Р влечет (а)/<(Р)/ ; подстановку f назовем антипорядковой, если а < Р влечет (а)/ > (Р)/. Подстановка называется монотонной, если она является порядковой или антипорядковой. Через АШ;(О) и Моп(О) обозначим группы (относительно суперпозиции) всех порядковых и всех монотонных подстановок линейно упорядоченного множества О соответственно. Очевидно, что Аи1;(О) с Моп(О). Хорошо известно, что относительно поточечного порядка АШ;(О) является £ -группой. Элемент ае Моп(О)\АШ;(О) будем называть реверсивным автоморфизмом 2-го порядка О, если а2 = в. Отметим, если Аи;(О) Ф Моп(О), то реверсивный автоморфизм 2-го порядка всегда существует. Теперь на АШ;(О) можно определить структуру да-группы, если для g еАи1;(О) положить ^)ф = aga. Будем говорить, что да-группа (О, ф) допускает точное представление порядковыми подстановками линейно упорядоченного множества О, если найдется да-изоморфизм г|:О ^ Аи;(О). Этот факт записываем в виде (О, О, а). Отметим, что для да-групп имеет место следующая теорема о представлении [4]:
Теорема 1.2. Всякая да-группа (О, ф) допускает точное представление порядковыми подстановками подходящего линейно упорядоченного множества О.
Таким образом всякую да-группу можно рассматривать как некоторую подгруппу группы монотонных подстановок подходящего линейно упорядоченного множества. Еще раз отметим, что в дальнейшем рассматриваются только точные представления, и все понятия теории представлений (не обязательно точных) относятся именно к ним. При изучении да-многообразий особую роль играют представления, которые мы называем да-транзитивными. Итак, представление (С, О., а) будет т-транзитивным, если для любых а,Р еГ2 найдется хеС,, что (а)х =р, где О, = а 6. (С,а) с: Моп(£2). Всякая да-группа, допускающая хотя бы одно такое представление, называется да-транзитивной .
Из общей теории алгебраических систем известно, что всякое многообразие порождается своими подпрямо неразложимыми системами. Стало быть, при изучении да-многообразий желательно иметь хорошее описание подпрямо да-нераз-ложимых групп. Оказывается имеет место следующая теорема [5]:
Теорема 1.3. Всякая подпрямо да-неразложимая да-группа (О, ф) допускает точное да-транзитивное представление.
Мы докажем (Теорема 2.3), что всякая выпуклая да-подгруппа декартова произведения да-групп, допускающая точное да-транзитивное представление, есть выпуклая да-подгруппа подходящей проекции декартова произведения да-групп. Отсюда получаем, что декартово произведение да-групп не допускает точного да-транзитивного представления (Следствие 2.4). Таким образом , изучение декартовых произведений да-групп несводимо к рассмотрению (точных) да-тран-зитивных представлений в отличие от случая подпрямо да-неразложимых да-групп.
Здесь же отметим, что подобные вопросы рассматривались и для решеточно-упорядоченных групп (см., напр.: [1]).
Более подробную информацию по теории £ -групп можно найти в книгах [1, 6].
Основной результат
Для выпуклой £ -подгруппы V £ -группы О через Я(О : V) обозначим множество правых смежных классов О по V с частичным порядком <, определяемым по правилу: Vx < Vy тогда и только тогда, когда найдется такой у е V, что ух< у.
Если этот порядок окажется линейным, то V называют спрямляющей. Хорошо известно следующее:
Предложение 2.1 [1. Гл. 3, § 3, т. 1]. Выпуклая £ -подгруппа V £ -группы О будет спрямляющей тогда и только тогда, когда для любых положительных элементов х, у е О \ V их пересечение х л у й V.
Для элемента хе О через |х| = х V х 4 обозначим его модуль. Очевидно, что модуль любого элемента неотрицателен. Элементы х, у и О являются ортогональными, если | х | л | у | = е (этот факт обозначаем х 1 у ). Отметим, что ортогональные элементы перестановочны. Пусть V есть спрямляющая £ -подгруппа £ -группы О. Для произвольного элемента х 6 О\V через х1 ={g6 О|х1 g} обозначим его поляру. Непосредственно из определения поляры и Предложения 2.1 следует, что поляра х1 содержится в спрямляющей V. Спрямляющая £ -подгруппа V т-группы (О, ф) называется представляющей, если она не содержит неединичных т-идеалов. Следующее утверждение доказано в [5].
Предложение 2.2. т-группа (О, ф) допускает точное т-транзитивное представление тогда и только тогда, когда она содержит представляющую £ -подгруппу.
Для множества т-групп {(р., ф )| у е J}, мощность которого | J | >1, через
Р = ^ Ру обозначим £ -декартово произведение £ -групп множества {Ру | у 6 J}.
jеJ
Элемент / е Р записываем в виде: / = (... /... /у... / ...). Теперь определим отображение ф: Р ^ Р по правилу
СЛФ=(-ШФ,-С/;)Ф7-(Л)Ф*-)-
Ясно, что ф есть автоморфизм 2-го порядка группы (р; е, _1, ^ и антиизоморфизм решетки (Р; Л . Стало быть, можно рассмотреть т-группу (Б, ф),
которую мы и будем называть декартовым произведением (т-декартовым произведением) класса т-групп {(Р ,ф )|уе J}. Для каждого уе J стандартным обра-
л
зом определяем /-проекцию /( =(...е.../; ...е...) элемента /еР. Тогда
_ Л 1 Л
/ = // = (.../■ ...е.../к...). Непосредственно из определения элементов / и
_ л _
f ■ вытекает, что эти элементы ортогональны и, конечно, f = f f у Далее, несложно заметить, что множество Fj = {f | f е F всех j-проекций и множество
Fj = {fj | f е F} образуют да-идеалы да-группы (F, ф), более того, F = F j v F j для каждого j е J .
Рассмотрим теперь произвольную (неединичную) выпуклую да-подгруппу (G, ф) да-декартова произведения (F, ф) и предположим, что она допускает точное да-тран-зитивное представление. В силу Предложения 2.2 в G найдется представляющая £ -подгруппа V. Тогда в £ -группе F найдется такая спрямляющая £ -подгруппа H, что
V = H n G. (*)
Доказательство этого, на самом деле, ключевого равенства, можно найти в [6, Preposition 12.11].
Из свойств F j и F j следует, что при каждом j е J верно одно и только одно из следующих условий:
Л _
1) Fj с H, и тогда Fj H;
__Л
2) Fj с H, и тогда Fj <г H.
Предположим, что для всех j е J имеет место условие 1). Тогда, учитывая
Л Л Л Л Л
условие (*), получаем V n F j = H n F j n G = F j n G = F j л G. Ясно, что Fj л G
Л
является да-идеалом m-группы (G, ф) и Fj л G cV. Так как V есть представляющая,
Л
то F j л G = е. Следовательно, так как G есть выпуклая £ -подгруппа £ -группы F, верно
G = G лF = G л (F j vF j) = (F . л G) v (Fy лG) = F j лG = Fy n G. Стало быть, для каждого j е J имеет место G с Fj. Следовательно, G cn Fj. Но последнее включение невозможно, так как n Fj = e. Поэтому
jEJ
для некоторого j е J выполнено условие 2). Рассуждая, как и выше, приходим
Л
к выводу, что G с Fj. Тем самым доказана
Теорема 2.3. Выпуклая да-группа (G, ф) да-декартова произведения (F, ф), допускающая точное да-транзитивное представление, содержится в подходящей
Л
проекции F j декартова произведения да-групп (F, ф).
Следствие 2.4. да-декартово произведение (F, ф) не допускает точного да-тран-зитивное представления.
Доказательство. Действительно, существование такого представления озна-
Л
чало бы в силу теоремы 2.3, что F с Fj для некоторого jе J, что невозможно.
#
Список источников
1. КопытовВ.М. Решеточно упорядоченные группы. М. : Наука, 1984. 300 с.
2. GiraudetM., Rachünek J. Varieties of half lattice-ordered groups of monotonic permutations
of chains // Czech. Math. J. 1999. V. 49. P. 743-766.
3. МальцевА.И. Алгебраические системы. М. : Наука, 1970. 392 с.
4. GiraudetM., Lucas F. Groupes á moitié ordonnés // Fundam. Math. 1991. V. 139 (2). P. 75-89.
5. Varaksin S.V., Zenkov A.V. On representations of ra-groups // Siberian Mathematical Journal.
2013. V. 54. P. 227-230.
6. DarnelM. Theory of lattice-ordered groups. New-York : Marcel Dekker, 1995. 539 p.
References
1. Kopytov V.M. (1984) Reshetochno uporyadochennyye gruppy [Lattice-ordered groups]. Mos-
cow: Nauka.
2. Giraudet M., Rachünek J. (1999) Varieties of half lattice-ordered groups of monotonic permu-
tations of chains. Czechoslovak Mathematical Journal. 49. pp. 743-766.
3. Mal'cev A.I. (1973) Algebraic Systems. Springer.
4. Giraudet M., Lucas F. (1991) Groupes á moitié ordonnés. Fundamenta Mathematicae. 139(2).
pp. 75-89.
5. Varaksin S.V., Zenkov A.V. (2013) On representations of ra-groups. Siberian Mathematical
Journal, 54(2). pp. 227-230.
6. Darnel M. (1995) Theory of Lattice-Ordered Groups. New York: Marcel Dekker.
Сведения об авторе:
Зенков Алексей Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика, механика и инженерная графика» Алтайского государтвенного аграрного университета, Барнаул, Россия. E-mail: [email protected]
Information about the author:
Zenkov Alexey V. (Candidate of Physics and Mathematics, Altai State Agricultural University, Barnaul, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 28.12.2021; принята к публикации 01.06.2023 The article was subдаitted 28.12.2021; accepted for publication 01.06.2023
