CC BY
77
отношении защиты водителя и пассажиров в случае лобового столкновения. М.: Изд-во стандартов, 1999. 60 с.
8. ГОСТ 2.052-2006. Единая система конструкторской документации. Электронная модель изделия. М.: Изд-во стандартов, 2006. 45 с.
9. Джонс Дж. К. Методы проектирования: пер. с англ., 2-е изд., доп. М.: Мир, 1986. 326 с.
10. Зыков С.Н., Умняшкин В.А., Филькин Н.М. Напряженно-деформируемое состояние автомобильного кузова. Ижевск: Научноиздательский центр «Регулярная и хаотичная динамика», 2008. 124 с.
11. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2001. 320 с.
12. Умняшкин В.А., Филькин Н.М., Зыков С.Н. Инженерный анализ конструкции автомобиля на прочность: учеб. пособие. Ижевск: Научноиздательский центр «Регулярная и хаотичная динамика», 2008. 124 с.
А. Vakhrushev, S. Zykov
Mathematical modeling of car body as polymaterial multicomponent structure
The principles of mathematical modeling carried out within the framework of automobile and its components design engineering are submitted. Milestones of complex multiphase mathematical modeling and problems to be solved herewith are described.
Keywords: mathematical modeling, car body design, engineering, polymaterial multicomponent structure.
Получено 07.04.10
УДК 519.21
Е.А. Ядыкин, д-р техн. наук, проф., начальник Управления ПКВК, (4872)33-55-05, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ НЕСЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Строго доказываются условия, при которых технологическая операция может быть представлена как линейная неслучайная функция двух случайных величин.
Ключевые слова: технологическая операция, неслучайная функция, линейность, случайные величины.
При обработке металлов давлением довольно часто встречаются технологические операции, в ходе которых преобразуется один и тот же параметр, например, параметр «разностенность» при выполнении технологических операций вытяжки стаканчика. При этом из статистических наблюдений известно, что законы распределения этого параметра на входе
операции (случайная величина X) и на выходе (случайная величина У) подчиняются закону Гаусса.
Возникает вопрос, можно ли, зная статистики параметра X, по какому-то правилу прогнозировать статистики параметра У ?
Считаем, что кривые линии ^(х, у) и ^2(х, у) имеют подобие по
параметрам, если соблюдаются условия их пропорциональности, и подобие по типу кривой, если пропорциональность нарушена, но тип линии со-
2 2 2 2 тт х у х у
храняется. Например, эллипсы — + —— = 1 и —— +----------— = 1 - это линии
22 12 32 (1,5)2
(фигуры) одного типа, которые имеют пропорциональное подобие (рис. 1), т.к. соблюдаются пропорции между основными элементами (полуосями).
Рис. 1. Подобие эллипсов по параметрам а и b
Условие подобия эллипсов по параметрам
а2 = h = k=const, ai=02 = k. (1)
ai bi bi b2
2 2 2 2
Эллипсы + y- = 1 и + У- = 1 (окружность с радиусом R = 3)
22 12 32 32
x 2 2
подобны только по типу кривой = 1 эллипса (рис. 2).
a2 b2
Условие подобия по типу кривой у эллипсов
02 = kb= k2; k ф k2. (2)
01 b1
Рис. 2. Условное подобие эллипсов по типу кривой
Таким образом, при пропорциональном подобии х2 у2 „ х2 у2 „ а2 = ка\,
Щ;
■ +
2 2 2 У_ = - Х_ + у_
2 ’ а2 Ь
2 1; Ь
2
2
+
У
2
к 2Ь12
х
2
2
+
У
2
Ь
2
к ^ а1 ь>1 J
или параметрически подобные элипсы имеют уравнение
п-
х
.2
У
.2
1.
а-
Ь
1
где п = — коэффициент подобия по параметрам а и Ь.
к
При подобии по типу линии имеем
х
+
а1
2 2 2 У-=1; —+У-
Ь,2 ; а2 Ь2
а2 = ка1
х
2
22 к а1
+
У
2
к2Ь12
х
+ П2
кЪл
У
1
2
а1
Ъ
2
=1
1
где п1
к
2
П2
1
1
к
2
- коэффициенты подобия по параметрам а и Ь
2
соответственно.
Пусть две случайные величины X и У связаны однозначной неслучайной функцией вида У = ф(X). Пусть точно известна однозначная обратная функция X = ф-1(У). В этом случае по известной плотности веро-
1
2
1
ятной /(х) случайной величины X мы можем отыскать неизвестную функцию плотности вероятностной /(у) случайной величины У.
Из теории вероятности известно, что
/(у)Ау * р{у < У < у + Лу} где Ау >0.
Очевидно, что значение вероятности не изменится, если от значений двойного неравенства взять обратную функцию ф-1 при условии, что значения х возрастают:
Р{у = У < у + Ау}=р{ф-1(у) <ф-1(У)<ф-1(у + Ау)} . (3)
ю X = ф-1(У), равенство (
Р{х < X <х + Ах}* /(х)Ах,
С учётом того, что X = ф 1(У), равенство (3) примет вид
т. е.
/( у)ау = /(х)Ах. (4)
Используя преобразование Лагранжа, получаем
Ах = ф-1(у + Ау)-ф-1(у) * ^У-^Алу. (5)
ау
Для (4) с учётом (5)
/ (у )Ау = / (х) Ау.
ау
Окончательно с учётом того, что х = ф-1 (у) и может не только возрастать, но и убывать, запишем
аф-1( у)
(6)
/у (у) = /х [ф-1( у)]
ау
где функциям /х и /у для удобства присвоены индексы х и у.
В ряде случаев необходимо решать задачу, суть которой заключается в следующем. Случайные величины X и У связаны неслучайной однозначной функцией У = ф( х), которая, как и однозначная обратная функция X = ф-1 (У), неизвестна. Но известно, что функции плотностей вероятностей / (х) и / (у) подобны по типу линии. Необходимо найти неслучайную функцию У = ф( X).
аф-1(у) п
Для упрощения рассмотрим случай, когда --------------->0 и неслучай-
ау
ная функция является линейной, т.е. У = ф( X) = aX + Ь. Тогда
ф-1(У) = X = —Ь.
а
И прямая и обратная функции являются однозначными, а коэффи-
_ йф—1 (у) „
циент а >0, т.к.----— >0.
йу
Выражение (6) примет вид
/у (у) = їх
Ф 1( у)
йФ 1( у)
йу
а
(7)
Приравнивая соответствующие значения параметров в функциях
/у (у) и їх
( у — ЬЛ
, находят условия, при которых неслучайная функция
V а )
будет линейной, а параметры должны удовлетворять условиям подобия (1) или (2).
Известно, что функции распределения плотностей вероятностей параметров X предметов обработки и У на входе технологической операции вытяжки и на выходе этой технологической операции соответственно распределены по нормальному закону.
В обычной системе координат
/ (х) =
с хл/
(х—тх )2 £ 2а х 2
(у—ту )2
(8)
/ (у)
1
2а,
с у •%/ 2п
(9)
где а х, а у - среднее квадратическое отклонение; а тх, Шу - математические ожидания случайных величин X и У соответственно.
В центрированной системе координат
х
/ (х)
1
а х V 2п
£ 2а х
2
у
ул/2Л
Докажем, что дисперсии Э[Х ] в обычной системе координат и Б[X] = о[Х — М[X]] равны.
1
2
2
Пусть дано
X = х - м [ х ],
где М[X] - математическое ожидание случайной величины X, причём X и М[X] независимы по определению.
Найдём значение дисперсий от обеих частей равенства:
Б[X] = - М[X]]..
Так как дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий и дисперсия от постоянной суммы равна нулю, получим
Б[ X ] = Б[ X ] - Б[М [ X ]] = Б[ X ],
что является свидетельством того, что среди всех воздействий на параметр X в ходе предыдущей операции и на параметр У в ходе данной операции вытяжки нельзя выделить приоритетных, кроме технологических воздействий, т. е.
а2[ X ] = а2[ X ], ах= ах,
что и требовалось доказать.
В центрированной системе координат имеем
У = а^) = аIX; X = а-1(У) = -; Ь = 0. (10)
а
^а 1( у) = 1 йу а
Представляем (10), (11) в (7) и получим
-2 -2
-_^ у
(11)
1 £ 2а у = 1 £ 2а 2<а X
или после логарифмирования и преобразований
а -2 а 2 а2_ 2 1п_^=у_ .а у2- аа 2. (12)
аах 2 а 2 ах ау2
Выражение (12) будет всегда выполняться при условии
ау =аах,
240
что является необходимым и достаточным условием для выполнения линейности неслучайного закона преобразования случайной величины X в случайную величину У при вытяжке.
Для более общего случая, т.е. для обычной системы координат докажем следующую теорему.
Теорема. Для того чтобы неслучайная функция преобразования случайной величины X в случайную величину У в обычной системе координат была линейной вида У = аХ + Ь при условии их нормальных распределений плотностей вероятностей, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
(13)
(14)
а
У
аа
х *
Шу = атх + Ь.
Доказательство.
-1,
Пусть У = а(Х)аХ + Ь; X = а-1(У) = У—Ь; ^ (у) = -1.
а йу а
Функции распределения /(х) и /(у) имеют вид по (8) и (9) соответственно. Тогда в соответствии с (7) имеем
или
1
а у л/ 2п
г { \ = 1 г (У - ЬЛ
їу ( у) = їх а
(У-ту )
2а,
а
а
X д/2п
у-Ь
а
- т.
После логарифмирования и преобразований получим
1п-
ау (у - Ь - атх )2 (у - ту)
аа
2аа
х
2а
у
2 2
При условии, что ау = аах, имеем (у - Ь - атх) - (у - ту) = 0.
Последнее выражение будет всегда выполняться при условии у - Ь - атх - у + ту = 0 или ту = атх + Ь, что и требовалось доказать.
Таким образом, в работе показано, что если случайные значения одноименного параметра X на входе технологической операции и У на выходе операции распределены по закону Гаусса, то технологическую операцию можно представить как линейную неслучайную функцию У = aX + Ь, где а и Ь вычисляются по формулам (13) и (14) соответствен-
2
2
2
2
1
1
2
2
2
но, что позволяет прогнозировать изменение параметра Y, зная изменения параметра X.
E. Jadykin
Representation of technological operation by linear not casual function of two random variables
Conditions at which technological operation can be presented as linear not casual function of two random variables are strictly proved.
Keywords: technological operation, not casual function, linearity, random variables.
Получено 07.04.10
УДК 621.833
В.В. Кулешов, канд. техн. наук, доц., (4872) 26-26-21, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА С УВЕЛИЧЕННЫМ БЫСТРОДЕЙСТВИЕМ ДЛЯ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ
Рассмотрены вопросы построения математической модели цифрового фильтра, в котором эффективность передачи информации возрастает по мере увеличения разрядности цифрового кода. Полученные результаты могут использоваться при проектировании цифровых каналов обработки информации в мехатронных системах.
Ключевые слова: макроуровень, мехатронная система, время дискретизации, информационные группы, разрядность цифрового кода, засм.
Разработка цифровых фильтров для мехатронных систем со значительным быстродействием и точностью является актуальной задачей[1]. Вопросы реализации цифровых фильтров с увеличенным быстродействием для мехатронных систем исследованы недостаточно [1, 2], поэтому целью данной работы является разработка математической модели цифрового фильтра с увеличенным быстродействием на макроуровне, входящего в структуру управления обратными связями мехатронной системы.
Работа аналогового фильтра, входящего в структуру системы управления обратными связями мехатронной системы, описывается дифференциальным уравнением [2, 3]
Т^ + у = К • х, (1)
т
где Т и К - постоянная времени и коэффициент передачи фильтра.
Для дискретных моментов времени зависимость выходного сигнала у от входного х получим путем решения дифференциального уравнения (1) в виде
