CC BY
30
УДК 519.21
Е.А. Ядыкин, д-р техн. наук, проф., нач. Управления ПКВК,
(4872)33-55-05, 1 [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРА КАЧЕСТВА ИЗДЕЛИЯ ПОСЛЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ
Строго доказываются условия, при которых технологическая операция может быть представлена как линейная неслучайная функция двух случайных величин.
Ключевые слова: технологическая операция, неслучайная функция, линейность, случайные величины.
При обработке металлов давлением довольно-таки часто встречаются технологические операции, в ходе которых преобразуется один и тот же параметр, например, параметр «разностенность» при выполнении технологических операций вытяжки стаканчика. При этом из статистических наблюдений известно, что законы распределения этого параметра на входе операции (случайная величина X) и на выходе (случайная величина Y) подчиняются закону Гаусса.
Возникает вопрос, можно ли, зная статистики параметра X, по какому-то правилу прогнозировать статистики параметра Y ?
Будем говорить, что кривые линии ^(х, у) и ^2(х, у) будут иметь подобие по параметрам, если будут соблюдаться условия их пропорциональности, и подобие по типу кривой, если пропорциональность будет на-
2 2
рушена, но тип линии сохранится. Например, эллипсы Х- +У— = 1 и
22 12
х2 /32 + у2/(1,5)2 = 1 - это линии (фигуры) одного типа, имеющие пропорциональное подобие (рис.1), т.к. соблюдаются пропорции между его основными элементами (полуосями).
Условие подобия эллипсов по параметрам «2 = ^2 ^1 ¿1
Ь1 Ь2
(1)
х 2 у 2 х 2 у 2 Эллипсы Х- + У— — 1 и Х- + У- = 1 (окружность с радиусом R = 3) 22 12 32 32 22 ху
подобны только по типу кривой —— — -Г- — 1 эллипсы (рис. 2).
22 а Ь
Условие подобия по типу кривой у эллипсов
а2
Ь2
— — Къ-г — к2; К1 ф к2. а1 Ь1
Таким образом, при пропорциональном подобии
х
у
2
2 + Ь а1 Ь1
22 ху
— — 1'--+ -—
2 ’ 2 ,2 аЬ
1;
а 2 — Ка1 Ь2 — Щ
х
2
22 к а1
+
у
2
К 2Ь12
х
2
+
у
2
22 Ь
К ^ а1 ¿1 J
или подобные по параметрам эллипсы имеют уравнение
п
х
2
+ п
у
2
а1
Ь
1
1
где п — ^2 - коэффициент подобия по параметрам а и Ь. к2
(2)
1
1
2
При подобии по типу линии имеем
2 2 2 2 „ _ ь-п
* + _ і*+_ і. 32 _ іпі
2 и 2 ’ 2 ,2 ’ Ьо = КЬ’
а1 Ь1 а Ь ь2 = КЬ1
2 2 2 2 х у х у
ТОг + 7277 "1 ^ П1 “2 + п2 77 " '■
к а1 к Ь1 а1 Ь1 где П1 ——2' П2 =—2 - коэффициенты подобия по параметрам а и Ь
к12 к22
соответственно.
Пусть две случайные величины X и Y связаны однозначной неслучайной функцией вида Y — ф( X). Пусть точно известна однозначная обратная
функция X — ф 1^). В этом случае по известной плотности вероятной f (х) случайной величины X можем отыскать неизвестную функцию плотности вероятностной f (у) случайной величины Y.
Из теории вероятности известно, что
f (у)Ду « р{у < Y <у + Лу}, где Ду >0.
Очевидно, что значение вероятности не изменится, если от значений двойного неравенства взять обратную функцию ф-1 при условии, что значения х возрастают:
р{у — Y < у + Ду}= р{р-1(у) <ф-1<7)<ф-1(у + Ду)} . (3)
С учётом того, что X — ф 1^) последнее равенство (3) примет вид
Р{х < X <х + Дх}« f (х)Дх,
т.е. получили, что
У(у )Ду — У(х)Дх. (4)
Преобразуем Дх, используя преобразование Лагранжа:
Дх — ф-1(у + Ду)-ф-1(у)* ^ф '(у} Ду. (5)
ау
Для (4) с учётом (5) получаем
У (у )Ду — У (х) Ду.
ау
Окончательно с учётом того, что х — ф 1( у) и может не только воз-
растать, но и убывать, получим
і ^ф-1( у)
(6)
У у(у) _ У* [ф 1( у)]
............ ау
где функциям Ух и У у присвоены индексы х и у для удобства.
В ряде случаев необходимо решать задачу, суть которой заключается в следующем. Случайные величины X и Y связаны неслучайной функцией однозначной Y = ф(х), которая, как и однозначная обратная
функция X = ф ), неизвестна. Но известно, что функции плотностей вероятностей f (х) и f (у) подобны по типу линии. Необходимо найти неслучайную функцию Y = ф( X).
тт - й?ф-1( у) -
Для упрощения рассмотрим случай, когда ---------------->0 и неслучайная
dy
функция является линейной, т.е. Y = ф( X) = аХ + Ь. Тогда обратная
ф-1(7) = X = —.
а
И прямая, и обратная функции являются однозначными, а коэффи-
dф-1( у) Л циент а >0, т.к. --------->0.
dy
Выражение (6) примет вид
fy (у) = У
х
ф-1( у )
^, Уу (у) = -Л
ау а
у - ь
V а у
(7)
Приравнивая соответствующие значения параметров в функциях
Уу(у) и Л
, находят условия, при которых неслучайная функция
будет линейной, а параметры должны удовлетворять условиям подобия (1) или (2).
Известно, что функции распределения плотностей вероятностей параметров X предметов обработки и Y на входе технологической операции вытяжки и на выходе этой технологической операции соответственно распределены по нормальному закону.
В обычной системе координат
(х - тх )2
У ( х)
У (у)
1
2а,
(у - ту )2 2а у 2
(8)
с у л!2п
(9)
где а х, а у - среднее квадратическое отклонение; тх, Шу - математические ожидания случайных величин X и Y соответственно.
453
2
1
В центрированной системе координат
-2
х
/(х) =----------^ ( 2с х2
с х л/ 2п
-2
____
__ 1 2 2
/ (У) =-----------£ ° У •
с У V 2п
Докажем, что дисперсии О [X ] в обычной системе координат и О[X] = О[К -М[X]] равны.
Пусть дано
X = X - м [ X ],
где М[X] - математическое ожидание случайной величины X, причём X и М[X] независимы по определению.
Найдём значение дисперсий от обеих частей равенства:
о[ X ] = - м [ X ]]..
Так как дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий и дисперсия от постоянной суммы равна нулю, получим
О[ X ] = О[ X ] - О[М [ X ]] = О[ X ],
что является свидетельством того, что среди всех воздействий на параметр X в ходе предыдущей операции и на параметр Y в ходе данной операции вытяжки нельзя выделить приоритетных, кроме технологических воздействий, т.е.
а 2[ X ] = а 2[ X ],
а х = ах .
что и требовалось доказать.
В центрированной системе координат имеем
— = с( X) = аХ; X = с-1(—) = —; Ь = 0. (10)
а
аа -(у) = -ау а
Подставляем (10), (11) в (7) и получим
-2
У
-2
У
-і-1 2а у
2
а.
,у
или после логарифмирования и преобразований
-2 2 2 2
1П 'у = У_.ау а ах
а
аа
х
2
(12)
Выражение (12) будет всегда выполняться при условии
ау =аах,
что является необходимым и достаточным условием для выполнения линейности неслучайного закона преобразования случайной величины X в случайную величину Y при вытяжке.
Для более общего случая, т.е. для обычной системы координат, докажем следующую теорему.
Теорема. Для того чтобы неслучайная функция преобразования случайной величины X в случайную величину Y в обычной системе координат была линейной вида Y = аХ + Ь при условии их нормальных распределений плотностей вероятностей, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
(13)
аУ =аах>
ту = атх + Ь.
(14)
Доказател ьство.
-1,
Пусть Y = а(X)аХ + Ь; X = а-1(Y) = ^-Ь;^ (у) = -.
а dу а
Функции распределения f (х) и f (у) имеют вид (8) и (9) соответственно. Тогда в соответствии с теоремой имеем (7)
или
1 ( у — ЬЛ
/у (У) = - /х У а
1
( У—т у ) 2а
2
а у л! 2 п
У.
2
'У
а
V а
а х л/ 2п
У—Ь
а
—то.
2ах
После логарифмирования и преобразований получим
2
2
1
1
ln
аy (У - b - amx )2 (y - my )2
aa x 2aax2 2ay2
2 2
При условии, что аy = aax, имеем (y - b - amx ) - (y - my ) = 0.
Последнее выражение будет всегда выполняться при условии y - b - amx - y + my = 0 или my = amx + b, что и требовалось доказать.
Таким образом, в работе показано, что если случайные значения одноименного параметра X на входе технологической операции и Г на выходе операции распределены по закону Гаусса, то технологическую операцию можно представить как линейную неслучайную функцию Y = aX + b, где а и b вычисляются по формулам (13) и (14) соответственно, что позволяет прогнозировать изменение параметра Y, зная изменения параметра X .
E.A. Yadykin
MATHEMATICAL AND STATISTICAL PROJECTIONS OF PRODUCTS QUALITY AFTER MANUFACTURING OPERATION
Conditions at which technological operation can be presented as linear not casual function of two random variables are strictly proved.
Key words: technological operation, not casual function, linearity, random variables.
Получено 13.01.12
УДК 664-047.58
Е.А. Ядыкин, д-р техн. наук, проф., нач. Управления ПКВК,
(4872) 35-54-66, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ ПРОДУКЦИИ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Показана необходимость широкого применения математического моделирования объектов и процессов в пищевых производствах. Приводятся основные принципы моделирования, примеры математических моделей процессов и объектов.
Ключевые слова: моделирование, математическая модель, пищевые производства.
Предприятия пищевой промышленности должны быть надёжны с точки зрения пищевой безопасности и эффективности своего функционирования. Система пищевой безопасности предприятия включает в себя
