CC BY
75
ln
аy (У - b - amx )2 (y - my )2
aa x 2aa x 2 2a y 2
2 2
При условии, что a y = aa x, имеем ( y — b — amx ) - ( y — my ) = 0.
Последнее выражение будет всегда выполняться при условии y — b — amx — y + my = 0 или my = amx + b, что и требовалось доказать.
Таким образом, в работе показано, что если случайные значения одноименного параметра X на входе технологической операции и Г на выходе операции распределены по закону Гаусса, то технологическую операцию можно представить как линейную неслучайную функцию Y = aX + b, где a и b вычисляются по формулам (13) и (14) соответственно, что позволяет прогнозировать изменение параметра Y, зная изменения параметра X .
E.A. Yadykin
MATHEMATICAL AND STATISTICAL PROJECTIONS OF PRODUCTS QUALITY AFTER MANUFACTURING OPERATION
Conditions at which technological operation can be presented as linear not casual function of two random variables are strictly proved.
Key words: technological operation, not casual function, linearity, random variables.
Получено 13.01.12
УДК 664-047.58
Е.А. Ядыкин, д-р техн. наук, проф., нач. Управления ПКВК,
(4872) 35-54-66, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ ПРОДУКЦИИ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Показана необходимость широкого применения математического моделирования объектов и процессов в пищевых производствах. Приводятся основные принципы моделирования, примеры математических моделей процессов и объектов.
Ключевые слова: моделирование, математическая модель, пищевые производства.
Предприятия пищевой промышленности должны быть надёжны с точки зрения пищевой безопасности и эффективности своего функционирования. Система пищевой безопасности предприятия включает в себя
процедуру санитарно-гигиенических мероприятий: личная гигиена персонала, строгое соблюдение технологического процесса производства пищевой продукции, контроль и предотвращение попадания в готовый продукт посторонних включений, санитарная обработка и дезинфекция помещений и оборудования и т.д.
Эффективность функционирования предприятия предполагает стабильность (надёжность) работы пищевого предприятия и минимизацию пищевых рисков, т.е. чёткую работу оборудования. Последнее предполагает обязательность плана предупредительных ремонтов, которые позволяют проследить за ходом ремонтных работ, как плановых, так и внеочередных, а также обеспечить приоритетность выполнения тех, которые непосредственно связаны с безопасностью пищевой продукции. Помимо этого, на предприятии необходим контроль входящих и выходящих потоков сырья, идентификация рисков, связанных с производством конкретного продукта, вероятность реализации данного риска и т.д.
Всего этого можно добиться опытным путём, но это потребует длительного времени и серьёзных затрат. Время и затраты можно значительно сократить, если использовать для повышения эффективности функционирования производств пищевых продуктов приёмы математического моделирования с учётом опыта других отраслей [1, 2].
Математическое моделирование - это исследование моделируемого объекта или процесса (для сокращения в дальнейшем будем говорить «объекта»), базирующееся на его математическом подобии модели и включающее построение математической модели, её машинную реализацию, оценку качества модели, планирование экспериментов с ней и перенос полученных наиболее эффективных результатов на моделируемый объект. Базовым понятием в процессе моделирования является математическая модель объекта.
Математическая модель - это упрощенный математический образ реального объекта, адекватно отображающий существенные для целей исследования свойства объекта. Основными принципами, которыми руководствуются при разработке математической модели, являются адекватность и системность.
Адекватность модели означает требование максимального приближения теоретической модели к устойчивым, существенным характеристикам и закономерностям реального исследуемого объекта.
Принцип системности предполагает рассмотрение объекта как сложной системы и соответственно применение системного подхода к его исследованию:
а) изучение взаимосвязанных требований законодательства, определяющего характер и основы функционирования объекта (системы);
б) определение целей развития данной системы с учетом требований более общей системы, частью которой данный объект является;
в) проведение структурного анализа объекта, раскрывающего характер взаимосвязи и назначение каждого его элемента (подсистемы);
г) исследование особенностей управления и механизма обратных связей;
д) определение характера и степени влияния на систему со стороны внешней среды;
е) исследование процессов принятия и реализации решений в каждом элементе объекта с учётом его взаимодействия с другими элементами и его места в объекте в целом.
Таким образом, системный подход означает, что объект должен рассматриваться, с одной стороны, как единое целое, а, с другой стороны, как совокупность относительно самостоятельных элементов, каждый из которых обладает собственными целями. Объединяющим началом является достижение максимума эффекта для всей системы в целом, а не для какой-нибудь её части. Результатом системного анализа является выбор такого пути достижения цели с учётом свойств эмерджентности системы, который является наиболее эффективным. Поэтому необходимо ещё на начальном этапе исследования объекта разработать критерий эффективности его функционирования.
Моделирование объектов - сложный и трудоёмкий процесс, существенно облегчить который могут выработанные практикой принципы моделирования [3].
1. Принцип информационной достаточности. Необходимо существование некоторого критического уровня априорных сведений о объекте, при достижении которого в принципе можно получить адекватную модель объекта (системы). Этот уровень определяется наличием информации об элементах объекта и о существенных связях между ними, которые формируют эмерджентные свойства объекта.
2. Принцип параметризации позволяет некоторые относительно изолированные элементы объекта заменять соответствующим параметром, а не описывать процесс их функционирования.
3. Принцип агрегатирования [4] позволяет структурно представить объект как состоящий из агрегатов (элементов). При этом для математического описания отдельных элементов объекта (системы) используются стандартные математические схемы. В единую имитационную модель элементы (агрегаты) объединятся с помощью оператора сопряжения.
4. Принцип осуществимости. Математическая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающиеся от нуля, и за конечное время.
5. Принцип рационального использования факторного пространст-ва_позволяет выбирать оптимальный план эксперимента [5].
6. Принцип множественности моделей. Для более полного отображения действительности необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отображать изучаемый объект.
Как уже отмечалось, базовым элементом моделирования является математическая модель. Среди математических моделей наибольшее распространение получили прескрептивно-нормативные, отвечающие на вопрос, какой вариант управленческого поведения лучше, т.е. оптимизирующие один или несколько параметров, и дескрептивно-аналитические, отвечающие на вопрос, «что будет, если ...».
В качестве прескрептивно-нормативных математических моделей широко используются модели, в основе которых заложена методика линейного программирования [6]. В качестве примера можно привести задачу разработки оптимальной рецептуры яблочного сока.
Каждый отдельный сорт сырья яблок обладает своими уникальными физическими и химическими составами. Это, в свою очередь, отражается на составе получаемого сока.
Выпускаемый сок должен обладать стабильными органолептическими, физическими и химическими показателями. Зная состав сока каждого отдельного сорта, можно смешать соки из различных сортов таким образом, чтобы при наименьших затратах продукт на выходе обладал бы необходимыми характеристиками.
Предприятию необходимо изготовить яблочный сок с содержанием титруемых кислот не менее 0,3 % и с долей витамина С не менее 0,02 %. Предприятие закупает три различных сорта яблок: Антоновку, Штрифель и Папировку. Стоимость и содержание необходимых компонентов в соках, полученных из трёх сортов по отдельности, указаны в таблице.
Определим, в какой пропорции необходимо смешать соки из различных сортов яблок, чтобы полученная смесь удовлетворяла ограничениям при минимальной стоимости.
Стоимость, содержание титруемых кислот и содержание витамина С для каждого сорта яблок
Сорт яблок Содержание компонентов, % Цена 1 кг, р.
Титр. кислоты Витамин С
Антоновка 0,45 0,015 70
Штрифель 0,2 0,01 55
Папировка 0,3 0,025 85
Обозначим через XI, Х2, Х3 доли различных соков в полученной смеси. Эти значения должны быть неотрицательными:
Х1 > 0, Х2 > 0, Х3 > 0.
Запишем целевую функцию, которую необходимо минимизировать:
f (x) = 70 xi + 55 *2 + 85 *3.
Запишем ограничения по содержанию компонентов:
|0,45xi + 0,2x2 + 0,3Х3 > 0,3,
[0,015xi + 0,01x2 + 0,025x3 > 0,02.
В сумме доли соков различных сортов должны составлять единицу:
x1 + x 2 + x3 = 1.
Такие задачи удобно решать при помощи программы Microsoft Excel.
1. Создадим форму для ввода условий задачи (рис. 1). Оптимальные значения компонента вектора x = (x1, x2, x3) будут помещены в ячейку B3:D3, оптимальное значение целевой функции - в ячейку Е4.
А В С- D Е F G
1 Переменные
2 Х1 Х2 ХЗ
3 ДЬди
4 ¡Цена 7С ЬБ S5
Б Ограничения
6 Компоненты левая чзспь знак правая часть
7 К-носгь □ ,46 0,2 0.3 >= 0,3
В Вит. С 0,015 0,01 Ü ,025 >= 0,02
9 1 1 1 = 1
1G
Рис.1. Исходная форма задачи
Результаты поиска решения для значений х^, Х2, Х3 и минимального значения целевой функции представлены на рис. 2.
Полученное решение означает, что для приготовления самой дешевой необходимой смеси нужно взять 15 % сока из яблок сорта Антоновка, 23 % - сорта Штрифель и 62 % - сорта Папировка. При таком соотношении состав сока удовлетворяет заданным условиям при минимальных затратах на сырьё, цена которого составляет 75 рублей 77 копеек за килограмм.
А В С D Е F
1 Переменные
2 Х1 Х2 ХЗ
3 Доли 0.153848 0,230789 0,815385
4 Цена 70 55 85 75.76923077
5 Ограничения
6 Компоненты левая часть знак правая часть
7 К-н ость 0,45 0,2 0,3 0,3 >= 0,3
8 Вит. С 0,015 0,01 0,025 0,02 >= 0,02
5 1 1 1 1 1
10
Рис. 2. Результаты решения задачи
В качестве дискрептивно-аналитической математической модели приведём адаптивную модель функционирования технологического ротора автоматической роторной линии (АРЛ).
Будем рассматривать технологический ротор АРЛ как систему, состоящую из u элементов многоканальной части (МЧ) [1, 2], работающих независимо друг от друга, что, собственно, определено конструкцией ротора. Независимость работы элемента МЧ предполагает и независимость по отказам, т.е. независимость по их надёжности. Схематично систему можно представить как систему, состоящую из и параллельных, однотипных и независимых элементов МЧ (простая схема маршрутизации [1]).
При отказах элементов МЧ система остаётся частично работоспособной до тех пор, пока не потеряют работоспособность все и элементов.
С точки зрения надёжности в системе происходит случайный процесс, заключающийся в том, что элементы МЧ в процессе функционирования системы внезапно переходят из работоспособного состояния в неработоспособное. Время отказов подчиняется экспоненциальному распределению, а сам процесс представляет собой стохастический процесс с непрерывным временем и этот процесс может быть определён как однородный марковский процесс [6].
Если дискретные состояния системы обозначить через Eq, Ei,..., Ep,..., Eu ,где в указывает на число отказавших элементов, то система переходов из начального состояния Eq (в момент t = 0) в конечное (поглощающее) Еи (в момент времени t = t) представляется цепочкой событий:
XX XX XX
E0 ^E1 ^E2 ^...^Ee ^...^Eu’ (1)
где X = const - параметр потока отказов элементов МЧ.
Оценивая вероятность pp (t) каждого из состояний цепочки (1),
можно составить уравнения Колмогорова в виде системы уравнений ' p o'(t) = - тР о(t X P1'(t) = -(m - X)P1(t) + тР о(tX Р2'(t) = -(m - 2X)Р2 (t) + (m - X)P1(tX
.............................................. (2)
Рp'(t) = -(m - pX)Рp(t) + (m - (p - 1)X)Рp-1(tX
Ри '(t) = ^и-1(tX
Р o'(t) + Pl'(t) + Р 2 '(t) + ••• + Р в '(t) + ••• + Ри '(t) = 1 X |(А (t) p 0—
где m = uX , Рв (t) = —!-, p = 0, и, а последнее уравнение является нор-
dt
мировочным.
В начальный момент времени t = 0 все элементы МЧ были работоспособными, поэтому начальное условие для системы уравнений (2) может быть определено как
Р°(0) = 1 Р1(0) = Р2(°) = ... = Рв (0) = ... = Ри (°) = °.
(3)
Используя методы операционного исчисления, решим систему (2) при начальных условиях (3).
Не показывая всех промежуточных вычислений, приведём окончательное решение:
г*\ 1 - ті
Р °( і ) = — е ,
°!
т - ті ( л , X і ч
Рі(і) = — е (-1 + е ),
1! X
р2(,) = т(т - Х) е-ті (1 - 2еХі + е2Хі),
2! X2
р в(і) =
і=в-1 П (т - і X)
і=0
- ті
в! Xі
в
і=в
X (-1)1+всвеаі, і=0
7 = и-1
Ри (t) = 1 - Е Р\ (tX
7 = 0
где С7р- число сочетаний из в по 7.
Каждому вероятностному состоянию рр (7) системы соответствует
определённое число работоспособных элементов МЧ. Математическое ожидание г работоспособных элементов МЧ для системы в момент времени 7 7 определяется из условия
М[г] = иро (7) + (и -1)Р1(7) + (и - 2) Р2(7) +... + (и - р)Рр (7) +...
I =и
...+° ■ Ри(і) = X(и - 0 Рі(і),
і=0
(4)
где г - заданное число работоспособных элементов МЧ (предполагается групповая смена отказавшего инструмента).
Обозначим математическое ожидание М [г] (4) через вспомогательную функцию
і=и
F (і) = X(и - і) Рі(і) і=0
и будем говорить об обратной от (5) функции F 1(г) (6), которая позволила бы по заданному значению г прогнозировать время 7 , через кото-
рое с момента времени 7 = 0 в системе остаётся г -е количество работоспособных элементов МЧ, т.е. в состоянии отказа будет (и - г) элементов МЧ:
^ = 7и-г = Р “V). (6)
Точность прогноза будет в основном определяться достоверностью
значений параметра потока отказов X, известного из результатов статистической обработки ранее полученных данных о наработке до отказа элементов МЧ и не учитывающего особенности системы в данный момент времени, т.е. модель не адаптирована по отношению к реальной системе.
Наиболее важен для коррекции модели прогноз наработки до первого отказа:
11 = РЧ(и -1). (7)
Важность прогноза наработки до первого отказа определяется сле-
дующими обстоятельствами:
- прогноз других временных интервалов в случае недостоверного первого прогноза становится ещё более недостоверным;
- после первого отказа (7) система структурно изменяется и должна представляться уже другой, видоизменённой моделью;
- сравнение прогноза ^ с реальным временем наработки до первого отказа 71 д действующей системы позволяет сразу же ввести в модель коррективы, адаптирующие модель к действующей системе и реальному времени [7].
Для этого из условия
и - 1 = Р(71 Д ) (8)
определяют действительное значение X д , которое подставляют в новую
модель, учитывающую произошедшие структурные изменения, т.е. отказ
одного элемента
7=и—1
Р1(7) = Е(и - 7) Рг(7 X (9)
7=0
где р1(7) - вспомогательная функция (9) для системы с новым количеством (и -1) элементов МЧ и новым началом отсчёта времени.
При необходимости алгоритм повторяется, т.е. прогнозируется
71 = Р1 1(и1 - ^
где и1 = и -1, и сравнивается с новым значением 71 д и вновь по условию
(8) проводится коррекция параметра потока отказов X.
Таким образом, посредством коррекции значения параметра потока отказов X достигается адаптация модельной системы к реальной.
Список литературы
1. Ядыкин Е.А. Комплексно-автоматизированные производства на базе автоматических роторных линий и их моделирование. Тула, 2001. 140 с.
2. Ядыкин Е.А. Моделирование процессов эксплуатации технологических систем роторных машин: учеб. пособ. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. 77 с.
3. Надёжность и эффективность в технике: справочник в 10 т. / ред. совет: В.С. Авдуевский [и др.]. М.: Машиностроение, 1988. Т.З. Эффективность технических систем / под общ. ред. В.Ф.Уткина, Ю.В. Крючкова. 328 с.
4. Бусленко В.Н. Автоматизация имитационного моделирования сложных систем. М.: Наука, 1977. 240 с.
5. Налимов В.В., Голикова Т.Н. Логические основы планирования эксперимента. М.: Металлургия, 1976. 128 с.
6. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972.
552 с.
7. Ядыкин Е.А. Марковская модель и её адаптация к реальной многоканальной системе / Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т.7. Вып. 3. С. 185-188.
E.A. Yadykin
QUALITY MANAGEMENT OF FOOD INDUSTRY PRODUCTS BASED ON DISCRETE-ANALYTIC MATHEMATICAL MODELS
Necessity of wide application of mathematical modelling of objects and processes for food manufactures is shown. The main principles of modelling, examples of mathematical models of processes and objects are resulted.
Key words: modelling, mathematical model, food manufactures
Получено 12.01.12
